ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Καραμανίδου Αντιγόνης Φυσικού, φοιτήτριας Μεταπτυχιακού Νανοεπιστημών & Νανοτεχνολογιών. που υποβλήθηκε στο

Transcript

1 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Καραμανίδου Αντιόνης Φυσικού φοιτήτριας Μταπτυχιακού Νανοπιστημών & Νανοτχνολοιών που υπολήηκ στο Τμήμα Φυσικής Της Σχολής Θτικών Επιστημών Του Αριστοτλίου Πανπιστημίου Θσσαλονίκης Θσσαλονίκη Οκτώριος 7

2

3 Πρίληψη Η φασματοσκοπική λλιψομτρία (ΦΕ) και το AFM αποτλούν ισχυρά ραλία ια τον χαρακτηρισμό πίπδν δομών διαστάσν νανομέτρου. Η ΦΕ ίναι πιπλέον συματή μ τις πρισσότρς ιομηχανικές ραμμές παραής και πιτρέπι -u έλχο τν ημάτν παραής κατά τη διαδικασία κατασκυής. Παρότι ίναι πιραματικά νστό ότι η φασματοσκοπική λλιψομτρία παρέχι "δακτυλικά αποτυπώματα" τν διρυνούμνν πιφανιακών δομών ίναι πολύ δύσκολο να αποκδικοποιηούν τα δδομένα και να καορισί άμσα η αντιστοιχούσα δομή. Ακόμη δυσκολότρο χίρημα ίναι η ξαή τν οπτικών ιδιοτήτν του υλικού μ τη διαδικασία προσαρμοής (fg) τν πιραματικών δδομένν ΦΕ σ ένα μοντέλο πιφανιακής μορφολοίας. Στην παρούσα ρασία φαρμόζουμ την ρία τν Vlg Bau που πραματύται πιφανιακή μορφολοία και τις πιδράσις της στην οπτική απόκριση της πιφάνιας. Κατά τη ρία αυτή κά ίδος πιφανιακής διαταραχής μπορί να πριραφί από τα πονομαζόμνα ηλκτρομανητικά πλονάζοντα πδία. Όλοι οι συντλστές Fl δίνονται ς προς τα ολοκληρώματα αυτών τν πλοναζόντν πδίν στην κάτη ς προς την πιφάνια διύυνση. Η μλέτη μας πριορίστηκ σ υπολοισμούς που αφορούν λλιψομτρικές μτρήσις και την χρήση παραμέτρν τραχύτητας που καορίστηκαν από δδομένα του AFM. Αν και η ρία παρέχι έναν τρόπο ια την αντιμτώπιση συκκριμένν μορφολοιών τραχύτητας λό της πολυπλοκότητας που ισάι η ανισοτροπία τν διμάτν που μας νδιέφραν πριοριστήκαμ σ μια πιο νική φαρμοή νός μοντέλου τραχύτητας μ Γκαουσιανή συνάρτηση συσχέτισης ύψους. Πριν ασχοληούμ μ τα ανισότροπα δίματα διξαάαμ μια ρητική μλέτη της πίδρασης της πιφανιακής τραχύτητας στον καορισμό τν διηλκτρικών ιδιοτήτν μέσ λλιψομτρικών μτρήσν σύμφνα μ τη ρία Vlg Bau [] σ μια ισότροπη πιφάνια όπς αυτή του -S. Η μορφή τν καμπύλν συκρίηκ μ αυτήν που προκύπτι από τη ρία τν Ohlal Lu από μια παλαιότρη ρασία του Σ. Λοοτίδη [8]. Καότι το νδιαφέρον μας ήταν στιασμένο σ ύκαμπτα ανισότροπα υλικά όπς το και το pol(hl phhala) (PT) και το pol(hl aphala) (PN) έιν μια προσπάια ια την νίκυση τν αποτλσμάτν της ρίας ια να συμπριλάι κάποις ιδικές πριπτώσις ανισοτροπίας. Μτρήσις ΦΕ από PT και PN χρησιμοποιήηκαν ια να ληφούν οι οπτικές ιδιότητές τους μ fg σ ένα μοντέλο πιφανιακής τραχύτητας. Για να πιτυχί αυτό έπρπ να κατασκυαστούν κατάλληλα υπολοιστικά προράμματα. Θρήηκ

4 μονοαξονική ανισοτροπία μ τον οπτικό άξονα παράλληλα στην πιφάνια. Ο καορισμός της τραχύτητας προέκυψ από μτρήσις AFM. Επιχιρήηκ να ληφούν οι πραματικές οπτικές ιδιότητς τν συκκριμένν υλικών. Αν και δν στάηκ δυνατόν στο παρόν σημίο να παρατηρηί μτρήσιμη διαφορά μταξύ της ψυδοδιηλκτρικής και της πραματικής διηλκτρικής συνάρτησης διαφαίνται ότι μια πιο νδλχής διρύνηση και πίμονς προσπάις προς αυτή την κατύυνση α μπορούσαν να φανρώσουν πληροφορίς σχτικά μ την πιφανιακή μορφολοία και να οδηήσουν σ αποτλέσματα μ πρακτική φαρμοή.

5 Aba Spoop llpo (S) a AFM a powful ool fo h haaao of plaa uu h ao g. S o op opabl wh o ual pouo l a allow a -u (o-l) oog of h pouo p ug h aufaug po. Alhough pall wll ow ha S lv v v fgp of h vga ough ufa uu v fful o o h aa a l h pobl uu. A v o fful a o oba h opal pop of h aal b fg h S aa o a ufa opholog ol. I h wo w pl h ho of Vlg a Bau gag ufa opholog a ff o h opal po of h ufa. Aog o h ho a p of ufa pubao a b b b o-all loag fl. All h Fl off a gv of h ga fl ppula o h ufa. Ou u wa o alulao gag llpo au a h u of ough paa a b AFM foao. Allhough h ho pov a wa o a pf ough opholog og h oplv u b h aoop of h apl w w w oulv o h o gal a b a ough ol of a Gaua hgh-hgh olao fuo. Bfo alg wh h aoop apl w pfo a hoal u of h ff of ufa ough o h ao of h l pop b llpo au aog o h ho of Vlg a Bau o a oop ufa uh a - S. Th hap of h uvau w opa o ha of h ho of Ohlal a Lu fo a al wo of S.Logoh[8]. S ou wa fou o flbl aoop aal uh a pol(hl phhala) (PT) a pol(hl aphala) (PN) a ap wa a o gal h ho ul o lu o pal a of aoop. S aa of PT a PN w u o oba h opal pop b fg h o a ufa ough ol. To ahv h appopa ofwa ha o b vlop. Th aa w appoa b og uaal aoop wh h opal a paalll o ufa. Th ao of h ough wa oba fo AFM au. W o oba h aual opal pop of h pf aal. Allhough w oul o a h po f a auabl ff bw h puol a h aual l pop a f a o hoough vgao a pg ap h o oul val foao abou ufa opholog a la o ul wh woh paal u.

6 v

7 Πρόλοος Σκοπός της ρασία αυτής ίναι η διρύνηση νός ξιδικυμένου έματος την διρύνηση της πιφανιακής τραχύτητας σ ανισότροπο πολυμρικό υλικό μέσ μαηματικής ανάλυσης που συνδυάζι λλιψομτρικές μτρήσις και πληροφορίς από AFM. Γι αυτό το λόο η πορία που ακολουήηκ κατά την μλέτη και προσέιση του έματος ήταν πολύ συκκριμένη και ξ αρχής καορισμένη. Ωστόσο κατά την πορία αυτή έιν προσπάια να αποφυχί η πιπόλαιη αντιμτώπιση του ρητικού υπόαρου μ απλή παράση τν μαηματικών τύπν έτσι ώστ η ρασία να μπορί να αποτλέσι φαλτήριο ια την μλέτη πληώρας νέν μάτν ρητικής πιραματικής και υπολοιστικής φύσς. Θα ήλα να κφράσ τις ρμές υχαριστίς μου στον Καηητή του Τμήματος Φυσικής του Α.Π.Θ. Δρ. Στέριο Λοοτίδη ια την υπόδιξη του έματος και την καοδήηση κατά την διάρκια της κπόνησής της. Θρμά υχαριστώ τον Δρ. Αρύρη Λασκαράκη ια τις πολύτιμς υποδίξις και την συμπαράσταση που μου παρίχ καώς πίσης την Υποψήφια Διδάκτορα Συλί Λουσινιάν και τον Δρ. Σπυρίδνα Κασσαέτη ια την οήια κατά την λήψη και πξρασία τν πιραματικών μτρήσν ια την διξαή πιπλέον πληροφοριών. Ευχαριστώ πίσης τον Δρ. Χριστόφορο Γρααλίδη τον Δρ. Κοσμά Κοσμίδη και τον Ηλκτρολόο Μηχανικό Γώριο Αρυρόπουλο ια την κατατοπιστική τους συνδρομή στην χρήση της λώσσας προραμματισμού Foa. v

8 v

9 Εισαή Τα τλυταία χρόνια έχι δοί ιδιαίτρη σημασία στην ανάπτυξη και λτίση νανοδομικών υλικών καότι οι φαρμοές τουν παρουσιάζουν συνχή αυξητική τάση. Είναι προφανές ότι η τραχύτητα διαστάσν νανομέτρου πιφανιακή ή στρική πολλές φορές ίναι σημαντική ια τις ιδιότητς τν υλικών αυτών και πρέπι να λέχται. Αρκτές φορές μάλιστα η ανάπτυξη στρώματος τραχύτητας ή ακόμη και συκκριμένν σχηματισμών παν σ μια πιφάνια μπορί να ίναι και το αποσκοπούμνο αποτέλσμα. Για τον χαρακτηρισμό πίπδν δομών διαστάσν νανομέτρου η φασματοσκοπική λλιψομτρία και το AFM (Ao Fo Moop) αποτλούν ισχυρά ραλία. Η φασματοσκοπική λλιψομτρία ίναι πιπλέον συματή μ τις πρισσότρς ιομηχανικές ραμμές παραής και πιτρέπι -u έλχο τν ημάτν παραής κατά τη διαδικασία κατασκυής. Τα λλιψομτρικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται προς το παρόν αποτυχάνουν να αναπαράουν ικανοποιητικά τα πιραματικά δδομένα. Ωστόσο οι προσπάις ια να ξπραστούν αυτοί οι πριορισμοί μ την χρήση διαφόρν μοντέλν συνχίζονται. Το έμα της παρούσας ρασίας ίναι η μλέτη και η φαρμοή νός μοντέλου πιφανιακής τραχύτητας ιδικά στην πρίπτση πολυμρικών ανισότροπν υλικών. Εφαρμόζοντας τη ρία τν Bau και Vlg [] ίνται μια προσπάια να ληφούν οι οπτικές ιδιότητς τν διμάτν συνυπολοίζοντας την τραχύτητα της πιφάνιας. Για τον σκοπό αυτό αρχικά μλτήηκαν οι ασικές αρχές στις οποίς στηρίζται η ρία τν Vlg και Bau ια την πρίπτση τραχέν πιφανιών. Στη συνέχια έιν μια προσπάια πέκτασης του μαηματικού φορμαλισμού της ρίας και φαρμοής της στην πρίπτση ανισότροπν υλικών μ τραχύτητα χρησιμοποιώντας πιραματικές μτρήσις ΦΕ και AFM και το κατάλληλο λοισμικό που έπρπ να κατασκυαστί. Ο κώδικας σ λώσσα προραμματισμού Foa 9 του προράμματος GaFl τν R Laa και Igv So [-] που προσφρόταν αρχικά λύρα στην διύυνση hp:// οήησ στην κατανόηση της ρίας και στον σχδιασμό τν προραμμάτν που χρησιμοποιήηκαν. v

10 Η δομή της ρασίας ίναι η ξής: Στο Κφάλαιο δίνονται νικά στοιχία ια τις ρίς σκέδασης και τκμηριώνται η ανακαιότητα ια νές και ξλίσιμς προσίσις ια την αντιμτώπιση τραχέν πιφανιών. Στο Κφάλαιο ίνται μια συκντρτική παρουσίαση τν ασικών στοιχίν της ρίας τν Vlg και Bau. Έχουν αποδοί διαδοχικά τα τμήματα της ρίας που οδηούν στην πραμάτυση της τραχίας πιφάνιας και στηνπριραφή της από τους ονομαζόμνους πιφανιακούς καταστατικούς συντλστές.. Στο Κφάλαιο 3 ίνται σύντομη παρουσίαση τν ασικών αρχών της φασματοσκοπικής λλιψομτρίας και τν κλασσικών λλιψομτρικών μών ια ισότροπα και ανισότροπα υλικά. Παράλληλα δίνονται οι λλιψομτρικοί συντλστές της ρίας Vlg και Bau που μπορούν να φαρμοστούν σ μια κατηορία συστημάτν ισότροπν υλικών αν προηουμένς υπολοισούν οι πιφανιακοί καταστατικοί συντλστές του. Μία από τις φαρμοές ίναι και η πρίπτση τραχίας πιφάνιας. Στην συνέχια ίνται μια προσπάια πέκτασης της ρίας τν Bau και Vlg ια την πρίπτση διάξονν ανισότροπν υλικών μ τον υπολοισμό τν αντίστοιχν λλιψομτρικών μών. Στο Κφάλαιο 4 ίνται αρχικά μια ρητική μλέτη της πίδρασης της πιφανιακής τραχύτητας στον καορισμό τν διηλκτρικών ιδιοτήτν μέσ λλιψομτρικών μτρήσν σύμφνα μ τη ρία Vlg Bau σ μια ισότροπη πιφάνια όπς αυτή του -S. Η μορφή τν καμπύλν συκρίηκ μ αυτήν που προκύπτι από τη ρία τν Ohlal Lu από μια παλαιότρη ρασία του Σ. Λοοτίδη [8]. Ακολουί η διρασία που αποτλί το καταληκτικό έμα της ρασίας δηλαδή μια πξρασία φασματοσκοπικών πιραματικών μτρήσν ανισότροπν υλικών PT και PN ια την ξαή του διηλκτρικού τανυστή μέσ νός μοντέλου πιφανιακής τραχύτητας. Για τους σκοπούς αυτούς έιν χρήση προραμμάτν σ λώσσα προραμματισμού Foa που δημιουρήηκαν στο πλαίσιο της διπλματικής ρασίας. Στο Κφάλαιο 5 ίνται παράση τν συμπρασμάτν που προέκυψαν από την ρασία και παρουσιάζονται προτινόμνα έματα ια μλλοντική διρύνηση. Στο Παράρτημα Α δίνονται νικά στοιχία ια την μλέτη τραχέν πιφανιών Στο Παράρτημα Β κρίηκ σκόπιμο να ίνι ια μλλοντικές μλέτς μια ποπτική ισαή στην ναλλακτικής πρότασης της ρίας τν Vlg και Bau ια την πρίπτση φιλμ αποτλούμνν από μμονμένς νησίδς ια ισότροπα μέσα. v

11 Πριχόμνα Πρίληψη Aba... Πρόλοος v Εισαή v ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση. Θρίς σκέδασης Αλληλπίδραση ακτινοολίας μ την ύλη Θρίς νρού μέσου ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία τν Vlg και Bau. Δομή ρίας τν Vlg και Bau...7. Πλονάζον ηλκτρικό ρύμα πυκνότητα φορτίν και ηλκτρικό πδίο σ αώιμο στρώμα Πλονάζον ηλκτρικό πδίο και μτατόπιση σ διηλκτρικό στρώμα....4 Πλονάζοντα ρύματα πυκνότητα φορτίν και πδία και οι οριακές συνήκς Οριακές συνήκς ξφρασμένς σ όρους διπιφανιακής πυκνότητας πόλσης και μανήτισης Ανώμαλα σημία στα πδία ρύματα και πυκνότητς φορτίν....7 Οι ξισώσις του Mawll ια ασυνχή πδία και οι οριακές συνήκς Διατήρηση φορτίν Πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης...8. Καταστατικές ξισώσις ια ισότροπς διπιφάνις χρίς διασπορά...3. Καταστατικές ξισώσις ια ισότροπς διπιφάνις μ διασπορά Εξάρτηση συντλστών από έση διπιφάνιας & Αναλοίτα μέη Συντλστές στην πρίπτση υπέρσης λπτών φιλμ Διαστρώματα Τραχίς πιφάνις....45

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 3. Βασικές Αρχές της Φασματοσκοπικής Ελλιψομτρίας Κρυσταλλική συμμτρία και λλιψομτρικοί συντλστές ια ανισότροπα υλικά Ελλιψομτρικοί συντλστές ια ισότροπα υλικά μ τραχύτητα Υπολοισμός λλιψομτρικών συντλστών ια ανισότροπα υλικά μ τραχύτητα...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 4. Θρητική μλέτη της πίδρασης της τραχύτητας στον υπολοισμό της διηλκτρικής σταράς πυριτίου Οπτικά ανισότροπα υλικά PT και PN και υπολοισμός διηλκτρικής συνάρτησης Υπολοισμός τν κύριν συνιστσών της διηλκτρικής συνάρτησης μονοάξονν PT και PN ια λία και τραχία πιφάνια Υπολοισμός τανυστή διηλκτρικής σταράς ια μονοάξονο PT Υπολοισμός τανυστή διηλκτρικής σταράς ια μονοάξονο PN...8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συμπράσματα και προτάσις ια μλλοντική έρυνα 5. Συμπράσματα Προτάσις ια μλλοντική έρυνα...86 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Παραρτημα Α : Στοιχία στατιστικής πριραφής πιφανιακής μορφολοίας...87 Παράρτημα Β : Υμένιο αποτλούμνο από ξχριστές νησίδς...9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ / ΑΝΑΦΟΡΕΣ...99

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση. Θρίς σκέδασης Σκέδαση ονομάζται το φαινόμνο της οπτικής κατά το οποίο απορροφάται και κπέμπται πάλι από ένα σώμα μέρος ή όλη η νέρια μιας ακτινοολίας. Πρόκιται δηλαδή ια αμοιαία πίδραση της ακτινοολίας πί της ύλης και της ύλης πί της ακτινοολίας. Όταν η προσπίπτουσα ακτινοολία αντιστοιχί σ νριακή στάμη του ατόμου μτά από μικρή χρονική παραμονή (~ -8 ) στην διρμένη κατάσταση αποδιίρται μ σύχρονη κπομπή ακτινοολίας στην ίδια συχνότητα και τυχαία κατύυνση. Πρόκιται ια την ακτινοολία συντονισμού (oa aao) που παρατηρίται μόνο σ αραιά αέρια ιατί το χρονικό διάστημα μταξύ δύο διαδοχικών συκρούσν ίναι αρκτά μάλο ια να μην μτατραπί η νέρια τν ατόμν σ νέρια κρούσης. Μ μικρότρη πιανότητα παρατηρίται το φαινόμνο σκέδασης από άτομα όταν αυτά διίρονται μ ακτινοολία που δν αντιστοιχί σ νριακή στάμη. Εδώ η προσπίπτουσα ακτινοολία πανκπέμπται χρίς αισητή καυστέρηση και κυρίς μ την ίδια νέρια. Πρόκιται ια την λαστική ή σύμφνη σκέδαση (σκέδαση Ralgh) ξαιτίας της σταρής διαφοράς σχέσης φάσης μταξύ τν δύο ακτινοολιών. Η ένταση της σκδαζόμνης ακτινοολίας ίναι ανάλοη της τέταρτης δύναμης της συχνότητας και μπορί να αναφέρται και σ σματίδια μ διαστάσις πολύ μικρότρς από το μήκος κύματος της ακτινοολίας. Η σκέδαση του φτός ίναι ένα πολύτιμο ραλίο στη μλέτη μρικών από τις ιδιότητς συστημάτν αποτλούμνν από πολλά σματίδια. Ανάλοα μ το μέος και την πυκνότητα τν σματιδίν έχουμ διάφορς προσίσις: Η σκέδαση από σματίδια αντιμτπίζται μακροσκοπικά μ τη ρία πρίλασης όταν οι διαστάσις του σκδαστή ίναι μαλύτρς από το μήκος κύματος του φτός. Η φαινομνολοική ρία αυτού του φαινομένου ανάται στην ρασία του Soluhow και του. Εδώ η σκέδαση του φτός ξηίται μ όρους διακύμανσης της διηλκτρικής σταράς ύρ από μια μέση τιμή. Η διέλυση του φτός πριν και μτά τη σκέδαση ίνται μέσ νός μέσου μ διηλκτρική σταρά ίση μ αυτή τη μέση τιμή. Στην αντιδιαμτρική πρίπτση στην μοριακή ρία το φς σκδάζται από μμονμένα μόρια και η διέλυση του φτός πριν και μτά τη σκέδαση ίνται μέσ του κνού. Σ οπτικά πυκνά συστήματα η

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση φαινομνολοική ρία ίναι καλύτρη μ την έννοια ότι αναλύουμ ύρ από τη μέση τιμή της διηλκτρικής σταράς αντί αυτή του κνού. Φαινόμνα σκέδασης παρουσιάζονται και λό της μορφολοίας μιας πιφάνιας που δν ίναι ατομικά λία. Χρήσιμς πληροφορίς ια την διηλκτρική συμπριφορά πιφανιών μπορί να αποκτηί μ τη μέτρηση συντλστών Fl ανάκλασης διάλασης ή απορρόφησης. Σ τέτοις μτρήσις η πίδραση τν ιδιοτήτν τν διαφόρν στρμάτν και ακόμη πρισσότρο της μορφολοίας τν διπιφανιών ίναι ιδιαίτρα σημαντική. Οι κλασσικοί συντλστές Fl αναφέρονται σ ατομικά λίς πιφάνις. Η πληροφορία που αναφέρται στη μορφολοία της πιφάνιας ίναι δύσκολο να συνυπολοιστί σ ρητικό πίπδο. Η λύση τν ξισώσν Mawll σ μία πριοχή που μπριέχι μια διπιφάνια μταξύ δύο bul μέσν απαιτί ακριή νώση της φύσης τν οριακών συνηκών που ικανοποιούν τα ηλκτρομανητικά πδία. Για πολύπλοκς πιφάνις όπς κοκκώδη φιλμ μ τυχαία τραχύτητα δηλαδή νησίδς μέους πάν σ υπόστρμα το πρόλημα ίνται πολύπλοκο. Αν πιπλέον πρόκιται ια μέταλλα πλασμόνια που συνής ονομάζονται συντονισμοί M μπορούν να διρούν. Αυτοί οι τρόποι πηράζουν έντονα τους συντλστές Fl μ έναν τρόπο που ξαρτάται από την μορφολοία τν σματιδίν.. Αλληλπίδραση ακτινοολίας μ την ύλη Κατά την αλληλπίδραση της Η/Μ ακτινοολίας μ τα ηλκτρόνια τν υλικών τα ηλκτρόνια κινούνται υπό την πίδραση τόσο του ξτρικού πδίου της Η/Μ ακτινοολίας όσο και υπό την πίδραση του τοπικού Η/Μ πδίου που δημιουρίται από τα υπόλοιπα ηλκτρόνια και τα ιόντα του στρού. Εάν ένα υλικό ρίσκται μέσα σ ξτρικό ηλκτρικό πδίο αυτό προκαλί μταολή της κατανομής του φορτίου τν δομικών μονάδν (άτομα-μόρια) του υλικού. Η μταολή της κατανομής του φορτίου έχι ς αποτέλσμα την ανάπτυξη διπολικής ροπής ρ στις δομικές μονάδς και την ανάπτυξη του μακροσκοπικού ηλκτρικού πδίου πόλσης P που ίναι το πδίο ξαιτίας της διπολικής ροπής τν δομικών μονάδν. Συνπώς σ ένα σημίο στο χώρο α προκαλίται ηλκτρικό δυναμικό ξαιτίας τόσο τν λύρν φορτίν ρ όσο και λό τν δέσμιν φορτίν μέσ του πδίου πόλσης. Το πδίο αυτό ονομάζται πδίο ηλκτρικής μτατόπισης και συνδέται μ το ξτρικό πδίο και μ το πδίο πόλσης μ τη σχέση: D 4πP (..)

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση Αν το υλικό ίναι ισότροπό διπολικές ροπές αναπτύσσονται παράλληλα προς το φαρμοζόμνο ηλκτρικό πδίο και συνπώς το πδίο πόλσης ίναι παράλληλο μ το ξτρικό πδίο το οποίο συνδέται μ το πδίο πόλσης μ μια σχέση αναλοίας: P ~ χ (..) Ο συντλστής αναλοίας χ ~ ονομάζται ηλκτρική πιδκτικότητα και ίναι χαρακτηριστικός του υλικού. Σ αυτή την πρίπτση το πδίο ηλκτρικής μτατόπισης ίνται: D 4 π P D 4πχ D ~ (..3) Η διηλκτρική συνάρτηση ~ ίναι ο συντλστής αναλοίας του φαρμοζόμνου ηλκτρικού πδίου και του πδίου ηλκτρικής μτατόπισης και συνδέται μ την ηλκτρική πιδκτικότητα μέσ της σχέσης: ~ 4πχ~ (..4) Η διηλκτρική συνάρτηση ~ ίναι μλιώδους σπουδαιότητας στην ξήηση τν ιδιοτήτν τν υλικών δδομένου ότι οι οπτικές ιδιότητς συσχτίζονται στνά μ ιδιότητς όπς το νριακό χάσμα οι κορυφές απορρόφησης οι ανμαλίς va Hov τα φνόνια κ.λ.π. Ο διηλκτρικός τανυστής ~ καώς και ο τανυστής της μανητικής διαπρατότητας μ ~ οι οποίοι νικά ίναι τανυστές δύτρης τάξης ίναι μακροσκοπικές ποσότητς οι οποίς κφράζουν την απόκριση νός υλικού κατά την αλληλπίδρασή του μ την Η/Μ ακτινοολία. Στα μήκη κύματος που αντιστοιχούν στην οπτική πριοχή του ηλκτρομανητικού φάσματος τα μανητικά δίπολα δν μπορούν να ακολουήσουν τις ταλαντώσις του ηλκτρομανητικού κύματος μ αποτέλσμα να ισχύι μ. Έτσι οι οπτικές ιδιότητς του υλικού μπορούν να πριραφούν πλήρς από τον διηλκτρικό τανυστή ο οποίος μπορί να ραφί ς : (..5) 3

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση και ο οποίος ίναι συμμτρικός σαν αποτέλσμα της διατήρησης του ηλκτροστατικού πδίου δηλαδή όπου j 3 j j. Μέσ αυτής της νδονούς ιδιότητας συμμτρίας μπορί να καοριστί η πίδραση της κρυσταλλικής συμμτρίας στον διηλκτρικό τανυστή ~. Σ κατάλληλο σύστημα συντταμένν ο πίνακας διανιοποιίται. Αν το σύστημα αυτό ίναι το ο τανυστής αυτός μπορί να καοριστί από τρις ανξάρτητς μιαδικές ν ένι ποσότητς τις τρις κύρις τιμές. (..6).3 Θρίς νρού μέσου Μια παλαιότρη προσπάια πριραφής τν οπτικών ιδιοτήτν πιφανιών ίναι η φαρμοή ριών νρού μέσου. Οι ρίς αυτές αρχικά χρησιμοποιήηκαν ια να προσδώσουν σ ένα σύντο υλικό που αποτλίται από το υλικό μήτρα και κλίσματα συκκριμένου σχήματος και υλικού μία νρό διηλκτρική σταρά ff. Σύμφνα μ τη ρία τοπικού πδίου η πολσιμότητα μιας μταλλικής σφαίρας δίνται από τη σχέση : α 3 α 4πα R (.3.) α όπου α η διηλκτρική σταρά του πριάλλοντος μέσου η διηλκτρική σταρά του μτάλλου και R η ακτίνα της σφαίρας. Ο παράοντας (g paa) στον παρονομαστή καορίζται από το σχήμα (σφαιρικό στην συκκριμένη πρίπτση) τν κλισμάτν. Χρησιμοποιώντας τη σχέση Lo-Lo η νρός διηλκτρική σταρά προκύπτι από τον τύπο του Mawll Ga: 4

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση ff α α φ ff α α (.3.) όπου φ ίναι το ποσοστό όκου τν σφαιρών. Ο τύπος αυτός ξηί μ πιτυχία τα χρώματα τν μταλλικών υαλιών και την ξάρτησή τους από το ποσοστό όκου. Η ίδια ρία χρησιμοποιίται και στην πρίπτση μταλλικών νησίδν στην πιφάνια νός υλικού μ πριάλλον μέσο τον αέρα. Αν και η ποιοτική απόκριση ίναι ικανοποιητική δν συμαίνι το ίδιο και μ την ποσοτική. Προσπάια λτίσης αποτλί ο συμμτρικός τύπος του Bugga: φ ff ff ff α ( φ) κ κ ff α (.3.3) Εδώ στη έση της σταράς που ισχύι ια σφαιρικά κλίσματα τοποτήσαμ τη μταλητή κ που ονομάζται παράμτρος σάρσης (g paa) και ξαρτάται από το σχήμα και τον προσανατολισμό τν κλισμάτν. Η σταρά L ονομάζται παράοντας αποπόλσης (polaao fao) και το κ άροισμα τν αντίστοιχν παραόντν ς προς τις τρις διαστάσις ισούται μ τη μονάδα. Ο τύπος αυτός δίνι τον τύπο του Mawll Ga ια μικρά ποσοστά όκου. Οι λόοι ια τους οποίους οι ρίς νρού μέσου δν ίναι πιτυχίς στην απόκριση τν πιφανιών ίναι οι ξής:. Οι αλληλπιδράσις μταξύ τν σφαιρών συνυπολοίζονται μέσ του τοπικού πδίου. Ωστόσο η πιλοή αυτή ίναι σστή μόνο ια τρισδιάστατς κατανομές νησίδν όχι όμς ια δισδιάστατς.. Οι ρίς αυτές ανοούν ντλώς την αλληλπίδραση μ το υπόστρμα. Το ηλκτρικό πδίο λό τν ιδώλν τν σφαιρικών σχηματισμών έχι σαν αποτέλσμα την διαφοροποίηση της πολσιμότητας στην κάτη ς προς την πιφάνια διύυνση σ σχέση μ την παράλληλη. 5

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σκέδαση 3. Δν λαμάνται υπόψη η συκκριμένη μορφή του πριράμματος της πιφανιακής μορφολοίας. Οι Bau και Vlg έχουν διαμορφώσι μια ρία πριραφής τν τραχέν πιφανιών αντικαιστώντας το πιφανιακό στρώμα μ μια λία «οριακή» πιφάνια τοποτημένη σ κάποιο άος του πιφανιακού στρώματος. Στη λία αυτή φανταστική πιφάνια στόσο υπάρχι πυκνότητα ηλκτρικής πόλσης και νδχομένς μανήτισης μ αποτέλσμα να διαφοροποιίται η μλέτη της απόκρισής της στο προσπίπτον φς. Είναι πομένς απαραίτητη η ισαή νέν μών και συκκριμένα πλοναζόντν () ρυμάτν πυκνοτήτν φορτίν και πδίν κάτι που ίνται στο πόμνο κφάλαιο. 6

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg. Δομή ρίας Vlg Bau Το αντικίμνο της μλέτης μας ίναι η σκέδαση του φτός από πιφάνις. Συκκριμένα νδιαφρόμαστ ια τραχίς πιφάνις και πολύ λπτά φιλμ πάν σ κάποιο υπόστρμα που αντιμτπίζονται ς μταατικά στρώματα μταξύ δύο ομονών μέσν. Τέτοια συστήματα ίναι χρικά ανομοιονή. Θα πριοριστούμ σ πιφάνις στις οποίς η ανομοιοένια πριορίζται μόνο στην κατύυνση την κάτη στην πιφάνια. Επιπλέον ρούμ ότι το πάχος του μταατικού στρώματος μταξύ τν ομονών μέσν ίναι μικρό συκρινόμνο μ το μήκος κύματος του φτός. Οι μέσς τιμές τν διηλκτρικών ιδιοτήτν της πιφάνιας κάτα και παράλληλα πριράφονται μ όρους παράλληλης και κάτης πιδκτικότητας. Ανάλοα μ τη ρία ια bul υλικά α ξηήσουμ τη σκέδαση από την πιφάνια μ διακυμάνσις ύρ από την μέση τιμή τους. Η ασική ιδέα της προσέισής τν Bau και Vlg στις αρχές του 7 ήταν να χρησιμοποιήσουν μια απόλυτα πίπδη πιφάνια σαν αρχή και να πριράψουν την πίδραση κά τύπου διακύμανσης μέσ τν ονομαζόμνν πλοναζόντν πδίν. Αυτά τα πλονάζοντα πδία δν ίναι τίποτ άλλο από τη διαφορά μταξύ τν bul πκταμένν πδίν και τν πραματικών πδίν. Οι οριακές συνήκς ια τα bul πδία ή μ άλλα λόια οι ασυνέχις άλματος αυτών τν ποσοτήτν στην διαχριστική πιφάνια που καορίζουν όλους τους συντλστές Fl δίνονται μ όρους τν ολοκληρμένν πλοναζόντν πδίν κάτα στην πιφάνια. Για ένα στρώμα μ διακύμανση ια το οποίο το πάχος ίναι αμλητέο σ σχέση μ το μήκος κύματος του φτός αυτές οι ποσότητς μπορούν να συσχτισούν ισάοντας συντλστές που ονομάζονται πιφανιακές πιδκτικότητς που χαρακτηρίζουν την οπτική απόκριση της πιφάνιας. Αυτές οι σχέσις ίναι ένα ίδος νίκυσης του αναλοικού παράοντα μταξύ μτατόπισης ή παής και ηλκτρικού ή μανητικού πδίου φαρμοζόμνη σ πιφάνις. Επιδή όλοι οι συντλστές Fl μπορούν να κφραστούν σ όρους αυτών τν πιφανιακών πιδκτικοτήτν το ασικό πρόλημα ίναι να υπολοισούν αυτοί οι συντλστές. 7

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg. Πλονάζον ηλκτρικό ρύμα πυκνότητα φορτίν και ηλκτρικό πδίο σ αώιμο στρώμα Θρούμ δύο ομονή μη αώιμα διηλκτρικά μέσα που διαχρίζονται από ένα οριακό διάστρμα (af boua la) αώιμου υλικού. Η αιμότητα σ μταάλλται μόνο κατά την κατύυνση την κάτη ς προς το διάστρμα. Σχήμα.. Σχηματική παράσταση οριακού στρώματος μταξύ δύο μέσν Ένα σταρό ηλκτρικό πδίο φαρμόζται παράλληλα προς το διηλκτρικό στρώμα. όπου ( ) ίναι το διάνυσμα έσης. ( ) ( ) Η προκύπτουσα πυκνότητα ηλκτρικού ρύματος ίναι I (..) ( ) I ( ) ( I I ) ( σ ( ) I σ ( ) I ) (..) Ένα μέος μ πρακτική σημασία ίναι το συνολικό ρύμα ανά μονάδα μήκους στην πιφάνια που ορίζται ς: ( ) I I (..3) Η αντικατάσταση της πυκνότητας ηλκτρικού ρύματος στην προηούμνη σχέση δίνι την ακόλουη έκφραση ια αυτό το συνολικό ρύμα σ όρους του φαρμοζόμνου ηλκτρικού πδίου: 8

21 I ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg ( I I ) ( σ σ ) σ ( ) (..4) όπου το σ ορίζται ς: ( ) σ σ (..5) και ίναι η συνολική αιμότητα του στρώματος. Δηλαδή ίναι οι αιμότητς τν υποστρμάτν τοποτημένς παράλληλα ώστ να αροίζονται. Εάν μτρηί το συνολικό ρύμα στην πιφάνια μπορί να ρί πιραματική πληροφορία ι αυτή τη συνολική αιμότητα. Για την πριραφή αυτού του φαινομένου χριάζονται δύο ιδιότητς. Η μία ίναι η οριακή συνήκη ια το ηλκτρικό πδίο στο στρώμα που δηλώνι ότι το πδίο ίναι συνχές. Η άλλη ιδιότητα ίναι η συνολική αιμότητα σ χρίς να χριάζονται λπτομέριές της. Μπορούμ πίσης να ρήσουμ ένα σύστημα μ τα ομονή μέσα έξ από το οριακό στρώμα να ίναι πίσης αώιμα μ αιμότητς σ και σ. Η αιμότητα σ ( ) τότ τίνι σ αυτές τις τιμές έξ από το στρώμα αντί να τίνι προς το μηδέν. Σ αυτή την πρίπτση α έλαμ να ξέρουμ πόσο πιπλέον ρύμα ρέι σ σύκριση μ αυτό που α αναμνόταν λό τν αιμοτήτν έξ από αυτό. Έτσι ορίζουμ την πλονάζουσα () πυκνότητα ηλκτρικού ρύματος ς: I [ ]( ) ( ) I ( ) I ( ) I ( ) σ ( ) σ ( ) σ ( ) (..6) όπου I και I ίναι οι τα σταρά πδία ηλκτρικής μτατόπισης έξ από το στρώμα. ια > () ίναι η συνάρτηση Hav. ια < Το πλονάζον πδίο πυκνότητας ηλκτρικού ρύματος ίνται μηδέν έξ από το στρώμα. Ορίζουμ ς συνολική πλονάζουσα πυκνότητα ρύματος το I I ( ) (..7) Επίσης ορίζουμ ς συνολική πλονάζουσα αιμότητα του διαστρώματος το 9

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg [ σ ( ) σ ( ) σ ( )] σ (..8) και προκύπτι I ( I I ) ( σ σ ) σ ( ) (..9) ια τη συνολική πλονάζουσα πυκνότητα ρύματος της πιφάνιας. Στη συνέχια αναλύουμ το σύστημα μ φαρμοή νός ανξάρτητου ς προς το χρόνο ηλκτρικού πδίου κάτα στο διάστρμα. Τώρα έχουμ ένα ηλκτρικό ρύμα στην κατύυνση το οποίο ίναι σταρό σαν συνέπια του ονότος ότι η πυκνότητα φορτίν ίναι μηδέν. () I ( ) ( I ) I (..) Έπται ότι όταν το φαρμοζόμνο ηλκτρικό πδίο ίναι κάτο στο διάστρμα δν υπάρχι πλονάζον πδίο ηλκτρικής μτατόπισης. Επιπλέον προκύπτι ότι το ηλκτρικό πδίο δίνται από τη σχέση () ( () ) σ I ( ) (..) Αν πάρουμ τη διηλκτρική σταρά ίση μ τη μονάδα η απόκλιση του πδίου δίνι την πυκνότητα φορτίν: ρ I (..) σ ( ) ρ ( ) v ( ) ( ) ( ) Η πυκνότητα φορτίν ίνται μηδέν έξ από την διπιφανιακή πριοχή. Έτσι η συνολική πλονάζουσα πυκνότητα φορτίν μπορί να ορισί ς: ρ σ I I ( ) σ σ (..3) Η ποσότητα αυτή ίναι ανξάρτητη από την σ ( ) και δν μας νδιαφέρουν λπτομέρις της διαστρμάτσης. Μπορούμ να ορίσουμ ένα πλονάζον ηλκτρικό πδίο ια αυτήν την πρίπτση ς

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I (..4) σ σ σ Το συνολικό πλονάζον ηλκτρικό πδίο δίνται από τη σχέση και τλικά όπου το R ορίζται ς R ( ) ( ) ( ) ( R I ) R I (..5) (..6) σ ( ) σ σ ( ) ( ) (..7) Συνοψίζουμ τα ξής: Όταν το ηλκτρικό πδίο ίναι παράλληλο στο διάστρμα οι αιμότητς τν υποστρμάτν τίνται παράλληλα. Εάν το ηλκτρικό πδίο ίναι κάτο στο διάστρμα στόσο οι αντιστάσις τίνται κάτα σ σιρά. Εάν το ηλκτρικό πδίο ίναι παράλληλο στο στρώμα ρίσκουμ σαστή συνισφορά από το στρώμα αν έχι μάλη αιμότητα συκρινόμνη μ το πριάλλον. Αν το πδίο φαρμόζται σ κάτη κατύυνση ρίσκουμ μάλη συνισφορά αν η αιμότητα του στρώματος ίναι μικρή σ σχέση μ το πριάλλον. Αν μτρήσουμ τη διαφορά δυναμικού από τη μια πλυρά του στρώματος στην άλλη έχουμ Φ _ ( ) Φ ( ) ( ) R I σ σ (..8) Μτρώντας τη διαφορά δυναμικού σαν συνάρτηση του μπορούμ να καορίσουμ την και την R. Αν η αιμότητα ίναι αρκτά μικρή σ σχέση μ τις αιμότητς τν πριαλλόντν μέσν μπορούμ να ανοήσουμ την ξάρτηση από το. Τότ η διαφορά δυναμικού δίνι τη συνολική πλονάζουσα κάτη συνιστώσα του ηλκτρικού πδίου και την αντίσταση του στρώματος. ( ) Φ ( ) R I Φ (..9) Για την πριραφή της ροής του ρύματος διαμέσου του στρώματος χριάζονται δύο ιδιότητς. Η μία ίναι η οριακή συνήκη ια το ηλκτρικό ρύμα στην κάτη κατύυνση που δηλώνι ότι το

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg ρύμα ίναι συνχές. Η άλλη ίναι η συνολική αντίσταση σ ( ). R. Δν χριάζονται λπτομέρις της Η παραπάν ανάλυση ξηί πς ορίζονται οι πλονάζουσς ποσότητς και ξηί την χρησιμότητά τους. Βρέηκ ότι το ηλκτρικό ρύμα έχι αντίστοιχη πλονάζουσα ποσότητα κατά μήκος του διπιφανιακού στρώματος νώ το ηλκτρικό πδίο στην κάτη κατύυνση. Αν αναρτηούμ αν μπορί να υπάρξι πλονάζον ρύμα στην κάτη κατύυνση ή πλονάζον ηλκτρικό πδίο στην οριζόντια. Ένα πλονάζον ηλκτρικό ρύμα σ κάτη κατύυνση α ήταν σημασίας ια την πριραφή της ανακατανομής τν φορτίν στο στρώμα. Στη συνέχια αυτή η διαδικασία α πριραφί από μια συνιστώσα πλονάζουσας πυκνότητας πόλσης. Πλονάζον ηλκτρικό πδίο στην οριζόντια κατύυνση α μπορούσ να κφραστί μ την παραώιση νός πλονάζοντος δυναμικού στην ίδια κατύυνση. Κάτι τέτοιο δν ίναι φυσικά αποδκτό. Έτσι στην πραιτέρ ανάλυση κάποις πλονάζουσς ποσότητς α λαμάνονται μηδνικές άλλοτ πιδή δν ίναι φυσικά αποδκτές ή πιδή ίναι πιο ολικό να πριραφί το αντίστοιχη φυσικό φαινόμνο μ άλλο τρόπο. Μια ακόμη ραλιστική αιτία ίναι ότι η συκκριμένη πλονάζουσα ποσότητα ίναι σημαντική μόνο στην πριραφή όρν υψηλότρης τάξης που ανοούνται στην παρούσα προσέιση..3 Πλονάζον ηλκτρικό πδίο και ηλκτρική μτατόπιση σ διηλκτρικό στρώμα. Θρούμ δύο ομονή μη αώιμα διηλκτρικά μέσα που διαχρίζονται από ένα διάστρμα (af boua la) μη αώιμου διηλκτρικού υλικού. Η διηλκτρική σταρά ( ) μταάλλται μόνο κατά την κατύυνση την κάτη ς προς το διάστρμα και τίνι στις τιμές και έξ από αυτό. Ένα σταρό ηλκτρικό πδίο φαρμόζται παράλληλα προς το διηλκτρικό στρώμα. ( ) ( ) (.3.) Η προκύπτουσα ηλκτρική μτατόπιση ίναι D () D ( ) ( D D ) ( ( ) ( ) ) (.3.)

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Ορίζουμ το πλονάζον () πδίο ηλκτρικής μτατόπισης ς D ( ) D ( ) D ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) (.3.3) όπου D και D ίναι οι τα σταρά πδία ηλκτρικής μτατόπισης έξ από το στρώμα. ια > () ίναι η συνάρτηση Hav. ια < Το πλονάζον πδίο ηλκτρικής μτατόπισης ίνται μηδέν έξ από το στρώμα. Ορίζουμ ς συνολικό πλονάζον πδίο ηλκτρικής μτατόπισης το D D ( ) (.3.4) Επίσης ορίζουμ ς συνολική πλονάζουσα διηλκτρική σταρά του διαστρώματος [ ( ) ( ) ( )] (.3.5) και προκύπτι D ( D D ) ( ) ( ) (.3.6) Στη συνέχια αναλύουμ το σύστημα μ φαρμοή νός σταρού ηλκτρικού πδίου κάτα στο διάστρμα. Τώρα έχουμ ένα πδίο ηλκτρικής μτατόπισης στην κατύυνση το οποίο ίναι σταρό σαν συνέπια του ονότος ότι η πυκνότητα φορτίν ίναι μηδέν. ( ) D ( ) ( ) (.3.7) D D Έπται ότι όταν το φαρμοζόμνο ηλκτρικό πδίο ίναι κάτο στο διάστρμα δν υπάρχι πλονάζον πδίο ηλκτρικής μτατόπισης. Επιπλέον προκύπτι ότι το ηλκτρικό πδίο δίνται από τη σχέση 3

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg () ( () ) D ( ) (.3.8) Μπορούμ να ορίσουμ ένα πλονάζον ηλκτρικό πδίο ια αυτήν την πρίπτση ς ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D (.3.9) Το συνολικό πλονάζον ηλκτρικό πδίο δίνται από τη σχέση ( ) ( D ) D (.3.) όπου το ορίζται ς ( ) ( ) ( ) (.3.) Αυτός ο συντλστής ισούται μ μίον το αντίστροφο της διηλκτρικής σταράς. Συνοψίζουμ τα ξής: Όταν το ηλκτρικό πδίο ίναι παράλληλο στο διάστρμα οι διηλκτρικές σταρές τν υποστρμάτν τίνται παράλληλα. Εάν το ηλκτρικό πδίο ίναι κάτο στο διάστρμα στόσο οι διηλκτρικές τίνται κάτα. Η οπτική απόκριση του συστήματος καορίζται σ μαλύτρο αμό από το ή το μαλύτρη ή μικρότρη από αυτές τν πριαλλόντν μέσν. αν η διηλκτρική του διαστρώματος ίναι πολύ 4

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg.4 Πλονάζοντα ρύματα πυκνότητα φορτίν και πδία και οι οριακές συνήκς Η ανάλυσή μας ξκινά μ τις ξισώσις Mawll (.g..) ( ) B( ) o ( ) ρ( ) v D ( ) D( ) I ( ) o H ( ) v B (.4.) Το υπό ξέταση σύστημα διαχρίζται σ δύο πριοχές μ πιλοή μιας απότομης διαχριστικής πιφάνιας. Η έση της πιφάνιας αυτής πρέπι να πιλί μέσα στο μταατικό στρώμα μταξύ τν δύο bul φάσν. Στη νικότρη πρίπτση η πιφάνια αυτή μπορί να κινίται και να έχι διακυμάνσις που ξαρτώνται από το χρόνο. Ωστόσο πριοριζόμαστ ια τη μλέτη μας σ πίπδη ακίνητη πιφάνια. Το πίπδο - πιλέται να ταυτίζται μ τη διαχριστική πιφάνια. Μακριά από την πιφάνια η συμπριφορά της λύσης τν ξισώσν Mawll κυριαρχίται από τους καταστατικούς bul συντλστές. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους συντλστές μπορούμ να πκτίνουμ τη λύση πίσ στην πιφάνια. Η διαφορά μταξύ τν πραματικών πδίν και τν πκταμένν (apola) ίναι τα χροξαρτώμνα πλονάζοντα () πδία. Τα πκταμένα πδία παληύουν τις ξισώσις Mawll ές και πί της διαχριστικής πιφάνιας αλλά μ καταστατικές ξισώσις που πριέχουν τους χρικά σταρούς συντλστές bul. Έτσι το χροξαρτώμνο έκτακτο ηλκτρικό πδίο ορίζται ς: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.4.) όπου οι δίκτς και υποδικνύουν τα πκταμένα πδία στις πριοχές > και < αντίστοιχα. Επιπλέον ια > () ίναι η συνάρτηση Hav. ια < 5

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζονται χροξαρτώμνα έκτακτα πδία ηλκτρικής μτατόπισης μανητικό και μανητικής παής όπς και ρύματος και πυκνότητας φορτίν. Αντικαιστώντας τα πκταμένα πδία στις ξισώσις Mawll και χρησιμοποιώντας τις κλασσικές ξισώσις ια τα πραματικά πδία προκύπτι : oh o ( ) δ ( ) B ( ) ( ) ( D ( ) D ( ) δ ( ) ρ ( ) ( ) δ ( ) D ( ) I ( ) ( ) ( B ( ) B ( ) δ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) vd όπου ˆ ( ) ( ) ˆ H ( ) H ( ) vb (.4.3) ίναι η κάτη στην διαχριστική πιφάνια και ο δίκτης υποδικνύι την προολή του αντίστοιχου διανύσματος στο πίπδο -. Οι συνισφορές τν όρν που πριέχουν τη συνάρτηση δ προέρχονται από την παράο της συνάρτησης Hav ς προς. Μπορούμ να συμπράνουμ ότι αυτοί οι όροι συσχτίζονται μ τις συνοριακές συνήκς αν αναλοιστούμ τι ονομάζουμ διπιφάνια Fl ια την οποία η διαχριστική πιφάνια ίναι μια απότομη πιφάνια όπου οι καταστατικοί συντλστές αλλάζουν απότομα τιμή από αυτήν του νός bul υλικού σ αυτήν του άλλου. Σ αυτήν την πρίπτση τα πραματικά και τα πκταμένα πδία ίναι τα ίδια ές και την διαχριστική πιφάνια. Σαν συνέπια το πλονάζον πδίο ίναι μηδέν. Επομένς πρέπι και η συνισφορά τν όρν που πριέχουν τη συνάρτηση δ να ίναι μηδέν έτσι ώστ: D H B ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) H ( ) ( ) B ( ) (.4.4) Αυτές ίναι και οι συνήις οριακές συνήκς ια μια πιφάνια Fl. Για να διρυνήσουμ πς αυτά τα πλονάζοντα πδία διαφοροποιούν τις οριακές συνήκς πραματοποιούμ μτασχηματισμό Fou ς προς τη συντταμένη. Έτσι ια το πλονάζον ηλκτρικό πδίο π.χ. ισχύι: ( ) p( ) ( ) (.4.5) και αντίστοιχα ια τα άλλα πλονάζοντα. Αν μτασχηματίσουμ τις ξισώσις (.4.4) 6

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg προκύπτι : ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) [ ( ) ( ) ] B ( ) D ( ) D ( ) [ D ( ) D ( ) ] ρ ( ) H ( ) ˆ H ( ) [ H ( ) H ( ) ] D ( ) I ( ) ( ) B ( ) [ B ( ) B ( ) ] B (.4.6) όπου Αυτές οι ξισώσις ισχύουν ια κά τιμή του.για να προκύψουν ξισώσις ια τις ασυνέχις άλματος ια τα πκταμένα bul πδία στην απλούστρή τους μορφή έτουμ ίσον μηδέν. 7

30 D ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg ˆ [ ( ) ( ) ] ( ) B ( ) ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) H ˆ [ H ( ) H ( ) ] ( ) D ( ) I ( ) (.4.7) B ( ) B ( ) B ( ) Οι οριακές συνήκς προκύπτουν παίρνοντας τις παράλληλς συνιστώσς από την πρώτη και την τρίτη ξίσση μαζί μ τη δύτρη και τέταρτη: ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) D ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) H ( ) H ( ) H ( ) D ( ) I ( ) H ( ) H ( ) H ( ) D ( ) I ( ) B ( ) B ( ) B ( ) (.4.8) Από τις οριακές συνήκς προκύπτι ότι οι ασυνέχις άλματος στα πκταμένα πδία δίνονται ς προς τα συνολικά πλονάζοντα πδία. Η τιμή νός πδίου ια το δίνται από το ολοκλήρμα του πλονάζοντος πδίου ς προς και πομένς δίνι το συνολικό πλονάζον 8

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg πδίο. Οι ασυνέχις άλματος δν πηράζονται από τα D B H I και έτσι αυτά μπορούν να ανοηούν Τα συνολικά πλονάζοντα πδία ράφονται στην ακόλουη μορφή: D H B I ( ) D ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) B ( ) ( ) H ( ) H ( ) ρ ( ) Iˆ ( ) I ( ) ( ) ρ ( ) ρ ( ) (.4.9) Χρησιμοποιώντας τις ροπές κατώτρης τάξης τν πλοναζόντν πδίν οι οριακές συνήκς διατυπώνονται στην ακόλουη μορφή: H H D ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) ( ) H ( ) H ( ) D ( ) I ( ) ( ) H ( ) H ( ) D ( ) I ( ) B ( ) B ( ) B ( ) (.4.) όπου ο άν δίκτης από τη λέξη ufa δηλώνι το συνολικό έκτακτο πδίο. 9

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg.5 Οριακές συνήκς ξφρασμένς σ όρους διπιφανιακής πυκνότητας πόλσης και μανήτισης. Ανάλοα μ την πριραφή bul φάσν ίναι ολικό να ορίσουμ πυκνότητς πόλσης και μανήτισης ια την διπιφάνια. Ωστόσο ο ορισμός τους δν ίναι υύς όπς στην κλασσική πρίπτση όπου χρησιμοποιούμ τη διαφορά μταξύ τν διπιφανιακών ηλκτρικών (ή μανητικών πδίν) μτατόπισης και τν διπιφανιακών ηλκτρικών (ή μανητικών πδίν). Ο μισός αριμός τν πδίν αυτών δν πηράζι τις οριακές συνήκς. Έτσι ο σστός ορισμός ίναι : P M ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) B ( ) H ( ) (.5.) P M ( ) ( D ( ) ( ) ( ) ( B ( ) H ( ) (.5.) Οι οριακές συνήκς ια τις ασυνέχις άλματος μπορούν τώρα να ραφούν σ όρους τν διπιφανιακών πυκνοτήτν πόλσης και μανήτισης: H H ( ) ( ) P ( ) M ( ) ( ) ( ) P ( ) M ( ) D ( ) D ( ) P ( ) ρ ( ) ( ) H ( ) M ( ) P ( ) I ( ) ( ) H ( ) M ( ) P ( ) I ( ) B ( ) B ( ) M ( ) (.5.3)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Για την μαηματική ανάλυση ίναι ολικό να ισαάουμ τα μηδνικά πδία: ( ) D ( ) H ( ) B ( ) I ( ) (.5.4) Ένα από τα προφανή πλονκτήματα της ισαής αυτών τν ορισμών ίναι ότι χρησιμοποιώντας και τον ορισμό της διπιφανιακής πυκνότητας πόλσης και μανήτισης προκύπτι ότι : P M ( ) D ( ) ( ) ( ) B ( ) H ( ) (.5.5) Η ισχύς αυτών τν σχέσν απλά διυκολύνι την μαηματική ανάλυση. Έτσι νικά D H B I ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) H ( ) ( ) B ( ) ( ) I ( ) (.5.6) Η αριστρή πλυρά τν σχέσν ίναι μηδέν λό ορισμού νώ η δξιά μπορί να μην ίναι μηδέν.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg.6 Ανώμαλα σημία στα πδία ρύματα και πυκνότητς φορτίν Σχήμα.. Σχηματική παράσταση οριακού στρώματος μταξύ δύο μέσν Θρούμ πάλι ένα σύστημα αποτλούμνο από δύο διαφορτικά ομονή μέσα διαχριζόμνα από ένα λπτό οριακό στρώμα. Υποέτουμ ότι μπορούμ να πιλέξουμ μια διαχριστική πιφάνια μέσα σ αυτό το οριακό στρώμα η οποία να ίναι πίπδη και μη κινούμνη. Αυτή η συνήκη δν σημαίνι οπσδήποτ ότι ολόκληρο το οριακό στρώμα ίναι ακίνητο. Οι ιδιότητές του μπορούν να ξαρτώνται από το χρόνο όσο αυτό παραμένι κοντά στην ακίνητη διαχριστική πιφάνια π.χ. στην πρίπτση νός ρυστού. Θα μπορούσ πίσης κάποιος να πκτίνι το φορμαλισμό και σ διπιφάνις που μπορούν να ίναι και καμπύλς και κινούμνς. Η τλυταία λάχιστα πρακτικής σημασίας νίκυση καώς και η πρίπτση του ρυστού δν α μας απασχολήσι σ αυτή την μλέτη. Σαν διαχριστική πιφάνια πιλέται το πίπδο. Η ακριής μορφή της πυκνότητας φορτίου και της πυκνότητας ηλκτρικού ρύματος ς συνάρτηση της έσης και του χρόνου συμπριλαμανομένν και τν συνισφορών στα ανώμαλα σημία ίναι: ( ) ρ ( ) ( ) ρ ( ) δ ( ) ρ ( ) ( ) (.6.) ρ I ( ) I ( ) ( ) I ( ) δ ( ) I ( ) ( ) (.6.)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Ο δίκτης - δηλώνι ότι η αντίστοιχη πυκνότητα αναφέρται στο μέσο στο ημιδιάστημα < νώ ο δίκτης στο μέσο στο > δ ίναι η συνάρτηση του Da και. Επιπλέον ( ) ια > () ίναι η συνάρτηση Hav. ια < Τέλος ρ ( ) και I ( ) ίναι η πλονάζουσα πυκνότητα φορτίου και ηλκτρικού ρύματος αντίστοιχα. Το ρ ίναι πυκνότητα ανά μονάδα πιφάνιας νώ το I ίναι πυκνότητα ρύματος ανά μονάδα μήκους. Σ αντίση τα ± ρ ίναι πυκνότητς φορτίου ανά μονάδα όκου και τα ± I πυκνότητς ρύματος ανά μονάδα πιφάνιας. Οι πλονάζουσς ποσότητς ξαρτώνται μόνο από τη έση ( ) πάν στην διαχριστική πιφάνια. Η πλονάζουσα πυκνότητα ηλκτρικού ρύματος μπορί να πιλί έτσι ώστ ( ) I (.6.3) χρίς να χαί η νικότητα ια την φύση τν οριακών συνηκών ια τα πδία. Ανάλοα ρήκαμ ότι και τα ηλκτρομανητικά πδία έχουν πλονάζουσς ποσότητς. Αυτές πριράφονται και δώ σαν συνισφορά στα ανώμαλα σημία της πιφάνιας. Έτσι προκύπτι ια το ηλκτρικό πδο το μανητικό H την ηλκτρική μτατόπιση H και την μανητική παή B H D B ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( ) H ( ) ( ) H ( ) δ ( ) H ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) D ( ) δ ( ) D ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) B ( ) δ ( ) B ( ) ( ) Οι ακόλους συνισφορές στα ανώμαλα πδία πιλέονται ίσς μ το μηδέν. (.6.4) H ( ) ( ( ) ( ) D ( ) ( ) ( H ( ) H ( ) B ( ) (.6.5) 3

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg.7 Οι ξισώσις του Mawll ια ασυνχή πδία και οι οριακές συνήκς Η ασική υπόση στην οποία ασίζται η ανάλυσή μας ίναι ότι οι ξισώσις του Mawll o ( ) B( ) vd ( ) ρ( ) oh ( ) D( ) I ( ) (.7.) vb ( ) ισχύουν ια την ασυνχή μορφή τν πδίν όπς αυτά δόηκαν στην προηούμνη παράραφο. ίναι η ταχύτητα του φτός. Μακριά από την πιφάνια αυτές οι ξισώσις πριορίζονται στην συνήη τους μορφή. Στην διαχριστική πιφάνια οι ξισώσις του Mawll δίνουν οριακές συνήκς ια την ασυμπττική τιμή τν bul πδίν. Ας ρήσουμ τη δύτρη ξίσση του Mawll v D( ) ρ( ). Αντικαιστώντας την μορφή μ τα ασυνχή πδία από τις (..5.) και (..5.4) σ αυτήν προκύπτι: v D ρ [ D ( ) ( ) D ( ) δ ( ) D ( ) ( ) ] [ vd ( ) ] ( ) [ vd ( ) ] δ ( ) [ vd ( ) ] ( ) ( ) ga ( ) D ( ) gaδ ( ) D ( ) ga ( ) ( ) ( ) ρ ( ) δ ( ) ρ ( ) ( ) (.7.) Η τλία δηλώνι στρικό ινόμνο δύο διανυσμάτν δηλαδή a b a b a b a b. Για να απλοποιήσουμ την παραπάν έκφραση χρησιμοποιούμ τις όπου ˆ ( ) ga ga gaδ ( ) ˆ δ ( ) ( ) ˆ δ ( ) δ ( ) ( ) ˆ ίναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάτα στην διαχριστική πιφάνια. Ορίζουμ πίσης τον τρισδιάστατο και τον δισδιάστατο τλστή (.7.3) 4

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg (.7.4) (.7.5) Αντικαιστώντας τις (..6.3) στην (..6.) και χρησιμοποιώντας το ονός ότι η κάτη συνιστώσα της ηλκτρικής μτατόπισης ίναι μηδέν προκύπτι : [ vd ( ) ρ ( ) ( ) ] [ D ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) ] δ ( ) [ vd ( ) ρ ( ) ( ) ] (.7.6) Ο όρος που ίναι ανάλοος μ τη συνάρτηση δ πριέχι τις τιμές της κάτης συνιστώσας ηλκτρικής μτατόπισης τν bul πδίν πκταμένς στην διαχριστική πιφάνια. Είναι ασικό ότι δν υπάρχι συνισφορά ανάλοη μ την κάτη παράο της συνάρτησης δ. Αυτό ίναι αποτέλσμα του ονότος ότι η ασυνχής συνισφορά στο πδίο ηλκτρικής μτατόπισης πιλέχηκ πάν στην πιφάνια. Η παραπάν ανάλυση δίχνι ότι ίναι δυνατόν να πκτίνουμ την ισχύ της δύτρης ξίσσης του Mawll σ ασυνχή πδία στην διαχριστική πιφάνια πδία μόνο αν η D ίναι μηδέν. Από την παραπάν ανάλυση προκύπτι ότι η ηλκτρική μτατόπιση στις φάσις bul ικανοποιί τη δύτρη ξίσση του Mawll στη συνήη μορφή της. vd vd ( ) ρ ( ) ια < ( ) ρ ( ) ια > (.7.7) Επιπλέον προκύπτι ια την κάτη συνιστώσα της ηλκτρικής μτατόπισης στην διαχριστική πιφάνια η ακόλουη συνοριακή συνήκη: 5

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Μ ντλώς ανάλοο τρόπο μπορί να παληυί ότι και οι υπόλοιπς ξισώσις του Mawll ισχύουν στην συνήη μορφή τους στις bul φάσις. Σαν συνοριακές συνήκς στη διαχριστική πιφάνια προκύπτουν οι : H ( ) ( ) ˆ B ( ) ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) D ( ) ( ) H ( ) ˆ I ( ) ˆ D ( ) H ( ) B ( ) B ( ) B ( ) (.7.8) Αυτές οι ξισώσις ίναι το σύνολο τν οριακών συνηκών που ήδη υπολοίσηκαν στην παράραφο.4. Η παραπάν ανάλυση δν αποδικνύι απλώς ότι οι ξισώσις του Mawll μπορούν να πκταούν ια να ισχύουν ια ασυνχή πδία αλλά και ότι οι οριακές συνήκς προκύπτουν μ απλό τρόπο από αυτές. Αν κφράσουμ τις ασυνέχις ς προς τις διπιφανιακές πυκνότητς πόλσης και μανήτισης προκύπτουν οι ξισώσις: H ( ) ( ) ˆ M ( ) P ( ) D ( ) D ( ) ρ ( ) P ( ) ( ) H ( ) ˆ I ( ) ˆ P ( ) M ( ) B ( ) B ( ) M ( ) (.7.9) Στην πρίπτση που όλς οι διπιφανιακές πυκνότητς ίναι μηδέν οι οριακές αυτές συνήκς πριορίζονται στις συνήις. Σ αυτή την πρίπτση η διπιφάνια ίναι απλώς μια απότομη μτάαση από μια bul φάση σ μια άλλη. Πρόκιται απλώς ια ένα μαηματικό όριο και δν έχι ιδιαίτρα φυσικά χαρακτηριστικά. 6

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg.8 Διατήρηση φορτίν Εάν πάρουμ την χρονική παράο της δύτρης ξίσσης του Mawll και συνδυάσουμ το αποτέλσμα μ την τρίτη ξίσση του Mawll λαμάνουμ ρ ( ) v I ( ) (.8.) Αυτή ίναι η συνήης διαφορική μορφή του νόμου της διατήρησης του φορτίου. Ωστόσο τόσο η πυκνότητα φορτίου όσο και η πυκνότητα ηλκτρικού ρύματος μπορούν να έχουν μια μοναδιαία συνισφορά στην διαχριστική πιφάνια που οφίλται στην μφάνιση πλοναζόντν ποσοτήτν τν μών αυτών. Αντικαιστώντας την ---μορφή αυτών τν πυκνοτήτν από τις (.6.) και (.6.) στην παραπάν ξίσση προκύπτουν μ ανάλοο τρόπο όπς στην προηούμνη παράραφο οι ακόλους κφράσις ια τις bul φάσις που έχουν την συνήη μορφή. ± ± ( ) v I ( ) ια < ± ρ (.8.) Στην διαχριστική πιφάνια λαμάνουμ μ παρόμοιο τρόπο ( ) I ( ) I ( ) I ( ) ρ (.8.3) Αυτή η ξίσση δίχνι όχι μόνο ότι η πλονάζουσα πυκνότητα φορτίου αλλάζι λό πιανής δισδιάστατης κλίσης του πλονάζοντος ρύματος στην πιφάνια αλλά πίσης λό ηλκτρικών ρυμάτν που ρέουν από τις bul φάσις στο διπιφανιακό στρώμα και το αντίτο. Μ την μορφή (.8.3) ίναι μφανές ότι η ξίσση μπορί να ξηηί ς ξίσση ισορροπίας ια την πλονάζουσα πυκνότητα φορτίου. Εναλλακτικά μπορούμ να παναδιατυπώσουμ την ξίσση ς I ( ) I ( ) ( ) I ( ) ρ (.8.4) άν έλουμ να τονίσουμ το ονός ότι αυτή η ξίσση μπορί ναι ίναι και οριακή συνήκη ια την κάτη συνιστώσα τν bul ρυμάτν στις δύο φάσις. Η πλονάζουσα πυκνότητα ρύματος δν έχι συνιστώσα στην κάτη προς την πιφάνια διύυνση. Για να απλοποιήσουμ τις κφράσις χρησιμοποιούμ την ακόλουη συντόμυση ια τις ασυνέχις άλματος στην διαχριστική πιφάνια. ( ) a ( ) a ( ) a (.8.5) Χρησιμοποιώντας αυτή την συντόμυση η (.8.3) μπορί να ραφτί στην μορφή 7

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Η ασυνέχια άλματος του ηλκτρικού ρύματος ( ) I ( ) I ( ) ρ (.8.6) I στην διαχριστική πιφάνια δίνι έτσι την κααρή ροή φορτίου από το διαχριστικό στρώμα. Εάν το I ίναι αρνητικό σημαίνι ότι υπάρχι κααρή ροή από τις bul φάσις προς το διαχριστικό στρώμα. Η ξίσση διατήρησης φορτίου α χρησιμοποιηί ια τον ορισμό της νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης στην πόμνη παράραφο..9 Πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης Σ χρονοξαρτώμνα προλήματα ίναι ολικό να ορίσουμ ένα πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης. Πρόκιται ια έναν κατάλληλα πιλμένο συνδυασμό του συνήους πδίου της ηλκτρικής μτατόπισης και της πυκνότητας ηλκτρικού ρύματος. Η τακτική αυτή παρουσιάζι πιπλέον πλονκτήματα κατά την πριραφή πιφανιών. Ο λόος ίναι ότι στις ξισώσις που δόηκαν στην προηούμνη παράραφο ίναι απαραίτητο να πάρουμ τις κάτς συνιστώσς του πλονάζοντος πδίου ηλκτρικής μτατόπισης και της πλονάζουσας πυκνότητας ηλκτρικού ρύματος ίσς μ μηδέν. Εάν χρησιμοποιήσουμ το πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης αρκί να πάρουμ την κάτη συνιστώσα του πλονάζοντος μέους αυτού του πδίου ίση μ το μηδέν κάτι που ίναι λιότρο πριοριστικό. Ένα σημαντικό παράδιμα συστήματος όπου αυτή η διαφορά ίναι ιδοποιός ίναι το διπλό ηλκτρικό στρώμα σ έναν ηλκτρολύτη. Εδώ η κάτη συνιστώσα του πλονάζοντος πδίου της νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης ίναι ίσο μ μηδέν νώ τόσο η κάτη συνιστώσα του πλονάζοντος πδίου ηλκτρικής μτατόπισης όσο και του πλονάζοντος ηλκτρικού ρύματος μπορούν να ίναι διαφορτικά του μηδνός. Για να ορίσουμ το πδίο της νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης ισάουμ τον μτασχηματισμό Fou τν διαφόρν ποσοτήτν ς προς τον χρόνο. Για το πδίο ηλκτρικής μτατόπισης π.χ. ο μτασχηματισμός Fou ορίζται ς D ( ) D( ) Ανάλοοι ίναι οι ορισμοί ια τις άλλς ποσότητς. (.9.) 8

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Μτασχηματισμός Fou τν ξισώσν του Mawll ια τα ξαρτώμνα από έση και συχνότητα πδία δίνι: o ( ) B( ) vd ( ) ρ( ) oh ( ) I ( ) D( ) (.9.) vb ( ) Το πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης ορίζται τώρα ς D ( ) D( ) I ( ) (.9.3) Μ όρους νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης οι ξισώσις του Mawll παναδιατυπώνονται ς o oh ( ) B( ) ( ) vd ( ) D ( ) vb ( ) (.9.4) Η δύτρη ξίσση του Mawll προέκυψ σ αυτή τη μορφή χρησιμοποιώντας τη διατήρηση του φορτίου που ξφρασμένη ς προς έση και συχνότητα δίνται από την ( ) v I ( ) ρ (.9.5) Στο ξής το ηλκτρικό ρύμα α ρίται ότι συμπριλαμάνται στο πδίο ηλκτρικής μτατόπισης μ αυτόν τον τρόπο. Οι πριορισμοί ια την ασυνχή συμπριφορά τν πδίν τώρα ίνται: 9

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg D ( ) ( ) D ( ) I ( ) H ( ) B ( ) Ο ορισμός τν πυκνοτήτν διπιφανιακής πόλσης και μανήτισης τώρα ίνονται (.9.6) P M ( ) ( D ( ) ( ) ( ) ( B ( ) H ( ) (.9.7) Χρησιμοποιώντας την (..8.6) προκύπτι πίσης P M ( ) D ( ) ( ) ( ) B ( ) H ( ) (.9.8) Ωστόσο πισημαίνται ότι η (.8.7) ίναι ο πραματικός ορισμός της πυκνότητας διπιφανιακής πόλσης και μανήτισης. Μπορούμ και δώ να αντικαταστήσουμ την ασυνχή μορφή τν πδίν στις ξισώσις του Mawll (..8.4) Τότ προκύπτι ια τα πδία στης bul πριοχές o ± ± ( ) B ( ) vd ± ( ) oh ± ± ( ) D ( ) (.9.9) vb ± ( ) ια < ± 3

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Στη διαχριστική πιφάνια λαμάνουμ μ αυτό τον τρόπο τις ακόλους οριακές συνήκς ια τα πδία H ( ) ( ) ( ) ˆ M ( ) P ( ) D ( ) D ( ) D ( ) P ( ) ( ) H ( ) H ( ) ˆ P ( ) M ( ) B ( ) B ( ) B ( ) M ( ) (.9.) Στις bul πριοχές οι καταστατικές ξισώσις ια το πδίο νικυμένης ηλκτρικής μτατόπισης και την μανητική παή ίναι D ± ± ± ( ) ( ) ( ) B ± ± ± ( ) μ ( ) H ( ) (.9.) Οι ± D και ± μπριέχουν συνισφορές λό πιανών αιμοτήτν τν bul μέσν ακόμη και χρίς να δηλώνται αυτό ρητά μ τον τόνο. Οι συντλστές ± ( ) και μ ± ( ) η διηλκτρική και μανητική διαπρατότητα αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας αυτές τις καταστατικές ξισώσις μπορί να προκύψι η ξίσση κύματος ια το ηλκτρικό πδίο από την στροφή της πρώτης ξίσσης του Mawll. ίναι ± ± ± ± ± Δ Ε ( ) ( ) ( ) μ ( ) ( ) (.9.) όπου Δ ίναι ο τλστής του Lapla. Και τα υπόλοιπα bul πδία ικανοποιούν την ίδια ξίσση κύματος. 3

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg. Καταστατικές ξισώσις ια ισότροπς διπιφάνις χρίς χρική διασπορά. Για να χρησιμοποιηούν πρακτικά οι οριακές συνήκς ια τα πδία απαιτούνται καταστατικές ξισώσις οι οποίς α κφράζουν την διπιφανιακή πυκνότητα πόλσης και μανήτισης ς προς τα πκταμένα (apola) πδία τν ιτνιαζόντν φάσν όκου (bul). Σημιώνται ότι το ηλκτρικό και το μανητικό πδίο έχουν διαφορτική συμμτρία ια χρονική αναστροφή ( val). Αυτό συνπάται ότι απουσία χρικής διασποράς η πόλση μπορί να πιλί μ τέτοιο τρόπο ώστ να συνδέται μόνο μ το ηλκτρικό πδίο. Παρομοίς η μανήτιση μπορί να πιλί έτσι ώστ να συνδέται μόνο μ το μανητικό πδίο. Ας ρήσουμ αρχικά την πόλση. Υπάρχουν τρις συνιστώσς ηλκτρικού πδίου ια κά πλυρά της πιφάνιας και α μπορούσαμ να κφράσουμ την πλονάζουσα () πόλση ς προς τα έξι αυτά πδία. Ακόμη α μπορούσαμ να χρησιμοποιήσουμ τα πδία της bul ηλκτρικής μτατόπισης αντί ια τα ηλκτρικά πδία. Εφόσον συνδέονται μ τα ηλκτρικά πδία μέσ τν καταστατικών ξισώσν δν συνιστούν ανξάρτητη πιλοή. Μπορί να πισί κανίς ότι χριάζονται μόνο τρία ανξάρτητα πδία. Ο λόος ίναι ότι το άλμα ασυνέχιας (jub) στις παράλληλς συνιστώσς τν bul ηλκτρικών πδίν και της κάτης συνιστώσας τν bul πδίν της ηλκτρικής μτατόπισης μπορούν και οι ίδις να κφραστούν χρησιμοποιώντας τις οριακές συνήκς μ συνδυασμούς τν πλοναζόντν () πδίν. Έτσι μπορούμ πάντα να κφράσουμ την πλονάζουσα () πόλση ς προς τον μέσο όρο τν παράλληλν συνιστσών τν bul ηλκτρικών πδίν και τν κάτν συνιστσών τν bul πδίν της ηλκτρικής μτατόπισης. Έτσι η νική καταστατική ξίσση απουσία χρικής διασποράς δίνται από τη σχέση : P ( ) ξ ( ) ( ( ) D ( ) (..) Ο δίκτης συμολίζι τον μέσο όρο τν πκταμένν (apola) τιμών τν αντίστοιχν bul πδίν στην διαχριστική πιφάνια. Για ένα οποιοδήποτ πδίο α ο μέσος όρος ορίζται ς: ( ) [ a ( ) a ( )] a (..) Ανάλοα ισχύι ια το μανητικό πδίο: M ( ) ξ ( ) ( H ( ) B ( ) (..3) 3

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Στις παραπάν ξισώσις δν έιν καμία υπόση ς προς τη φύση της πιφάνιας. Οι καταστατικοί συντλστές ια την διπιφάνια α ίναι λό της συμμτρίας πηής παρατηρητή συμμτρικοί πίνακς. Οι καταστατικές ξισώσις α χρησιμοποιηούν στις οριακές συνήκς ια τα πδία στην πιφάνια. Για μια διπιφάνια μταξύ υροτροπικών μέσν χριάζονται νικά μη διαώνια στοιχία στους παραπάν διπιφανιακούς καταστατικούς πίνακς ια τη σστή πριραφή τν πιανών οριακών συνηκών. Η ισοτροπία ίναι μια δισδιάστατη αναλοίτη της διπιφάνιας ς προς μτατόπιση στροφή και κατοπτρισμό στο πίπδο -. Η ισοτροπία αυτή συνπάται ότι δισδιάστατα διανύσματα όπς D και B δν συσχτίζονται μ δισδιάστατα αριμητικά μέη όπς Σ αυτήν την πρίπτση οι καταστατικοί πίνακς έχουν την ξής μορφή: D και B. ξ ( ) ( )( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ) ˆ ˆ ξ Αντικατάσταση στις καταστατικές ξισώσις δίνι: ( ) ( )( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ) ˆ ˆ (..4) ια την πόλση και P P M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) H ( ) (..5) ια την μανήτιση. M Οι καταστατικοί συντλστές ( ) ( ) B ( ) (..6) και έχουν τις διαστάσις μήκους. Θα μπορούσαν να κφραστούν ς προς το οπτικό άος όπς μτράται π.χ. από την λλιψομτρία. Το οπτικό άος μπορί πίσης να συσχτισί μ το μέος και την απόσταση τν νησίδν νός φιλμ ή μ το μέσο ττράνο του ύψους ια μια τραχία πιφάνια. 33

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Στην απλή πρίπτση νός λπτού παράλληλου στρώματος οι πιφανιακοί συντλστές έχουν υπολοιστί και δίνονται από τις σχέσις: [ ( ) ( ) ( )] (..7) ( ) ( ) ( ) (..8) Σχήμα.3. Αντικατάσταση οριακού στρώματος μ φανταστική διπιφάνια Αν το πλάτος του στρώματος ίναι και η διηλκτρική του f ισχύι ( ) ια ια > < και μ την ολοκλήρση προκύπτι ότι : ( ) f (..9) f (..) 34

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg. Καταστατικές ξισώσις ια ισότροπς διπιφάνις μ χρική διασπορά. Εάν μια πιφάνια έχι χρική διασπορά η πόλση και η μανήτιση δν συσχτίζονται τοπικά μ τα πδία. Ο λόος ια την μη τοπική φύση της απόκρισης έχι την πηή της στην τρονή φύση της διπιφάνιας. Η πόλση και η μανήτιση ίναι κατανμημένς σ ένα λπτό στρώμα που μπορί να πριέχι μμονμένς νησίδς ή να ίναι τραχύ. Στην πριραφή κατά την οποία χρησιμοποιίται μια ισοδύναμη πυκνότητα πόλσης και μανήτισης σ μια αυστηρά καορισμένη πιφάνια η κατανομή της πόλσης και της μανήτισης μταφέρται στην πιφάνια αυτή. Οι μταφρίσς στόσο πυκνότητς πόλσης και μανήτισης ίναι συνδδμένς μ το πδίο στην έση προέλυσης. Αυτό οδηί στην μη τοπική ξάρτηση από το πδίο. Εφόσον η μταφορά ίνται σ μια απόσταση της τάξης του πάχους του στρώματος και δδομένου ότι τα bul πδία μταάλλονται κατά μήκος μιας κάτης απόστασης της τάξης του μήκους κύματος η αμίδα της μη τοπικής κατανομής ίναι της σχτικής τάξης του πάχους διαιρμένου μ το μήκος κύματος. Μία από τις αιτίς ια να συνυπολοιστί η πίδραση της μη τοπικής φύσης τν διπιφανιακών συντλστών συσχτίζται μ την πιλοή της έσης της διαχριστικής πιφάνιας. Επιδή οι συντλστές που α πριράφουν αυτή την πίδραση προκύπτουν από την μταφορά της πυκνότητας πόλσης και μανήτισης στην διαχριστική πιφάνια ίναι φανρό ότι α ξαρτώνται από αυτή την πιλοή. Επιδή οι οπτικές ιδιότητς δν ξαρτώνται από αυτή την πιλοή μπορούν να κφραστούν σ αναλοίτους συνδυασμούς αυτών τν συντλστών. Πριοριζόμαστ προς το παρόν σ ισότροπα μέσα. Η παράλληλη συνιστώσα της πλονάζουσας πόλσης μπορί τώρα λό της χρικής διασποράς να έχι μια συνισφορά ανάλοή μ την παράλληλη παράο της κάτης συνιστώσας του μέσου bul πδίου ηλκτρικής μτατόπισης και μια συνισφορά ανάλοη προς την κάτη παράο του μέσου παράλληλου ηλκτρικού πδίου. Για μια ισότροπη πιφάνια αυτές οι χρικές παράοι ίναι οι μόνς μ την σστή συμμτρία. Επιδή ίναι ολικό να έχουμ μια διπιφανιακή συνάρτηση απόκρισης που να ξαρτάται μόνο από το διάνυσμα κύματος κατά μήκος της πιφάνιας παναδιατυπώνουμ τον όρο μ την κάτη παράο. Χρησιμοποιώντας την πρώτη ξίσση Mawll και τις καταστατικές ξισώσι στα bul μέσα ξαναράφουμ τον όρο αυτό σαν το άροισμα νός όρου ανάλοου προς την παράλληλη παράο του μέσου κάτου πδίου ηλκτρικής μτατόπισης που μπορί να συνδυαστί μ τον άλλο όρο και νός όρου ανάλοου μ την χρονική παράο του μέσου παράλληλου μανητικού πδίου. Οι όροι που πριέχουν άλματα ασυνέχιας μπορούν να ξαλιφούν χρησιμοποιώντας τις οριακές συνήκς. Η κάτη συνιστώσα της πλονάζουσας πόλσης μπορί ανάλοα να έχι μια συνισφορά ανάλοη προς την κάτη παράο του μέσου πδίου της κάτης συνιστώσας του bul πδίου ηλκτρικής 35

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg μτατόπισης που έχι την κατάλληλη συμμτρία. Αυτή η κάτη παράος μπορί να ραφί ς η παράλληλη κλίση του μέσου όρου του παράλληλου bul ηλκτρικού πδίου. Για την μανήτιση μπορούν να ίνουν ανάλος αντικαταστάσις. Έτσι προκύπτουν οι ακόλους καταστατικές ξισώσις πρώτης τάξης ς προς τη μη τοπικότητα: P ( ) ( ) ( ) δ ( ) D ( ) τ ( ) ˆ H ( ) M P ( ) ( ) D ( ) δ ( ). ( ) (..) (..) ( ) ( ) H ( ) δ ( ) B ( ) τ ( ) ˆ ( ) M ( ) ( ) B ( ) δ ( ). H ( ) (..3) (..4) Στις παραπάν καταστατικές ξισώσις μφανίζονται μόνο πτά ανξάρτητοι καταστατικοί συντλστές. Τρις από αυτούς οι τρις οι και και δ έχουν ηλκτρική προέλυση δ μανητική και ένας ο τ συνδέι το ηλκτρικό μ το μανητικό πδίο και το αντίστροφο. Ο λόος που υπάρχουν μόνο πτά συντλστές ίναι ότι το σύστημα ίναι ισότροπο και αναλλοίτο στη μικροσκοπική κλίμακα αντιστροφής χρόνου. Το ονός ότι ο ίδιος συντλστής δ μφανίζται στις ξισώσις (..) και (..) ίναι μια συνέπια της συμμτρίας πηής παρατηρητή. Το ίδιο ισχύι και ια το δ στις (..3) και (..4). Το ονός ότι μόνο ένα τ μφανίζται στις καταστατικές ξισώσις οφίλται πίσης στη συμμτρία πηής παρατηρητή. Οι συντλστές και δίνουν συνισφορά στην πλονάζουσα ηλκτρική και μανητική πόλση σ όρους ομονών πδίν. Έχουν τις διαστάσις μήκους (στο.g..). Οι συντλστές δ δ και τ που πριράφουν την χρική διασπορά δίνουν συνισφορές σ όρους παραών τν πδίν. Έχουν διαστάσις μήκους ις το ττράνο. Η πίδρασή τους στις οπτικές ιδιότητς α ίναι ξ αυτού μικρότρη από αυτή τν άλλν κατά έναν παράοντα οπτικού πάχους δια του μήκους κύματος. 36

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg 37. Εξάρτηση συντλστών από έση διπιφάνιας & Αναλλοίτα μέη Κατά τον ορισμό τν πλοναζόντν ποσοτήτν ισάται η έννοια της διαχριστικής πιφάνιας. Αν η διαχριστική πιφάνια πιλί στη έση η συνολική πλονάζουσα διηλκτρική σταρά ίναι: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] (..) Από τον ορισμό αυτόν προκύπτι ότι ( ) ( ) ( ) (..) Ανάλοα ισχύι ( ) ( ) (..3) Αποδικνύται νικότρα ότι αν η διαχριστική πιφάνια πιλί στο όπου το μπορί να ίναι τικό ή αρνητικό η ξάρτηση από όρους μέχρι δύτρης τάξης στο δίνται από τις σχέσις : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ μ μ τ τ μ μ μ μ δ δ δ δ μ μ μ μ μ μ (..4)

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg 38 Σ κάποις φαρμοές ίναι ολικό να μταφρί η διαχριστική πιφάνια κατά μία απόσταση που μπορί να πάρι τικές ή αρνητικές τιμές. Στην ιδική πρίπτση νός φιλμ σαπουνάδας α μπορούσαμ να πάρουμ τη διαχριστική πιφάνια στο κέντρο του φιλμ ή στην ξτρική του πιφάνια. Σ αυτή την πρίπτση και μ μ μ και οι ξισώσις έχουν την ακόλουη απλοποιημένη μορφή. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ τ τ μ μ δ δ δ δ (..5) Οι παραπάν σχέσις δίχνουν ότι η ισαή τν συντλστών δύτρης τάξης συνδέται άμσα μ την πιλοή της έσης της διαχριστικής πιφάνιας. Αν διατυπώσουμ τις παραπάν ξισώσις ια την νικότρη πρίπτση φιλμ σ ομονές πριάλλον μέσο η μταφορά της διαχριστικής πιφάνιας από το στο α δώσι ια τους διπιφανιακούς συντλστές: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) μ τ τ μ μ δ δ δ δ (..6) Αυτές οι ξισώσις α χρησιμοποιηούν στην πρίπτση διαστρώματος στη συνέχια.

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Η ακριής έση της διαχριστικής πιφάνιας μέσα στην διπιφανιακή πριοχή ίναι στόσο αυαίρτη και δν έχι φυσική σημασία. Τα μτρήσιμα μέη δν ξαρτώνται από την πιλοή της έσης της. Όπς αποδίχηκ δν συμαίνι οπσδήποτ το ίδιο και μ τους καταστατικούς συντλστές. Έτσι τα πιραματικά μτρούμνα μέη πρέπι να ξαρτώνται από αναλλοίτους συνδυασμούς αυτών τν καταστατικών συντλστών μ αποτέλσμα να ίναι ανξάρτητα από τη έση της διπιφάνιας και να κφράζουν τις πραματικές φυσικές ιδιότητές της πιφάνιας. Θα μπορούσ κάποιος να ορίσι στην παρακάτ αναλλοίτη I ( ) ( ) (..7) Αυτή η αναλλοίτη μπορί να προκύψι από την μέτρηση του λιψομτρικού λόου..3 Συντλστές στην πρίπτση υπέρσης λπτών υμνίν Η κατανομή του υλικού στην διπιφάνια κάποις φορές μπορί να ίναι τέτοια ώστ να μπορί κανίς να διακρίνι πρισσότρα από ένα φιλμ τοποτημένα το ένα πάν στο άλλο. Ένα κοινό παράδιμα ίναι η πρίπτση δύο πίπδν παράλληλν στρμάτν πάν σ ένα υπόστρμα. Ένα πιο ξιδικυμένο παράδιμα ίναι το διάστρμα που μπορί να ρηί ς υπέρση πολλών πολύ λπτών παράλληλν στρμάτν. Επίσης στην πρίπτση νός φιλμ νησίδν πάν σ μια τραχία πιφάνια η πίδραση του φιλμ και της τραχύτητας μπορί να συμψηφιστούν φόσον δν συσχτίζονται. Ας ρήσουμ δύο φιλμ τοποτημένα στο φιλμ στη έση l έχι καταστατικούς συντλστές τ και το φιλμ στο l τους l και στο l όπου το l ίναι απιροστό. Το δ δ και δ δ και τ. Και στα δύο φιλμ τα πδία έχουν ασυνέχις άλματος που δίνονται από τις σχέσις (.8.) ξφρασμένς σ όρους της διπιφανιακής πυκνότητας πόλσης και μανήτισης του αντίστοιχου φιλμ. Η συνολική ασυνέχια άλματος ρίσκται μ απλή άροιση και μπορί κανίς να συμπράνι ότι δίνται πάλι από τις (.8.) που όμς τώρα πριέχουν τις συνολικές πυκνότητς πόλσης και μανήτισης δηλαδή το άροισμα τν αντίστοιχν ποσοτήτν τν δύο φιλμ. Ωστόσο το πρόλημα 39

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg συνίσταται στο ονός ότι και οι δύο πριέχουν το πδίο μταξύ τν δύο φιλμ. Αυτό το πδίο πρέπι να ξαλιφί ια να προκύψουν οι καταστατικοί συντλστές του συστήματος. Έτσι ισχύι [ ( ) ] [ ] ( ) ˆ M ˆ H ( ) P ( ) D [ ] (.3.) Στην τλυταία σχέση χρησιμοποιήηκαν οι (..3) και (..3) ια το δύτρο φιλμ και οι όροι δύτρης τάξης στο πάχος ανοήηκαν καώς α οδηούσαν σ συνισφορές τρίτης τάξης στους καταστατικούς συντλστές του συστήματος. Για το ίδιο λόο τα μέσα πδία στο δύτρο φιλμ μπορούν να αντικατασταούν από τους μέσους όρους ια το σύστημα έτσι ώστ : ˆ ( ) D H (.3.α) Ανάλοα ρίσκουμ : ˆ ( ) D H (.3.) και D D (.3.3α) D D (.3.3) 4

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Για το μανητικό πδίο οι αντίστοιχς ξισώσις ίναι : H H ˆ ( ) B H ˆ ( ) B H (.3.4α) (.3.4) B B B H (.3.5α) B H (.3.5) Οι προκύπτοντς καταστατικοί συντλστές ια το σύστημα δίνονται από τους αντίστοιχους τν δύο φιλμ από τις σχέσις: δ δ δ τ τ τ δ δ δ (.3.6) 4

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Στην πρίπτση μη μανητικών όρν οι παραπάν ξισώσις πριορίζονται στις : δ δ δ τ τ τ (.3.7) Μόνο η έκφραση που απλοποιίται ίναι αυτή ια τοτ που συνδέι την πλονάζουσα ηλκτρική μτατόπιση μ το μανητικό πδίο και το αντίστροφο. Από την παραπάν ανάλυση προκύπτι ότι ια το συνδυασμό τν φιλμ χριάζται απλά να προστούν οι ραμμικοί καταστατικοί συντλστές. Οι συντλστές δύτρης τάξης στόσο πριέχουν πρόστους όρους από τον πολλαπλασιασμό τν ραμμικών συντλστών..4 Διαστρώματα (af la) Ένα πίπδο διάστρμα μταξύ δύο bul μέσν ίναι μια πριοχή στην οποία η διηλκτρική σταρά και πιανόν και η σχτική μανητική διαπρατότητα ξαρτώνται μόνο από την συνιστώσα την κάτη ς προς το στρώμα.. Γνικότρα το σύστημα χαρακτηρίζται από τη διηλκτρική σταρά και την μανητική διαπρατότητα κάτα και παράλληλα ς προς το στρώμα. Έξ από το στρώμα τίνουν στις bul τιμές που ίναι ανξάρτητς από τη διύυνση. Συνής ρούμ μη μανητικό μέσο και αριμητικό τανυστή διηλκτρικής σταράς έτσι ώστ ( ) ( ) ( ). Το πάχος του στρώματος ρίται μικρό σ σχέση μ το μήκος κύματος του φτός. Το πρώτο ήμα ια να ξάουμ τους καταστατικούς διπιφανιακούς συντλστές ίναι να διαιρέσουμ το στρώμα σ λπτά υποστρώματα. 4

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Σχήμα.4. Διαδικασία ανάλυσης και πρόσσης τμημάτν του διαστρώματος Ένα τέτοιο υπόστρμα μταξύ και μπορί να πριραφί σ πρώτο αμό (ραμμικά) ς προς από τους διπιφανιακούς συντλστές του υποστρώματος: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) [ μ ( ) μ( ) ] ( ) [ μ ( ) ] [ μ( ) ] δ ( ) δ( ) τ( ) { } { } (.4.) Εδώ οι πκταμένς (apola) bul διηλκτρική και μανητική πιδκτικότητς ορίζονται ς: ( ) μ ( ) ( ) ( ) μ ( ) μ ( ) Επιδή η συνάρτηση μιας ηματικής συνάρτησης ίναι πίσης ηματική συνάρτηση ισχύι : [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ μ ( ) ] ( μ ) ( ) ( μ ) ( ) (.4.) (.4.3) Το δύτρο ήμα ίναι να μταφέρουμ όλα τα υποστρώματα στο. Το στρώμα που ρίσκται πρώτο μταξύ και μταφέρται στο και οι καταστατικοί συντλστές του ίνονται: 43

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg τ δ δ ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ ( ) ( ) ( ) μ ( ) ( ; ) [ ( ) μ ( ) ( ) ( ) ] (.4.4) Το δίνι την τλική έση του υποστρώματος και το την αρχική του δηλαδή την προέλυση της συνισφοράς. Η δύτρη αυτή πληροφορία χριάζται ια να διατηρηί η σστή σιρά. Το τλυταίο ήμα ίναι να προστούν οι συνισφορές χρησιμοποιώντας την σχέση (.3.7). Χρησιμοποιώντας την (.4.4) και την (.4.) ρίσκουμ: δ δ [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) [ ( )] [ ( )] [ ] ( ) μ ( ) μ ( ) { } ( ) [ μ ( ) ] [ μ ( ) ] [ ] {[ ( )] [ ( )] } ( ) ( ) ( ) ( ) μ ( ) μ ( ) ( )[ ( ) ( )]{[ ( )] [ ( )] } [ ] {[ μ ( )] [ μ ( )] } g g ( )[ μ ( ) μ ( )]{[ μ ( )] [ μ ( )] } τ [ ] μ ( ) [ μ ( ) μ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) g ( )[ ( ) ( )][ μ ( ) μ ( )] (.4.5) 44

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Όπς υποδηλώνται από το στο όρισμα όλοι οι καταστατικοί συντλστές δίνονται μ διαχριστική πιφάνια το πίπδο -. Το πίπδο - πρέπι να πιλί μέσα ή πολύ κοντά στο διάστρμα..5 Τραχίς πιφάνις Ξκινούμ την ανάλυση χρησιμοποιώντας τις σχέσις (.4.5) ια τα διαστρώματα. Γι αυτόν το λόο υποδιαιρούμ όλη την διπιφάνια σ λπτά στρώματα και στη συνέχια αντικαιστούμ το σύνολο τν στρμάτν μ διπιφανιακούς συντλστές. Έτσι προκύπτουν οι πιδκτικότητς που σ αυτήν την πρίπτση ξαρτώνται από τις συντταμένς και. δ δ [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) μ ( ) μ ( ) {[ μ ( )] [ μ ( )] } [ ] {[ ( )] [ ( )] } g ( )[ ( ) ( )]{[ ( )] [ ( )] } [ ] {[ μ ( )] [ μ ( )] } ( ) μ ( ) μ ( ) g ( )[ μ ( ) μ ( )]{[ μ ( )] [ μ ( )] } τ ( ) ( ) ( ) [ ] μ ( ) [ μ ( ) μ ( )] ( ) g ( )[ ( ) ( )][ μ ( ) μ ( )] (.5.) 45

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Όλοι οι συντλστές δίνονται μ το πίπδο - σαν διαχριστική πιφάνια. Το πίπδο - πρέπι να πιλί μέσα ή πολύ κοντά στο διπιφανιακό στρώμα τραχύτητας. Αν η διηλκτρική σταρά και η μανητική διαπρατότητα ίναι ανξάρτητς από τις οι παραπάν σχέσις πριορίζονται σ αυτές τν διαστρμάτν. Οι παραπάν συντλστές μταάλλονται σαν συνάρτηση της έσης πάν στην πιφάνια. Για να ρούμ τους πιυμούμνους μη διακυμνόμνους συντλστές ίναι απαραίτητο να πάρουμ το μέσο όρο της λύσης της κυματικής ξίσσης στην κατανομή του υλικού στην πιφάνια. Σχήμα.5. Στρώμα τραχύτητας και διάταξη αξόνν Οι συναρτήσις συσχτισμού ια τις διακυμνόμνς πιδκτικότητς μιας ισότροπης πιφάνιας ορίζονται ς: S S S S ( )( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.5.) Αποδικνύται ότι οι ξαρτώμνς από τη συχνότητα πιφανιακές πιδκτικότητς ίναι 46

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg ( ) ( ) ( π ) S ( )( ˆˆ) : K ( ) ( ) ( ) ( π ) S ( ) ˆ. K ( ). δ ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( π ) S ( )( ˆˆ) : K ( ) ( ) ( ) ( π ) S ( ) ˆ. K ( ). δ ( ) δ ( ) τ ( ) τ ( ) ˆ ˆ (.5.3) Η ξάρτηση από το διάνυσμα κύματος οφίλται στην κατανομή του υλικού στην πιφάνια. Μόνο οι ραμμικοί συντλστές παρουσιάζουν αυτή την ξάρτηση δύτρου αμού ς προς το πάχος της διπιφάνιας. Εάν το μήκος συσχέτισης ίναι μικρό συκρινόμνο μ το μήκος κύματος του φτός μπορούμ να ανοήσουμ την ξάρτηση από το διάνυσμα κύματος. Έτσι προκύπτι: ( ) ( ) ( π ) S ( )( ˆˆ) : K ( ) π ( ) ( ) ( π ) S ( ) ˆ. K ( ). δ ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( π ) S ( ) ˆ. K ( ). δ τ ( ) δ ( ) ( ) τ ( ) ˆ ˆ (.5.4) 47

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Ο πίνακας πέτρπ ξάρτηση από την κατύυνση αντικαταστάηκ από το μισό του ίχνους. Για μία τέτοια ξάρτηση δν ίναι δυνατή. Αν χρησιμοποιήσουμ τις σχέσις ια τους popagao K K [ ˆˆ] ν ( ) ( ) ˆ ˆ ν ( ) 4 ν K ( ) ν ( ) ( ) ˆ ˆ ν μ ( μ ) 4 ν K ( ) [ ˆˆ] προκύπτι ια τους διπιφανιακούς συντλστές: (.5.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( μ ) ( μ ) 6π δ 6π ( ) S ( ) ( ) ( ) ( μ μ ) S ( ) δ τ 8π 8π ( ) δ ( ) ( ) τ ( ) (.5.6) Η ξαρτημένη από τη έση διηλκτρική σταρά μπορί να ραφί ς: ( ) ( h( ) ) ( h( )) (.5.7) 48

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Η apola διηλκτρική σταρά δίνται όπς πάντα από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) (.5.8) Η έση του πιπέδου - πιλέται έτσι ώστ το μέσο ύψος της πιφάνιας πάν από το πίπδο να ίναι μηδέν: ( ) h (.5.9) Σημιώνται ότι το ύψος μτριέται τόσο στη τική όσο και στην αρνητική κατύυνση και μπορί να ίναι τικό ή αρνητικό. Θρούμ μη μανητικό μέσο. Οι τοπικοί καταστατικοί συντλστές πιφανίας που ξαρτώνται από το ύψος h() στο συκκριμένο σημίο προκύπτουν μ αντικατάσταση τν παραπάν σχέσν στις ξισώσις (.4.) ( ) ( ) ( ) h( ) δ ( ) ( )( ) h ( ) (.5.) τ ( ) ( ) h ( ) Στον παρακάτ πίνακα δίνται συνοπτικά ένα παράδιμα υπολοισμού πιφανιακού συντλστή στην συκκριμένη πρίπτση. 49

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg Πίνακας.. Παράδιμα υπολοισμού πιφανιακού συντλστή > h < h () > ( ) < > < ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )h Για να χρησιμοποιηούν οι διακυμνόμνοι καταστατικοί συντλστές χριαζόμαστ την συνάρτηση συσχέτισης ύψους που ορίζται ς: S ( ) h( ) h( ) (.5.) Επιδή υποέτουμ ότι η τραχύτητα ίναι ισότροπη η συνάρτηση συσχέτισης ύψους δν ξαρτάται από την διύυνση και ισχύι : S ( ) S ( ) (.5.) Χρησιμοποιώντας τις παραπάν σχέσις ια τους διακυμνόμνους συντλστές ρίσκουμ ότι και η δικές τους συναρτήσις συσχέτισης σ όρους συνάρτησης συσχέτισης ύψους ίναι ισότροπς και δίνονται από τις σχέσις: S ( ) ( ) S ( ) ( ) S ( ) (.5.3) Την ίδια σχέση ικανοποιούν και οι μτασχηματισμοί Fou ς προς το διάνυσμα κύματος (παράοντς δομής): S ( ) ( ) S ( ) ( ) S ( ) (.5.4) Η RMS τραχύτητα (oo a qua) δίνται από τη σχέση : 5

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S h π π (.5.5) Αντικατάσταση στην ξίσση (.4.6) δίνι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 6 S S π δ τ π π (.5.6) Αν υποέσουμ ότι η συνάρτηση συσχέτισης ύψους ίναι Γκαουσιανή δηλαδή ( ) p ξ S (.5.7) όπου ξ ίναι το μήκος συσχέτισης. Για η έκφραση αυτή δίνι το μέσο ττρανικό ύψος. Μτασχηματισμός Fou δίνι: ( ) 4 p ξ ξ π S (.5.8) Αντικατάσταση στις ξισώσις (.4.6) και ολοκλήρση δίνι τους καταστατικούς συντλστές ( ) ( ) ( ) 8 δ τ ξ π (.5.9)

64 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θρία Bau Vlg

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 3. Βασικές Αρχές της Φασματοσκοπικής Ελλιψομτρίας Κατά την πλάια πρόσπτση υπό νία μιας φτινής δέσμης στη διαχριστική πιφάνια μταξύ δύο μέσν () και () μ μιαδικούς δίκτς διάλασης ~ και ~ η δέσμη ανακλάται υπό νία ίση μ τη νία πρόσπτσης μέσου υπό νία που δίνται από το νόμο του Shll. ~ ~ και διαλάται στο στρικό του (3..) Επιδή κά πολμένη δέσμη μπορί να ρηί ς παλληλία δύο ορονίν ραμμικά πολμένν κυμάτν αναλύουμ την κατάσταση πόλσης της προσπίπτουσας της ανακλώμνης και της διαλώμνης δέσμης στη διύυνση p (paalll) πάν στο πίπδο πρόσπτσης και στην διύυνση (h) κάτη σ αυτό. Σχήμα 3.. Ανάλυση της προσπίπτουσας και της ανακλώμνης δέσμης στις συνιστώσς πόλσης p και. Οι συνιστώσς του προσπίπτοντος και του ανακλώμνου ηλκτρικού πδίου στις διυύνσις και p ίναι αντίστοιχα ~ ~ ~ p ~ p. Οι λόοι τν ανακλώμνν προς τις προσπίπτουσς συνιστώσς ονομάζονται μιαδικοί συντλστές ανάκλασης Fl. 53

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 54 ( ) p p p p p p p p p p p p p δ.. ~ ~. ~. ~ ~ ~ ~ (3..) ( ) δ.. ~ ~. ~. ~ ~ ~ ~ (3..3) Αποδικνύται ότι ια ισότροπο μέσο και λία πιφάνια διαχρισμού ισχύι: p o ~ o ~ o ~ o ~ ~ (3..4) o ~ o ~ o ~ o ~ ~ (3..5) Ο λόος τν μιαδικών συντλστών ανάκλασης ονομάζται μιαδικός λόος ανάκλασης και ισούται μ: ( ) ( ) ( ) Δ Ψ p a ρ (3..6) όπου ( ) π ψ ( ) π < Δ και p δ δ Δ Οι ποσότητς Ψ και Δ ονομάζονται λιψομτρικές νίς. Κά λιψομτρική μέτρηση συνίσταται στη μέτρηση του μιαδικού λόου ανάκλασης δηλαδή τν λλιψομτρικών νιών. Αν μτρηί ο μιαδικός λόος ια διάφορς νέρις μπορί να υπολοισί ο μιαδικός δίκτης διάλασης ( ) ( ) ) ( ~ (3..7) και η διηλκτρική σταρά ( ) ) ( ~ μπορί να υπολοισί από τη σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ a ~ ~ ) ( ~ ~ (3..8) Στην παραπάν σχέση ια λόους απλότητας ίναι η νία πρόσπτσης και ( ) ) ( ~ ίναι η διηλκτρική σταρά του πριάλλοντος μέσου.

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 3. Κρυσταλλική συμμτρία και λλιψομτρικοί συντλστές ια ανισότροπα υλικά Αν ο κρύσταλλος ανήκι στο κυικό σύστημα ίναι 33 άρα το υλικό ίναι ισότροπο. Οι κρύσταλλοι του ττρανικού τρινικού και ξανικού συστήματος έχουν δύο από τις τρις κύρις τιμές ίδις και ονομάζονται μονάξονς (uaal) ιατί έχουν έναν άξονα συμμτρίας τον οπτικό άξονα κάτα στον οποίο το υλικό συμπριφέρται σαν ισότροπο. Τέλος οι κρύσταλλοι του ορορομικού μονοκλινούς και τρικλινούς έχουν και τις τρις κύρις τιμές του διηλκτρικού τανυστή διαφορτικές και ονομάζονται διάξονς (baal). Όλς οι κρυσταλλικές ομάδς συμμτρίας μπορούν να πριοριστούν σ πέντ κατηορίς οι οποίς αναφέρονται στον πίνακα 3.. Οι μιαδικοί συντλστές ανάκλασης Fl στην πρίπτση διάξονν ανισότροπν υλικών δίνονται σύμφνα μ την ιλιοραφία από τις σχέσις: ~ o o [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] (3..) ~ pp o o [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] (3..) ~ ( ίναι οι συνιστώσς του όπου ίναι η νία πρόσπτσης και ( ) ) ~ διηλκτρικού τανυστή νώ ια το ισότροπο πριάλλον μέσο ( ) ( ) διηλκτρική σταρά (ια τον αέρα ισχύι ). ίναι η απόλυτη 55

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών Πίνακας 3.. Κρυσταλλοραφικά συστήματα συμμτρίας και διηλκτρικοί τανυστές Κρυσταλλικό σύστημα συμμτρίας Διηλκτρικός τανυστής Κυικό Ορορομικό 33 Εξανικό-Ττρανικό-Τρινικό 33 Μονοκλινές 33 Τρικλινές

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών Ελλιψομτρικοί συντλστές ια ισότροπα υλικά μ τραχύτητα Στην πρίπτση ισότροπν υλικών μ πιφανιακό στρώμα τραχύτητας η ρία Vlg Bau [] δίνι τους λλιψομτρικούς συντλστές Fl που ξαρτώνται από τους διπιφανιακούς συντλστές. Οι σχέσις αυτές λαμάνοντας υπόψη τους διπιφανιακούς συντλστές πρώτης τάξης και ίναι : o o o o ~ ( ) ( ) ( ) ( ) p o o o o o o o o o o o o ~ (3.3.) όπου ίναι η νία πρόσπτσης η νία διάλασης και ( ) [ ] () η ίναι η διηλκτρική συνάρτηση του μέσου νώ ια το ισότροπο πριάλλον μέσο ( ) [ ] () η ίναι η απόλυτη διηλκτρική σταρά (ια τον αέρα ισχύι ).

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 3.4 Υπολοισμός λλιψομτρικών συντλστών ια ανισότροπα υλικά μ τραχύτητα Κατά τον υπολοισμό του λλιψομτρικού λόου ια ανισότροπα υλικά πρέπι να ληφί υπόψη ότι κατά τη διάδοση του κύματος στο ανισότροπο υλικό το διάνυσμα της έντασης ίναι κάτο στη διύυνση της διάδοσης της ακτίνας ρˆ νώ το διάνυσμα της μτατόπισης D ίναι κάτο στο διάνυσμα κύματος ˆ. Σχήμα 3.. Διύυνση διανυσμάτν έντασης και μτατόπισης κατά τη διάδοση σ ανισότροπο μέσο. Για την συνιστώσα πόλσης σύμφνα μ το σχ. 3.3 οι αναλυτικές κφράσις τν πδίν δίνονται στον πίνακα 3. Σχήμα 3.3. Συνιστώσα πόλσης (T) στην προσπίπτουσα ανακλώμνη και διρχόμνη δέσμη. 58

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 59 Πίνακας 3.. Αναλυτική έκφραση πδίν ια την συνιστώσα πόλσης (T) ( ) ( ) ( ) Προσπίπτον κύμα ( ) ( ) ( ) B ϑ o ( ) ( ) ( ) Z > Ανακλώμνο κύμα ( ) ( ) ( ) B o ( ) ( ) ( ) Z < Διαλώμνο κύμα ( ) ( ) ( ) B o Οι κφράσις της πλονάζουσας πόλσης και μανήτισης σύμφνα μ τη ρία Vlg Bau δίνονται από τις σχέσις: ( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ˆ M D D P (3.4.) Οι οριακές συνήκς στην διπιφάνια δίνονται από τις σχέσις: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M M B B M P H H P M v v v v v v (3.4.)

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 6 Χρησιμοποιώντας δύο από τις τρις οριακές συνήκς προκύπτι ένα σύστημα ξισώσν : ( ) ( ) P M v v ( ) ( ) ( ) () και ( ) ( ) M P H H v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] o o o ( ) ( ) ( ) o o o () Επιλύουμ το σύστημα τν ξισώσν κάνοντας τις ξής αντικαταστάσις που απλοποιούν τις κφράσις: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] o o (3.4.3)

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 6 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) o o ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] o o ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] o o Ο λλιψομτρικός συντλστής Fl ια την συνιστώσα ντέλι προκύπτι : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] o o ~ (3.4.5)

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 6 Για την συνιστώσα πόλσης p σύμφνα μ το σχ. 3.4 οι αναλυτικές κφράσις τν πδίν δίνονται στον πίνακα 3.3 Σχήμα 3.4. Συνιστώσα πόλσης p (TM) στην προσπίπτουσα ανακλώμνη και διρχόμνη δέσμη. Πίνακας 3.3. Αναλυτική έκφραση πδίν ια την συνιστώσα πόλσης p (TM) ( ) ( ) ( ) ϑ o Προσπίπτον κύμα ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) p o Z > Ανακλώμνο κύμα ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) p η η o Z < Διαλώμνο κύμα ( ) ( ) ( ) p B Οι κφράσις της πλονάζουσας πόλσης και μανήτισης σύμφνα μ τη ρία Vlg Bau δίνονται από τις σχέσις:

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 63 ( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ˆ ˆ o o o M D D P p p p p η (3.4.6) Οι οριακές συνήκς στην διπιφάνια δίνονται από τις σχέσις: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M P H H P P D D P M v v v v v v v v v v v v (3.4.7) Χρησιμοποιώντας δύο από τις τρις οριακές συνήκς προκύπτι ένα σύστημα ξισώσν : ( ) ( ) ( ) ( ) P M v v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p p p p η o o o

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p p p p η 3 3 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p η 3 3 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p o o o () και ( ) ( ) ( ) ( ) M P H H v v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p o o o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p p p o o o

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 65 ( ) ( ) ( ) o o o p p () Επιλύουμ το σύστημα τν ξισώσν κάνοντας τις ξής αντικαταστάσις: (3.4.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p o o o o o o 3 3 ( ) ( ) o o o o o o o o 3 3

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Φασματοσκοπική λλιψομτρία στη μλέτη πιφανιών 66 ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o o o o o o o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o o o 3 3 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] o o o o 3 3 Ο λλιψομτρικός συντλστής Fl ια την p συνιστώσα ντέλι προκύπτι : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] o o o o ~ 3 3 pp (3.4.9) Στην πρίπτση ισότροπν υλικών οι συντλστές καταλήουν πάλι στις σχέσις (3.3.) που δίνι η ρία Vlg Bau [].

79 67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 4.. Θρητική μλέτη της πίδρασης της τραχύτητας στον υπολοισμό της διηλκτρικής σταράς πυριτίου. Για τον έλχο της πίδρασης της τραχύτητας στον υπολοισμό της διηλκτρικής σταράς νός συστήματος μέσ του λλιψομτρικού λόου μ τους νσματμένους πιφανιακούς καταστατικούς συντλστές πιλέχηκ ένα bul στρώμα πυριτίου. Η διηλκτρική της ιλιοραφίας που αναφέρται στη ονομαστικά λία πιφάνια χρησιμοποιήηκ ια την ξαή του λλιψομτρικού λόου. Από αυτήν υπολοίσηκ η ψυδοδιηλκτρική όπς προκύπτι ια διαφορτικές τιμές τραχύτητας και μήκους συσχέτισης. Για τον υπολοισμό τν λλιψομτρικών συντλστών Fl χρησιμοποιήηκαν οι σχέσις της ρίας Vlg Bau ια ισότροπα υλικά. o o o o ~ ( ) ( ) ( ) ( ) p o o o o o o o o o o o o ~ (4..) όπου ίναι η νία πρόσπτσης η νία διάλασης και ( ) [ ] () η ίναι η διηλκτρική συνάρτηση του μέσου νώ ια το ισότροπο πριάλλον μέσο ( ) [ ] () η ίναι η απόλυτη διηλκτρική σταρά (ια τον αέρα ισχύι ).

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau Σ αυτές τις σχέσις υπισέρχονται οι διπιφανιακοί συντλστές πρώτης τάξης που στην πρίπτση που η συνάρτηση συσχέτισης ύψους S ( ) ίναι Γκαουσιανή δηλαδή S (4..) ( ) p ξ όπου ξ ίναι το μήκος συσχέτισης και η τραχύτητα δίνονται από τις σχέσις: ( ) ( ) ξ π 8 (4..3) Η ψυδοδιηλκτρική συνάρτηση υπολοίσηκ στη συνέχια από τη σχέση: ~ ( ) ( ( )) ~ ρ ~ ( ) a (4..4) ( ~ ρ( ) ) Στην παραπάν σχέση ια λόους απλότητας ίναι η νία πρόσπτσης και ( ) ~ ( ίναι η διηλκτρική σταρά του πριάλλοντος μέσου. ) 5 4 S ooh ough o. lgh3 ough o. lgh4 ough3 o. lgh3 ough3 o. lgh4 ough4 o. lgh3 ough4 o. lgh4 < ()> Phoo g (V) Σχήμα 4.. Πραματικό μέρος της διηλκτρικής σταράς πυριτίου ια διάφορς τιμές τραχύτητας και μήκους συσχέτισης. 68

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 5 4 S ooh ough o. lgh3 ough o. lgh4 ough3 o. lgh3 ough3 o. lgh4 ough4 o. lgh3 ough4 o. lgh4 3 < ()> Phoo g (V) Σχήμα 4.. Φανταστικό μέρος της διηλκτρικής σταράς πυριτίου ια διάφορς τιμές τραχύτητας και μήκους συσχέτισης. Από τα σχήματα 4. και 4. παρατηρούμ ότι η αύξηση της τραχύτητας έχι σαν αποτέλσμα να μιώνται νικά η τιμή της ψυδοηλκτρικής σταράς. Αντίτα ια συκκριμένη τιμή τραχύτητας η τιμή της ψυδοηλκτρικής μιώνται πραιτέρ μ μίση του μήκους συσχέτισης (olao lgh). Αυτό ίναι αναμνόμνο καόσον το μήκος συσχέτισης κφράζι ουσιαστικά την πρίοδο της διακύμανσης της μορφολοίας της πιφάνιας. Έτσι μίσή του σημαίνι και μίση της πριόδου διακύμανσης δηλαδή μαλύτρη απόκλιση από την αντίστοιχη λία πιφάνια. Κατά τη ρία Ohlal και Lu από παλαιότρο άρρο του Σ. Λοοτίδη [8] η μταολή της διηλκτρικής ξαρτάται από τον παράοντα a σ όπου σ ίναι η λ τραχύτητα και λ το μήκος συσχέτισης. Ουσιαστικά ρυμιστικός παράοντας ίναι ο λόος σ. Στον πίνακα 4. παρουσιάζονται νδικτικές προσιστικές τιμές του λόου σ ια τις λ λ καμπύλς του σχ Παρόλο που η ξάρτηση από τον λόο σ δν μπορί να δώσι ποσοτική σύκριση τν λ δύο ριών μπορούμ να παρατηρήσουμ ότι και οι δύο δίνουν πτώση τν τιμών της ψυδοδιηλκτρικής ια αύξηση της τραχύτητας. Ωστόσο κατά την ρία τν Ohlal και Lu 69

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau παρατηρούμ ότι οι καμπύλς χαμηλώνουν ποιο ομοιόμορφα σ όλο το φάσμα νώ κατά την ρία Vlg Bau δν δίχνουν αισητή μταολή στις μικρότρς νέρις. Σχήμα 4.3. Διηλκτρική σταρά πυριτίου ια διάφορς τιμές της παραμέτρου από την αναφορά []. a σ λ Πίνακας 4.. Ενδικτικές τιμές λόου τραχύτητας σ προς μήκος συσχέτισης λ ια τις καμπύλς του σχ. 4.3 a σ λ Προσέιση λόου σ : λ.75 :9.5 :.75 :8.5 :6 7

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 4. Οπτικά ανισότροπα υλικά PT και PN και υπολοισμός διηλκτρικής συνάρτησης Ως πολυμρή ονομάζονται τα νανοδομικά υλικά τα οποία αποτλούνται από πολλά τμήματα ή δομικές μονάδς (μονομρή) που συνδέονται μταξύ τους μ ομοιοπολικούς δσμούς μ τη διαδικασία του πολυμρισμού. Το ονός ότι τα πολυμρή μφανίζουν σημαντικές φυσικές και χημικές ιδιότητς οι οποίς δν συναντώνται σ άλλα υλικά σ συνδυασμό μ το ονός ότι η διαδικασία σχηματισμού τους χαρακτηρίζται από σχτικά χαμηλό κόστος οδήησαν στην χρήση τους σ υρία ιομηχανική τχνολοική και πιστημονική κλίμακα από τις αρχές του ου αιώνα μ αποτέλσμα την νσμάτσή τους σ έναν τράστιο αριμό φαρμοών λτιώνοντας σημαντικά την ποιότητα ζής. Η συνχής ανάπτυξη τν μόδν παρασκυής πξρασίας και τροποποίησης οδήησ στην ουσιαστική λτίση τν ιδιοτήτν τους μ αποτέλσμα την ραδαία πέκταση του πδίου φαρμοών τους σ νέα πιστημονικά και τχνολοικά πδία όπς ύκαμπτς ηλκτρονικές διατάξις (flbl lo v) ηλκτρονικές και οπτοηλκτρονικές διατάξις οπτικά συστήματα συστήματα αποήκυσης δδομένν συσκυασίς τροφίμν φτοολταϊκά συστήματα ιολοικά και ιοσυματά συστήματα κ.τ.λ. Μλλοντικές φαρμοές τν νανοδομκών πολυμρικών υλικών ίναι ύκαμπτα ηλκτρονικά κυκλώματα και συστήματα ύκαμπτα φτοολταϊκά στοιχία μάλν διαστάσν και ύκαμπτς οόνς (Flbl OLD-FOLD). Σημαντικός παράοντας ίναι η νσμάτση τν διαδικασιών αυτών από την ραστηριακή κλίμακα (lab al) σ ιομηχανική κλίμακα (lag al) όπου τα πολυμρικά υλικά παράονται και μταχιρίζονται μ την μορφή καρουλιών (oll) μάλν διαστάσν. Η διαδικασία αυτή ονομάζται oll-o-oll (). Pol(hl) Tphhala(PT) To Pol(hl) Tphhala (PT) ίναι ένα ρμοπλαστικό πολυμρές που παρασκυάζται μ αντίδραση συμπύκνσης της αιυλνολυκόλης του τρφαλικού οξέος ή του τρφαλικό διμυλστέρα. Ανακαλύφηκ στα τέλη της δκατίας του 9 και το μέσο μοριακό άρος του κυμαίνται μταξύ 5. και.. Το PT ίναι ένα ημικρυσταλλικό πολυμρές και η μοριακή δομή του πριράφται από μοντέλο ινών μυκηλίου (fg- ll ol) όπου απαντάται ς ατλές διφασικό σύστημα αλληλοσυνδόμνν κρυσταλλικών και άμορφν πριοχών. Οι κρυσταλλικές πριοχές στις οποίς οι μακρομοριακές αλυσίδς ίναι υυραμμισμένς κατανέμονται στο στρό του 7

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau πολυμρούς ανάλοα μ τις τάσις και τη ρμοκρασία που χρησιμοποιούνται κατά τη διαδικασία παραής του. Σχήμα 4.3. Μοριακή δομή του μονομρούς του Pol(hl) Tphhala (PT). Συνής φαρμόζται μονοαξονική ή διαξονική κτατική τάση ια την πιμήκυνση τν πολυμρικών μμρανών και λάττση του πάχους τους οδηώντας σ ένα προτιμητέο προσανατολισμό τν μακρομορίν στην πριοχή της πιφάνιας. Οι φυσικές ιδιότητς του PT προσδιορίζονται σ μάλο αμό από την κρυσταλλικότητά του που κυμαίνται μταξύ 3% και 4% ανάλοα μ τις συνήκς κατά τη διρασία παραής του. Η διαπρατότητα τν ατόμν Ο και τν υδρατμών Η Ο στο PT ίναι μαλύτρη από ότι στις πολυολφίνς αλλά χαμηλότρη από ότι στα πολυκαρονικιά πολυαμίδια και πολυακτάλς. Εμφανίζι πολύ καλή χημική αντοχή σ οξέα αλκάλια και ορανικούς διαλύτς και ίναι αδιάλυτο στους πρισσότρους διαλύτς κτός από μρικά πολυαλοονομένα οξικά οξέα και φαινόλς. Λό της χημικής δομής του μπορί να μφανίσι υδροφοικές και λιποφιλικές (olophl) ιδιότητς. Το PT λό της οπτικής ανισοτροπίας του μπορί να χρησιμοποιηί κατά προτίμηση ια την κατασκυή οπτικών πόλσης υψηλής απόδοσης και μ σχτικά υρία διαφανή φασματική πριοχή. Η ν ψυχρώ κρυστάλλσή του από την υαλώδη κατάσταση ρίται κλασσικά ς μια από τις πιο πρακτικές και απλές προσίσις ια τη λτίση τν οπτικών ιδιοτήτν του και της ικανότητάς του ια τον αποκλισμό αρίν (ga ba). Μια από τις μαλύτρς και πρισσότρα υποσχόμνς φαρμοές τν πολυμρικών μμρανών PT ίναι η κατασκυή Εύκαμπτν Ηλκτρονικών Διατάξν (Flbl lo Dv-FD) όπς ύκαμπτς οόνς και OLD. Σημαντικός παράοντας ια την φαρμοή αυτή ίναι η αύξηση τν ιδιοτήτν φράματος μ την ανάπτυξη στην πιφάνιά τους νός πολυστρματικού υμνίου που αποτλίται από ανόρανα και ορανικά υλικά πάχους μρικών μ τχνικές PVD και ol gl. 7

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau Pol(hl)Naphhala (PN) Το Pol(hl)Naphhala (PN) ίναι ένας ρμοπλαστικός πολυστέρας ο οποίος κατασκυάστηκ ια πρώτη φορά το 948. Σχηματίζται από τον συμπυκνμένο πολυμρισμό του 6ναφαλοδικαροξυλικού οξέος(6-) και της αιυλαινολυκόλης. Το μονομρές του αποτλίται από την ναφαλική ομάδα η οποία μ τη σιρά της αποτλίται από δύο στρομάδς και από έναν διπλό νζολικό δακτύλιο (ναφαλική μονάδα) και από την αιυλνοομάδα. Σχήμα 4.4. Μοριακή δομή του μονομρούς του Pol(hl)Naphhala (PN). Ο ναφαλικός δακτύλιος στο μονομρές του PN σ σύκριση μ τον νζολικό δακτύλιο στο μονομρές του PT έχι ς αποτέλσμα οι μακρομοριακές αλυσίδς του PN να ίναι πρισσότρο άκαμπτς ονός που έχι σημαντική τική πίδραση στις μηχανικές και ρμικές ιδιότητές του. Όπς και στην πρίπτση του PT το PN μπορί να σχηματιστί σ άμορφη φάση μ απότομη ψύξη (quhg) από το τήμα (l) ή μπορί να κρυσταλλοποιηί ίτ μ αρή ψύξη από το ρήμα ίτ μ πιμήκυνση σ ρμοκρασία μταξύ της ρμοκρασίας υαλώδους κατάστασης και την ρμοκρασία ψυχρής κρυσταλλοποίησης. Από μτρήσις Πρίλασης Ακτίνν Χ (X-Ra Dffao-XRD) έχι αναφρί ότι το PN χαρακτηρίζται από τρικλινή κρυσταλλική συμμτρία. Το PN χαρακτηρίζται από ρμοκρασία υαλώδους κατάστασης πρίπου C ονός που το κάνι ιδιαίτρα πιυμητό ια φαρμοές υψηλής ρμοκρασίας. Επίσης μφανίζι ιδιότητς φράματος σ αέρια και υδρατμούς τέσσρις μ πέντ φορές καλύτρς από το PT μ αποτέλσμα την καταλληλότητά του ια φαρμοές ύκαμπτης συσκυασίας (flbl paagg) σ τρόφιμα φάρμακα αλλά και οπτοηλκτρονικές και ηλκτρονικές διατάξις. Συνδυάζι υψηλή ρμική σταρότητα αντίσταση στη διάσπαση χαμηλή διαπρατότητα σ αέρια και υδρατμούς και ξαιρτικές μηχανικές και διηλκτρικές ιδιότητς. 73

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau Χρησιμοποιίται στην ιομηχανία συσκυασίας αλλά και σαν άση ια λπτές (μέχρι και ) ταινίς ια χρήση σ φαρμοές ικόνας ήχου υπολοιστών και μανητικής καταραφής πληροφοριών. Σ τέτοις φαρμοές ίναι ιδανικό μιας και μφανίζι μικρότρη διηλκτρική pv μικρότρς διηλκτρικές απώλις και 5% υψηλότρη τάση πτώσης (baow) από το PT. Σαν αρματικός πολυστέρας το PN μφανίζι φτοαιμότητα και ηλκτροφταύια (lolu) ξαιτίας τν συστημάτν π-ηλκτρονίν του όπς αναφέρται από τον Koja al. οποίος αναφέρι ότι η φτοαιμότητα αυξάνται μ τον αμό κρυσταλλικότητας. Άλλς φαρμοές του PN πριλαμάνουν μανητικά μέσα αποήκυσης πλαστικές φιάλς και μπουκάλς νήματα λαστικών υψηλών πιδόσν συσκυασία τροφίμν και φαρμακυτικών προϊόντν ιατρικές φαρμοές νήματα ια υφάσματα κ.τ.λ. Μλλοντικές aof-h-a φαρμοές του PN ίναι ύκαμπτα φτοολταϊκά στοιχία και ηλκτρονικά κυκλώματα συσκυασία τροφίμν και φαρμοές μανητικής αποήκυσης μ νσματμένα ηλκτρονικά κυκλώματα. 4.. Υπολοισμός τν κύριν συνιστσών της διηλκτρικής συνάρτησης μονοάξονν PT και PN ια λία και τραχία πιφάνια. Η διαδικασία πιμήκυνσης που πραματοποιίται κατά την παραή τν πολυμρικών μμρανών PT και PN έχι σαν αποτέλσμα την προτιμητέα υυράμμιση τν μακρομοριακών αλυσίδν κατά την διύυνση του Άξονα Μηχανής (ΑΜ) δηλαδή της διύυνσης πιμήκυνσης. Έτσι οι παραόμνς πολυμρικές μμράνς αποτλούνται από πριοχές όπου οι μακρομοριακές αλυσίδς ίναι υυραμμισμένς (δομή κρυσταλλική all-l) οι οποίς ρίσκονται σ μία μήτρα μη υυραμμισμένν αλυσίδν. Κατά την μλέτη τν οπτικών τους ιδιοτήτν μ ΦΕ η μτρούμνη διηλκτρική συνάρτηση () πριλαμάνι την συνισφορά της διηλκτρικής απόκρισης και τν δύο πριοχών (προσανατολισμένν και μη). Έτσι οι πολυμρικές μμράνς μπορούν να ρηούν ς σύντα διηλκτρικά μέσα που αποτλούνται από προσανατολισμένς και μη προσανατολισμένς πριοχές φόσον μπορούν να πριραφούν από έναν νικό δηλκτρικό τανυστή που πριέχι πληροφορίς ια την οπτική απόκριση και ια τον προσανατολισμό τν μακρομορίν τν αλυσίδν PT και PN ς προς τον ΑΜ. Αν και μονομρή τν PT και PN έχουν τρικλινή κρυσταλλική δομή φόσον οι μακρομοριακές αλυσίδς ίναι νικά προσανατολισμένς παράλληλα μ τον ΑΜ οι 74

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau υυραμμισμένς πριοχές μπορί να ρηί ότι χαρακτηρίζονται από μια ορορομική κρυσταλλική συμμτρία και η πριραφή του νικού δηλκτρικού τανυστή μπορί να απλοποιηί σ πρώτη προσέιση σ έναν διηλκτρικό τανυστή μ μηδνικά μη διαώνια στοιχία (Σχ. 4..) όπς στην πρίπτση της ορορομικής συμμτρίας ( α ) ( ) ( ) Σχήμα 4.5. Διηλκτρικός τανυστής που αντιστοιχί στην (α) τρικλινή ()ορορομική και () ξανική-ττρανική κρυσταλλική δομή. Επιπλέον ρώντας ότι ο οπτικός άξονας συμπίπτι μ τον κύριο άξονα που ίναι πίσης ο κρυσταλλοραφικός άξονας μ την μαλύτρη τάξη πριστροφής οι πολυμρικές μμράνς PT και PN μπορούν να ρηούν σαν μονοαξονικά ανισότροπα υλικά (Σχ. 4..) και ο νικός διηλκτρικός τανυστής να πριέχι τις δύο κύρις συνιστώσς της διηλκτρικής συνάρτησης και όπου ο συμολισμός παραπέμπι στην διύυνση κάτα και παράλληλα στον άξονα συμμτρίας (Σχ. 4.). Σχήμα 4.6. Διηλκτρικός τανυστής που αντιστοιχί σ μονοαξονικά ανισότροπα υλικά. Οι συντλστές ανάκλασης στην πρίπτση διαξονικών ανισότροπν υλικών προσανατολισμένν σ διυύνσις υψηλής συμμτρίας και μάλιστα όταν το πίπδο πρόσπτσης πριέχι τον άξονα δίνονται από τις σχέσις: 75

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau ~ pp ~ o o o o [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] (4...) όπου ~ ( ίναι οι συνιστώσς του ίναι η νία πρόσπτσης και ( ) ) ~ διηλκτρικού τανυστή νώ ια το ισότροπο πριάλλον μέσο ( ) ( ) διηλκτρική σταρά (ια τον αέρα ισχύι ). ίναι η απόλυτη Στην πρίπτση που η δέσμη προσπίπτι στην πιφάνια τν πολυμρικών μμρανών μ το πίπδο πρόσπτσης προσανατολισμένο σ διυύνσις υψηλής συμμτρίας όπου η νία φ μταξύ του ΑΜ (άξονας ) τν πολυμρικών μμρανών PT και PN και του πιπέδου πρόσπτσης ίναι º (οπότ )ή 9º οι συντλστές ανάκλασης παίρνουν τις ξής απλοποιημένς μορφές [4 5]: ~ pp ~ o o o o [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] ια φ (4...) ~ ~ π pp π o o o o [( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] ια φ 9 (4...3) 76

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau ~ υπολοίστηκαν οι κύρις συνιστώσς και Από τις ξισώσις ( ) ( ) της διηλκτρικής συνάρτησης () μ την ανάλυση στην φασματική πριοχή το V-fUV από δύο ομάδς μτρήσν οι οποίς μτρήηκαν σ διάφορς νίς πρόσπτσης ( ) σ δύο διαφορτικές διυύνσις υψηλής συμμτρίας μ νίς φ και φ 9. Σ κά νέρια οι κύρις συνιστώσς και μπορούν να υπολοιστούν από αυτές τις δύο μτρήσις ΦΕ οι ρ και ρ μ ένα σύστημα μη ραμμικών ξισώσν οι οποίς συνδέουν αυτές τις ποσότητς μ τις υπολοιζόμνς οπτικές παραμέτρου οι οποίς προσδιορίστηκαν από τις παρακάτ ξισώσις ταυτίζοντας τις μτρούμνς μ τις υπολοιζόμνς τιμές : R ( ρ ) R[ ρ ( )] φ I ( ρ ) I[ ρ ( )] R ρ π R ρπ ( ) φ φ 9 (4...4) I ρ π I ρπ ( ) φ 9 Τα σύμολα και αναφέρονται στις μτρούμνς και υπολοιζόμνς τιμές αντίστοιχα. Η αριμητική ανάλυση ια τον υπολοισμό τν κύριν συνιστσών και της διηλκτρικής συνάρτησης () αποτλίται από υπολοιστική μέοδο μέσ της οποίας υπολοίζται το διάνυσμα A ( ) ορίζται από την παρακάτ σχέση μέσ της λαχιστοποίησης της συνάρτησης G(A) που { [ R( j ) R( ρ j )] [ I( ρ j ) I( j )] } G( A) ρ ρ (4...5) j όπου το σύμολο j δηλώνι τις δύο διυύνσις υψηλής συμμτρίας φ και φ 9 και το σύμολο αντιστοιχί στην ξάρτηση του μιαδικού συντλστή ανάκλασης ρ από την νία πρόσπτσης. 77

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 78 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 3 3 o o o o ~ o o ~ pp (4...6) Για φ (οπότ ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 3 3 o o o o ~ o o ~ pp (4...7) Για 9 φ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 3 o o o o ~ o o ~ π π pp (4...8)

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 4.. Υπολοισμός τανυστή διηλκτρικής σταράς ια μονοάξονο PT Επιχιρήηκ να υπολοισί σύμφνα μ την προηηίσα ανάλυση ο τανυστής ψυδοδιηλκτρικής σταράς ια μονοαξoνικό Ml 4 PT ρούμνου αρχικά ς λίο και στη συνέχια μ τραχύτητα και μήκος συσχέτισης. Οι τιμές ια την τραχύτητα και το μήκος συσχέτισης προέκυψαν σ πρώτη προσέιση από νδικτικές τιμές τραχύτητας και ανάλυση τν τιμών προφίλ του ύψους όπς προέκυψαν από το AFM. Κατά την προσέιση ρήηκ ότι η συνάρτηση κατανομής ύψους στην τραχία πιφάνια ίναι Γκαουσιανή. Ωστόσο αν και προέκυψαν οι τιμές του διηλκτρικού τανυστή ια λία πιφάνια η προκύπτουσς ια την τραχία πιφάνια δν έδιξαν μφανή διαφοροποίηση. Σχήμα 4.7. Η τοποραφία της πιφάνιας του Ml 4 PT όπς προέκυψ από το AFM. Σχήμα 4.8. Οπτικοποίησηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του Ml 4 PT όπς προέκυψ από το AFM. 79

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 6. ML4puo_o ML4puo_ < > Phoog (V) Σχήμα 4.9. Πραματικό μέρος της διηλκτρικής σταράς του Ml 4 PT. 4. ML4puo_o ML4puo_ < > Phoog (V) Σχήμα 4.. Φανταστικό μέρος της διηλκτρικής σταράς του Ml 4 PT. 8

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Μλέτη και φαρμοές της ρίας τν Vlg και Bau 4..3 Υπολοισμός τανυστή διηλκτρικής σταράς ια μονοάξονο PN Η διαδικασία όπς κτέηκ στην προηούμνη υποπαράραφο ακολουήηκ στη συνέχια ια υπολοισί ο τανυστής ψυδοδιηλκτρικής σταράς ια μονοαξoνικό Tho PN ρούμνου αρχικά ς λίο και στη συνέχια μ τραχύτητα.4 και μήκος συσχέτισης 36. Οι τιμές ια την τραχύτητα και το μήκος συσχέτισης προέκυψαν σ πρώτη προσέιση από νδικτικές τιμές τραχύτητας και ανάλυση τν τιμών προφίλ του ύψους όπς προέκυψαν από το AFM. Κατά την προσέιση ρήηκ ότι η συνάρτηση κατανομής ύψους στην τραχία πιφάνια ίναι Γκαουσιανή. Ωστόσο αν και προέκυψαν οι τιμές του διηλκτρικού τανυστή ια λία πιφάνια η προκύπτουσς ια την τραχία πιφάνια δν έδιξαν μφανή διαφοροποίηση. Σχήμα 4.. Η τοποραφία της πιφάνιας του Tho PN όπς προέκυψ από το AFM. Σχήμα 4.. Οπτικοποίησηση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του Tho PN όπς προέκυψ απο το AFM. 8