Vektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
|
|
- Εωσφόρος Μπότσαρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste putovali iz Beograda ka Heceg Novom, označena strelica predstavljala bi smer vektora. Razdaljina između Beograda i Herceg Novog je 550km i predstavlja intenzitet vektora. Kada biste se nakon završenog letovanja vraćali iz Herceg Novog za Beograd, vaš put obrazovao bi vektor istog pravca i intenziteta ali suprotnog smera u odnosu na početni vektor a koji se obeležava sa -a. #slika: Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika: Vektori a I b su, kao što vidimo sa slike, istog pravca i smera ali različitog intenziteta jer je razdaljina između Beograda I Zlatara manja I iznosi 230 km. 1. Neka vektor u predstavlja rastojanje između Niša i Leskovca i neka je vektor v rastojanje između Leskovca i Prištine. Odrediti vektor u + v, odnosno rastojanje između Niša i Prištine.
2 #slika: Objašnjenje: Nacrtmo sa strane vektore u i v. Dovedemo ih na zajednički početak i obeležimo taj početak slovom O. Docrtamo paralelogram koji obrazuju naši vektori i njima paralelne naspramne stranice. Obeležimo temena paralelograma sa O, N, M i P redom. Vektor OM, odnosno duža dijagonala paralelograma sa slike, biće traženi vektor i rastojanje između gradova Niša i Prištine. 2. Želimo da predstavimo dva grada, Beograd i Vršac, u Dekartovom koordinatnom sistemu. Neka je Beograd tačka B(0,0) i Vršac tačka V(8,6). Koje su koordinate grada koji se nalazi na pola puta između Beograda i Vršca? #slika:
3 Objašnjenje: Vektor koji predstavlja razdaljinu između Beograda i Vršca biće označen sa m. Traženi vektor ćemo označiti sa n. Traženi grad će biti tačka u Dekartoovom koordinatnom sistemu koja će ležati na pola putu između Beograda i Vršca, odnosno tački B i V. To znači da će koeficijent pravca vektora n biti ½. Koordinate novog grada onda dobijamo jednostavno: ½ * (8,6)=(4,3) Novi grad ima koordinate (4,3) i ako pogledamo kartu-to je Banatsko Novo selo. 3. Zamislite da jedrite Boko Kotorskim zalivom. Vaš jedrenjak se kreće brzinom od 22 čvora i ide ka jugu. Duva zapadni vetar i to brzinom od 7 čvorova. Kojom brzinom će ići vaš jedrenjak? # veća slika:
4 #Objašnjenje: Ako traženu brzinu obeležimo sa n, onda mi zapravo tražimo intenzitet tog vektora. Sa slike vidimo da trenutna brzina jedrenjaka i brzina zapadnog vektora obrazuju pravougli trougao sa rezultujućim vektorom. Traženi intenzitet vektora n se dobija preko Pitagorine teoreme: In*nI=7*7+22*22 In*nI=533 InI= 23 čvora Zbog relativno jakog zapadnog vetra, naš jedrenjak će ići brzinom od 23 čvora. 4. Ana, Bojan i Jovan žive u Kaluđerici. Njihove kuće su raspoređene na način prikazan na slici. Marija je Anina najbolja drugarica i živi na pola puta između Bojana i Jovana. Pokazati da će Ana preći istu razdaljinu kada ode do Bojana i kada ode do Jovana kao i kada dva puta poseti Mariju. #slika:
5 #Objašnjenje: Anina, Bojanova i Jovanova kuća predstavljaju temena trougla obeleženog sa A, B i J. Marija kuća je središte stranice BJ jer se nalazi na pola puta između Bojanove i Jovanove kuće. Na osnovu slike, vidimo da vektor AM možemo da predstavimo na dva načina: AM=AB+BM AM=AC+CM Ono što treba da pokažemo je: AB+AC=2*AM. Ukoliko saberemo ove dve relacije vezane za vektor AM, dobijamo: 2*AM=AB+BC+BM+CM=AB+BC+0=AB + BC Kada povežemo početak i kraj, dobijamo: AB+AC=2*AM, što je trebalo dokazati. U ovom zadatku se po prvi put pojavljuje nula vektor. Dobijen je kao zbir kretanja dva vektora istog pravca i intenziteta a suprotnog smera, a to su vektori BM i CM, kao što sa slike i možemo da vidimo. 6. Pokazati da tačke P,Q, R, S koje su središta četvorougla ABCD obrazuju paralelogram. #slika:
