1. Matematička logika Realni i kompleksni brojevi
|
|
- Ἄρτεμις Μαυρογένης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Matematiča logia Realni i omplesni brojevi 1. Sudovi Prediati Supovi i presliavanja Algebarse struture grupa, prsten, polje Relacije na supu Prirodni brojevi. Matematiča inducija. Binomna formula Cijeliiracionalnibrojevi Realnibrojevi Komplesnibrojevi Zadatci za vježbu Vladimir Ćepulić Daro Žubrinić
2 2 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Što je matematia? Čime se bavi? Sama riječ dolazi od grče riječi μαϑημα (mathema) znanje, u množini μαϑηματα (mathémata) znanja, znanost, posebice matematia. Od svojih početaa matematia se bavila oličinsim i položajnim odnošajima, što ne iscrpljuje sav njezin sadržaj. Moglo bi se reći, da matematia proučava sve što se može istraživati matematičom metodom, to jest polazeći od neih temeljnih činjenica, postavaa logičim zaljučivanjem dolaziti do novih. Polazne činjenice sažimlju se u sustavu asioma (grč. αξιoς, ásios dostojan, a iz njih se logičim zaljučivanjem doazima dolazi do novih činjenica, oje se izriču u obliu stavaa (teorema). Stava se redovito sastoji od pretpostavaa i tvrdnja. Radi lašeg izražavanja, za nove se pojmove uvode rati nazivi u definicijama. Zavisno o objetima oji se proučavaju, matematia se dijeli na pojedine teorije teoriju supova, brojeva, funcija i t.d. Sadržaj pojedine teorije tvore pripadni asiomi, definicije, te stavci s doazima. Temeljne oznae Podsjetimo se na nee važne supove, oje znamo iz srednje šole, a oji će nam stalno biti potrebni: 1. N = {1, 2, 3,...} sup prirodnih brojeva 2. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} sup cijelih brojeva 3. Q = { a a, b Z, b 0} sup racionalnih brojeva, cjelobrojnih razlomaa b 4. R sup realnih brojeva oji možemo predočiti brojnim pravcem. Svaoj njegovoj toči pridružen je nei realni broj i obratno, svaom broju nea toča Za zbroj i umnoža brojeva imamo oznae: n a i := a 1 + a a n, a i := a 1 a 2... a n. i=1 Znaom := isazuje se, da je izraz sa strane dvotočja oznaa za izraz s druge strane jednaosti. i= Sudovi Temeljni pojam matematiče logie je sud izricanje nee tvrdnje o neim objetima. Sudove obično označujemo slovima, na pr. a :"5> 3", b :"2> 7". Sud a je istinit, asud b je lažan. Svaom je sudu pridijeljena jedna i samo jedna od tih dviju vrijednosti istinitosti: T (engl. true-istinit) ili F (engl. false-lažan). Za sud x označujemo njegovu vrijednost istinitosti s v(x). Dale je v(a) =T, v(b) =F. Sudovima se bavi algebra sudova. Ona ih promatra samo s obzirom na njihovu istinitost, a ne i sadržaj. Stoga raće pišemo a = T, b = F.UzT i F rabe se i druge oznae, na pr. ("te") i ("ne te"), 1 i 0 i t.d.
3 1.1. SUDOVI 3 Logiče operacije Iz sudova tvorimo nove sudove logičim operacijama: Definicija 1. Nea su x i y sudovi. Logičim operacijama: 1. ("non", nije) negacija, 2. ("et", i) onjuncija, 3. ("vel", ili) disjuncija, 4. ("implicat", ima za posljedicu) impliacija, 5. ("aequivalet", jednaovrijedno je s) evivalencija dobivamo iz njih nove oznae: x, x y, x y, x y, x y. Istinitosti tih sudova definiraju se u ovisnosti o istinitosti sastavnica x, y ovao: x x T F F T Time su definirane i same logiče operacije. x y x y x y x y x y T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T Primjedba 1. 1) Konjuncija x y je istinita jedino ao su oba suda x, y istinita. 2) U disjunciji x y je " "t.zv.uljučni ili sa značenjem: ili x ili y ili oba. Stoga je disjuncija lažna jedino ad su oba suda x i y lažna. 3) Impliacija x y čita se "iz x slijedi y ", "ao je x, onda je y ", te se x zove pretpostava, y tvrdnja. Smatra se u matematici lažnom jedino ao je pretpostava x istinita, a tvrdnja y lažna. Sve drugo je "u redu", jer se za slučaj da x nije (istinit) ništa nije tvrdilo. Ao iz x slijedi y ažemo još daje x dostatan uvjet za y,jerčim je x onda je i y,adaje ynuždan uvjet za x,jernemože biti x, a da nije y,ao x y. Impliacija x y zove se još i zaljuča. 4) Evivalenciju x y čitamo " x je onda i samo onda, ao je y ", " x je točno onda ad je y ", " x je nuždan i dostatan uvjet za y ". Evivalencija je istinita točno onda ad su x i y jednae istinitosti, t.j. oba istinita ili oba lažna. Primjer 1. a) x 2 > 1jenuždan uvjet za x > 1 b) x < 2 je dostatan uvjet za x 2 > 4 c) x > 2jenuždan i dostatan uvjet za x 2 > 4. S pomoću logičih operacija i zagrada tvorimo složene sudove formule algebre sudova, napr. (x y), (x y) (y x). Za svai slog (izbor) istinitosti sudova sastavnica nee formule jednoznačno je odredena - istinitost formule. To se pridruživanje zove Booleova ili logiča funcija, a priazujemo ju t.zv. tablicom istinitosti.
4 4 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 2. Naći Booleovu fuciju za (x y) x y y x y (x y) T T F F T T F T T F F T F F T F F T F T Vidimo da (x y) i x y imaju iste Booleove funcije. Za formule oje imaju iste Booleove funcije ažemo da su istovrijedne ili logiči evivalentne, oznaom. Na pr. x y (x y) x y (provjeriti!) Navest ćemo jošneevažnije istovrijedne formule. Stava 1. Vrijedi: 1. ( x) x pravilo dvostrue negacije 2. x (y z) (x y) (x z), x (y z) (x y) (x z) distributivnost 3. (x y) x y, (x y) x y De Morganove formule 4. x y (x y) (y x) 5. x y y x obrat po ontrapoziciji 6. (x y) x y. Doaz. S pomoću tablica istinitosti. Zamjenom formule ili njezinog dijela s istovrijednim izrazom dobivamo novu formulu istovrijednu s prvotnom. Primjer 3. (x y) ( (x y)) 1. x y. Primjer 4. Naći Booleovu funciju za (x y) (y x). x y x y y x (x y) (y x) T T T T T T F F T T F T T F T F F T T T Ova formula istinita je za sve slogove istinitosti. Ao je nea formula istinita za sve slogove istinitosti, ažemo da je identiči istinita ili tautologija ( T ). Ao je pa lažna za sve slogove istinitosti ažemo da je identiči lažna ( F ). Identiči istinite formule temelj su logičoga zaljučivanja. Navodimo nee važnije tautologije: Stava 2. Sljedeće formule su identiči istinite: 1. (x (x y)) y (modus ponens) 2. ((x y) y) x (modus tollens) 3. (( x y) y) x (doaz iz protuslovlja) 4. ((x y) (y z)) (x z) (zaon silogizma) Doaz. S pomoću tablica istinitosti ili zamjenama po istovrijednosti.
5 1.2. PREDIKATI Prediati Jednostavni sudovi obično izriču nea svojstva objeata, oji se promatraju ili odnošaje, relacije medu - njima. Sup svih promatranih objeata nee teorije zvat ćemo univerzalnim supom ioznačavat ćemo s U, a za objete iz U ažemo da su njegovi elementi. Primjer 5. Nea je U = N. Rečenice ao P(x) : "x 2 < 5", Q(x 1, x 2, x 3 ) : " x 1 + x 2 = x 3 " nisu ni istinite ni lažne, dale nisu sudovi, ali uvrštenjem onretnih x, x 1, x 2, x 3 iz U postaju sudovi. Na pr. P(2) : "2 2 < 5 " je istinit, P(3) =F, Q(1, 4, 5) =T (1 + 4 = 5), a Q(5, 1, 4) =F ( ). Tave rečenice, "sudne forme", zovu se prediati. Definicija 2. Sudna forma P(x 1, x 2,..., x n ) oja za svai slog (izbor) elemenata x 1, x 2,..., x n univerzalnog supa U postaje sud zove se n -mjesni prediat na U. Sup C P svih slogova (x 1, x 2,..., x n ) elemenata iz U za oje je P(x 1, x 2,..., x n ) istinit zove se araterističan sup prediata P. On potpuno odreduje - P u logičom smislu, t.j. s obzirom na istinitost. Primjer 6. Nea je U = N. Za prediat P(x, y) : "x + y = 5" je C P = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}. Iz prediata možemo tvoriti nove prediate logičim operacijama. Primjer 7. Nea je P(x) : "x 2", Q(x) : "x 5 ". Definiramo novi prediat R(x) = P(x) Q(x) : " x 2" " x 5", t.j. " 2 x 5". Sada je na pr. R(3) = P(3) Q(3) ="3 2" "3 5"= T T = T, R(7) =P(7) Q(7) =T F = F. Očevidno je C R = {2, 3, 4, 5}. Definicija 3. Kažemodajeprediat P(x 1,..., x n ) identiči istinit ( T ), ao je istinit za sve slogove elemenata od U, adajeidentiči lažan, ao jelažan za sve slogove elemenata od U. Primjer 8. Za U = N je prediat P(x, y, z) : "x 2 + y 2 + z 2 < 3 " identiči lažan, jer niti najmanja vrijednost lijeve strane = 3nijemanjaod3. Dale je P(x, y, z) F. Primjer 9. Za U = R je Q(x, y) :"x 2 +y 2 0 " uvije istinit, t.j. identiči istinit, Q(x, y) T. U logici važnu ulogu imaju "vantifiatori" i. Oni iz 1 -mjesnih prediata tvore sudove.
