c 2 B ν = 2kT c 2 e hν λ max = b T.
|
|
|
- Παλλάς Ζαχαρίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Teorija zvezdanih spektara -V2- Plankova funkcija. U slu aju termodinami ke ravnoteºe (TDR) polje zra enja je homogeno i izotropno, a intenzitet zra enja je opisan Plankovom raspodelom (vidi sliku 1). Tada za gustinu radijativne energije monohromatskog zra enja moºemo pisati: kako je: ρ ν (T ) = 4π c B ν(t ) = 8πhν3 1 c 3 kt 1, B ν = 2hν3 1. c 2 e hν kt 0 1 Iz Plankove raspodele se mogu izvesti: (1) Rejli-Dºinsov zakon (za hν << kt ) (2) Vinov zakon (za hν >> kt ) B ν = 2kT c 2 ν2, B ν = 2hν3 c 2 e hν kt, (3) tefan-bolcmanov zakon (integracija 0 dν) (4) Vinov zakon pomeranja (iz db λ dλ = 0) e hν B = σt 4 π, F + = πb, F + = σt 4, λ max = b T. Veza relacija izraºenih u zavisnosti od frekvencije i talasne duºine se dobija na slede i na in (uz λν = c) B ν dν = B λ dλ B ν = c ν 2 B λ. Maksvelov zakon raspodele ( estica po brzinama). U TDR, raspodela svih estica (atoma, jona, elektrona) po brzinama je Maksvelova. funkcija raspodele ima oblik: dn(v) N = dw = 4 πα 3 v2 e v2 α 2 dv, α = U op²tem slu aju, Maksvelova 2kTk m, tj. verovatno a da estica idealnog gasa van polja sile u stacionarnom stanju ima intenzitet brzine u intervalu (v, v + dv) iznosi dn(v). Kako je dn(v) = N(v)dv imamo: N N(v) N = dw dv = 4 πα 3 v2 e v2 α 2.
2 2 Slika 1: Plankova funkcija. Jasno je da ova funkcija teºi nuli kada intenzitet brzine teºi nuli i beskona no. Takože, jasno je da postoji jedan maksimum: d dv ( 4 πα 3 v2 e v2 α 2 ) = 0 v max = α. Sa porastom temperature maksimum verovatno e opada i pomera se ka ve im brzinama: v max ( ) dw T k, 1 dv v max Tk Ako je uspostavljena TDR tada Maksvelova funkcija raspodele (vidi sliku 2) ima istu vrednost temperature za sve estice (atome, jone, elektrone). Slika 2: Maksvelova raspodela estica po brzinama. Bolcmanova raspodela atoma po stanjima ekscitacije. Uop²teno, u Maksvel- Bolcmanovoj statistici broj atoma n energije E u 1 cm 3 dat je preko: n(e) = Ce E kt.
3 3 Konkretno, broj atoma na k-tom pobuženom nivou iznosi: n k = const g k e χ k kt B, gde je g k statisti ka teºina nivoa k, odnosno broj na ina na koje elektron moºe do i na k-ti nivo, a χ k predstavlja energiju ekscitacije u odnosu na osnovni nivo. Ako osnovni nivo ozna imo sa k = 0 tada je χ 0 = 0 a ako ozna imo sa k = 1 onda je χ 1 = 1 (vidi kasnije). Odnos naseljenosti dva nivoa je dat preko: n k n k = g k g k e χ kk kt B, χ kk = χ k χ k. U praksi je pogodno logaritmovati prethodni izraz: log n k n k = log g k g k θ χ kk, θ = log e kt B = 5040 T B, T B [K], χ kk [ev], k = erg/k = ev/k = ev/k. Sahina formula (jonizacije). Sva ekscitovana (vezana) stanja karakteri²e E < 0. Da bi atom pre²ao u stanje sa E > 0 potrebno mu je dodati energiju. Ukoliko energiju dodajemo zagrevanjem - termi ka jonizacija. Iznad diskretnih vezanih stanja postoji kontinuum nivoa gde elektron nije vezan za atom. Sahina formula daje broj jonizovanih u odnosu na broj neutralnih atoma: n + = 2 1 g + (2πmkT j ) 3/2 n 0 n e g 0 h 3 e χ j kt j, gde je n e koncentracija elektrona, m masa elektrona, g + statisti ka teºina jona a g 0 statisti ka teºina atoma u osnovnom stanju dok je χ j energija jonizacije iz osnovnog stanja. Kada je uspostavljena potpuna TDR tada su temperature odrežene iz Plankove funkcije, Maksvelove raspodele, Bolcmanove i Sahine formule mežusobno jednake odnosno postoji jedna temperatura koja karakteri²e sve gore navedene procese T T 0 = T k = T B = T j. 1. Odrediti broj pobuženih atoma,k u funkciji ukupnog broja atoma u datom stanju jonizacije i. χ i,k predstavlja potencijal ekscitacije u odnosu na osnovni nivo.,k je broj atoma u i-tom stanju jonizacije koji su ekscitovani na k-ti nivo. predstavlja broj atoma u i-tom stanju jonizacije na osnovnom nivou (k = 1, 2, 3,... - pobužena stanja, 0 - osnovno odnosno ne pobuženo stanje: n = 1). Na osnovu Bolcmanove raspodele moºemo pisati:,k = g i,k e χ i,k/kt
4 4 Sa druge strane imamo:,k = g i,k e χ i,k/kt ( ) Dakle, imamo: = k,k = k g i,k e χ i,k/kt = n i,0 g i,k e χi,k/kt = (T ), (T ) = k k = (T ) Kona no (zamenom prethodnog izraza u (*)) dobijamo: g i,k e χ i,k/kt,k = g i,k (T ) e χ i,k/kt 2. Odrediti broj vodonikovih atoma ekscitovanih na nivo n = 2 i n = 3 (prvo i drugo pobuženo stanje - k = 1, 2 dok je n = 1, 2, 3,...) u odnosu na broj atoma u osnovnom stanju (n = 1) na T = 5000, i K (kt ev). χ 21 =10.2 ev, χ 31 =12.1 ev. Sada osnovno stanje numeri²emo preko n odnosno n = 1: n 2 = g 2 g 1 e χ 2,1/kT, n 3 = g 3 g 1 e χ 3,1/kT, g n = 2n 2, g 1 = 2. k = erg/k = ev/k, Jasno je da je n 2 n 2 n kako je prema prethodnom zadatku: 1 ev = erg n 2 n = g 2 U e χ 2,1/kT, U = g 1 + g 2 e χ 2,1/kT + g 3 e χ 3,1/kT + g 1 = 2. Kako se sumiranje vr²i po svim nivoima (njih beskona no mnogo) uo avamo problem divergencije particione funkcije U. Ipak, divergencija u realnosti nestaje kako e za atome/jone u plazmi biti mogu a ekscitacija samo kona nog broja (najniºih nivoa). Ako nije potrebna visoka numeri ka ta nost dovoljno je izjedna iti U = g 1. Kona no imamo: T = 5000 K n 2 = , T = K n 2 = , T = K n 2 = , n 3 = n 3 = n 3 =
5 5 3. Razmotriti odnos broja jona u dva susedna stanja jonizacije. Sahina formula: +1,0 n e = 2(2πmkT )3/2 h 3 g i+1,0 e χ i/kt Ako je +1 ukupan broj atoma u i+1 - om stanju jonizacije tada iz Bolcmanove raspodele (vidi prvi zadatak) imamo: ( ) +1,0 +1 = g i+1,0 +1 e χ i+1,0/kt = g i+1,0 +1, χ i+1,0 = 0. Sli no: Deljenjem prethodna dva izraza dobijamo: = e χ i,0/kt =, χ i,0 = 0. +1,0 = +1 g i+1,0 +1 ( ) Kada (**) zamenimo u (*) imamo: +1 n e = 2(2πmkT )3/2 h 3 +1 e χ i kt, χi χ i,, gde χ i, predstavlja jonizacioni potencijal i-tog stanja jonizacije. Gornji izraz se moºe zapisati i preko elektronskog pritiska: +1 p e = 2(2πm)3/2 h 3 (kt ) 5/2 +1 e χ i, kt, pe = n e kt, log +1 = log p e +log log T 5040 T χ i,, T [K], p e [dyn/cm 2 ], χ i, [ev], h = erg s, m m e = g, 1 dyn = 1 g cm/s 2 = 10 5 kg m/s 2, 1 erg = 10 7 J. 4. Odrediti broj jona (II) atoma vodonika u odnosu na broj neutralnih (I) vodonikovih atoma za uslove T = 6000, 10000, i K (kt ev), i P e = 10 dyn/cm 2 (za veºbu uzeti P e = 100 dyn/cm 2 ). Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo slede u tabelu (tabela 1) i grak (slika 3): U I = 2, U II = 1, χ i, = ev n II n uk = n I n uk = n II n I + n II = n II /n I, n II/n I 1 + n II /n I.
6 6 T [K] n II /n I n I /n uk n II /n uk Tabela 1: Re²enje zadatka I II udeo T [K] Slika 3: Udeo (n I,II /n uk ) neutralnog (I) i jonizovanog (II) atoma vodonika za razli ite vrednosti temperature (uz zadatak 4). 5. Sli no (tabela 2 i slika 4), za helijum imamo: χ I, = ev i χ II, = ev dok su U II = 2 i U I = U III = 1, g I,0 = 1, g II,0 = 2. Sledi (P e = 10 dyn/cm 2 ): n II n I n III n II log T = 10 T, log T = 10 T. T [K] n II /n I n III /n I n I /n uk n II /n uk n III /n uk Tabela 2: Re²enje zadatka 5.
7 I II III udeo T [K] Slika 4: Udeo (n I,II,III /n uk ) neutralnog, jednom i potpuno jonizovanog helijuma za razli- ite vrednosti temperature (uz zadatak 5). 6. Odrediti stepen jonizacije atoma vodonika (χ = 13.6 ev) u Sun evoj fotosferi gde je T = 6000 K i log p e = 1.5 (pomo za brzo ra unanje: log 2 = 0.3, log 3 = 0.48, log 5 = 0.7, log 7 = 0.84; log 6000 = log 3 + log = 3.78). Imamo U + = 1 kako je re o jednom protonu - jedno stanje, U 0 = 2 kako u osnovnom stanju elektron moºe biti u dva stanja - orjentacije spina. Dobijamo n+ n 0 = 10 4 odnosno jedan od 10 4 atoma vodonika je jonizovan. 7. Odrediti udeo (n 2 /n uk ) atoma vodonika ekscitovanih na prvi pobuženi nivo (n = 2; zavisnost izraºenosti (ja ine) linija Balmerove serije od temperature) u zavisnosti od temperature za log p e = 1.5 (rezultat predstaviti gra ki - slika 5). Upotrebom Bolcmanove i Sahine raspodele moºe se jo² npr. proceniti i odnos koncentracija neutralnih atoma vodonika, ekscitovanih na prvo pobuženo stanje (n 2 ) prema ukupnoj koncentraciji neutralnih i jonizovanih atoma vodonika (n H n H i + n H ii ), za razli ite vrednosti temperature T i elektronskog pritiska p e. Naime, jasno je da vaºi 1 n 2 /n H = (1 α)n 2 /n H i. Sa druge strane, lako se moºe na i da je n 2 /n H i = g 2 e E 21/kT /U(T ), gde je U(T ) = n g ne E n1/kt g 1 + g 2 e E 21/kT + g 3 e E 31/kT statisti ka suma elektronskih ekscitacija (particiona funkcija; eng. partition function). Rezultati zadovoljavaju e ta nosti mogu se dobiti ukoliko se obra una samo nekoliko prvih lanova particione funkcije 2. 1 Kako je n H ii = n e i α n H ii /(n H i + n H ii ), sledi da je p = (1 + α)p e /α. 2 Pomenute statisti ke sume jedne, izolovane estice zapravo divergiraju. Naravno, kada je re o atomima i jonima (koji nisu potpuno ogoljeni) u plazmi, tada je U(T ) kona na suma (za detalje vidi npr. poglavlje iz Mili 1977). Naime, pobuda na ona energetska stanja ija je energija manja od srednje termalne energije konstituenata plazme ili pobuda na ona energetska stanja koja odgovaraju udaljnostima od jezgra koja su ve a od srednjeg rastojanja estica u plazmi, upravo dovodi do jonizacije.
8 8 Sada je jasno i za²to su ba² (apsorpcione) spektralne linije atoma vodonika (Balmerova serija, u vidljivoj oblasti) najizraºenije u spektrima zvezda spektralne klase A (efektivnih temperatura izmežu oko 7500 K i K; Vuki evi -Karabin & Atanackovi 2010). Ovde je iskori² ena Sahina relacija za vodoni nu plazmu u obliku: α 2 1 α = (2πm e) 3/2 (kt ) 5/2 e E jon/kt, (1.14) 2 h 3 p gde je T temperatura, E jon = ev, a p = (n H i + n H ii + n e )kt. 6 5 logp e =2 n 2 / n H [ 10 6 ] logp e =1.5 logp e = T [K] Slika 5: Udeo (n 2 /n uk ) neutralnog atoma vodonika ekscitovanog na prvo pobuženo stanje za razli ite vrednosti temperature (uz zadatak 7). Digresija. Zastupljnost se esto predstavlja u obliku logaritma relativne zastupljenosti log(n Z /n H ) Npr. za atom kiseonika imamo da je logaritam relativne zastupljenosti 8.83 ²to daje 8.83 = log(n O /n H ) + 12 n O n H = , ²to zna i da imamo jedan atom kiseonika na 1480 atoma vodonika. Za kalcijum je logaritam relativne zastupljenosti 6.36 ²to daje jedan atom kalcijuma na oko atoma vodonika. 8. Za uslove na Suncu (T = 5777 K, log p e = 1.5) proceniti zna aj (izraºenost) Balmerovih naspram CaII apsorpcionih linija (za veºbu, nacrtati grak sli an onom iz zadatka 7 za CaII (n=1)). Od ranije za vodonik imamo: n HII n HI = log log = ,
9 9 odnosno jedan jonizovani vodonik na nautrala. Sli no nalazimo i naseljenost prvog pobuženog nivoa: n H(n=2) n H(n=1) = 4e /T = , odnosno jedan atom u prvom pobuženom stanju na 200 miliona atoma u osnovnom stanju. Sada razmatramo kalcijum: χ jon (CaI) = 6.11 ev (χ jon >> kt ; T = 5777 K daje kt 0.5 ev). Moºemo pisati: n CaII n CaI = log log = 435, odnosno 435 CaII jona na jedan neutralni atom CaI (particione funkcije za kalcijum CaI i CaII su samo date kako njihov ra uzlazi iz okvira ovog kursa; pogledati dodatak D.2. iz knjige Gray: The Observation and Analysis of Stellar Photospheres, 2005). Zanima nas uvena linija jednom jonizovanog kalcijuma: CaII K (393.3 nm; χ 12 = 3.12 ev, g 1 = 2, g 2 = 4). Dobijamo: n CaII(n=2) n CaII(n=1) = , odnosno na jedan jon kalcijuma u prvom pobuženom stanju dolazi 264 jona kalcijuma u osnovnom stanju (ve ina je dakle sposobna da proizvede CaII K liniju). Kona no, broj jednom jonizovanih atoma kalcijuma u osnovnom stanju prema ukupnom broju atoma i jona kalcijuma je n CaII(n=1) n uk n CaII(n=1) n CaII(n=1) + n CaII(n=2) n CaII n uk = n CaII(n=2) /n CaII(n=1) n CaII /n CaI 1 + n CaII /n CaI = 0.994, n CaII n CaII(n=1) + n CaII(n=2), n uk = n CaI + n CaII. Skoro sav kalcijum moºe formirati CaII K liniju. Ne zaboravimo, naravno, da mi zapravo imamo jedan kalcijum na atoma vodonika. Ipak, od tih atoma vodonika samo je mali broj neutrala i to neutrala u prvom pobuženom nivou. Zapravo, njih je = = 1/459. Sledi da ima pribliºno oko 459 vi²e kalcijuma koji moºe da stvori CaII K linije nego ²to ima vodonika koji stvara Balmerove linije. Zato je apsorpciona linija CaII K izraºenija nego Balmerove linije u slu aju zvezda sli nih Suncu (vidi sliku 6). Dodatni zadatak za veºbu. Na kojoj temperaturi bi vaºilo: n H(n=1) = n H(n=2)?
10 Slika 6: Ja ine linija u zavisnosti od temperature - spektralne klase (uz zadatak 8). 10
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
dt 2 I tretiramo kvantno-mehani ki, pokazati da vaºi
Kvantna mehanika zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije I i elektri nog dipolnog momenta d se nalazi u elektri nom polju
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................