6 #Objašnjenje: Da se podsetimo: da bi četvorougao bio paralelogram, mora da ima međusobno paralelne naspramne stranice. Zbog načina na koji su zadate tačke P, Q, R, S znamo da važe relacije: P=(A+B)/2 R=(C+D)/2 P+R=(A+B+C+D)/2 Q=(B+C)/2 S=(A+D)/2 Q+S=(A+B+C+D)/2 Pošto važi: P+R=Q+S PQRS jeste paralelogram. 7. Dat je pravilan šestougao ABCDEF. Neka je M=S(DE), S=S(AM) i P=S(BC). Razložiti vektor SP po vektorima AB i AF.
7 #slika: #Objašnjenje: Na osnovu slike i zadatka 1, vidimo da se vektor SP može razložiti kao: SP= SM + MD + DC + CP (1) Sa slike 1 vidimo da isti ovaj vektor možemo zapisati u obliku: SP=SA + AB + BP (2) Ukoliko saberemo relacije (1) i (2), vidimo da: 2*SP=MD + DC + AB=(3/2)*AB - AF (3) Sređujući relaciju (3), odnosno množeći ceo izraz sa ½, konačno dobijamo: SP=(3/4)*AB-(1/2)*AF (4) Pošto je u relaciji (4) vektor SP predtavljen preko vektora AB i AF, to je njegovo traženo razlaganje.
8 MATEMATIČKI FAKULTET BEOGRAD METODIKA NASTAVE TROUGAO, ČETVOROUGAO, MNOGOUGAO, KRUG Student: Tamara Pavlović 196/2011
9 Trougao, četvorougao, mnogougao, krug Oblasti trougao, četvorougao, mnogougao i krug su veoma važne oblasti matematike. Sa njihovim osobinama upoznajemo se još u osnovnoj školi, ali su one neophodne za dalje proučavanje geometrije naročito kroz srednju školu. U ovom radu prikazaćemo osnovne formule i osobine koje su potrebne za izradu zadataka za prvi razred srednje škole, kao i zanimljive primere kojima bi mogli da približimo osnovcima, neke od značajnih osobina ovih oblasti. Mnogougaona (poligonalna) linija ili izlomljena linija je niz duži koje su nadovezane jedna na drugu. Te duži se zovu stranice. Tačka zajednička dvema uzastopnim stranicama zove se teme. Tačke na slobodnom kraju prve i poslednje stranice zovu se krajevi mnogougaone linije. Mnogougao je unija jedne mnogougaone linije i njene unutrašnje oblasti. Prema broju stranica razlikujemo trouglove (tri stranice), četvorouglove (četiri stranice), itd. Mnogougao može biti konveksan ili nekonveksan. Mnogougao je konveksan ako se ceo nalazi sa iste strane prave na kojoj leži bilo koja njegova stranica (trougao je uvek konveksan). Mnogougao koji nije konveksan je nekonveksan ili konavan. Takav mnogougao može sam sebe da seče. Uglovi trouglova: Trougao 1. Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je opruženom uglu. 2. Uglovi suplementni unutrašnjim uglovima trougla zovu se spoljašnji uglovi trougla. Zbir spoljašnjih uglova trougla jednak je punom uglu. 3. Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla. Trouglove delimo prema stranicama i uglovima. Prema stranicama ih delimo na : 1. Jednakostranične 2. Jednakokrake 3. Nejednakostranične
10 Prema uglovima ih delimo na: 1. Oštrougle 2. Tupougle 3. Pravougle Odnos stranica i uglova u trouglu: 1. Ma koja stranica trougla manja je od zbira, a veća od razlike ostale dve stranice. 2. Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi i obrnuto. 3. Naspram veće stranice nalazi se veći ugao i obrnuto. 4. Naspram manje stranice trougla leži oštar ugao trougla. 5. Najduža stranica tupouglog trougla je naspram tupog ugla. Značajne tačke trougla: 1. Oko svakog trougla postoji kružnica koja sadrži njegova temena. To se zasniva na činjenici da se simetrale stranica svakog trougla seku u jednoj tački koja predstavlja centar opisanog kruga oko trougla.
11 Primer 1: U osmišljavanju plana naselja koje se sastoji od tri solitera (nekolinearna), potrebno je odrediti gde treba izgraditi igralište tako da bude na istoj razdaljini od sve tri zgrade. Igralište bi trebalo izgraditi u tački centra opisanog kruga oko tri solitera. 2. Simetrale unutrašnjih uglova trougla seku se u jednoj tački. Ta tačka je jednako udaljena od stranica trougla, te je centar kružnice koja ih dodiruje, odnosno centar upisanog kruga u trouglu. Primer 2: Deo bašte ograđen je trougaonom ogradom. Treba zasaditi drvo tako da bude podjednako udaljeno od sve tri strane ograde. Drvo bi na osnovu prethodnog trebalo zasaditi u centru upisanog kruga trougaone ograde. 3. Ortocentar trougla je presečna tačka visina trougla.
12 Primer 3: Nikola se takmiči na biciklističkoj trci kroz državu. Staza je trougaona (sa oštrim uglovima). Nikolina mama želi da vidi sina kako vozi bicikl na svakom pravom delu staze, pritom želi da pređe minimalnu moguću razdaljinu. Ona povezuje svako teme staze sa ortocentrom i gleda gde svaka linija susreće suprotan deo staze. Na ovaj način je pronašla tri tačke sa kojih može da posmatra sina tokom trke, a da pritom pređe najmanju moguću razdaljinu. 4. Težišne linije ili duži trougla su duži koje spajaju temena sa sredinama naspramnih stranica. Težište trougla je presečna tačka težišnih duži u trouglu (težišne duži trougla seku se u odnosu 2:1) Težišne linije trougla dele trougao na šest trouglova jednakih površina. Primer 4: Potrebno je ofarbati trougaonu konstrukciju, a na raspolaganju imamo istu količinu šest različitih boja. Na koji način bi mogli da upotrebimo sve boje prilikom farbanja? Znamo da težišne linije trougla dele trougao na šest trouglova jednakih površina. Na osnovu toga, korišćenjem težišnih duži možemo ofarbati konstrukciju. Osnovne osobine četvorougla, mnogougla: Četvorougao, mnogougao 1. Zbir unutrašnjih uglova četvorougla jednak je punom uglu. 2. Zbir spoljašnjih uglova četvorougla jednak je punom uglu. 3. Četvorougao je paralelogram ako i samo ako važi bilo koji od navedenih uslova: - uglovi na svakoj stranici su suplementni
13 - oba para naspramnih uglova su parovi međusobno jednakih uglova - oba para naspramnih stranica su parovi međusobno jednakih stranica - dijagonale se uzajamno polove Mnogougao Mnogougao je moguće predstaviti veoma lepo preko razlaganja nekog mnogougla na manje i poznatije mnogouglove. To se može čak povezati sa primenom u građevinarstvu, što je u poznatom okruženju za učenike, a to je postavljanje parketa u sobi ili učionici, zatim postavljanje pločica u kupatilo i to posebno ako se stavlja u neki neobičan položaj. Sledeći zadatak bi mogao da bude zanimljiv učenicima osnovne škole. Grčki krst je figura sastavljena od pet podudarnih kvadrata, sledeći rebus potiče još iz drevne Indije. Zadatak 1: Raseći grčki krst na delove od kojih se može sastaviti kvadrat ( bez poklapanja unutrašnjih tačaka delova i bez praznina među delovima ). Rešenje je predstavljeno na slici, ali ćemo ipak dokazati da je četvorougao ABCD kvadrat i da se može sastaviti od pet delova na koje se grčki krst raspao pri povlačenju duži AB, BC, CD, DA.
14 Dokaz: Neka je GH = a. Tako je AB 2 = (2a) 2 + a 2, tj. AB 2 = 5a 2, a tako i BC 2 = 5a 2, CD 2 = 5a 2 i DA 2 = 5a 2. Odatle sledi da je AB = BC = CD = DA = a 5. Kako je AB dijagonala nekog pravougaonika čije su stranice 2a i a onda sledi da AB seče EG u F, pa je F središte duži EG i odatle je EF = HI = KM = ON. Kada posmatramo trouglove EFB i HIB uočavamo da je EB = BH = a, FEB = BHI = 90, kao i FE = HI = a/2, pa iz podudarnosti trouglova sledi da su trouglovi EFB i HIB podudarni, kao i da su trouglovi CMK, LDM, OND, OPA, AGF svi između sebe podudarni. Iz te podudarnosti sledi da su EFB = HBI, a odatle opet sledi: 90 = EBH = EBF + ABH = HBI + ABH = ABI = ABC. Takođe su i ostali uglovi četvorougla jednaki 90, pa je dokazano da je četvorougao ABCD kvadrat, kao i da se može sastaviti od tih pet delova na koje se grčki krst raspao povlačenjem duži AB, BC, CD, DA. Osnovne formule: 1. Broj svih dijagonala iz jednog temena mnogougla od n stranica je d n = n Broj svih dijagonala n-tougla je D n = n(n 3)/2 ( Iz svakog temena mnogougla možemo povući n 3 dijagonale, kako naš mnogougao ima n temena, ako iz svakog temena povučemo po n 3 dijagonale dolazimo do formule n(n 3), ali kako su svake dve dijagonale iste broj svih dijagonala n-tougla je n(n 3)/2.) 3. Zbir svih unutrašnjih uglova n-tougla je S n = (n - 2)* 180 Mnogougao čije su sve stranice i svi uglovi jednaki naziva se pravilan mnogougao. 4. Centralni ugao pravilnog n-tougla je ϑ = 360 /n 5. Unutrašnji ugao pravilnog n-tougla je α = ((n 2)* 180 )/n 6. Spoljašnji ugao pravilnog n-tougla je β = 360 /n
15 Kao što smo već rekli, mnogouglove je moguće veoma lepo predstaviti preko manjih i poznatijih mnogouglova. Pravilni mnogougao možemo predstaviti preko jednakostraničnih trouglova i na taj način lako dolazimo do navedenih formula. Osnovne osobine: Kružna linija ( kružnica, krug ) Periferijski ugao. Ugao čije teme pripada kružnoj liniji k, a kraci su tetive tog kruga, zove se periferijski ugao kružne linije k. Centralni ugao. Ugao čije je teme centar kružne linije zove se centralni ugao. - centralni ugao je dva puta veći od odgovarajućeg periferijskog ugla - svi periferijski uglovi nad istim lukom neke kružne linije jednaki su ili suplementni - periferijski ugao nad prečnikom je prav - trougao čija je jedna stranica prečnik opisanog kruga je pravougli Tangentni ugao. Ugao između tetive AB i tangente t jednak je periferijskom uglu nad tetivom AB. Tetivni četvorougao je četvorougao oko kojeg se može opisati krug. - naspramni uglovi kod tetivnog četvorougla su suplementni Tangentni četvorougao je četvorougao u koji se može upisati krug. - kod tangentnog četvorougla zbir naspramnih stranica je jednak U zadacima ćemo koristiti sledeću činjenicu. Zadaci za prvi razred srednje škole iz trougla SREDNJA LINIJA TROUGLA. Ako su M i N središta duži CA i CB redom trougla ABC onda važi da je AB paralelno sa MN i MN = ½*AB.
16 Zadatak 1: Neka je H ortocentar trougla ABC. Ako su K, L, M, N redom središta duži AB, AC,HC i HB dokazati da je četvorougao KLMN pravougaonik. REŠENJE: Duži KL i MN su srednje linije trouglova ABC i HBC i odgovaraju istoj ivici BC, pa su kao takve podudarne i paralelne ( KL = MN = ½*BC i KL i MN su paralelene sa BC). Dakle, četvorougao KLMN je paralelogram. Dovoljno je dokazati još i da mu je jedan ugao prav. Duž KN je srednja linija trougla ABH, pa je paralelna sa AH tj. sa visinom trougla iz temena A. Dakle, KN je upravna na ivici BC, odnosno njoj paralelnoj duži KL, pa je paralelogram KLMN zaista pravougaonik. Zadatak 2: a) Ako je dužina medijane trougla jednaka polovini dužine odgovarajuće stranice, tada je trougao pravougli. b) U pravouglom trouglu dužina medijane, koja odgovara hipotenuzi, jednaka je polovini dužine hipotenuze. REŠENJE: a) Označimo CAD = α i CBD = β. Znamo da je AD = DC = BD. Odatle vidimo da su trouglovi ADC i BCD jednakokraki, pa je CAD = ACD = α i DCB = DBC = β. Zbir uglova u trouglu ABC je α +α + β +β = 2(α + β) = 180, pa je odatle α +β = 90. Odavde sledi da je trougao ABC pravougli. b) Neka je u trouglu ABC, C = 90 i AD = DB. Neka je E tačka takva da je C D E i DE = CD. Tada je trougao ADE podudaran trouglu BDC (po dve jednake stranice i ugao između njih). Odavde je
17 ugao DCB = DEA, pa je AE paralelno sa CB, pa kako je BC normalno na AC, to je EA normalno na AC. Pravougli trouglovi ABC i EAC su, tada, podudarni, pa su njihove hipotenuze AB i CE jednakih dužina. Odavde sledi da je CD = ½*AB. Zadatak 3: Neka su P, Q i R redom središta stranica BC, CA, AB trougla ABC i neka je M podnožje visine iz temena A. Dokazati da je MQ = PR. REŠENJE: MQ = AC/2 jer je trougao AMC pravougli, a PR = AC/2 kao srednja linija trougla ABC, odavde sledi da je MQ = PR. Zadatak 4: Dokazati da svaki oštrougli trougao ima dva ugla čija je razlika manja od 30. REŠENJE: Pretpostavimo suprotno Tada je 60, pa je 180 = 60 tj Odavde i iz 30 sledi 30, odnosno 150. Kako je 30, dobijamo da je 0, što protivreči uslovu da je trougao oštrougli. Zadaci za prvi razred srednje škole iz četvorougla i mnogougla Zadatak 1: Koliko najviše oštrih uglova može imati konveksan mnogougao?
18 REŠENJE: Zbir spoljašnjih uglova konveksnog mnogougla je 360, pa takav mnogougao može imati najviše tri tupa spoljašnja ugla i prema tome najviše tri oštra unutrašnja ugla. Oštrougli trouglovi su, na primer, konveksni mnogouglovi sa tri oštra ugla. Zadatak 2: Ako su P i Q tačke u kojima srednja linija paralelna osnovicama seče dijagonale trapeza, dokazati da je duž PQ jednaka polurazlici osnovica. REŠENJE: MP i MQ su srednje linija trouglova CDA i ABD, odatle je MP = ½*CD, a MQ = ½*AB. Kako je PQ = MQ - MP, to je PQ = MQ - MP = ( AB - CD )/2. Zadatak 3: Dokazati da je trapez koji ima jednake dijagonale jednakokraki. REŠENJE: Docrtajmo tačku E tako da je BE = CD. Kako je BE = CD i BE paralelno sa CD, sledi da je BECD paralelogram. Kako je AC = CE, to je trougao ACE jednakokraki. Trouglovi ABS i CDS su takođe jednakokraki. Sad iz SA = SB i SC = SD sledi da je trougao ASD podudaran trouglu BSC, pa je AD = BC.
19 Zadatak 4: Simetrale unutrašnjih uglova na jednoj od bočnih stranica trapeza seku se pod pravim uglom u tački koja pripada srednjoj duži tog trapeza. Dokazati. REŠENJE: Da je X = 90 sledi neposredno iz činjenice da su A = α i B = β suplementni. X = ( α/2 + /2 ) = 90 Neka je M je središte duži AD. Težišna duž MX pravouglog trougla AXD jednaka je polovini hipotenuze pa je MX = MA =MD, dakle trougao AXM je jednakokraki i AXM = XAM odakle sledi da je MX paralelno sa AB ( uglovi sa paralelnim kracima ). Tačka X pripada srednjoj duži trapeza. Zadatak 5: Neka su M i N središta stranica BC i CD paralelograma ABCD. Prave AM i AN seku dijagonalu BD u tačkama K i L. Dokazati da je DL = LK = KB. REŠENJE: Docrtamo dijagonalu AC, S je presečna tačka dijagonala AC i BD. Dijagonale paralelograma se polove. Uočimo da je L težište trougla ACD, a K je težište trougla ABC, sledi da je DL = LK = KB.
20 Zadaci za prvi razred srednje škole iz kruga Zadatak 1: Neka je S središte upisanog kruga trougla ABC. Prava AS seče krug opisan oko trougla ABC, osim u A, još i u tački D. Dokazati da je CD = SD = BD. REŠENJE: Označimo sa A = α, B = β, C = γ. Jednakim kružnim lukovima odgovaraju jednaki periferijski uglovi pa je: DCB = DAB = α/2 ( periferijski uglovi nad lukom DB ) DBC = DAC = α/2 ( periferijski uglovi nad lukom CD) ADC = ABC = β ( periferijski uglovi nad lukom CA ) BDA = BCA = ( periferijski uglovi nad lukom AB ) Dalje imamo CSD = ( β + ( α + )/2 ) = α + β + - ( β + ( α + )/2) = ( α + )/2 = DCS, pa je CD = SD. Trougao CDB je takođe jednakokraki, pa je CD = BD. Zadatak 2: Oko kruga sa centrom O opisan je četvorougao ABCD. Dokazati da je AOB + COD = 180.
21 REŠENJE: Ako iz tačke O konstruišemo normale na stranice četvorougla, dobićemo četiri para podudarnih trouglova, pri čemu je Kako je = 360, a AOB + COD = ( ) = biće AOB + COD = ½*360 = 180. Zadatak 3: Dokazati da tačke u kojima se seku simetrale unutrašnjih uglova konveksnog četvorougla predstavljaju temena tetivnog četvorougla ( ili pripadaju jednoj pravoj ). REŠENJE: Označimo sa α, β, i uglove konveksnog četvorougla ABCD. Tada je AQB = ( α + β )/2 i DSC = ( + )/2, pa je AQB + DSC = ( α + β + + )/2 = 180.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραPOLIEDRI. Ivana Bojović 171/03
POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραUDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo,
ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE BOSNIA-HERZEGOVINA MATHEMATICAL SOCIETY BHMS Zmaja od Bosne 35, 7000
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα