dt 2 I tretiramo kvantno-mehani ki, pokazati da vaºi

Transcript

1 Kvantna mehanika zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust Kruti rotator u ravni momenta inercije I i elektri nog dipolnog momenta d se nalazi u elektri nom polju E. U klasi noj mehanici ugao φ izmežu d i E zadovoljava diferencijalnu jedna inu d de sin φ φ =. Ukoliko problem dt I d tretiramo kvantno-mehani ki, pokazati da vaºi de sin φ φ = sin φ. Na dt I osnovu poslednje jedna ine vidimo da se u odgovaraju em limitu dobija izraz naveden u klasi noj mehanici.. Razmatramo sistem koji se sastoji od N elektrona i opisan je hamiltonijanom H = JΣ N i=1s isi+1. Smatrati da je S N+1 = S 1. Pokazati da je za Hajzenbergov feromagnet (J > 0) stanje koje se sastoji od svih spinova sa pozitivnom projekcijom na z osi svojstveno sa energijom E 0 = 4 NJ. (Stanje 1, 1 emo obeleºavati kao, dok e se stanje 1, 1 pisati kao.) Pokazati da za Hajzenbergov antiferomagnet (J < 0), "o igledno" osnovno stanje koje se moºe napisati kao... nije svojstveno stanje H. Ovo ilustruje da je nalaºenje osnovnog stanja Hajzenbergovog antiferomagneta kompleksan problem. 3. Jon se nalazi u kristalnom polju koje ima formu V = D(x 4 +y 4 +z r4 ). Ovaj potencijal deluje na degenerisane d nivoe. Neperturbovane talasne funkcije su svojstvene funkcije operatora ugaonog momenta L z : ± = R(r) sin θe ±iφ, ± 1 = R(r) sin θ cos θe ±iφ, 0 = 3 R(r)(3 cos θ 1). 1

2 a) Odrediti matri ne elemente operatora V u ovom bazisu, kao i njegove svojstvene vrednosti i svojstvene vektore. Pokazati da je degeneracija samo delimi no uklonjena, tj. da postoje samo dve razli ite svojstvene energije. b) Kada na sistem dodatno deluje konstantno magnetno polje u z-pravcu, degeneracija je potpuno uklonjena. Odrediti svojstvene energije i svojstvene vektore u ovom slu aju. Pismeni ispit, 13. jul Magnetna spinska rezonanca elektrona (electron spin resonance) pruºa nam korisne informacije o elektronskoj strukturi molekula. U ovom zadatku emo pretpostaviti slede e: spinske i prostorne promenljive su nezavisne za elektrone i za jezgra. Prostorno osnovno stanje elektrona je nedegenerisano, tako da moºemo da zanemarimo orbitalne efekte magnentnog polja. Mi uzimamo u obzir slede e magnetne spinske interakcije: Zemanovu interakciju spinskog magnetnog momenta sa spolja²njim poljem B i hipernu interakciju izmežu elektrona i jezgra. Hiperna interakcija je oblika H hf = A S I = A σ 4 e σ n, gde je S = σ e spin elektrona i I = σ n spin jezgra. Magnetno polje B deluje duº z-ose. a) Ukoliko jezgro ne poseduje spin, kako izgledaju energetski nivoi spina? Uzeti da je ω e = µ B B. b) Za spin jezgra 1, napisati kompletan Hamiltonijan u bazisu { σ, σ n }. Na i svojstvene vektore i svojstvene vrednosti ovog Hamiltonijana. Smatrati da je σ n = µ nb B i η = (ωe ωn). c) Pretpostavi emo da je magnetno polje B jako, u smislu da je ω e >> A. Neka je A = a. Odrediti aproksimativno svojstvene vrednosti do prvog reda po a η. d) Moºe se pokazati da elektromagnetno polje moºe da indukuje samo prelaze izmežu stanja koja se razlikuju za jedan spin (npr. prelaz + + nije dozvoljen). Odrediti frekvence prelaza izmežu dozvoljenih stanja.. Dat je sistem tri identi ne estice orbitalnog ugaonog momenta l = 1 i spinskog s = 1, tako da je bazis jedno esti nog prostora stanja { 1, m; 1, m s, m = 1, 0, 1; m s = 1, 1 }. a) Odrediti dimenziju ukupnog prostora stanja. b) Na koje komponente ukupnog ugaonog momenta J se razlaºe ovaj prostor i koliko puta se javlja svaki od njih?

3 c) ƒesto se razmatraju stanja koja su simetrizovana u spinskom, a antisimetrizovana u orbitnom prostoru, ili obrnuto. Odrediti dimenziju ovakvog prostora i bazis u njemu. 3. Na esticu mase m koja se nalazi u beskona no dubokoj dvodimenzionalnoj potencijalnoj jami (0 < x < a, 0 < y < a) deluje perturbacija V (x, y) = V 0 cos πx. Odrediti razdvajanje tre eg pobuženog nivoa u prvom a redu teorije perturbacije. Pismeni ispit,. jun Posmatra emo reeksiju monoenergetskog neutronskog snopa koji je normalan na feromagnetni materijal. Osa x je pravac propagacije upadnog snopa i yz povr²ina feromagnetnog materijala koja u potpunosti popunjava x > 0 oblast. Neka svaki upadni neutron ima energiju E i masu m. Spin neutrona je s = 1 i njegov magnetni moment se moºe napisati kao M = γs (γ je ºiromagnetni odnos). Potencijalna energija neutrona je suma dva lana. Prvi odgovara interakciji neutrona sa materijalom. Fenomenolo²ki, moºe se predstaviti potencijalom V (x), koji je denisan kao: { 0 za x < 0 V (x) = V 0 za x > 0. Drugi lan odgovara interakciji magnetnog momenta svakog neutrona sa unutra²njim magnetnim poljem B 0 = B 0 e x. Dakle, imamo W = 0 za x 0 i W = ω 0 S z za x > 0 (ω 0 = γb 0 ). Razmatra emo slu aj 0 < ω 0 < V 0. a) Odrediti stacionarna stanja neutrona ako je spin paralelan i ako je spin antiparalelan sa z-osom. b) Izra unati koecijent reeksije u oba slu aja (snop paralelan i antiparalelan sa z-osom) ako je energija neutrona u intervalu V 0 ω 0 < E < V 0 + ω 0.. Hamiltonijan interakcije dva spina 1 je jednak H = J(t) S 1S. Odrediti matri ne elemente H u bazisu { + +, s, t, }. Ukoliko je vremenski interval spinske interakcije τ, odrediti evolucioni operator U = e i istom bazisu. Uzeti da je φ = τ J(t)dt. Odrediti i: 0 U g = e i πs 1 e i πs Ue i πs1 U. τ 0 Hdt u 3

4 3. Na 1D LHO deluje vremenski zavisna perturbacija λw (t): { qex za t [o, τ] W (t) = 0 za t < 0 i t > τ, gde je q naelektrisanje, E homogeno elektri no polje i ˆx opservabla koordinate. Odrediti verovatno u prelaza P 01 iz osnovnog u prvo pobuženo stanje koriste i prvi red teorije vremenski zavisne perturbacije. Izra unati P 0 u prvom i drugom redu teorije vremenski zavisne perturbacije. Popravni kolokvijum, 15. maj Na elektron naelektrisanja q(q > 0) i mase m deluje potencijal V = 1 4 mω 0(z x y ). Elektron se nalazi u magnetnom polju usmerenom duº z-ose (koristiti gejdº A = B ( y, x, 0)). Pokazati da se ukupan Hamiltonijan moºe podeliti na dva lana, H z = p z + 1 m mω 0z i H t = p z+p y + 1ω m cl z, gde je ω c = qb. Izraziti Ω pomo u m ω c i ω 0. Pokazati da je H z = ω 0 (a za z + 1 ), gde je a z = mω 0 (z + a z = mω 0 (z i mω 0 p z ). i mω 0 p z ) i Deni²imo dva operatora a r = 1(β(x iy)+ i (p β x ip y )) i a l = 1(β(x+ iy) + i (p β x + ip y )). Pokazati da je L z = (a ra r + 1) ω m(a l a l + 1 ). Odrediti omega c i ω m pomo u ω 0 i ω c. Kolokvijum, 8. april 015. (zbog komplikovanosti zadatka kolokvijum je ponovljen) 1. Elektron mase m i naelektrisanja q(q < 0) nalazi se u homogenom i stati kom magnetnom polju B, usmerenom duº z-ose. Hamiltonijan elektrona je H = 1 ( p q A) µ B. Magnetni moment µ je povezan sa spinskim m operatorom S pomo u µ = γs, gde je γ = (1 + a) q. Veli ina a se naziva m anomalija magnetnog polja. U okviru kvantne elektrodinamike pokazuje se da je a proporcionalno konstanti ne strukture a = α (α = 1 ). Operator π 137 brzine je jednak v = p q A m, dok je ω = qb m. 4

5 a) Pokazati da vaºe slede e komutacione relacije: [vx, H] = i~ωvy, [vy, H] = i~ωvx. b) Neka su date tri veli ine: C1 (t) = hsz vz i, C (t) = hsx vx + Sy vy i, C3 (t) = hsx vx Sy vy i. Izra unati C1, C i C3 u proizvoljnom trenutku t. ~ v i u proizvoljnom trenutku? c) Kako izgleda hs~ d) Snop elektrona brzine v je prepariran u spinskom stanju tako da znamo ~ u vrednosti C1 (0), C (0) i C3 (0). Snop interaguje sa magnetnim poljem B toku vremenskog intervala [0, T ]. Zanemariti interakciju izme u elektrona u ~ v i. Rezulsnopu. U trenutku T se meri veli ina koja je proporcionalna hs~ tat ovog merenja je prikazan na slici kao funkcija vremena T za vrednost magnetnog polja B = 9, 4mT. Pomo u date slike odrediti pribliºnu vrednost veli ine a. ) Da li se eksperimentalna vrednost slaºe sa predikcijom kvantne elektrodinamike? 5