6 6 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Definicija 4. Nea je P(x) prediat na U. Sud xp(x) ("za svai x je P(x) ") je istinit, ao je P(x) T, t.j. ao je P(x) identiči istinit. Sud xp(x) ("za nei x je P(x) ") je istinit, ao nije P(x) F, t.j. ao sud P(x) nije identiči lažan, dale ao opstoji a U za oji je P(a) istinit. Možemo to zapisati i ovao: xp(x) := (P(x) T), xp(x) := (P(x) F). Primjer 10. a) Za U = R je x(x 2 0) =T; x(x 2 = 2) =T -za x = 2 ili x = 2jex 2 = 2. b) Za U = Q je x(x 2 = 2) =F, jer 2i 2 nisu racionalni brojevi. Stava 3. Nea je P(x) bilo oji jednomjesni prediat. Onda vrijedi: 1. xp(x) x P(x) 2. xp(x) x P(x) 3. xp(x) xp(x) Doaz. 1. Ao nešto nije za svai x, onda za nei x nije. 2. Slijedi iz 1. zamjenjujući P(x) s P(x), a zatim negirajući obje strane. 3. Očevidno. Tvrdnje 1. i2. zovu se De Morganove formule za prediate. Veoma su važne pri negaciji formula s vantifiatorima. Negacija presače vantifiator tao da ga mijenja u onaj drugi. Primjer 11. Nea je U = {2, 3, 4}, P(x, y) : "x y ". Vidimo da je C P = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Sada je izraz xp(x, y) jednomjesni prediat xp(x, y) =P 1 (y), jer za svai onretni y postaje sud. Naime: za y = 2jeP 1 (2) = x(x 2) =T, za y = 3jeP 1 (3) = x(x 3) =F (uzimljući x = 2), za y = 4jeP 1 (4) = x(x 4) =F (uzimljući x = 2 ili x = 3). Vidimo da je yp 1 (y) =F, yp 1 (y) =T, jer je P 1 (3) =F, P 1 (2) =T. To možemo zapisati i u obliu y xp(x, y) =F, y xp(x, y) =T. Vrijedi i općenito: Opetovanom primjenom po jednog vantifiatora za svao mjesto x i prediata P(x 1,..., x n ) dobivamo iz n -mjesnog prediata sud. Primjer 12. U = R; 1. x y(x + y = y) =F, jer ovdje x mora biti 0, 2. x y (x + y = 0) =T, ovdje je y = x, 3. x y (x + y = y) =T, taav je x = 0.
7 1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA Supovi i presliavanja Nea je U univerzalni sup, uupnost promatranih objeata. Kažemo, da je na U definiran sup S, ao se za svai objet x iz U znade pripada li supu S, oznaom x S, ili mu ne pripada, oznaom x / S. Svaom dale supu S možemo pridružiti njegov prediat pripadanja S(x), oji je istinit za one x oji pripadaju S, alažan za ostale. S je dale araterističan sup svoga prediata, S = C S(x). Često pišemo S = {x S(x)}, što čitamo: " S je sup svih x (iz U), za oje je (istinit) S(x) ". Primjer 13. Nea je U = N, S = {1, 2, 3} = {x x < 4} = {x x 2 < 12}. Vidimo, da različiti prediati mogu definirati isti sup. Primjer 14. Za U = R označujemo R + = {x x > 0}, R 0 + = {x x 0}. Definicija 5. Nea su S, S 1, S 2 supovi definirani na U. Definiramo operacije na supovima: a) S := {x x / S} = {x (x S)} omplement ili dopuna supa S, b) S 1 S 2 := {x x S 1 x S 2 } presje supova S 1 i S 2, c) S 1 S 2 := {x x S 1 x S 2 } unija ili spoj supova S 1 i S 2, d) S 1 \ S 2 := {x x S 1 x / S 2 } razlia supova S 1 i S 2, i relacije medu - supovima: e) S 1 S 2 x(x S 1 x S 2 ) S 1 je podsup od S 2, f ) S 1 = S 2 x(x S 1 x S 2 ) sup S 1 je jedna supu S 2. Primjedba 2. Za svai sup S je S prazan sup je podsup svaoga supa. Slično ao u slučaju dvaju supova definiramo presje i uniju više supova S 1, S 2,..., S n : 1. presje n S i := S 1 S 2... S n = {x x S 1 x S 2... x S n }, 2. unija i=1 n S i := S 1 S 2... S n = {x x S 1 x S 2... x S n }. i=1 Opisat ćemo još jednu onstruciju oja se često pojavljuje u matematici:
8 8 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Definicija 6. Nea su S 1, S 2,..., S n supovi na U. Sup poredanih n -teraca (slogova) S 1 S 2... S n := {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 S 1 x 2 S 2... x n S n } = {(x 1, x 2,..., x n ) ix i S i } zove se Kartezijev umnoža (produt) supova S 1, S 2,..., S n. Primjer 15. S 1 = {1, 4}, S 2 = {2, 3, 5}, S 1 S 2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5)}. Primjer 16. Sup R 2 := R R = {(x, y) x R y R} možemo predočiti ao sup točaa ravnine XOY. Presliavanja Jedanodnajvažnijih pojmova u matematici je pojam presliavanja. Definicija 7. Nea su S 1 i S 2 supovi na U. Kažemo da je f presliavanje supa S 1 usup S 2, oznaom f : S 1 S 2, ao je svaom x S 1 pridružen neim propisom f jedincati y S 2, oznaom f : x y ili raće y = f (x). Pri tom se y zove f -slia originala x. S 1 i S 2 zovu se još i polazni dotično dolazni sup presliavanja f. Dva presliavanja f : S 1 S 2 i g : T 1 T 2 su jednaa, f = g, onda i samo onda, ao je S 1 = T 1, S 2 = T 2, te za sve x S 1 vrijedi f (x) =g(x). Nea je f : S 1 S 2. Sup S 1 zove se područje definicije ili original presliavanja f, a sup f (S 1 ) := {f (x) x S 1 } S 2 je područje vrijednosti ili slia od f. Drugi su nazivi područje i protupodručje, domena i odomena. Ta područja označujemo i oznaama: D(f )=S 1, f (D) =f (D(f )) = f (S 1 ). Presliavanja od ojih je S 1 R, S 2 = R zovu se realne funcije realne varijable. Uolio je realna funcija zadana neim matematičim izrazom, zovemo njezinim (prirodnim) područjem definicije sup realnih brojeva na ojem je taj izraz definiran. Primjer 17. Nea je U = R. a) Za f (x) = x je D(f )=R + 0, ataoder - f (D) =R + 0 (razliujemo funcije x i x ), b) f (x) =x 2 + 1, D(f )=R, f (D) =[1, +, c) f (x) =sin x, D(f )=R, f (D) =[ 1, 1]. Sl. 1.1.
9 1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA 9 U daljnem ćemo iz pratičnih razloga uz vantifiatore i pripadajuće elemente pisati supove iz ojih su ti elementi, uolio se vantifiator odnosi samo na podsup od U. U tom smislu je ( x S)P(x) x(x S P(x)) ( x S)P(x) x(x S P(x)). Definicija 8. Nea je f : S 1 S 2, t.j. D(f )=S 1, f (D) S 2. a) Presliavanje f : S 1 S 2 je surjetivno (surjecija) ili presliavanje S 1 na S 2, ao je f (D) =S 2, t.j. ao je svai y S 2 slia neoga x S 1, dale: y S 2 x S 1 f (x) =y. b) Presliavanje f : S 1 S 2 je injetivno (injecija), ao različiti originali imaju uvije različite slie, t.j. ao x 1, x 2 S 1 x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). ( ) Poradi a b b a ( ) je evivalentno s x 1, x 2 S 1 f (x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2. ( ) c) Kažemo da je f : S 1 S 2 bijetivno presliavanje (bijecija), ao je injetivno i surjetivno, t.j. ao vrijedi: 1. S 2 = {f (x) x S 1 } t.j. y S 2 x S 1 y = f (x), 2. x 1 S 1 x 2 S 1 f (x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2. Primjer 18. a) x n za neparne n, e x, ln x su injetivne funcije na prirodnom području definicije b) x n za parne n, sin x, cos x, tg x, ctg x nisu injetivne c) f : R R, f (x) =e x nije surjetivna. Naime, f (D) ={e x x R} = = 0, + = R + R. d) g : R + R, g(x) =ln x je surjetivna, g(d) ={ln x x R + } = R i injetivna, dale je g bijecija. Definicija 9. Nea je f : S 1 S 2, X S 1. Onda je f (X) := {f (x) x X} f -slia podsupa X. Očevidno je f (X) S 2. Ograničimo li se u djelovanju f na podsup X, dobivamo novo presliavanje restriciju ili suženje presliavanja f na X, oznaom f X. Dale je: f X : X S 2, pri čemu je (f X )(x) =f (x) za svai x X. Za g = f X je dale D(g) =X, g(d) =f (X).
