Kognitivni radio. Evolucija radio sistema 1. Doc. dr Mirjana Simić
|
|
- Ευφήμιος Βούλγαρης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kognitivni radio Evolucija radio sistema 1 Doc. dr Mirjana Simić
2 Ciljevi... Nove generacije radio sistema usmerene su ka zadovoljenju narastajućih zahteva za bežičnim pristupom visokog protoka kroz: unapređenje tehnologija prenosa podataka i bolje upravljanje resursima. Osnovni cilj je: preneti što veću količinu informacija u ograničenom opsegu (što veći protok u ograničenom opsegu)!
3 Visok protok, osnovna razmatranja... Formulu na osnovu koje se može odrediti maksimalni protoka informacija (kapacitet kanala) u datom komunikacionom kanalu dao je Shannon. Iako je relativno komplikovana u opštem slučaju, za poseban slučaj komunikaciju preko kanala (radio linka) u kojem je prisutan samo aditivni beli Gausov šum (AWGN), kapacitet kanala C je dat relativno jednostavnim izrazom: S C = B log N 1
4 Visok protok, osnovna razmatranja... Već na osnovu formule No1 može se zaključiti da dva faktora limitiraju ostvarive brzine prenosa podataka: 1. snaga signala na prijemu (received signal power), ili generalnije gledano odnos signal-šum S/N, i 2. dostupan frekvencijski opseg, B. U cilju detaljnijeg razmatranja kada i na koji način ovi faktori limitiraju ostvarivi protok, pretpostavimo komunikaciju sa brzinom prenosa podataka R.
5 Visok protok, osnovna razmatranja... Snaga signala na prijemu se tada može predstaviti kao: S = gde je: - E b energija signala na prijemu po bitu [Ws/bit] - R brzina prenosa podataka, protok [bit/s] E b R 2 Snaga šuma se može predstaviti kao: N = N 0 gde je: B - N 0 spektralna gustina snage šuma [W/Hz] - B dostupan opseg [Hz] 3
6 Visok protok, osnovna razmatranja... Po Shannon formuli, praktično je interesantan samo slučaj kada je R C. R C 4 Za ovaj slučaj, kroz dati kanal je moguć prenos informacija sa malom verovatnoćom greške i brzinom prenosa podataka koja je bliska kapacitetu kanala C [bit/s]. Za slučaj kada je R>C, verovatnoća greške na prijemu neograničeno raste sa porastom R, pa je praktično i nemoguć prenos korisnih informacija.
7 Visok protok, osnovna razmatranja... Dakle, ograničićemo se na slučaj R C, tj. da brzina prenosa podataka R nikada ne može premašiti kapacitet kanala C. Na osnovu prethodne No4 formule, može se pisati: 5 + = + = B N R E log B N S log B C R b
8 Visok protok, osnovna razmatranja... Uvedimo još dve vrlo važne veličine: 1) Efikasnost snage (power efficiency), ili efikasnost po snazi u literaturi se često naziva i efikasnost energije. Definiše se kao odnos energije signala po bitu, E b, i spektralne gustine snage šuma, N 0 : η P = E b N 0 6 Efikasnost snage se posmatra se za određenu verovatnoću greške na prijemu. Efikasnost snage odražava sposobnost da se očuva verodostojnost signala pri malim vrednostima odnosa S/N.
9 Visok protok, osnovna razmatranja... Druga važna veličina je: 2) Efikasnost opsega (bandwidth efficiency). Čest naziv je i spektralna efikasnost. Definiše se kao odnos brzine prenosa podataka (ekvivalentnog binarnog protoka), R, i dodeljenog opsega za prenos, B: η B = R B 7 Efikasnost opsega pokazuje koliko efikasno se koristi dodeljeni frekvencijski opseg. Izražava se u [(bit/s)/h z ].
10 Visok protok, osnovna razmatranja... Sada se nejednakost No5 može pisati: ( ) B P b B log B N R E log N S log η η +η = + = Ova nejednakost se može pisati i u obliku koji daje zavisnost donje granice zahtevane energije po bitu normalizovane u odnosu na spektralnu gustinu snage šuma (efikasnost snage, η P ), za datu efikasnost opsega, η B : B b b P B N E min N E η η η = = 8 9
11 Visok protok, osnovna razmatranja... η P = E N b 0 E min N b 0 = ηb 2 1 η B minimalno zahtevani E b /N 0 (db) efikasnost opsega, η B
12 Visok protok, osnovna razmatranja... Na osnovu slike, mogu se izvući sledeći zaključci: za vrednosti η B manje od 1 (što znači kada je brzina prenosa podataka R manja od korišćenog opsega B), minimalno zahtevani E b /N 0 je relativno konstantan, bez obzira na vrednost η B ; To znači da, za datu vrednost N 0, svako povećanje brzine prenosa podataka, tj. protoka R, zahteva slično relativno povećanje minimalne zahtevane snage signala na prijemu S=E b R Primer: ako se za η B =0.1 protok R poveća 8 puta, zahtevana snaga na prijemu se poveća oko 10 puta!).
13 Visok protok, osnovna razmatranja... Sa druge strane: za vrednosti η B veće od 1 (što znači kada je brzina prenosa podataka R veća od korišćenog opsega B), minimalno zahtevani E b /N 0 brzo raste sa povećanjem η B ; To znači da, za slučaj kada je brzina prenosa podataka R veća od korišćenog/dodeljenog opsega, svako dalje povećanje brzine prenosa podataka (bez odgovarajućeg povećanja korišćenog opsega) implicira znatno veće zahteve po pitanju minimalne zahtevane snage signala na prijemu S=E b R (tj. nesrazmerno veću snagu na prijemu). Primer: ako se za η B =2 protok R poveća 4 puta, zahtevana snaga na prijemu se poveća oko 85 puta!).
14 Visoki protok u ograničenom opsegu
15 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju Cilj: bežični pristup visokog protoka (u ograničenom opsegu). Razmatra se scenario 1: mogućnosti visokog protoka u okruženju kada je šum glavni uzrok grešaka na radio linku (noise-limited scenario). U skladu sa prethodnom diskusijom, za ovakav tip okruženja mogu se izvući osnovni zaključci...
16 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju Noise-limited scenario, zaključci: 1. Glavni faktor koji limitira brzinu prenosa podataka u ovakvom okruženju je snaga signala na prijemu (ili, u opštem slučaju, odnos signal-šum S/N na prijemu). Štaviše, svako povećanje ostvarivog protoka u okvirima dodeljenog opsega zahteva barem isto relativno povećanje snage signala na prijemu.
17 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju Noise-limited scenario, zaključci: 2. Za male vrednosti η B (brzina prenosa znatno manja od dostupnog opsega), svako dalje povećanje protoka zahteva približno isto relativno povećanje snage signala na prijemu. Ovo je tzv. power-limited slučaj obzirom da povećanje dostupnog opsega (ali i dalje u uslovima η B <1) ne utiče bitno na to kolika je zahtevana snaga signala na prijemu za određenu brzinu prenosa podataka.
18 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju Noise-limited scenario, zaključci: 3. Za velike vrednosti η B (brzina prenosa veća od dostupnog opsega), svako dalje povećanje brzine prenosa podataka zahteva znatno relativno povećanje snage signala na prijemu (osim ako ne dođe do povećanja i samog opsega proporcionalno brzini prenosa podataka). Ovo je tzv. bandwidth-limited slučaj obzirom da povećanje dostupnog opsega (ali i dalje u uslovima η B >1) značajno utiče na to kolika je zahtevana snaga signala na prijemu za određenu brzinu prenosa podataka (tj. promena opsega znatno utiče na zahtevanu snagu signala na prijemu za datu brzinu prenosa podataka).
19 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju Dakle, u cilju efikasnog korišćenja snage signala na prijemu, ili u opštem slučaju odnosa S/N, dostupan prenosni opseg trebao bi biti barem istog reda veličine kao zahtevana brzina prenosa podataka!
20 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju S C = B log N
21 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju - povećanje snage signala na prijemu: a) smanjenjem d - Postoje razni načini povećanja snage signala na prijemu, tj.odnosa S/N 1... a) Ako se pretpostavi konstantna snaga predajnika, snaga signala na prijemu uvek se može povećati smanjenjem rastojanja između predajnika i prijemnika (na taj način ustvari smanjujemo slabljenje propagacije) Primer: PL d d n 0 ( d ) = PL( d ) P ( ) ( ) 0 R d = PR d0 d PL( d ) P ( d ) 0 d d n R PL slabljenje propagacije P R (S) snaga na prijemu d rastojanje od predajnika d 0 referentno rastojanje N snaga šuma (=const.) d S S N 10 1 teorijski možemo i povećati snagu na predaji da bismo povećali snagu na prijemu, ali tu imamo problem sa interferencijom i energetskom efikasnošću (kasnije...)
22 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: a) smanjenjem d - a) Dakle, u noise-limited scenariju, uvek je moguće, barem teorijski posmatrano, povećati ostvarivi protok smanjenjem rastojanja predajnik-prijemnik, odnosno, smanjenja dometa. U mobilni telekomunikacionim sistemima ova opcija odgovara smanjenju veličine ćelije i u skladu sa tim potrebom za većim brojem sajtova kako bi se pokrila ista oblast. Posebno, u slučaju kada je brzina prenosa podataka veća od raspoloživog opsega za prenos (η B veliko), imamo zahtev za značajnim smanjenjem veličine ćelije. Osim ovoga, moguća opcija može biti i to da su servisi visokog protoka dostupni samo u zoni na malom rastojanju od baznih stanica, tj. mobilnim terminalima koji se nalaze blizu centra ćelije.
23 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: b) diversity - b) Drugi način povećanja snage signala na prijemu može biti primenom diversity tehnika. Diversity je tehnika kojom se informacija od predajnika do prijemnika prenosi različitim putevima, preko 2 ili više nezavisnih kanala. Jedna od popularnih diversity tehnika je primena višestrukih antena na predaji/prijemu. Nezavisnost kanala kojima se prenose informacije mogu se postići npr. dovoljnim fizičkim razmicanjem antena prostorni diversity (signali na razdvojenim antenama su slabo korelisani u smislu fedinga). Signali se na prijemu kombinuju sa ciljem da se u maksimalnoj meri istakne korisni signal a potisne feding.
24 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: b) diversity - Alternativno, može se primeniti npr. polarizacijski diversity (nezavisni kanali se obezbeđuju korišćenjem ortogonalnih komponenti elektromagnetnog polja različito polarisane antene) ili neke druge diversity tehnike. Odgovarajućim kombinovanjem signala primljenih na različitim antenama, odnos S/N može se povećati i na taj način, za nepromenjeno rastojanje predajnikprijemnik, možemo povećati brzinu prenosa podataka. prostorni diversity
25 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: b) diversity - nekorelisani kanali težinski koeficijenti šum 11 zbirni signal Primer: prostorni diversity na prijemu, kombinovanje po principu maksimalnog odnosa Ovom tehnikom se osvaruje maksimalna vrednost odnosa S/N za zbirni signal N R : broj antena na prijemu (nekorelisanih kanala) W i : težinski koeficijenti direktno proporcionalni intenzitetu signala a obrnuto proporcionalni srednjim kvadratnim vrednostima šuma u i-tom kanalu Odnos S/N zbirnog signala povećan je proporcionalno broju prijemnih antena, N R
26 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: c) beamforming - c) Beamforming Višestruke antene moguće je primeniti i u cilju oblikovanja dijagrama zračenja na predaji - beamforming. Na taj način, može se maksimizirati ukupan dobitak antene u pravcu ciljanog prijemnika. Za razliku od diversity tehnike (kod koje su signali sa različitih antena nekorelisani), beamforming se može primeniti i u slučaju nekorelisanih i u slučaju korelisanih signala na različitim antenama.
27 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: c) beamforming - konfiguracija antena oblikovanje snopa Primer: beamforming na predaji slučaj korelisanih signala na antenama (mala međuantenska rastojanja) Usmeravanje dijagrama zračenja vrši se primenom različitih faznih pomeraja signala na različitim antenama. Ovaj tip beamforminga (sa korelisanim signalima) često se zove klasičan beamforming.
28 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: c) beamforming - 12 Primer: beamforming na predaji slučaj nekorelisanih (slabo korelisanih) signala na antenama (veća međuantenska rastojanja) Ovaj slučaj beamforminga, kao što se i sa slike može videti, je sličaj klasičnom beamformingu. Razlika je u drugačijim težinskima faktorima kojima se množe različite antene. Težinski faktori su sada takvi da se ne utiče samo na fazu (usmerenje) već i na amplitudu signala (preko različitih dobitaka) na različitim antenama, pa se obe mogu podešavati.
29 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: c) beamforming - U svakom slučaju, o kojem god beamforming-u je reč, on, kao i diversity, povećava odnos S/N na prijemu. Ako je N T broj antena na predaji, odnos S/N na prijemu, primenom tehnike beamforming-a, povećava se proporcionalno broju predajnih antena, N T. U slučaju diversity tehnike rekli smo da ako je N R broj antena na prijemu, odnos S/N na prijemu povećava se proporcionalno broju prijemnih antena, N R. S N N T S N S N N R S N
30 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - Dakle, primenom višestrukih antena na predaji i/ili prijemu, povećavamo odnos S/N a time i ostvarivi protok. U opštem slučaju, kada imamo N T predajnih antena i N R prijemnih, odnos signal šum S/N povećava se proporcionalno proizvodu N T N R. Ovo povećanje odnosa S/N naravno ima za posledicu povećanje ostvarivog protoka ali praktično samo do granice power-limited regiona, jer nakon toga (u bandwidth-limited regionu) ostvarivi protok ulazi u zasićenje (sem ako se ne poveća i dedeljeni opseg).
31 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - To se može videti i iz normalizovane formule za kapacitet kanala: C B S = log N 13 Funkcija log 2 (1+x) x, za male vrednosti x dakle, za male vrednosti odnosa S/N, kapacitet raste linearno sa odnosom S/N! Ali, funkcija za log 2 (1+x) log 2 (x) velike vrednosti x dakle, za velike vrednosti odnosa S/N, kapacitet raste samo logaritamski sa odnosom S/N! Dakle, nakon ove granice, svako dalje povećanje broja antena na prijemu/predaji povećava odnos S/N (i dalje proporcionalno N T N R ), ali ne i protok!
32 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - log 2 (1+x) x
33 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - d) MIMO Ovo zasićenje se može izbeći primenom višestrukih antena i na strani predajnika i na strani prijemnika i tehnikom prostornog multipleksiranja, poznatijom kao MIMO tehnika.
34 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - Dakle, pod određenim uslovima, možemo ostvariti da kapacitet kanala i dalje raste linearno sa porastom broja antena na predaji i prijemu, izbegavajući pomenuto zasićenjenje. Naime, u slučaju primene višestrukih antena na predaji i na prijemu, moguće je realizovati N L =min(n T, N R ) paralelnih kanala, svaki sa N L puta manjim odnosom S/N (snaga signala se deli između kanala), gde je svaki kapaciteta: C B N = + R S log2 1 N N L 14 N R : broj antena na prijemu, N T : broj antena na predaji N L : broj paralelnih signala koji se mogu prostorno multipleksirati
35 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - Dakle, ako postoji N L paralelnih kanala i gde je svaki pomenutog kapaciteta (prethodna formula), ukupni kapacitet za ovakav tip višeantenske konfiguracije dat je izrazom: C B N = + R S N S = { } + R N L log2 1 min NT,N R log2 1 N N min N L 15 { N,N } T R Postignuto je da kapacitet kanala i dalje raste linearno sa porastom broja antena, izbegavajući pomenuto zasićenjenje ostvarivih brzina prenosa podataka.
36 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO konfiguracija 16 Ovaj izraz za MIMO se može shvatiti i kao generalizacija izraza za diversity (No11) na slučaj višestrukih predajnih antena i različitih signala sa različitih predajnih antena.
37 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: d) MIMO - Na kraju treba naglasiti da u slučaju loših uslova u kanalu (loš S/N), praktično nema dobitka od prostornog multipleksiranja. Tada kapacitet sistema ionako raste linearno sa odnosom S/N (za male vrednosti S/N). U tom slučaju, višestruke antene na predaji i prijemu treba koristiti pre za beamforming ili diversity nego za prostorno multipleksiranje.
38 Scenario 1: visoki protok u noise-limited okruženju -povećanje snage signala na prijemu: e) smanjenje šuma - e) Na kraju, alternativni način povećanja snage signala na prijemu odnosno odnosa S/N je smanjenje snage šuma, tačnije, spektralne gustine snage šuma na prijemniku. Ovo se, do neke mere, može postići naprednijim tehnikama dizajna RF prijemnika, koje bi smanjile faktor šuma prijemika. S N = E b R 17 S N = E R N B = N 0 B 0 b N 0 N S
39 Scenario 2: visoki protok u interference-limited okruženju Prethodna diskusija (Scenario 1) odnosila se na komunikaciju kada u kanalu postoji samo šum, odnosno, kada šum predstavlja glavni izvor problema u kanalu. Ipak, u modernim mobilnim komunikacionim sistemima postoje i drugi faktori koji utiču na signal, a koji su često i dominantniji izvor grešaka nego šum. Jedna od takvih pojava je interferencija. Najčešći izvor problema je tzv. interćelijska inteferencija (međućelijska interferencija), koja potiče od korisnika iz susednih ćelija. Ovaj tip interferencije karakterističan je u slučajevima primene malih ćelija i visokog saobraćaja. Osim međućelijske, problem može predstavljati i interferencija koja potiče od korisnika unutar iste ćelije intraćelijska (unutarćelijska interferencija).
40 Scenario 2: visoki protok u interference-limited okruženju U mnogim aspektima uticaj interferencije je sličan kao i uticaj šuma. Neki zaključci izvedeni za slučaj šuma, takođe važi i za slučaj kada u kanalu postoji i interferencija: Glavni faktor koji limitira brzinu prenosa podataka u datom opsegu je odnos snaga signala/snaga interferencije (S/I) na prijemu. Obezbeđivanje brzine prenosa podataka koja je veća od dodeljenog opsega (veliko η B ) je skupo u smislu da zahteva nesrazmerno visok odnos signal/interferencija.
41 Scenario 2: visoki protok u interference-limited okruženju Takođe, slično noise-limited scenariju, smanjenje dimenzija ćelije kao i primena višestrukih antenskih sistema neki su od ključnih načina za povećanje brzine prenosa podataka i u interference-limited scenariju: Smanjivanjem dimenzija ćelije smanjuje se i broj korisnika, pa tako i ukupni saobraćaj po ćeliji. Ovo ima za posledicu smanjenje relativnog nivoa interferencije i na taj način povećanje protoka. Isto kao u Scenariju 1, odgovarajuće kombinovanje signala sa više antena povećava odnos signal/interferencija. Primena tehnike beamforming-a usmerava energiju sa predajnika u pravcu prijemnika, smanjujući na taj način interferenciju u ostalim pravcima, što dovodi do povećanja ukupnog odnosa signal/interferencija.
42 Scenario 2: visoki protok u interference-limited okruženju Bitna razlika u odnosu na noise-limited scenario je da interferencija, za razliku od šuma, obično ima određenu strukturu što je, barem u izvesnoj meri, čini predvidljivom a time omogućava i njeno dalje potiskivanje ili čak uklanjanje. Primer: signal koji predstavlja dominantni izvor interferencije može dolaziti iz određenog pravca pa se primenom raznih tehnika na prijemu (spatial processing) takva interferencija može kompletno ukloniti. Takođe, sve razlike u spektralnim karakteristikama između korisnog signala i interferencije mogu se iskoristiti za potiskivanje interfera a time i ukupnog nivoa interferencije.
43 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Zaključak iz prethodnih razmatranja (Scenario 1 i Scenario 2) je da: obezbeđivanje brzine prenosa podataka koja je veća od dodeljenog opsega (veliko η B ) je skupo u smislu da zahteva nesrazmerno visok odnos signal-šum i signal-interferencija na ulazu u prijemnik. Pravac povećanja protoka povećanjem opsega ubrzo dovodi do prepreke jer je spektar je ograničen i skup resurs. Dakle, u savremenim mobilnim sistemima praktično uvek imamo problem ostvariti visok protok u ograničenom opsegu (dodeljenom delu spektra).
44 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Sa pretpostavkom ograničenog opsega i želje za visokim protokom, pravolinijski način razmišljanja dovodi do korišćenja modulacija višeg reda (higher-order modulation). Modulacije višeg reda omogućavaju prenos više informacionih bita po modulacionom simbolu. Naime, modulacioni alfabet (skup modulacionih simbola) se proširuje dodatnim signalizacionim alternativama i na taj način omogućava prenos većeg broja informacionih bita po modulacionom simbolu (veće R). Na ovaj način mi utičemo na efikasnost opsega η B.
45 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Ipak, koji tip modulacije će se primeniti u konkretnom slučaju zavisi ne od jedne (pomenute efikasnosti opsega) već tri veličine: 1. efikasnost opsega (spektralna efikasnost), η B 2. efikasnost snage, η P 3. koliko je komplikovano realizovati predajnik i prijemnik odnosi se na broj elektronskih kola potrebnih za realizaciju sistema kao i složenost tehničke realizacije sistema. Npr. koherentni demodulator je složeniji od nekoherentnog jer zahteva rekonstrukciju nosioca. U tom svetlu moramo posmatrati i naš cilj veći protok u ograničenom opsegu. U analizi ćemo se ograničiti na 3 najčešća modulaciona postupka, QPSK, 16QAM i 64QAM.
46 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda M-PSK signal, modulaciona jednačina (polarna forma): s 18 2E T 2πi M s () t = cos 2πf t + i = 0,,..., M i c 1 konstanta promena sa vremenom promena sa informacijom E s : energija po simbolu T s : trajanje simbola f c : učestanost nosioca i: jedna od M signalizacionih akternativa (stanja signala) ugao modulacije: θ=2πi/m
47 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda QPSK je tip MPSK modulacija, za M=4: U slučaju QPSK modulacije (3G - WCDMA), modulacioni alfabet se sastoji od 4 različite signalizacione alternative (stanja signala, simbola). () ( ) b S c s i T T t,,,, i i t f cos T E t s = = + = π π 19
48 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Sa 4 faze (π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4), QPSK modulacija omogućava prenos 2 bita po simbolu.
49 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Sledeći primer je 16QAM modulacija hibridna modulacija: imamo i promenu faze i promenu amplitude. 16 različitih stanja (signalizacionih alternativa). Omogućava prenos 4 informaciona bita po simbolu. Primetimo da su energije po simbolu različite, kao i da su verovatnoće greške susednih simbola veće nego onih u krajnjim tačkama.
50 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda 64QAM modulacija ima 64 različita stanja (signalizacione alternative) i tako omogućava prenos 6 bita po simbolu, tj. signalizacionom intervalu.
51 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Tip modulacije Broj simbola M Širina opsega, B Efikasnost opsega, η B ((bit/s)/hz) QPSK 4 V b 1 16-QAM 16 2V b ld( M ) 2 64-QAM 64 2V b 3 ld M ( ) R=V b efikasnost opsega (spektralna efikasnost): η B = R B Zaključujemo da 16QAM i 64QAM modulacije imaju 2, odnosno, 3 puta veću efikasnost opsega u odnosu na QPSK, respektivno.
52 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Dakle, korišćenje modulacija višeg reda omogućava nam veći protok u datom ograničenom opsegu (R/B), odnosno, veće η B. Ipak, veća efikasnost opsega dolazi po cenu smanjene otpornosti na šum i interferenciju (lošije η P )! B-PSK Q-PSK 16-QAM
53 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda Naime, modulacije višeg reda kakve su 16QAM ili 64QAM, zahtevaju veći odnos E b /N 0 na ulazu u prijemnik za istu verovatnoću greške! Ovo je u skladu sa prethodnom diskusijom (Scenario 1 i Scenario 2), gde je zaključeno da visoka efikasnost opsega (visok protok unutar ograničenog opsega, R/B) generalno zahteva veće E b /N 0 na ulazu u prijemik.
54 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Jedna od pomoći za poboljšanje efikasnosti snage za modulacije višeg reda je primena kanalskog kodiranja. Source Transmitter Receiver Sink Channel encoder Channel Channel decoder
55 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Kanalsko kodiranje se zasniva na uvođenju redundanse na takav način da u prijemniku možemo korigovati greške ili izobličenja signala koje su nastale kao posledica sistema za prenos (kanala). k simbola KODER n=k+b simbola izvornom bloku podataka dužine k bita dodaje se b=n-k bita čime se povećava redundansa (za prenos k simbola, koristimo kanal k+b puta!) k poruka n kodna reč coding rate = n k <1 20
56 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Cilj kanalskog kodiranja je: smanjenje verovatnoće greške primenom kodova velike dužine mi se možemo približiti kapacitetu kanala, C. Kodni dobitak Za datu verovatnoću greške, kodni dobitak se definiše kao smanjenje zahtevanog odnosa E b /N 0 na ulazu u prijemnik koje se može ostvariti primenom kanalskog kodiranja b b [ ] = [ db] [ db] G db E N 0 ref E N 0 c 21 (E b /N 0 ) ref zahtevani odnos E b /N 0 u referentnom sistemu (bez kodiranja) (E b /N 0 ) c zahtevani odnos E b /N 0 u sistemu sa kodiranjem
57 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Podsetimo se da smo zaključili da modulacije višeg reda kakve su 16QAM ili 64QAM, zahtevaju veći odnos E b /N 0 na ulazu u prijemnik za istu verovatnoću greške. Sada vidimo da kanalsko kodiranje u nekim slučajevima otvara mogućnost da primenimo modulacije višeg reda, a da smanjimo zahtevani odnos E b /N 0 (u odnosu na onaj bez primene kanalskog kodiranja). Dakle, održavamo dobar η B a kanalskim kodiranje donekle popravljamo loš η P kod modulacija višeg reda!
58 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem To se dešava npr. kada je vrednost efikasnosti opsega η B takva da se u slučaju modulacije nižeg reda ne može primeniti dovoljno kanalsko kodiranje. U tom slučaju, dodatno kanalsko kodiranje koje se može primeniti za modulacije višeg reda, npr. 16QAM, imaće za posledicu dobitak i u pogledu efikasnosti po snazi, u poređenju sa QPSK. Primer 1: ako se zahteva iskorišćenost opsega od oko 2 informaciona bita po modulacionom simbolu, QPSK modulacija omogućava vrlo ograničeno kanalsko kodiranje (coding rate 1). Sa druge strane, primena 16QAM omogućava kanalsko kodiranje sa coding rate ½.
59 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Primer 2: ako se zahteva iskorišćenost opsega od oko 4 informaciona bita po simbolu, primena 64QAM može biti efikasnija od 16QAM imajući u vidu manji coding rate i u skladu sa tim dodatno kodni dobitak. V b [ b / s] KODER bin M V [ sym / s] s = Vc ldm c n k [ b / s] Vb V = k 1 = n ldm V V b s 22
60 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda u kombinaciji sa kanalskim kodiranjem Treba naglasiti da ovi zaključci u vezi kanalskog kodiranja nisu u suprotnosti sa zaključcima sa početka analize da je prenos u uslovima velike efikasnosti opsega (η B >1) loš po pitanju efikasnostii snage (zahteva nesrazmerno veliku snagu na prijemu). Konkretno, primena coding rate-a od ½ u primeru sa 16QAM smanjuje protok korisničkih informacija, a samim tim i efikasnost opsega, i to na isti nivo kao i QPSK bez kodiranja. Konačno se može zaključiti da, za dati odnos signal/šum ili signal/interferencija, odgovarajuća kombinacija modulacionog postupka i faktora coding rate je optimalna u smislu da može da obezbedi najveću efikasnost opsega (najveći protok u datom opsegu) za taj odnos signal/šum ili signal/interferencija.
61 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Za razliku od pomenutog nedostatka modulacija višeg reda a to je zahtev za većim odnosom S/N na prijemu koji se delom može rešiti primenom odgovarajućeg kanalskog kodiranja, kod ovih modulacija postoji ozbiljan problem koji praktično ne možemo rešiti. Naime, ozbiljan nedostatak modulacija višeg reda kao što su 16QAM i 64QAM (gde imamo slučaj da je informacija utisnuta i u trenutne promene amplitude modulisanog signala) jeste da ovako modulisan signal ima velike varijacije trenutne snage.
62 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Na slici je prikazana raspodela trenutne snage, tačnije, verovatnoća da je trenutna snaga iznad određene vrednosti, za QPSK, 16QAM i 64QAM. Kao sto se vidi, verovatnoća velikih vrednosti (pikova) trenutne snage je veća u slučaju modulacija višeg reda. Raspodela trenutne snage za različite modulacije. U svim slučajevima srednja snaga je ista.
63 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Velike varijacije trenutne snage kod modulacija višeg reda imaju velike posledice na pojačavače snage koji se koriste u izlaznim stepenima predajnika. v out +V mmax zasićenje v in > v out v in -V mmax
64 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Najčešće korišćen pojačavač je pojačavač u klasi A : 1. ima najmanja izobličenja jako dobra karakteristika (samo zato se koristi) 2. ima približno konstantnu potrošnju, P in nezavisnu od v out i P out!!! jako loša karakteristika! 3. koeficijent korisnog dejstva u najboljem slučaju je η=0.5 (sinusoidalni signal maksimalne amplitude). Dakle, kakva god bila snaga izlaznog signala, potrošnja ovog pojačavača je ista!
65 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Primer: pojačavamo sinusoidu, potrebna snaga na izlazu P out =100W. Obzirom na koeficijent korisnog dejstva od 0.5, pojačavač snage u klasi A uzima najmanje P in =200W da bi na izlazu dao 100W (preostalih 100W se disipira P d =100W). puna snaga (max amplituda M-QAM): P out =100W, P in =200W, η=0.5, P d =100W prazan hod (amplituda = 0): P out =0W, P in =200W (pojačavač u klasi A uvek vuče istu snagu!), η=0, P d =200W (ogromna disipacija!) između: P out =50W, P in =200W, η=0.25, P d =150W (predimenzionisan!)
66 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Velike varijacije (tačnije, velike vrednosti - pikovi) trenutne snage prenošenog signala imaju za posledicu da pojačavači snage moraju biti predimenzionisani kako bi se izbegla izobličenja signala. U suprotnom, pojačavač bi mogao ući u nelinearan režim rada, što bi dovelo do pomenutih izobličenja signala (što nam naravno nije cilj). Kao posledica toga, imamo smanjenu efikasnost pojačavača snage, što dalje dovodi do povećane potrošnje tih pojačavača.
67 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Naime, koeficijent korisnog dejstva η u slučaju pojačavača klase A (sinusoidalni signal na ulazu) ima sledeći oblik: η [%] 50% η = 50 V % V m m max V m /V mmax
68 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Dakle, najčešće će naš pojačavač biti u režimu manjih izlaznih signala, što znači u režimu lošeg koeficijenta korisnog dejstva! η [%] 50% 1 0 V m /V mmax
69 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Za modulacije konstantne amplitude, pojačavač ne bi morao biti predimenzionisan jer bismo ga birali po izlaznom naponu koji u ovom slučaju nema velike varijacije. Takav pojačavač bi bio efikasniji jer bismo uvek radili u tački u kojoj je koeficijent korisnog dejstva η maksimalan! η [%] 50% 0 1 V m /V mmax
70 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Dakle, velike varijacije trenutnog napona tj. snage ima za posledicu smanjenu efikasnost pojačavača što dovodi do povećane potrošnje tih pojačavača. Dodatno, to ima negativan uticaj i na cenu pojačavača. Alternativno, mora se smanjiti srednja snaga predajnika, što dovodi do smanjenja dometa za dati protok.
71 Visoki protok u ograničenom opsegu: modulacije višeg reda varijacije trenutne snage Dobar koeficijent korisnog dejstva pojačavača jako je bitan za mobilne terminale (na uplink smeru), zbog zahteva za malom potrošnjom i niskom cenom terminala. Na strani bazne stanice, efikasnost pojačavača izlaznog stepena jeste bitna ali u manjoj meri nego za slučaj terminala. Usled toga, velike varijacije izlazne snage manji su problem na downlinku nego na uplinku. Dakle, zaključak je da su modulacije višeg reda pogodnije za downlink nego za uplink.
72 Visoki protok u ograničenom opsegu S N + I modulacije višeg reda Smanjenje veličine ćelije Diversity Beamforming MIMO Smanjenje šuma bolja efikasnost opsega loša efikasnost snage kanalsko kodiranje velike varijacije trenutne snage predajnika
73 Hvala na pažnji!
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραTERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1
OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPRIMERI PITANJA ZA V CIKLUS LABORATORIJSKIH VEŽBI IZPREDMETA OSNOVI TELEKOMUNIKACIJA (TE3OT)
PRIERI PITANJA ZA V CIKLUS LABORATORIJSKIH VEŽBI IZPREDETA OSNOVI TELEKOUNIKACIJA (TE3OT) Telekomunikacioni sistemi proširenog spektra Na testu za prvu vežbu u V ciklusu biće zastupljena pitanja iz oblasti
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραKognitivni radio. Evolucija radio sistema 2. Doc. dr Mirjana Simić
Kognitivni radio Evolucija radio sistema 2 Doc. dr Mirjana Simić Do sada smo videli da ako želimo efikasan prenos u ograničenom opsegu, brzina prenosa podataka ne bi trebala biti veća od dostupnog prenosnog
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα