Formalni računi sa kontrolom resursa

Transcript

1 Sustavi dokazivanja Dubrovnik,

2 1 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima 2 Formalni računi sa eksplicitnom kontrolom resursa Sintaksa Operacionalna semantika Tipski sistemi

3 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima ND sa implicitnim str. pravilima (Ax) Γ, A A ( intro ) Γ, A B Γ A B ( elim ) Γ A B Γ B Γ A

4 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima LJ sa implicitnim str. pravilima (Ax) Γ, A A ( L ) Γ A Γ, B C Γ, A B C ( R ) Γ, A B Γ A B (Cut) Γ A Γ, A B Γ B

5 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima LJ sa eksplicitnim str. pravilima A A (Ax) Γ, A B Γ A B ( R) Γ A, B C Γ,, A B C ( L) Γ A, A B Γ, B (Cut) Γ B Γ, A B (Weak) Γ, A, A B Γ, A B (Cont)

6 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima ND sa eksplicitnim str. pravilima A A (Ax) Γ, A B Γ A B ( intro) Γ A A B Γ, B ( elim ) Γ B Γ, A B (Weak) Γ, A, A B Γ, A B (Cont)

7 Formalni sistemi sa eksplicitnim strukturalnim pravilima Implicitna vs eksplicitna structuralna pravila Implicitna structuralna pravila Eksplicitna structuralna pravila konteksti su skupovi Aksioma: Γ, A A aditivna tj. "context-sharing" pravila konteksti su multiskupovi Aksioma: A A multiplikativna tj. "context-splitting" pravila

8 cilj? Napraviti formalne račune koji odgovaraju sistemima sa eksplicitnim strukturalnim pravilima, na način na koji λ-račun korespondira sistemu ND. motivacija? teorijska - ostvariti uvid u deo procesa računanja koji se obično implicitno podrazumeva; praktična - kontrolisanje ovog dela procesa računanja omogućava optimizaciju. zašto "kontrola resursa"? Zato što strukturalna pravila vrše kvantitativnu transformaciju konteksta tj. brisanje i dupliranje formula u kontekstu.

9 Sintaksa λ R -računa Sintaksa pre-termi λ R -računa: Pre-termi f ::= x λx.f ff x f x < x 1 f λx.f je apstrakcija, ff je aplikacija, x f je slabljenje i x < x 1 f je kontrakcija. slobodne promenljive pre-terma f - Fv(f ): Fv(x) = x; Fv(λx.f ) = Fv(f ) \ {x}; Fv(fg) = Fv(f ) Fv(g); Fv(x f ) = {x} Fv(f ); Fv(x < x 1 f ) = {x} Fv(f ) \ {x 1, }. operatori koji vezuju slobodne promenljive se zovu binderi.

10 Sintaksa Termi su samo oni pre-termi koji zadovoljavaju sledeća dva uslova: u svakom pod-termu, svaka slobodna promenljiva se pojavljuje tačno jednom; svaki binder vezuje tačno jedno pojavljivanje slobodne promenljive. Na primer, pre-termi nisu termi λ R -računa. λx.y, λx.xx, x < y z (xy) Pre-term x λx.x zahvaljujući Barendregtovoj konvenciji jeste λ R -term x λy.y.

11 Sintaksa Formalna definicija skupa λ R -terma - Λ R : f Λ R x Fv(f ) x Λ x R λx.f Λ R f Λ R g Λ R Fv(f ) Fv(g) = fg Λ R f Λ R x / Fv(f ) f Λ R x 1, x 1, Fv(f ) x / Fv(f ) \ {x 1, } x f Λ R x < x 1 f Λ R Terme obeležavamo sa M, N, P, M,...

12 Sintaksa Iako neki λ-termi nisu λ R -termi (npr. λx.y, xx,...) svaki λ-term ima sebi odgovarajući λ R -term. Example λ term λ R term λx.y λx.x y λx.xx λx.x < x 1 (x 1 ) vidimo da kontrakcija odgovara dupliranju promenljive, dok slabljenje odgovara brisanju promenljive.

13 Sintaksa Notacija i konvencije: X M označava x 1... x n M; X < Y Z M označava x 1 < y 1 z 1... x n < yn z n M; ako je X prazna lista, onda X M = X < Y Z M = M; x < x 1 M = x < x 1 M; Domen bindera se proteže na desno koliko je moguće tj. λx.mn = λx.(mn) i x < y z MN = x < y z (MN)

14 Pravila računanja u λ R -računu Operacionalna semantika β-redukcija - ključni korak u izračunavanju: (β) (λx.m)n M[N/x] supstitucija - implicitna tj. meta-operator: x[n/x] N (λy.m)[n/x] λy.m[n/x], x y (MP)[N/x] M[N/x]P, x Fv(P) (MP)[N/x] MP[N/x], x Fv(M) (y M)[N/x] y M[N/x], x y (x M)[N/x] Fv(N) M (y < y 1 y 2 M)[N/x] y < y 1 y 2 M[N/x], x y (x < x 1 M)[N/x] Fv(N) < Fv(N 1) Fv(N 2 ) M[N 1/x 1, N 2 / ]

15 Pravila računanja u λ R -računu Operacionalna semantika γ-redukcije - vrše propagaciju kontrakcije što dublje u term: (γ 1 ) x < x 1 (λy.m) λy.x < x 1 (γ 2 ) x < x 1 (MN) (x < x 1 (γ 3 ) x < x 1 (MN) M(x < x 1 M M)N, if x 1, Fv(N) N), if x 1, Fv(M) ω-redukcije - vrše izvlačenje slabljenja na površinu terma: (ω 1 ) λx.(y M) y (λx.m), x y (ω 2 ) (x M)N x (MN) (ω 3 ) M(x N) x (MN) γω-redukcije - interakcija strukturalnih operatora: (γω 1 ) x < x 1 (y M) y (x < x 1 M), y x 1, (γω 2 ) x < x 1 (x 1 M) M[x/ ]

16 Pravila računanja u λ R -računu Operacionalna semantika ekvivalencije - omogućavaju da se liste promenljivih X, Y, Z tretiraju kao skupovi: (ɛ 1 ) x (y M) y (x M) (ɛ 2 ) x < x 1 M x < x 1 M (ɛ 3 ) x < y z (y < u v M) x <y u (y < z v M) (ɛ 4 ) x < x 1 (y < y 1 y 2 M) y < y 1 y 2 (x < x 1 M), x y 1, y 2, y x 1, α-ekvivalencija - za oba bindera: λx.m α λy.m[y/x] x < y z M α x < y 1 z 1 M[y 1 /y, z 1 /z]

17 Primer računanja Operacionalna semantika I način: z < z 1 z 2 (λx.x y)(z 1 z 2 ) β z < z 1 z 2 (x y)[z 1 z 2 /x] z < z 1 2 (Fv(z 1 z 2 ) y) = z < z 1 z 2 (z 1 z 2 y) γω2 (z 2 y)[z/z 2 ] z y. II način: z < z 1 z 2 (λx.x y)(z 1 z 2 ) γ3 (λx.x y)z < z 1 z 2 z 1 z 2 β (x y)[z < z 1 z 2 z 1 z 2 /x] Fv(z < z 1 z 2 z 1 z 2 ) y = z y. Dok u λ-računu: (λx.y)(zz) β y[zz/x] y.

18 Normalne forme Operacionalna semantika Računanje se vrši do dovodjenja terma u normalnu formu. λ R -račun zadovoljava osobinu konfluentnosti, iskazanu sledećim dijagramom: M M 1 M 2 Posledica: svaki λ R -term ima najviše jednu normalnu formu. Ako svi nizovi redukcija dovode do normalne forme, term ima osobinu jake normalizacije. M

19 Operacionalna semantika Skup normalnih formi je odredjen sledećom apstraktnom sintaksom: M nf ::= x λx.m nf λx.x M nf xmnf 1... Mn nf x < x 1 M nf N nf, if x 1 Fv(M nf ), Fv(N nf ) W nf ::= x M nf x W nf neophodno je razdvojiti kategoriju W nf zato što term λx.y M nf nije normalna forma λx.y M nf ω1 y λx.m nf.

20 Tipski sistemi Tipovi Tipovi su sintaksni objekti koji se dodeljuju termima. Intuitivno, mogu se posmatrati kao domen funkcije koju term reprezentuje. Možemo posmatrati term kao program, a njemu odgovarajući tip kao specifikaciju programa. Postoje mnogi tipski sistemi za λ-račun; u λ R -računu: osnovni tipski sistem tj. obični tipovi; tipovi sa presekom.

21 Tipski sistemi Obični tipovi Obični tipovi su definisani sledećom apstraktnom sintaksom tipovi α ::= p α α Osnovna dodela tipa je izraz x : α; baza (ili kontekst) Γ je skup {x 1 : α 1,..., x n : α n } osnovnih dodela tipa, u kome su sve promenljive različite; domen baze je skup promenljivih Dom(Γ) = {x 1,..., x n }; proširenje baze Γ, x : α označava skup Γ {x : α}, pri čemu x Dom(Γ). Γ, je disjunktna unija dve baze.

22 Tipski sistem λ R Tipski sistemi x :α x :α (Ax) Γ, x :α M :β Γ λx.m :α β ( I) Γ M :α β N :α Γ, MN :β ( E ) Γ, x :α, y :α M :β Γ, z :α z < x y M :β (Cont) Γ M :α Γ, x :β x M :α (Weak)

23 Tipski sistem λ R Tipski sistemi x :α x :α (Ax) Γ, x :α M :β Γ λx.m :α β ( I) Γ M :α β N :α Γ, MN :β ( E ) Γ, x :α, y :α M :β Γ, z :α z < x y M :β (Cont) Γ M :α Γ, x :β x M :α (Weak)

24 Tipski sistemi Osobine sistema λ R Proširenje CH korespondencije: λ R -račun sa tipovima odgovara sistemu ND sa eksplicitnim strukturalnim pravilima. Theorem Neka Γ M : α. Tada x Dom(Γ) ako i samo ako x Fv(M). Theorem Neka Γ M : α i M M ili M M. Tada Γ M : α. Theorem Ako term M ima tip u sistemu λ R, onda zadovoljava osobinu jake normalizacije.

25 Tipski sistemi Osobine koje λ R NE zadovoljava a bilo bi dobro da ih račun ima Neka Γ M : α i M M ili M M. Tada Γ M : α. Ako term M zadovoljava osobinu jake normalizacije, onda ima tip u sistemu λ R. Example Na primer, term z < z 1 z 2 (λx.x y)(z 1 z 2 ) z y. Važi z : α, y : β z y : β, ali termu z < z 1 z 2 (λx.x y)(z 1 z 2 ) se ne može dodeliti tip u sistemu λ R. ovo su standardne "boljke" osnovnih tipskih sistema formalnih računa, rešenje je u uvodjenju tipova sa presekom.

26 Tipski sistem λ R Tipski sistemi... je veoma zanimljiv, ali o njemu sledeći put!

27 Tipski sistemi Sistem λ R x : σ x : σ (Ax) Γ, x : α M : σ Γ λx.m : α σ ( I) Γ M : n i=1 τ i σ 0 N : τ 0... n N : τ n Γ, n MN : σ ( E ) Γ, x : α, y : β M : σ Γ, z : α β z < x y M : σ (Cont) Γ M : σ Γ, x : x M : σ (Weak) Theorem (Ghilezan et al. (2011)) λ R -term ima osobinu jake normalizacije ako i samo ako ima tip u sistemu λ R.

28 Šta smo uradili Tipski sistemi Uveli tipove sa presekom u λ R i dokazali da u sistemu λ R važi da: Term ima tip ako i samo ako ima osobinu jake normalizacije. Napravili sekventni lambda račun sa kontrolom resursa λ Gtz R koji u osnovnom tipskom sistemu odgovara sistemu LJ sa eksplicitnim strukturalnim pravilima. Uveli tipove sa presekom u λ Gtz R i u λ-račun sa eksplicitnom supstitucijom i kontrolom resursa λ x R i pokazali da i ovi sistemi karakterišu osobinu jake normalizacije.

29 Reference Tipski sistemi S. Ghilezan, J. Ivetić, P. Lescanne, D. Žunić: Intuitionistic sequent-style calculus with explicit structural rules. Tbilisi th International Symposium on Language, Logic and Computation, Lecture Notes in Artificial Intelligence 6618: (2011). S. Ghilezan, J. Ivetić, P. Lescanne, S. Likavec: Intersection Types for the Resource Control Lambda Calculi. ICTAC th International Colloquium on Theoretical Aspects of Computing, Lecture Notes in Computer Science 6916: (2011). S. Ghilezan, J. Ivetić, P. Lescanne, S. Likavec: Intersection types for explicit substitution with resource control. ITRS Sixth Workshop on Intersection Types and Related Systems (ovde, sutra).

30 Tipski sistemi Mogući nastavci istraživanja Računarske interpretacije substrukturalnih logika, polazeći od λ R -računa umesto od linearne logike; rekonstrukcija tipova; implementacija.