10 10 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 19. a) Što znači da f : S 1 S 2 nije surjecija? De Morganove formule za prediate daju nam: ( y S 2 )( x S 1 )(y = f (x)) ( y S 2 )( x S 1 )(y f (x)), t.j. ima nei y S 2 oji nije slia nijednoga x S 1. b) Što znači da f : S 1 S 2 nije injecija? Uzimljući u obzir (a b) a b imamo: ( x 1 S 1 )( x 2 S 1 )(x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )) ( x 1 S 1 )( x 2 S 1 )(x 1 x 2 f (x 1 )=f (x 2 )), t.j. postoje (barem) dva različita elementa u S 1, oja f presliava u isti element iz S 2. Kompozicija funcija Uz nee uvjete iz presliavanja se izvode nova t.zv. ompozicijom. Definicija 10. Nea su S 1, S 2 i S 3 supovi, te f : S 1 S 2, g : S 2 S 3. Kompozicija ili sastava g f tih presliavanja je presliavanje: g f : S 1 S 3, definirano ovao: x S 1 (g f )(x) =g[f (x)]. Sl Primjedba 3. 1) Kompozicija bijecija je opet bijecija. (poazati!) 2) Kompozicija presliavanja je asocijativna, t.j. za f : S 1 S 2, g : S 2 S 3, h : S 3 S 4 vrijedi: h (g f )=(h g) f : S 1 S 4. (poazati!) 3) Bijetivno presliavanje f : S S zove se permutacija ili premjestba supa S ili rato: bijecija na S. Permutacija id S : S S, x Sid S (x) =x, oja svai x iz S presliava u njega samoga zove se identičo presliavanje ili identitet na S. Očevidno za svai f : S 1 S 2 vrijedi f id S1 = id S2 f = f. Definicija 11. Nea je f : S 1 S 2. Presliavanje g : S 2 S 1 zove se inverzno presliavanje od f,aoje: x S 1 g[f (x)] = x, y S 2 f [g(y)] = y, t.j. ao je g f = id S1, f g = id S2 (vidi sliu):
11 1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA 11 Važne su činjenice: Sl Stava 4. Za presliavanje f : S 1 S 2 opstoji inverzno presliavanje g : S 2 S 1 onda i samo onda, ao je f bijecija. U tom slučaju je i g bijecija. Inverzno presliavanje je jedincato i označujemo ga f ( 1). Doaz. 1) Pretpostavimo, da je g inverzno presliavanje od f. Za y S 2 je y =(f g)(y) = f (g(y)) = f (x), uz x = g(y). Dale je f surjecija. Ao su x 1, x 2 S 1 i f (x 1 )=f(x 2 ), onda je g[f (x 1 )] = g[f (x 2 )],paje x 1 = x 2,jerje g f = id S1. Stoga je f injecija. Doazali smo da je f bijecija. Kada bi i h : S 2 S 1 bilo inverzno presliavanje za f, bilo bi za svai y S 2,te x za oji je f (x) =y (surjetivnost od f!): h(y) =h[f (x)] = x = g[f (x)] = g(y), pa je h = g. Stoga je inverzno presliavanje jedincato. 2) Pretpostavimo, da je f bijecija. Za svai y S 2 opstoji x S 1 taav da je f (x) =y (surjetivnost od f!) i taav je x samo jedan, jer iz f (x )=f(x) slijedi x = x (injetivnost). Definiramo g(y) =x, za oji je f (x) =y. Sad je g(y) =g[f (x)] = x i f (x) =f [g(y)] = y, te je g f = id S1, f g = id S2, dale je g inverzno presliavanje od f. Očevidno su g i f medusobno - inverzni, pa je po doazanom i g bijecija, jer ima inverzno presliavanje f. Stava 5. Ao su f : S 1 S 2 ig: S 2 S 3 bijecije, onda je (g f ) ( 1) = f ( 1) g ( 1). Doaz. Poradi asocijativnosti ompozicije je (g f ) (f ( 1) g ( 1) )=g (f f ( 1) ) g ( 1) =(g id S2 ) g ( 1) = g g ( 1) = id S2 islično (f ( 1) g ( 1) ) (g f )=id S1. Dale je (g f ) ( 1) = f ( 1) g ( 1). Primjer 20. Promatramo realne funcije f : R R + 0, f (x) =x 2 i g = f R0 +. Funcija f nije injetivna, f ( x) =f (x) =x 2, pa nema inverzne funcije. Funcija g = f R0 + je surjetivna i injetivna, dale bijetivna, pa ima inverznu funciju g ( 1) = x, g ( 1) : R + 0 R + 0. Stava 6. Nea je S neprazan sup. Za sve bijecije supa S na sama sebe i njihove ompozicije vrijedi: 1. Ao su f i g bijecije na S, onda je i f g bijecija na S. 2. Ao su f, g, h bijecije na S, onda je f (g h) =(f g) h -asocijativnost. 3. Opstoji "jedinična" bijecija id S, tava da je za svau bijeciju f na S id S f = f id S = f. 4. Za svau bijeciju f : S S opstoji bijecija f ( 1) : S S tava da je f ( 1) f = f f ( 1) = id S. Doaz. Tvrdnje slijede neposredno iz prethodnih rezultata.
12 12 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 1.4. Algebarse struture grupa, prsten, polje Posve slične oolnosti ao navedene u supu bijecija supa S na sama sebe, uz ompoziciju ao operaciju vrijede i u mnogim drugim primjerima supova s operacijama, te su povod definiranju temeljne algebarse struture grupe. Definicija 12. Nea je na supu G definirano presliavanje : G G G, oje svaom poredanom paru (a, b) elemenata iz G pridružuje jednoznačno odredeni - element a b iz G. Kažemo, da je na G definirana binarna operacija ("ružić"). Definicija 13. Kažemo da je neprazan sup G na ojem je definirana binarna operacija, grupa s obzirom na tu operaciju, ao vrijedi: 1. za sve a, b, c G vrijedi a (b c) =(a b) c asocijativnost 2. opstoji element e G taav da za sve a G vrijedi a e = e a = a. Element e zove se neutralni element. 3. za svai a G opstoji a G taav da je a a = a a = e. Element a zove se inverzni element elementa a. Ao još vrijedi i 4. za svai a G i b G je a b = b a ažemodajegrupa G omutativna ili abelova. Grupu G s operacijom bilježimo (G, ). Lao se poaže, da su neutralni element i inverzni element za svai pojedini a jedincati. Primjedba 4. Uslučaju zbrojidbenog zapisa binarne operacije, t.j. za " " " + " neutralni element se bilježi ao 0 (ništica, nula), a inverzni element od a ao a (suprotni element). U slučaju množidbenog zapisa " " " " neutralni element se bilježi ao 1 (jedinica), a inverzni ao a 1. Primjer 21. Primjeri omutativnih grupa su (R, +), (R \{0}, ), ({1, 1, i, i}, ) i td. Primjer najmanje neomutativne grupe je sup bijecija supa S = {1, 2, 3} na S s obzirom na ompoziciju. Primjer 22. Sup svih bijecija na nepraznom supu S s obzirom na ompoziciju ao binarnu operaciju je, ao smo poazali, grupa. Stava 7. U grupi (G, ) vrijedi: 1. Iz a x = a y slijedi x = y. 2. Iz x a = y a slijedi x = y. 3. Jednadžba a x = b ima jedincato rješenje x = a b. 4. Jednadžba x a = b ima jedincato rješenje x = b a. 5. (a b) = b a. Doaz. Na pr. 1. a x = a y a a x = a a y e x = e y x = y 3. a x = b a a x = a b e x = x = a b 5. analogno ao od bijecije.
13 1.5. RELACIJE NA SKUPU 13 Definicija 14. Neprazan sup R na ojem su definirane dvije binarne operacije + i je prsten, oznaom (R, +, ), ao je: 1. (R, +) omutativna grupa 2. Za a, b R je a (b c) =(a b) c. 3. Za a, b, c R je (a + b) c = ac + bc, c(a + b) =ca + cb -distributivnost. (R, +, ) je prsten s jedinicom, aojoš vrijedi: 4. U R opstoji element 1 taav da je a 1 = 1 a = a za svai a R. Primjer 23. Sup cijelih brojeva je prsten (Z, +, ) za operacije zbroja i umnoša i to je prsten s jedinicom. Definicija 15. Neprazan sup (R, +, ) je polje, ao je 1. (R, +) je omutativna grupa 2. (R \{0}, ) je omutativna grupa 3. Vrijede zaoni distribucije za a, b, c R je (a+b) c = ac+bc, c(a+b) =ca+cb. Primjer 24. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) su polja Relacije na supu Definicija 16. Kažemo, da je na supu S definirana relacija ρ,aoje ρ S S. Za svai (x, y) S S je dale (x, y) ρ ("x i y su u relaciji ρ ") ili (x, y) / ρ ("x i y nisu u relaciji ρ "). Često umjesto (x, y) ρ pišemo raće xρy ("x je u relaciji ρ s y "). Primjer 25. Relacija "biti dijete istih roditelja" je relacija na supu ljudi. Relacija može imati nea važna svojstva. Definicija 17. Kažemo da je relacija ρ na supu S 1. reflesivna, ao je x xρx, t.j. svai je element u relaciji sam sa sobom 2. simetrična, ao x y xρy yρx, t.j. ao iz činjenice da su x i y u relaciji slijedi da su i y i x u relaciji općenito je za relaciju bitan poreda u paru (x, y) 3. antisimetrična, ao x y (xρy yρx y = x), t.j. za različite elemente x i y ne može istodobno biti i xρy i yρx 4. tranzitivna, ao x y z (xρy yρz xρz), t.j. ao iz činjenice da su x i y u relaciji, te y i z u relaciji slijedi da su i x i z u relaciji. Definicija 18. Relacija oja je reflesivna, simetrična i tranzitivna zove se relacija evivalencije. Relacija oja je reflesivna, antisimetrična i tranzitivna zove se relacija poreta.
14 14 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 26. Relacija " = " na R je relacija evivalencije: 1) a R a = a 2) a, b R a = b b = a 3) a, b, c R a = b b = c a = c Nei drugi primjeri su sličnost trouta, usporednost pravaca, "biti dijete istih roditelja". Primjer 27. Na supu P(S) podsupova supa S, t.zv. partitivnom supu supa S, P(S) ={X X S} je " " relacija poreta: 1) X S je X X 2) Ao su X, Y S iz X Y i Y X slijedi Y = X 3) Ao su X, Y, Z S iz X Y i Y Z slijedi X Z Prirodni brojevi. Matematiča inducija. Binomna formula Sup prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} čini se jednostavnim, medutim - on je neizmjerno složen, pun otvorenih problema. U matematici se do rezultata često dolazi esperimentiranjem. Na pr. nea slutnja A(n) oja ovisi o prirodnom broju n poaže se da je istinita za nee početne prirodne brojeve, na pr. za n = 1, 2, 3. Važan problem je može li se istinitost te slutnje doazati za sve n. O tome govori načelo matematiče inducije. Načelo matematiče inducije se najjednostavnije vidi u dječjoj igri domina. Pretpostavimo da su na čvrstoj podlozi postavljena domina oomito na najmanjoj strani, u slijedu jedno iza drugog, s lijeva na desno, označena redom prirodnim brojevima. Pretpostavimo da su ispunjena ova dva uvjeta: 1) prvo domino palo je na desnu stranu; 2) ao je za bilo oji n N na desno palo n -to domino, onda će na desno pasti i n + 1 -vo domino. Tvrdnjajedaće onda pasti sva domina. U supu prirodnih brojeva vrijedi: Načelo matematiče inducije Ao je nea tvrdnja oja ovisi o prirodnom broju n istinita za nei prirodan broj n 0, i ao iz istinitosti te tvrdnje za n N ( n n 0 ) slijedi da je istinita iza n + 1, onda je ona istinita i za sve n N oji su veći od n 0. RAZMIŠLJAMO OVAKO. Označimo tvrdnju s A(n). Pretpostave su dale: 1) A(n 0 )=T, baza inducije; 2) vrijedi A(n) = T A(n + 1) = T, ora inducije. Rabeći 1) i 2) dobivamo da vrijedi A(n 0 )=T A(n 0 + 1) =T A((n 0 + 1)+ 1) =A(n 0 + 2) =T... A(n 0 + 3) =T... Tvrdnja će biti dale istinita za sve prirodne brojeve veće od n 0.
15 1.6. PRIRODNI BROJEVI. MATEMATIČKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 15 Primjer 28. Za sve prirodne brojeve n vrijedi n = n(n + 1). 2 Doažimo to matematičom inducijom. 1) Za n 0 = 1 tvrdnja vrijedi, jer je 1 = ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za nei n, tj. A(n) T, dale da je Onda je n(n + 1) n =. 2 n(n + 1) n +(n + 1) = +(n + 1) 2 = n )((n + 1)+1) (n + 2) =(n, 2 2 pa tvrdnja vrijedi i za n + 1, A(n + 1) T. Time je prema načelu matematiče inducije tvrdnja doazana za sve n. Primjer 29. Doažimo matematičom inducijom da za sve prirodne brojeve n vrijedi n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1). 6 1) za n 0 = 1 tvrdnja vrijedi, jer je 1 2 = ) Pretpostavimo da je A(n) = T, tj. da za nei prirodan broj n vrijedi n 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). Onda je (n + 1) 2 =( n 2 )+(n + 1) 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1)+(n + 1)2 6 = 1 (n + 1)[n(2n + 1)+6(n + 1)] 6 = 1 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 = 1 (n + 1)((n + 1)+1)(2(n + 1)+1). 6 Dale, A(n + 1) =T. Time je doazano da je formula istinita za sve n N.
16 16 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Binomni oeficijenti Veliu važnost u matematici, osobito u ombinatorici, imaju binomni oeficijenti. Za zadani prirodan broj n i bilo oji {0, 1, 2,...,n} definiramo n(n 1)...(n + 1) :=, = 1, 2,...,n,! := 1. 0 Ovdje je! ( fatorijela) broj definiran sa! := ,0!:= 1. Primijetite da u definiciji binomnog oeficijenta u brojniu imamo padajući umnoža točno uzastopnih prirodnih brojeva počevši od n, a u nazivniu rastući umnoža brojeva počevši od 1. Na pr. = n ( ) ( ) n 1 1 = n, n(n 1) n n(n 1)(n 2) =, = Vrlo lao je provjeriti da je (n ) n! =!(n )! ( ) ( ) n n odale odmah slijedi svojstvo simetrije =.Napr. n ( ) ( ) ( ) ( ) n n 7 7 = = 1, = = n = 35. Vrijedi taoder - (n ) ( ) ( ) n n =, = 1, 2,...,n. 1 Doista, ( ) ( ) n n n(n 1)...(n + 1) n(n 1)...(n ( 1)+1) + = + 1! ( 1)! n(n 1)...(n + 2)[(n + 1)+] =! ( ) (n + 1)n(n 1)...((n + 1) + 1) n + 1 = =.! Ta relacija nam daje i poznati Pascalov trout binomnih oeficijenta: ( 1 1 ) ( 1 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( ( ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( )
17 1.6. PRIRODNI BROJEVI. MATEMATIČKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 17 Po lijevom i desnom rubu trouta su jedinice, a svai unutarnji broj je zbroj svoga lijevog i desnog susjeda iz prethodnog reta. Iz Pascalova trouta možemo očitati potencije binoma 1 + x : (1 + x) 0 = 1 (1 + x) 1 = 1 + x (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 (1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x Evo zašto. Binomna formula Stava 8. Nea su a i b bilo oja dva realna broja, i n bilo oji prirodan broj. Onda vrijedi binomna formula: ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n + a n 1 b + a n 2 b ab n 1 + b n 1 2 n 1 = a n b. =0 Često se binomna formula zapisuje i u ovom jednostavnijem obliu, gdje je x bilo oji realan broj: ( ) ( ) ( ) n n n (1 + x) n = 1 + x + x x n 1 + x n 1 2 n 1 = x =0 DOKAZ. Doazat ćemo najprije jednostavniji obli binomne formule, i to inducijom po n. 1) Za n = 1 tvrdnja vrijedi, jer je (1 + x) 1 = 1 + x = 1 + ( 1 1) x. 2) Pretpostavimo da je sud A(n) : (1 + x) n = n ( n =0 ) x istinit za nei n, tj. A(n) =T.Izračunajmo [ ( ] n (1 + x) n+1 =(1 + x) n (1 + x) = )x (1 + x) =0 = x + x +1 =0 =0 n+1 = x + x 1 =0 =1
18 18 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [( ) ( )] ( ) n n n = x x n =1 + 1 ( ) ( ) n + 1 n + 1 = x 0 + x + 0 n + 1 =1 n = x. =0 x n+1 x n+1 Dale A(n + 1) =T. Time je binomna formula za (1 + x) n doazana. Općenitija formula slijedi odmah iz netom doazane formule: (a + b) n = a n (1 + a 1 b) n = a n (a 1 b) = a n b. =0 Iz binomne formule zbog ( n 1) = n odmah slijedi: Korolar 1. (Bernoullijeva nejednaost) Za svai x > 0 i za svai prirodan broj n vrijedi (1 + x) n 1 + nx. Iz orolara zaljučujemo da ča i za vrlo mali x > 0broj(1 + x) n može biti vrlo veli, pod uvjetom da je n dovoljno veli. Drugim riječima, za svai a > 1 (olio god blizu 1 ) i olio god velii broj M > 0 postoji n taav da je a n > M. Na pr n > 200 za dovoljno velii n,napr.zan = jer je = 200. Primjer 30. Bernoullijevu nejednaost možemo vrlo lao doazati i matematičom inducijom. Nea je x > 0. 1) Za n = 1 tvrdnja je jasna: (1 + x) x. 2) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za nei prirodni broj n, tj. (1 + x) n 1 + nx. Računamo =0 (1 + x) n+1 =(1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 +(n + 1)x + nx 2 1 +(n + 1)x, pa tvrdnja vrijedi i za n + 1. Time je Bernoullijeva nejednaost doazana matematičom inducijom.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραDELJIVOST CELIH BROJEVA
DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA KOMBINATORIKA, TEORIJA GRAFOVA I ALGORITMI. Dragan Stevanović Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu
DISKRETNA MATEMATIKA KOMBINATORIKA, TEORIJA GRAFOVA I ALGORITMI Dragan Stevanović Prirodno-matematiči faultet, Univerzitet u Nišu February 17, 2003 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Supovi................................
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραν nu ξ xi π pi σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega
Grčka slova α alpha β beta γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon ζ zeta η eta θ, ϑ theta ι iota κ kappa λ lambda o o µ mu ν nu ξ xi π pi ρ, ϱ rho σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega Γ Gama Delta Θ
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραUVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ
UVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ Sadržaj 1. Osnove logike predikata i sudova 2 2. Skupovi 11 3. Relacije 20 4. Funkcije 28 5. Neke elementarne funkcije; jednadžbe i nejednadžbe (prvi dio)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSkupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα1. Skupovi Algebra skupova
1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραPredavanja i vježbe 2
Grupirane podataa: pristupi, metode i primene, letni semestar 2013./2014. 1 Predavana i vežbe 2 1.2 Particia supa. Definicia lastera-nastava Zadni puta smo definirali particiu supa A s m 2 elemenata na
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα