Aristotelov nepokretni pokreta~

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aristotelov nepokretni pokreta~"

Transcript

1 ARISTOTELOV NEPOKRETNI KALU\EROVI] UDK 111 Filozofski fakultet Novi Sad Aristotelov nepokretni pokreta~ Kqu~ne re~i: bog, nepokretni pokreta~, teologika, teleologija, udejstvenost, usvrhovqenost, mi{qewe mi{qewa. Apstrakt: Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifi~no poimawe boga, posmatrano, pre svega, iz vizure dvanaeste kwige wegove Metafizike. Bog filozofa iz Stagire, nagla{ava se, nije ne{to {to se izdi`e iznad sveta u istinsku sferu transcendencije, ve} je on prezentan u svim vidovima gr~kog `ivota i slojevima gr~ke stvarnosti. Aristotelov bog nije ni stvorio svet, koji je postojao oduvek i postoja}e zauvek, nego mu je samo preko pokretawa prvog neba mi{qewem i kroz finalnu uzro~nost obezbedio ve~ito kretawe. Bog kao nepokrenuti pokreta~, pokre}e sve stvari na taj na~in {to mu one te`e, vole}i ga. Wegov bog je i potpuno depersonalizovan, te je neopravdano stavqati veliko slovo prilikom prevoda Metafizike, ili bilo kog drugog Stagiraninovog spisa, jer u wegovoj teologici nema mesta za bogo~oveka i prava religiozna ose}awa. Kona~no, Aristotelovo odre ewe boga kao mi{- qewa mi{qewa, samo je dosledno logi~ki izvedena operacija koja sledi iz ~ina postavqawa mi{- qewa na pijedestal svega. Dvanaesta kwiga Metafizike predstavqa ne samo vrhunac ovog dela, ne samo ni vrhunac Aristotelove metafizike, ona predstavqa, mo`e se slobodno re}i, krunu anti~ke filozofije uop{te. Iako je mnogo puta kroz vekove analizirana, {to je verovatno ~ini najprou~avanijim tekstom iz Corpus Aristotelicum-a, ona sve do dana{wih dana, kako svojim sadr`ajem, tako i svojom spekulativ- 155

2 @EQKO KALU\EROVI] nom dubinom, vr{i neizmeran uticaj na generacije i generacije istra`iva~a. Iz slo`ene i zanimqive problematike deset poglavqa koji ~ine Lambda kwigu Metafizike, u ovom radu }e biti ispitivan wen centralni deo, onaj o nepokretnom pokreta~u. Prvih pet poglavqa ove kwige koncizna su rekapitulacija Stagiraninove fizike, i oni slu`e kao neka vrsta uvoda u drugu polovinu kwige, koja zapo~iwe tvrdwom da mora postojati neko ve~no i nepokretno bivstvo (Met. 1071b4-5). Zatim se iznosi teza da ako su sva bivstva propadqiva, onda su i sve stvari propadqive. Ovo Aristotel tvrdi s obzirom na dvostruko prvenstvo bivst(a)va koje je izlo`eno ne{to ranije, na samom po~etku dvanaeste kwige Metafizike. Ipak postoje dve stvari koje su, po Stagiraninu, nenastale i nepropadqive, a to su vreme i kretawe. 1 Argument za{to vreme mora biti nenastalo i nepropadqivo je da, mimo vremena, nema ni onoga pre, a ni onoga posle. Ako bi se, dakle, reklo da vreme ima po~etak ili kraj, onda bi se isto tako moralo re}i da pre po~etka ili posle kraja nema vremena, a to bi dakako bila apsurdna tvrdwa. 2 I kretawe mora biti jednako neprekidno kao i vreme, jer je vreme 3 ili isto {to i kretawe, ili nekakvo wegovo svojstvo. Potom (Met. 1071b10-11) se tvrdi da je jedino neprekidno kretawe 1 A kretawe je nezavr{ena usvrhovqenost tog {to se mo`e kretati (ἔστι δ ἡ κίνησις ἐντελέχεια κινητοῦ ἀτελής, Phys. 257b8-9). Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd 2006, str. 323, p. 257b8-9. Gr~ki pojam κίνησις ( kretawe ) pokriva kod Aristotela ~etiri vrste promena: 1. Promena po {ta (ili po bivstvu) (κατὰ τὸ τί) nastajawe i propadawe; 2. Promena po kvalitetu (κατὰ τὸ ποιόν) alteracija (ἀλλοίωσις, preobra`ewe ); 3. Promena po kvantitetu (κατὰ τὸ ποσόν) ra{}ewe i smawivawe; 4. Promena mesta (κατὰ τὸ ποῦ) kretawe u uobi~ajenom zna~ewu te re~i (Met. 1069b9-13, 1088a31-33). Zajedni~ko za sve ~- etiri vrste promena je to da se one de{avaju izme u opreka. 2 Neznatno druga~iji dokaz o ve~nosti vremena dat je u Phys. 251b Vreme je Aristotel u Fizici definisao kao: broj kretawa s obzirom na to ranije i kasnije (ἀριθµὸς κινήσεως κατὰ τὸ πρότερον καὶ ὕστερον, Phys. 219b2). Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd 2006, str. 163, p. 219b2. Ve~nost kretawa koja je na ovom mestu u Metafizici (1071b9-10) izvedena iz ve~nosti vremena, na drugim mestima, recimo u Phys. 250b23-251b10, dokazivana je nezavisno od vremena. 156

3 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ mesno kretawe, a da je od wega, opet, jedino neprestano kru`no kretawe. 4 Povratak na osnovnu Aristotelovu tezu omogu}ava da se uo~i da je po~etna namera realizovana. Na osnovu pokazane nenastalosti i nepropadqivosti vremena i kretawa, fakti~ki je potvr ena Stagiraninova izjava o postojawu ve~nog i nepokretnog bivstva. Verovatno su na osnovu ovih misli, kao i na osnovu Aristotelove fizike uop{te, potowi hri{}anski teolozi formulisali vlastiti kosmolo{ki dokaz za postojawe Boga. Iz ~iwenice da u kosmosu postoji kretawe oni su zakqu~ivali da postoji i prvi pokreta~, a to je po wima, naravno, bio Bog. U Lajbnicovoj verziji ovaj dokaz je bio ne{to druga~ije formulisan i zvao se a contingentia mundi. Kratko re~eno on glasi: ako postoji ma koja stvar, onda mora postojati i neko apsolutno nu`no bi}e. Pretpostavqa se, daqe, da postojawe ma koje stvari ne zavisi od we same ve} od ne- ~eg drugog, dakle da je ona kontingentna, i da se u istom smislu mo`e pretpostaviti i kontingencija sveta, to jest kosmosa. 5 Slede}e {to se mo`e prona}i u {estoj glavi dvanaeste kwige Metafizike je da, ipak, nije bilo dovoqno samo pretpostaviti postojawe ve~nih bivstava. Dotle je, smatra Stagiranin, u svom misaonom razvoju bio dosegao i Platon sa svojim u~ewem o oblicima (Met. 1071b15). Bivstvo, sem {to je ve~no, mora imati u sebi i na~elo koje mo`e uzrokovati kretawe, {to Platonovi oblici, po Aristotelu, nisu imali. 6 4 Prvu tvrdwu Aristotel potkrepquje u Phys. 261a31-261b26 a drugu u Phys. 261b27-263a3 i 264a7-265a12. 5 U ranijem Aristotelovom dijalogu O filozofiji (1476b22-24), nalazi se pasus koji ukazuje na svojevrsnu anticipaciju ontolo{kog dokaza za postojawe Boga. U istom spisu (De phil. 1476a34-b11), mogu se prona}i i momenti koji nagove{tavaju dokaz koji je kasnije nazvan fiziko-teolo{kim dokazom bo`je egzistencije. Kant je podrobno i detaqno pisao o sva tri dokaza bo`je egzistencije, uspe{no ih pobijaju}i u svojoj Kritici ~istog uma. I. Kant, Kritika ~istog uma, BIGZ, Beograd 1990, str O tome Aristotel pi{e i u Met. 988b2-6, 991a8-11, 991b3-9, 992a29-32, 1033b a5. 157

4 @EQKO KALU\EROVI] Ni to nije bilo sve, jer ako je na~elo udelovqeno, a wegovo bivstvo je mogu}nost, tada kretawe ne}e biti ve~no, budu}i da ono koje biva mogu}no{}u mo`e i ne bivati. Ho}e se re}i da mora postojati nekakvo na~elo ~ije bivstvo nije mogu}nost ve} jedino udejstvenost. Uz to, ta bivstva moraju biti i bez tvari, jer ona, kao {to je ve} re~eno, moraju biti ve~na. Ovo se tvrdi, dakako, na temequ Stagiraninovog razumevawa da prisustvo tvari ukqu~uje u sebe i kategoriju mogu}nosti, a samim tim i propadqivosti. Stoga, zakqu~ak mora biti da ona (bivstva) jesu udejstvenost (ἐνεργείᾳ ἄρα, Met. 1071b22). Shvatawe o vi{estrukom primatu udejstvenosti u odnosu na mogu}nost stoji i u osnovi Stagiraninovog u~ewa o nepokretnom pokreta~u, {to se da videti ve} na samom po~etku sedme glave dvanaeste kwige Metafizike. Tamo se navodi da prvo nebo mora biti ve~no, ali da mora postojati i ne{to {to wega pokre}e. Po- {to je ono {to je pokrenuto, a {to istovremeno pokre}e ne{to sredwe, mora biti i ne~eg krajweg koje pokre}e a da pri tom samo nije pokrenuto, i koje je K.) ve~no, bivstvo i udejstvenost (ἀΐδιον, καὶ οὐσία καὶ ἐνέργεια, Met. 1072a25). Kako ne{to mo- `e uzrokovati kretawe a da samo ne bude pokrenuto? Fizikalno uzrokovawe kretawa podrazumeva uzajamni kontakt pokreta~a i onog pokrenutog, {to tako e podrazumeva i povratno delovawe ne~eg pokrenutog na svog pokreta~a. 7 Jasno je stoga da nepokretni pokreta~ ne uzrokuje kretawe na fizikalni na~in. Stagiraninovo re{ewe je da on pokre}e kao ono `u eno (τὸ ὀρεκτὸν) i kao ono mi{qeno 8 (τὸ νοητὸν), a da je sam kao `u ewe i mi{qewe, dakako nepokretan. 9 Mi{qewe je na~elo, a um se pokre}e od strane onoga {to je mi{qeno, tako da ono {to je mi{qeno, a to je tako e mi{- qewe, pokre}e ne~iju misao i ako samo ostaje nepokretno Vid. Phys. 202a Vid. Met. 1072a Marijas (J. Marías) ka`e da je aristotelovski θεός svrha, odnosno télos sveg kretawa, ali da se sam ne kre}e. J. Marías, History of Philosophy, New York 1967, p Ovde izlazi na videlo Aristotelovo, ali i helensko u celini, temeqno stajali{te o odnosu objektivnog i subjektivnog, u kome, dakako, ono objektivno ima primat. Izraz (prev. S. U. Blagojevi}) Um se pak, kre}e usled tog um- 158

5 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ Ne{to kasnije, poistove}uju}i nepokretnog pokreta~a sa finalnim uzrokom, {to je ujedno i kulminacija wegovog teleolo{kog pristupa, Aristotel varira na~in pokretawa onog nepokretnog na slede}i na~in (Met. 1072b3-4): To Prvo pokre}e kao voqeno, a sve ostalo Ono pokre}e pomo}u /Neba/ koje je pokrenuto. 11 κινεῖ δὲ ὡς ἐρώµενον, κινούµενον δὲ τἆλλα κινεῖ. Nepokretni pokreta~, dakle, pokre}e kao ono koje je voqeno, dok ostale stvari pokre}u tako {to bivaju i same pokrenute. One, najjednostavnije re~eno, samo prenose kretawe koje je nekako utisnuto na wih. Sam prvi pokreta~ ima jo{ jednu karakteristiku on ne mo`e biti kontingentan. Budu}i da ne mo`e biti pokretan, a samim tim ni spadati u stvari {to nastaju i propadaju, on postoji kao nu`an. I kao nu`nost on je dobro 12, a na ovaj na- ~in, kao dobro ili ono `u eno, on je i na~elo kretawa svega. stvenog (νοῦς δὲ ὑπὸ τοῦ νοητοῦ κινεῖται) (Met. 1072a30), pokazuje da se mi{qewe mora razumeti od strane onoga mi{qenog, jer ono je radi tog mi{qenog, od ~ega mu i dolazi prvobitni podsticaj. 11 Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 427, p. 1072b3-4. Ladanov (T. Ladan) prevod istog mesta je bli`i originalu: Taj (svr{ni uzrok) pokre}e kao voqeno, dok ostale stvari pokre}u pokrenute. Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 305, p. 1072b3-4. Zanimqivo je da Stagiranin na ovom mestu umesto pojma ὀρεκτόν ( `u eno ) za nepokretnog pokreta~a, koristi pojam ἐρώµενον ( voqeno, qubqeno ), uvode}i tako Platonovu re~ za qubav. Na prvi pogled bi i sintagma ὡς ἐρώµενον ( kao voqeno ) mogla zvu~ati dvosmisleno. Preciznije re~eno, dilema je kako razumeti prilog na~ina i pore ewa ὡς ( kao ). Da li da se shvati doslovno, pa da onda re- ~enica iz teksta zna~i da nepokretni pokreta~ pokre}e kao ono koje je voqeno, {to je i K. Ili, {to je mawe verovatno, da ὡς bude shva}en analogijski, u smislu da nepokretni pokreta~ pokre}e poput, sli~no kao, onog voqenog. 12 Aristotel u Met. 1015b14-15 ka`e da u ve~nim i nepokretnim stvarima nema ni~eg {to je prisilno, ili {to je suprotno wihovoj prirodi. Prvi pokreta~, koji ne mo`e biti kontingentan, koji biva udejstveno{}u i koji se nikako druga~ije ne mo`e pona{ati, jeste dobro (καλῶς ἔχει), jer mu ni{ta {to je opre~no wegovoj prirodi ni ne mo`e pripadati. Ne{to ranije u kwizi Metafizike (1015a22-23), govore}i o pojmu nu`nosti, Stagiranin ka`e da se nu`nim nazivaju one stvari (prev. S. U. Blagojevi}) bez ~ega dobro ne mo`e postojati 159

6 @EQKO KALU\EROVI] Vrhunska spekulativnost 7. glave 12. kwige Metafizike kulminira u onome {to se mo`e okvalifikovati kao centralno mesto ne samo Lambda kwige, ve} i ~itave Metafizike. To mesto gde se ve~no i nepokretno bivstvo kona~no naziva bogom i shvata kao ~ista udejstvenost i pravi `ivot, odu{evqavalo je mnoge filozofe potom, me u ostalima i Hegela. Wega je posebno impresionirala teza da udejstveni um jeste `ivot, jer je u ovoj odredbi prepoznao vlastito odre ewe boga kao pojma, koji nije bio nekakva mrtva i apstraktna stvar ve} samo na~elo `ivota. Ovim citatom bez prevoda, na`alost i bez komentara, Hegel i zavr{ava svoju Enciklopediju filozofijskih znanosti. 13 Evo tog poznatog mesta (Met. 1072b13-30): Od takvog na~ela zavise Nebo i priroda. A wegov na~in `ivota /διαγωγὴ/ je kao onaj najboqi koji nama nakratko pripada. Ono uvek tako `ivi (jer nama je to nemogu}e) po{to je wemu wegova delotvornost zadovoqstvo (upravo zato su budnost, opa`awe i mi{qewe ne{to najprijatnije, a usled wih i nada i se}awe). A mi{qewe-po-sebi pripada tom {to je po sebi najboqe, a ono koje je ponajvi{e takvo tom {to je ponajvi{e takvo. Um misli samog sebe na osnovu u~e{}a u umstvenom, jer postaje umstven dodirom /θιγγάνων/ i mi{qewem, tako da su isto um i umstveno. Jer to {to mo`e primiti umstveno i bivstvo jest um, i on je delotvoran poseduju}i, tako da Onom pre pripada to {to izgleda kao bo`anski posed uma, i Wegovo je posmatrawe /θεωρία/ najprijatnije i najboqe. Zadivquju}e je ἐκ τοιαύτης ἄρα ἀρχῆς ἤρτηται ὁ οὐρανὸς καὶ ἡ φύσις. διαγωγὴ δ ἐστὶν οἵα ἡ ἀρίστη µικρὸν χρόνον ἡµῖν. οὕτω γὰρ ἀεὶ ἐκεῖνό ἐστιν. ἡµῖν µὲν γὰρ ἀδύνατον, ἐπεὶ καὶ ἡ ἡδονὴ ἐνέργεια τούτου καὶ διὰ τοῦτο ἐγρήγορσις αἴσθησις νόησις ἥδιστον, ἐλπίδες δὲ καὶ µνῆµαι διὰ ταῦτα. ἡ δὲ νόησις ἡ καθ αὑτὴν τοῦ καθ αὑτὸ ἀρίστου, καὶ ἡ µάλιστα τοῦ µάλιστα. αὑτὸν δὲ νοεῖ ὁ νοῦς κατὰ µετάληψιν τοῦ νοητοῦ νοητὸς γὰρ γίγνεται θιγγάνων καὶ νοῶν, ὥστε ταὐτὸν νοῦς καὶ νοητόν. τὸ γὰρ δεκτικὸν τοῦ νοητοῦ καὶ τῆς οὐσίας νοῦς. ἐνεργεῖ δὲ ἔχων. ὥστ ἐκεῖνο µᾶλλον τούτου ὃ δοκεῖ ὁ νοῦς θεῖον ἔχειν, καὶ ἡ θεωρία τὸ ἥδιστον καὶ ἄριστον. εἰ οὖν οὕτως εὖ ἔχει, ὡς ἡµεῖς ποτέ, ὁ θεὸς ἀεί, θαυµαστόν εἰ ili postati. U Met. 1072b12 ova odredba nu`nosti gotovo se ponavqa, jer se ka`e da je nu`no (prev. S. U. Blagojevi}) ono bez ~ega nema dobra. Jeger (W. Jaeger) smatra da je Aristotel u jednom smislu ostao platonista sve do svoje smrti, naime u tvrdwi da je najvi{e bi}e ujedno i najvi{e dobro. W. Jaeger, Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann 1985, s G. V. F. Hegel, Enciklopedija filozofijskih znanosti, V. Masle{a Svjetlost, Sarajevo 1987, str

7 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ ako je Bogu uvek tako dobro kao {to je nama ponekad; no, ako mu je jo{ boqe, to jo{ vi{e zadivquje. A tako mu je! Sigurno, tu je i `ivot, jer delotvornost uma je `ivot, a delotvornost je On, i wegova delotvornost po sebi jest najboqi i ve~ni `ivot. Ka`emo da je Bog ve~no i najboqe `ivo bi}e, pa i tako neprekidni i ve~ni `ivot i `ivqewe /αἰὼν/ pripadaju Bogu, jer Bog jeste to. 14 δὲ µᾶλλον, ἔτι θαυµασιώτερον. ἔχει δὲ ὡδί. καὶ ζωὴ δέ γε ὑπάρχει ἡ γὰρ νοῦ ἐνέργεια ζωή, ἐκεῖνος δὲ ἡ ἐνέργεια ἐνέργεια δὲ ἡ καθ αὑτὴν ἐκείνου ζωὴ ἀρίστη καὶ ἀΐδιος. φαµὲν δὲ τὸν θεὸν εἶναι ζῷον ἀΐδιον ἄριστον, ὥστε ζωὴ καὶ αἰὼν συνεχὴς καὶ ἀΐδιος ὑπάρχει τῷ θεῷ τοῦτο γὰρ ὁ θεός. Kada u Met. 1072b15 Aristotel ka`e da najboqi to jest bo- `anski `ivot nama nakratko pripada (odnosno nama tek malo vremena, K.), jasno je da je to nakratko onda kada se istinski filozofski misli ili umuje. Malo vremena mo`e se umovati po{to qudi nisu ~ista energeia, a wihova dynamis ~ini da se mogu i umoriti od umovawa. 15 U Met. 1072b16-17 o prvom pokreta~u se ka`e da je wemu wegova delotvornost zadovoqstvo ( po{to je wegova udejstve- 14 Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 428, p. 1072b Prevod T. Ladana glasi: Od takvoga dakle po~ela ovise i nebo i narav. A wegov na~in `ivota onaj je najboqi, kakav je nama tek malo vremena; jer wemu je uvijek takav ({to je pak nama nemogu}e), budu}i da je i u`itak wegova djelatnost. (I zbog toga su bdijewe, osje}awe, mi{qewe najugodniji, dok su nade i uspomene takve zbog wih.) Mi{qewe po sebi samome bavi se onim {to je po sebi najboqe, i ono koje je to najvi{e onim {to je takvo najvi{e. Um samoga sebe 'umuje' prema dioni{tvu u mi{qenome. Jer on postaje ono 'mi{qeno' dodiruju}i i umuju}i, tako te je isto um i 'mi{qeno'; naime: ono {to mo`e primiti mi{qeno i bivstvo to je um, koji djeluje posjeduju}i mi- {qeno, tako te je ovo vi{e od onoga koje se ~ini da um ima, pa je misaono promatrawe ono {to je najugodnije i najboqe. Ako je dakle u stawu takva dobra Bog uvijek, kao {to smo mi katkada, divqewa je dostojan; ako je jo{ i vi{e, onda je jo{ dostojniji divqewa. Ali On jest tako. I `ivot je u wemu prisutan; jer djelatnost uma je `ivot, a On je ta djelatnost, i Wegova djelatnost po sebi `ivot je najboqi i vje~ni. Stoga ka`emo da je Bog `iv, vje~an, najboqi, tako te su `ivot i vrijeme neprekidno i vje~no prisutni u Bogu. Jer to jest Bog. Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str. 306 i 307, p. 1072b O tome konsultovati i Met. 1050b U Nikomahovoj etici (1175a4-5) Stagiranin pi{e da (prev. T. Ladan): ni jedna qudska sposobnost ne mo`e neprekidno trajati (πάντα γὰρ τὰ ἀνθρώπεια ἀδυνατεῖ συνεχῶς ἐνεργεῖν.). Aristotel, Nikomahova etika, Hrv. sveu~. nakl., Zagreb 1992, str. 207, p. 1175a

8 @EQKO KALU\EROVI] nost i u`ivawe, K.). Stagiranin na ovom mestu koristi na~in izra`avawa koji je upotrebqen u EN 1153a12-14, gde se na neki na~in izjedna~avaju u`ivawe i udejstvenost. Istina, na drugom mestu (EN 1175a15-16) se, egzaktnije, ka`e da u`ivawe usavr- {ava udejstvenost, pa i `ivqewe za kojim svi te`e. 16 U Met. 1072b18-19 pi{e da mi{qewe-po-sebi pripada tom {to je po sebi najboqe ( mi{qewe po sebi samom se bavi onim {to je po sebi najboqe, K.), pa se iz ovoga mo`e zakqu- ~iti da je, po Aristotelu, tu re~ o samom bo`anskom umu koji je, ranije, ve} ozna~en kao ono `u eno (Met. 1072a26), ali i kao ono najboqe (Met. 1072a35). U misaono sa`etom izrazu koji potom sledi, καὶ ἡ µάλιστα τοῦ µάλιστα ( a ono koje je ponajvi{e takvo tom {to je ponajvi{e takvo, Met. 1072b19), 17 koji je bli`e prevesti sa i ono najvi{e onim najvi{im K.), samo se u~vr{}uje prethodni stav da ono {to je u punom smislu mi{qewe, mora biti mi{qewe onoga {to je u punom smislu najboqe, to jest prvog pokreta~a. Na pitawe kako um postaje umstven, Stagiranin je u Met. 1072b20-21 odgovorio sa dodirom K.) /θιγγάνων/ i mi{- qewem, tako da su isto um i umstveno ( dodiruju}i i misle}i tako da su isto mi{qewe i mi{qeno, K.). Gr~ko θιγγάνω ( dota}i, dirati ) na prvi pogled zbuwuje zbog svojih ~ulnih asocijacija. Ono je u datom kontekstu svakako metafora, i ovim specifi~nim izrazom misli se na barem dve stvari. Prvo, na odsustvo svake mogu}nosti pogre{ke koja je karakteristi~na za opa- `awe vlastitim ~ulima (De an. 430b29-31), i potom, na odsustvo posrednika u slu~aju dodirivawa. Tako da na kraju τὸ θιγεῖν najverovatnije ozna~ava poimawe koje je nepogre{ivo i neposredno. 16 ^itava ova veza boga i zadovoqstva upravo je suprotna od onoga {to o woj ka`e Platon u svom Filebu (prev. V. Gortan): Prema tome nije vjerojatno da se bogovi raduju niti da osje}aju ono {to je radosti suprotno... Jedno je i drugo nedostojno wih. Platon, Teetet i Fileb, Naprijed, Zagreb 1979, str. 142, p. 33b. 17 Sli~no stoji i u Ladanovom prevodu (i ono koje je to najvi{e onim {to je takvo najvi{e). 162

9 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ U Met. 1072b22-23 jo{ jednom se ukazuje na primat udejstvenosti nad mogu}no{}u, koja se, udejstvenost, progla{ava za bo- `anski element u umu. 18 Odmah zatim u Met. 1072b24 ka`e se Wegovo je posmatrawe K.) /θεωρία/ najprijatnije i najboqe ( pa je teorija ono {to je najugodnije i najboqe, K.). Imenica `enskog roda ἡ θεωρία, koju Blagojevi} prevodi kao posmatrawe, prevodi se uz dosta dilema na moderne jezike. Ros je tako prevodi kao contemplation 19, Bonic kao die Betrachtung (theoretische Tätigkeit), a ni u na{em jeziku joj nije lako prona}i odgovaraju}i ekvivalent. Mo- `da je dovoqno prevesti je kao teorija, uz stalno podse}awe da Aristotel teoriju razlikuje od ostalih vrsta znawa po svrsi, odnosu prema ~iwewu, i najzad, po predmetu. Teorija je najpre znawe kome se te`i radi wega samoga, to jest ona je znawe radi znawa. Drugo, teorijsko znawe uzdi`e ~oveka do istinskog qudskog telosa, jer ono te`i istini a ne koristi, ili nekakvom u~inku. Ono je ispravno ako je istinito, a pogre{no je ako je la`no. I tre}e, predmet teorije nalazi se u podru~ju bivstvovawa kojim ~ovek ne raspola`e, i u kome ne odlu~uje po svom naho ewu. Predmet teorije je, druga~ije re~eno, ono prvo, ve~no i najvi{e, to jest bog. Teorija je progla{ena za najugodniju i najboqu i zbog svoje udejstvenosti. Na nekoliko drugih mesta Aristotel, tako e, razmatra 18 U prevodu teksta iz Met. 1072b25-30, Blagojevi} je ta~no pet puta upotrebio veliko slovo prenose}i delove o bogu Aristotelove filozofije (Ladan je u svom prevodu to u~inio ~ak sedam puta). Kao {to se mo`e videti, velikih slova nema u gr~kom originalu, ali ono {to je gore od te ~iwenice u ovoj intervenciji, koja je izvr{ena uz uzimawe u obzir kasnije hri{}anske perspektive, jeste da se ovakvim prevo ewem u znatnoj meri iskrivquje smisao Stagiraninove prve filozofije. Naime, velika po~etna slova se, skoro uvek, koriste za vlastita imena pojedina~nih bi}a. Bog filozofa iz Stagire nije nikakvo bi}e, pa ni najvi{e mogu}e bi}e. Aristotelov bog je potpuno depersonalizovan, i on u svojim radovima sve vreme ostaje u okvirima gr~ke filozofske teologije to jest teologike, kako je sam imenovao ovu disciplinu. 19 Contemplatio je latinski prevod gr~ke re~i theoria. Ina~e, postoji jo{ jedan latinski termin, speculatio, koji se razvio ve} kod Boetija. U engleskom jeziku koristi se jo{ i reflection i theory, a u nema~kom die Erkenntnis i die Theorie. 163

10 @EQKO KALU\EROVI] teoriju kao udejstvenost znawa, nasuprot znanosti (ἐπιστήµη) koja je bila mogu}nost znawa. On to ~ini u samoj Metafizici (1048a34-35, 1050a12-14), ali i u Fizici (255a33-34), pa i u drugim svojim delima (De an. 412a9-11, 412a22-26, 417a28-29; GA735a10-11; EN 1146b31-35). Aristotel u Met. 1072b26 ka`e tu je i `ivot (doslovno i `ivot u wemu prebiva, K.). Za primum movens bi mo`da prikladnije bilo re}i da on jeste `ivot, kako i sugeri{e nastavak ovog pasusa: jer delotvornost uma je `ivot, a delotvornost je On. 20 Kona~no, Met. 1072b Ovaj deo po~iwe malo~as pomenutim re~ima: jer delotvornost uma je `ivot... ( jer udejstvenost uma je `ivot, a on je ta udejstvenost, K.), i predstavqa veli~anstveno o~itovawe kreda Stagiraninove filozofije. U ova pribli`no ~etiri reda originalnog teksta ne treba tra`iti ni ~isto teolo{ki stav, ali ni ostatke nekakvog prvobitnog hilozoizma. U toj zagonetnoj i ~udnoj kvalifikaciji i vezi uma odnosno boga i `ivota, pre treba videti jednu logi~nu posledicu iskazivawa bitka u wegovom jedinstvu, jedinstvu celine kakva se manifestuje upravo kod onog `ivog, koje kao celina poseduje sve organe. Na osnovu ovog podu`eg navoda (Met. 1072b13-30), ali i ne samo na osnovu wega, dalo bi se zakqu~iti da je Aristotelova prva filozofija svojevrsna teologika koja se bavi nepokretnim, odvojenim i najvi{im bivstvom. Opet, na osnovu svedo~anstva iz, recimo, 4. kwige Metafizike (1003a21-24), 21 prva filozofija }e 20 Ovaj pasus bi, svakako, trebalo da se ~ita uz znatno op{irniju 7. glavu 10. kwige Nikomahove etike. 21 Re~ je o slede}em pasusu: Postoji neka nauka koja posmatra bi}e kao bi}e i sve {to mu po sebi pripada. Ova nauka nije istovetna ni sa jednom od takozvanih parcijalnih. Jer nijedna druga nauka ne razmatra uop{te bi}e kao bi}e. Ἔστιν ἐπιστήµη τις ἣ θεωρεῖ τὸ ὂν ᾗ ὂν καὶ τὰ τούτῳ ὑπάρχοντα καθ αὑτό. αὕτη δ ἐστὶν οὐδεµιᾷ τῶν ἐν µέρει λεγοµένων ἡ αὐτή οὐδεµία γὰρ τῶν ἄλλων ἐπισκοπεῖ καθόλου περὶ τοῦ ὄντος ᾗ ὄν. Prev. S.U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 119, p. 1003a

11 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ pre biti ontologija u ~ijem sredi{tu ispitivawa se nalazi ono (sve)op{te. Neki filozofi, npr. Jeger, Ovens (J. Owens), Diring (I. Düring), davali su prednost jednom od ova dva aspekta prve filozofije, ili su potpuno raskidali wihovo jedinstvo, vide}i u navedenim mestima izvesne nepodudarnosti, nepremostive te{ko}e, pa ~ak i protivre~nosti. Da tu nije re~ ni o kakvim aporijama izme- u, s jedne strane jedne discipline metaphysicae specialis (teologike) i s druge strane metaphysicae generalis (ontologije), mo`e se videti i na osnovu pa`qivog ~itawa samog Aristotela. Po~etak {este kwige Metafizike, koja se uz dvanaestu kwigu obi~no smatra kwigom prve filozofije kao teologike, nasuprot ontologiji ~etvrte kwige, potvr uje tezu da su kod Stagiranina teologika i ontologija usko isprepletene i povezane (Met. 1025b3-4): Tra`imo na~ela i uzroke bi}a, a jasno je da /to tra`imo/ utoliko ukoliko ova jesu. 22 Αἱ ἀρχαὶ καὶ τὰ αἴτια ζητεῖται τῶν ὄντων, δῆλον δὲ ὅτι ᾗ ὄντα. Kada pri kraju 1. glave 6. kwige prvu filozofiju nazove bogoslovqem (θεολογική), i kada se, umesto za na~ela i uzroke bi}a kao bi}a s po~etka kwige, po~ne zanimati za na~ela i uzroke onog samostalnog i nepokretnog, Aristotel ovu naj~asniju znanost ne razmatra kao znanost o nekom posebnom podru~ju ili rodu, ili kao znanost o nekom najvi{em bi}u, to jest kao pojedina~nu znanost ili jednu disciplinu specijalne metafizike. Re~ je tu o ne- ~em drugom. Tra`ena znanost ima dvostruku supremaciju nad svim ostalim znanostima, po{to je ona prva i najvi{a (teologika), ali ona je u isti mah i sveop{ta (ontologija). Stagiranin to ka`e na slede}i na~in (Met. 1026a29-32): 22 Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 217, p. 1025b

12 @EQKO KALU\EROVI] Ako pak postoji neko nepokretno bivstvo, ono je ranije, i /onda/ je filozofija prva, i na taj na~in op{ta zato {to je prva. Wen bi zadatak bio posmatrawe bi- }a kao bi}a, tj. toga {to je ono i {ta mu kao bi}u pripada. 23 εἰ δ ἐστί τις οὐσία ἀκίνητος, αὕτη προτέρα καὶ φιλοσοφία πρώτη, καὶ καθόλου οὕτως ὅτι πρώτη καὶ περὶ τοῦ ὄντος ᾗ ὄν, ταύτης ἂν εἴη θεωρῆσαι, καὶ τί ἐστι καὶ τὰ ὑπάρχοντα ᾗ ὄν. Kod Stagiranina je, dakle, re~ o izvornom jedinstvu pitawa o samostalnosti i nepokretnosti onog prvog i najvi{eg {to ga mi{qewe misli kao bitak, i pitawa o bi}u kao bi}u, to jest bi}u uop{te. Drugim re~ima, u Metafizici je na delu izvorno jedinstvo dva aspekta jedinstvene prve filozofije. Aristotelovo pomiwawe boga i nazivawe vlastite prve filozofije imenom θεολογική ne zna~i, kao {to je pokazano i kao {to su odre eni komentatori tvrdili, da on pod ovim pojmovima podrazumeva razmatrawe nekakvog najvi{eg bi}a. Bog filozofa, a osobito bog iz 12. kwige Metafizike, prethodi svim bi}ima kao wihova izvorna priroda i bivstvo. Stagiranin pod wim, pre svega, misli na bitak, odnosno na onaj svrhoviti uzrok koji pokre}e kao voqeno, a ne kao osoba, demijurg ili nekakav drugi kreator. Ako je to tako, onda je jasno da Aristotel u svojoj prvoj filozofiji dolazi do tzv. ontolo{ke diferencije izme u bitka i bi}a, diferencije koju, potom, svaka metafizika ili ontologija implicitno ili eksplicitno pretpostavqaju. Martin Hajdeger je bio me u onim filozofima koji su, vekovima kasnije, nagla{avali da se ontologija zasniva na razlikovawu bitka i bi}a, i jo{ pride dodavao da ukazivawe na ontolo- {ku diferenciju imenuje osnovu i fundament svake ontologije, a time i svake metafizike. Svoj odnos prema tradicionalnoj filozofiji Hajdeger je pri tom video kao korak nazad, odnosno kao poku{aj eksplicirawa osnovne pretpostavke na kojoj po~iva 23 Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 219, p. 1026a U prvoj re~enici Aristotel, u stvari, ka`e da }e se znanost o nepokretnom bivstvu zvati prva filozofija (φιλοσοφία πρώτη) (Met. 1026a30). 166

13 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ onto-teolo{ko ustrojstvo metafizike. 24 Ono, po Hajdegeru, nemi- {qeno u samoj metafizici, to {to je kao takvu omogu}ava, on je video kao stvar vlastitog mi{qewa, a to je, spomiwana, diferencija izme u bitka i bi}a. Centralni pojam metafizike, pojam bitka, nije smeo pasti u zaborav, a {to se, smatra on, desilo ve} na samom po~etku evropskog filozofirawa. Preciznije re~eno, metafizika je, po Hajdegeru, mislila bitak ali samo polaze}i od bi}a, predstavqaju}i bi}e kao bitak, a zaboravqaju}i bitak sam. Stoga je on predlagao povratak u temeq metafizike, i to, pre svega, uz pomo} presokratovaca. Tra`eni povratak Hajdeger je mogao prona}i, jo{ boqe, najpre ga je mogao prona}i, u izvornim Aristotelovim spisima, dakako oslobo enim od svakog aristotelizma i potowe vi{evekovne devastacije i prekrajawa. Posebno ga je mogao prona}i u Stagiraninovom poimawu boga, to jest mi{- qewa mi{qewa, na ~ijem primeru je mogao uo~iti da se bitak kod najve}eg filozofa antike ne odre uje i ne misli na na~in bi}a ve}, nasuprot tome, u evidentnoj razlici spram bi}a. [to se samog Aristotela ti~e, on se, treba to naglasiti, dovoqno bio postarao da vlastito filozofsko istra`ivawe zapo~ne, i kontinuirano odr`ava, u stalnoj prezentnosti ontolo{ke diferencije izme u bitka i bi}a. U posledwem pasusu 7. glave 12. kwige Metafizike Aristotel rekapitulira dotad izre~eno, konstatuju}i nekoliko stvari. Najpre, on smatra da je evidentno da postoji neko bivstvo koje je ve~no, nepokretno i odvojeno od ~ulnih stvari. To bivstvo, daqe, nema nikakve veli~ine ve} je bez delova i nedeqivo. Ovu nisku atributa bo`anskog bivstva Stagiranin zavr{ava govore}i da je ono i netrpno i nepromenqivo (Met. 1073a3-13). Zbog prirode ovog istra`ivawa mora se presko~iti osma glava, koja ispituje broj ve~nih pokreta~kih na~ela, i koja je sasvim verovatno pisana znatno kasnije od ostatka Lambda kwige, pretpostavqa se negde izme u 330. i 325. god. pre n.e., i deseta gla- 24 O tome na 25 stranica teksta pod nazivom Onto-teolo{ko ustrojstvo metafizike on detaqnije i pi{e. M. Hajdeger, Mi{qewe i pevawe, Nolit, Beograd 1982, str

14 @EQKO KALU\EROVI] va, koja ispituje kako dobro postoji u svemiru, i koje se te{ko}e pojavquju u gledi{tima prethodnih filozofa. Ako se pa`wa ponovo fokusira na 9. glavu 12. kwige Metafizike, vide}e se da se Aristotel u woj vra}a ispitivawu uma, razmatraju}i na~ine postojawa uma, ako se on ve} smatra za najbo`anskiju stvar na svetu. Na po~etku Stagiranin ka`e da tvrdwa da je um ne{to najbo`anskije ipak izaziva odre ene pote{ko}e i nedoumice koje treba razjasniti. Potom se navodi da se um ne mo`e opisati kao da on ni o ~emu ne misli, jer bi to od wega napravilo ni{ta vi{e do nerealizovanu mogu}nost, a na nekoliko mesta ranije je re~eno da prvi pokreta~ mo`e biti samo ~ista udejstvenost ili, kako pri kraju osme glave pi{e (Met. 1074a36), usvrhovqenost. Ne sme se re}i ni da um misli, ali da ga ne{to drugo odre uje da misli. Um }e u tom slu~aju biti tek mogu}nost i stoga ne vi{e i najboqe bivstvo. Um, zatim, bez obzira da li je wegovo bivstvo mogu}nost mi{qewa ili udejstvenost mi{qewa, mo`e misliti: 1. ili samog sebe, 2. ili ne{to drugo. Ako misli ne{to drugo, onda je u pitawu ili 2.a. uvek ista stvar, ili 2.b. razli~ite stvari u razli~itim vremenima. Po{to u Aristotelovoj filozofiji postoji ontolo{ki primat onog mi{qenog, iz toga proizlazi da predmet mi{qewa uma mora biti ono {to je najbo`anskije i naj~asnije, a to opet zna~i da ne mogu biti razli~ite stvari u razli~itim vremenima. Svaka promena je, stoga, promena nagore. Stagiranin se nakon toga u Met. 1074b28 i daqe, vra}a na drugu pote{ko}u koja se spomiwe u Met. 1074b18-21, da bi je dodatno pojasnio. Ako je um samo mogu}- nost mi{qewa, onda }e mu neprekidnost mi{qewa biti naporna, 25 {to je dakako apsurdno re}i za ne{to sa toliko i takvih vrhunskih atributa. Osim toga, postoji jo{ jedan problem ako bi um bio samo mogu}nost mi{qewa. Predmet wegovog mi{qewa, koji je ne{to najbo`anskije, bio bi ~asniji od samog uma, jer ako je um samo mogu}nost, on je onda mogu}nost i ne~eg opre~nog, pa bi bilo mogu}e da se udelovi kao mi{qewe ne~eg najgoreg, tako da wegova udejstvenost, u tom slu~aju, ne bi morala biti ono najboqe. Sve ovo je nagnalo Aristotela da napusti ne samo nagove{taje da bi 25 O tome Aristotel pi{e i u Met. 1050b

15 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ um mogao biti mogu}nost, nego i ranije izre~enu pretpostavku da on mo`e misliti bilo {ta drugo mimo sebe samog. Kona~no, s obzirom na to da je um ono najbo`anskije i da je predmet wegovog umovawa tako e najbo`anskiji, i naj~asniji, um mora biti predmet vlastitog umovawa. I wegovo mi{qewe je, u stvari, mi{qewe mi{qewa. Aristotelovim re~ima kazano (Met. 1074b33-35): Dakle, on misli samog sebe, ako zaista jest to najboqe, i wegovo mi{qewe je mi- {qewe mi{qewa. 26 αὑτὸν ἄρα νοεῖ, εἴπερ ἐστὶ τὸ κράτιστον, καὶ ἔστιν ἡ νόησις νοήσεως νόησις. Re~i ako (um, K.) zaista jest to najboqe, imaju}i u vidu i bele{ku u Met. 1072a5-6, gde se ka`e da i Anaksagora svedo~i o primatu udejstvenosti nad mogu}no{}u svojim vi ewem uma kao udejstvenosti, po svoj prilici ukazuju na podatak da je Aristotel dobro prou~io Anaksagorino u~ewe o umu. U Klazomewaninovom podu`em fragmentu br. 12 (DK59B12) ka`e se, izme u ostalog, da nad svima wima vlada um 27 (πάντων νοῦς κρατεῖ), {to samo ide u prilog gorwoj tezi o uticaju Anaksagore na Aristotela u ovoj stvari. Za deo i wegovo mi{qewe je mi{qewe mi{qewa (καὶ ἔστιν ἡ νόησις νοήσεως νόησις), Ladan nudi i alternativni prevod: i wegovo je umovawe umovawe umovawa 28. Ovakav prevod ho}e samo da ot- 26 Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 434, p. 1074b Lojd (G. E. R. Lloyd) pi{e da mu se ~ini da odrednica mi{qewe mi{qewa ne doprinosi mnogo razumevawu prirode nepokretnog pokreta~a, ve} pre da na dramatski i pomalo neobi~an na~in ponovno kazuje istu stvar, naime da po{to predmet bo`anskog mi{qewa mora biti ono najboqe, onda to mora biti ono samo. G. E. R. Lloyd, Aristotle: the Growth & Structure of his Thought, Cambridge 1977, p Prev. S. Hosu. H. Dils, Predsokratovci fragmenti II, Naprijed, Zagreb 1983, str. 42, B12. Nem. izd. H. Diels, W. Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker II, Weidmann 1985, s , B Aristotel, Metafizika, Liber, Zagreb 1988, str Rosov prevod pomenutog pasusa iz Metafizike glasi: Therefore it must be itself that thought thinks (since it is the most excellent of things), and its thinking is a thinking on thinking. The Complete Works of Aristotle, Ed. by J. Barnes, volume two, trans. W. D. Ross, Princeton 1991, p Bonicov prevod istog mesta (Met. 1074b33-35) je: Sich selbst also erkennt die 169

16 @EQKO KALU\EROVI] kloni eventualne interpretativne pote{ko}e koje bi mogle nastati pogre{nim tuma~ewem prvospomenute verzije. Verzija prevoda sa umovawem, poku{ava i na taj na~in da naglasi da, od Platona pa nadaqe, u gr~koj filozofiji postoji razlika izme u pojmova umovawa (νόησις) i razumevawa (διάνοια), kao razlika, najjednostavnije re~eno, intuitivnog i diskurzivnog akta. Prevod mi{qewe bi mo`da mogao da zavede da se pomisli da je na datom mestu re~ o diskurzivnoj, a ne o intuitivnoj delatnosti. Sled misli ovakve argumentacije bi doveo do toga da bi i sintagma mi- {qewe mi{qewa mogla, pogre{no, da bude protuma~ena tako da je u pitawu refleksija qudskog samospoznavawa u smislu novovekovne filozofije subjektivnosti, svesti i samosvesti, {to je zasigurno daleko od Aristotela i wegove namere. Treba jo{ dodati da je νόησις, sem {to se mo`e analizirati iz subjektivnog ugla, kao delatni supstantiv umske udejstvenosti, tako e i ontolo{ki aspekt umske udejstvenosti, to jest objekt umovawa. Kada se sve sabere, sintagma νοήσεως νόησις kazuje da je bo- `anska umska bit kao ~ista i potpuna udejstvenost, u isti mah i vrhunska spoznajna delatnost i najvi{i predmet spoznavawa. 29 Utvr uju}i ovo, Aristotel }e jo{ dati i odgovor na pitawe kada je bitak mi{qewu i onom mi{qenom isti i za{to. On to ka- `e na slede}i na~in (Met. 1075a3-5): Ukoliko se to {to se misli i um ne razlikuju kod svega onog {to nema tvar, oni }e biti isto, i mi{qewe }e biti jedno s tim {to se misli. 30 οὐχ ἑτέρου οὖν ὄντος τοῦ νουµένου καὶ τοῦ νοῦ, ὅσα µὴ ὕλην ἔχει τὸ αὐτὸ ἔσται, καὶ ἡ νόησις τοῦ νουµένου µία. Vernunft, wenn anders sie das Beste ist, und die Vernunfterkenntnis (bzw. tätigkeit) ist Erkenntnis ihrer Erkentnis (- tätigkeit). H. Bonitz, Aristoteles' Metaphysik II, Hamburg 1984, s Stejs (W.T. Stace) pi{e da je bog mi{qewe, ali dodaje da on nije subjektivno mi{qewe. Aristotelov bog, po wemu, nije mi{qewe koje postoji u umu, nego objektivno mi{qewe koje je po sebi stvarno, nezavisno od bilo kog uma koji ga misli. Stejs zakqu~uje da je s pojmom boga Aristotelova metafizika dovr- {ena. W.T. Stace, A Critical History of Greek Philosophy, London 1950, p Prev. S. U. Blagojevi}. Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd 2007, str. 435, p. 1075a3-5. Ladan ka`e da bi se νοῦ ( um ) iz Met. 1075a4 moglo 170

17 ARISTOTELOV NEPOKRETNI POKRETA^ Mi{qewe i ono mi{qeno }e biti identi~ni, dakle, samo kod onih stvari koje nemaju tvari. Kada se u Met. 1075a7-9 ka`e da je ~ove~ji summum bonum ne{to {to je druga~ije od wega samoga, to je zato {to je ~ovek σύνθετον 31 (ne{to sastavqeno ), a to dakako podrazumeva i mno{tvo nerealizovanih mogu}nosti, pa i vreme potrebno za wihovu realizaciju. Nasuprot tome, bog, bivaju}i ~ista udejstvenost, mi{qewe sebe (αὐτὴ αὑτῆς ἡ νόησις), nema 'dobro' samo ovog ili onog trenutka, nego u nekom celom vremenu poseduje ono 'najboqe' i tako postoji za ~itavu ve~nost (τὸν ἅπαντα αἰῶνα) (Met. 1075a10). Aristotelovo odre ewe boga kao mi{qewa mi{qewa, kada se sumira na kraju, samo je dosledno izvedeno iz wegovog postavqawa mi{qewa na pijedestal svega. Jer ako se svo kretawe na kraju svodi na prvog pokreta~a koji je nepokretan i nepromenqiv, i koji u ~istoj udejstvenosti obavqa najvi{u mogu}u delatnost, a to je ~isto mi{qewe, onda je i predmet wegovog mi{qewa ponovo ono najboqe i najvi{e, naime mi{qewe, tako da je on, u kona~nom, ni{ta drugo do mi{qewe samoga sebe to jest mi{qewa. 32 prevesti i kao 'misao', {to, po autoru ovog rada, vi{e odgovara kontekstu date re~enice. Zanimqivo je i da deo τὸ αὐτὸ ἔσται ( oni }e biti isto ) (Met. 1075a4), Ros prevodi tako da precizira da je tu re~ o bo`anskom mi{qewu i onome {to je predmet wegovog mi{qewa ( the divine thought and its object will be the same ), to jest da }e oni biti isto. 31 Kako Aristotel upore uje τὸ σύνθετον, ono {to je pola bo`ansko a pola `ivotiwsko, sa bogom mo`e se videti i u EN 1177b28-29 i 1178a I Hegel smatra da se glavni momenat u Aristotelovoj filozofiji sastoji... u tvr ewu da su mi{qewe i ono {to se zami{qa identi~ni (G. V. F. Hegel, Istorija filozofije II, Kultura, Beograd 1964, str. 271). Re~ je, dakako, o onom poznatom na~elu identiteta mi{qewa i bitka, na kojem je po~ivala ne samo Aristotelova metafizika kao najvi{i oblik teorijskih znanosti, nego i anti~ko filozofsko mi{qewe u celini. 171

18 @EQKO KALU\EROVI] ZELJKO KALUDJEROVIC ARISTOTLE S UNMOVED MOVER SUMMARY In this paper the author analyzes Aristotle s specific understanding of God, primarily from the perspective of the twelfth book of the Metaphysics. The God of the Stagira philosopher, it is emphasized, is not something truly transcending the world, but present in all aspects of Greek life and slates of Greek reality. Aristotle s God did not even create the world, which has always been and always will be, it has only provided the eternal movement through the movement of the first heaven by thinking and through final cause. The Unmoved Mover, as the object of desire moves all things by being loved. His God is also totally depersonalized which makes it uwustified to put a capital letter when translating the Metaphysics, or any other of Stagirites writings, since in his theology there is no room for the Incarnation and real religious feelings. Eventually, Aristotle s definition of God as the thinking of thinking is only a consequently logical operation which results from the act of placing the thinking on the pedestal of all. Key words: God, Unmoved Mover, theology, teleology, actuality, in complete reality, thinking of thinking. 172

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Mr. Željko Kaluđerović UDK: 2-549.3:27-144 Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: 16.09.2005. BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 2: Αριστοτέλης ΙΙ Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα: Αριστοτέλης Ι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet - Odsjek za filozofiju Rezime Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir prije svega Stagiraninove

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu Filozofski fakultet, Novi Sad Odsek za filozofiju Stagiraninova aitiologija Sažetak: Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir pre svega

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Arhe XIV, 27/2017 UDK 1 Aristoteles 111 Originalni naučni rad Original Scientific Article ŽELJKO KALUĐEROVIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Novom Sadu STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Sažetak: Autor

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα