PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT

Transcript

1 PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo;. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole), Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu. Izbor je napravljen u kratkom vremenu koje je proteklo od prvog prijemnog ispita u julu ove 007. godine, u ljetnoj pauzi u avgustu, tako da su mogući propusti. Molim buduće studente, koji uoče billo kakve propuste ili imaju korisne sugestije kako da se poboljša ovaj tekst, da me na to upozore. Prof. Dr. Behdžet Mesihović Sarajevo 4. juni 007. Katedra za matematiku, programiranje,... Građevinski fakultet, Univerziteta u Sarajevu, e mail: bmesih@gf.unsa.ba

2 SADRŽAJ RAZLOMCI... 3 ALGEBARSKI IZRAZI... 9 KVADRATNE JEDNAČINE JEDNAČINE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA GRAFICI KVADRATNE FUNKCIJE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE PRIMJENA SLIČNOSTI... 1 POVRŠINA RAVNIH FIGURA... TRIGONOMETRIJA... 4 I Svođenje na prvi kvadrant... 4 II Trigonometrijske funkcije složenih uglova...5 III Trigonometrijske jednačine... 7 ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI PRIMJERI PRIJEMNOG ISPITA NA RAZNIM FAKULTETIMA Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu (sa rezultatima), 003g, Fakultet za saobraćaj i komunikacije u Sarajevu , Grupa A i B,...4 Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Sarajevu ( ), Grupa A i B,...44 Građevinski fakultet u Sarajevo ,(sa rješenjimaq) Malo statistike sa prijemnog ispita na GF u Sarajevo , TESTIRAJTE SE ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE! PROGRAMI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE...56

3 Izračunati vrijednosti numeričkih izraza: 1. 3 Razlomci: PRIMJEDBA:Ovdje je mješoviti broj = + =

4

5

6

7 7 Rješenja

8

9 9 Algebarski izrazi

10

11 Riješenja

12

13

14 14 Kvadratne jednačine

15 1. 15 Rješenja kvadratnih jednačina

16 16 1. Jednačine sa apsolutnim vrijednostima Rješenja jednačina

17 17

18 18 1. Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima 3. Rješenja

19 1. 19 Logaritamske jednačine i nejednačine

20 0 Rješenja logaritamske jednačine i nejednačine

21 1 Primjena sličnosti Rješenja

22 1. Površina ravnih figura

23 3 Riješenja

24 4 Trigonometrija Rješenja

25 5

26 6 Rješenja

27 7 III Trigonometrijske jednačine

28 8 Rješenja

29 9

30 30 ANALITIČKA GAEOMETRIJA U RAVNI Tačka Rastojanje d tačaka M 1 (x 1,y 1 ) i M (x.y ): d = (x - x 1) + (y - y 1) 1 1 Koordinate sredine S duži M 1 M : xs = ( x1 + x ), ys = ( y1 + y). Površina trougla Površina P trougla sa vrhovima M 1 (x 1,y 1 ) i M (x.y ) i M 3 (x 3,y 3 ): 1 P = ± [ x 1 (y y 3) + x (y 3 y 1) + x 3 (y 1 y ) ] Tačke M 1 (x 1,y 1 ) i M (x.y ) i M 3 (x 3,y 3 ) su kolinearne (tj. leže na istoj pravoj) akko je P=0. Jednačina prave Opšti oblik: Ax + By + C = 0, A ili B je različito od nule (tj. A + B 0 ). C=0 implicira prava prolazi kroz koordinatni početak. Segmentni oblik: x y + = 1, a b tačka P(a, 0) presjek sa osom Ox, tačka Q(0, b) presjek sa osom Oy; x = a prava paralelna osi Oy, y= b prava paralelna osi Ox; jednačina ose Ox y= 0, jednačina ose Oy: x= 0. Eksplicitni oblik y = kx + n n (0, n) presjek sa osom Oy,,0, k 0, k presjek sa osom Ox, α ugao sa pozitivnim smerom ose Ox, k= tga koeficijent pravca. Pramena pravih sa centrum M 0 (x 0, y 0 ): y y 0 = k(x x 0 ). Prave kroz dvije tačke M 1 (x 1,y 1 ) i M (x.y ): y y1 y y1 = ( x x1) ili ( y y1)( x x1) = ( y y1)( x x1) x x 1 Normalni oblik (p > 0 je rastojanje prave od koordinatnog početka, a β ugao koji normala na tu pravu zatvara sa (pozitivnom) smjerom ose Ox) xcosβ + ysinβ p= 0. Veza između raznih oblika jednačine prave C C A π C a =, b =, k= tg α =, α+ β =, p =, A B B ± A + B Predznak pred korjenom bira se tako da je p > 0. Uslov paralelnosti pravih Prave y = k 1 x + n 1, y = k x + n su paralelne ako i samo ako je k 1 = k. Prave A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A x + B y + C = 0, su paralelene akko: A 1 :B1 = A :B. Uslov normalnosti pravih Prave y = k 1 x + n 1, k 1 0 i y= k x + n, k 0, su normalne akko je k 1 k = 1. Prave A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A x + B y + C = 0 su normalne akko je A 1 A + B 1 B = 0. 1 Prava kroz Mo (x o,y o ) normalna na pravu y = kx + n, k 0 je y y0 = ( x x 0). k

31 Ugao izmedu pravih y= k 1 x + m 1, y= k x + n : k k 1 tg ϕ =, 1+ k1k 1+ k1k 31, tj. 1+ kk 1 = 0 ϕ = ±90 0. Rastojanje tačke od prave rastojanje d tačke M 0 (x 0, y 0 ) od prave Ax + By + C = 0, A + B 0, je Ax 0 + By0 + C d = A +B d C > 0 ako su tačke O i M 0 sa iste strane prave, d C < 0 ako su tačke O i M 0 sa raznih strane prave, d = 0 ako je M 0 na pravoj, C = 0 koordinatni početak O je na pravoj. Kružnica je geometrijsko mjesto tačaka u ravni jednako udaljenih od jednc utvrđene tačke (centra kružnice). Poluprečnik je duž čije su krajnje tacke centar i bilo koja tačka na kružnici. Jednačina kružnice sa centrom u tacki C(p, q) i poluprečnikom r je (x p) + (y q) =r. Ax + Bx + Ay + Cy + D = 0 je jednačina kružnice ako je B + C 4AD > 0. Tada je: B C B + C - 4AD p =, q =, r =. A A 4A Tangenta kružnice Ako tačka M o (x o,y o ) pripada kružnici (x p) + (y q) = r onda je (x o p) (x p) + (y o q) (y q) = r jednačina tangente kružnice u toj tački. Prava y = kx + n je tangenta kružnice (x p) + (y q) = r akko je (1 + k )r = (q kp n). Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja od dvije utvrđene tačke (fokusa F 1 i F ) stalan. Zbir rastojanja ma koje tačke elipse do fokusa obilježava se sa a.

32 3 x y Kanonska jednačina: + = 1 a b c b Ekscentritet: e = 1 1 a = a < ; Fokusi (žiže): (c,0), ( c,0) a a Jednačine direktrisa: x =, x e = e ; fokalni parametar: b p = a Fokalni radijusi: r 1 = a + ex, r = a ex ; xx 0 yy 0 Tangenta u tački M (x 0, y o ): + = 1 a b Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a k + b = n Hiperbola je geometrijsko mjesto tačaka u ravni za koje vrijedi da je razlika rastojanja od dvije utvrđene tačke (fokusa F 1 i F) stalna. Stalna razlika udaljenosti od fokusa obelezava se sa a. x y Kanonska jednačina: = 1 a b c b Ekscentricitet: e 1 1 a a (c,0), ( c,0) a a Jednačine direktrisa: x =, x e = e ; fokalni parametar: b p = a Fokalni radijusi: r 1 = a + ex, r = a + ex ; xx 0 yy 0 Tangenta u tački M (x 0, y o ): = 1 a b Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a k b = n Parabola je geometrijsko mjesto tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje od jedne fiksne tačke (fokusa F) jednako rastojanju od jedne fiksne prave (direktrise d). Kanonska jednačina: y = px Ekscentricitet: e = p Fokus:,0 Jednačina direktrise: p x =, Fokalni parametar: p

33 33 Fokalni radijus: p r = x + Tangenta u tački M(x o,y o ): yy= px ( + x) 0 0 Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta parabole: kn = p

34 34 ZADACI Tačka i trougao 1. Odrediti tačku M(x,y) koja je jednako udaljena od tacaka: M 1 (l,0), M (,) i M 3 (0, ). Rjesenje. Iz uslova zadatka je MM 1 = MM i MM 1 = MM 3, dobije se slijedeći sistem jednačina: odnosno x +4y = 7, x 4y = 3, čije je rješenje x = 1 i y = 5 / 4, pa je tražena tačka M( 1, 5 / 4).. Pokazati da je trougao ABC jednakokrako pravougli ako su njegova temena: A(,l), 5(5,3) i C(0,4). 3. Data su tri uzastopna tjemena A(l,0), B(3,1) i C(5,4) paralelograma ABCD. Nać'i koordinate temena D. Rezultat. D(3,3). 4.. Data su dva susjedna tjemena A( 4,4), B(,8) i presjek dijagonala S(,) paralelograma ABCD. Odrediti tjemena C i D. Rezultat. C(8,0), D(, 4). 5. Dva tjemena trougla ABC su A( 3,1) i B(,), a treće tjeme C pripada pozitivnom dijelu y ose. Naći koordinate tačke C tako da površina tog trougla bude 10. Uputstvo. Iz uslova zadatka dobija se slijedeća jednačina: 5y 8 0 (y 0). C0,85. = > Rezultat. ( ) ' 6. Tri tjemena cetvorougla ABCD su: A(4,0), B(3,5) i C( 7,5), a četvrto tjeme D pripada negativnom dijelu x ose. Odrediti koordinate tacke D tako da površina cetvorougla ABCD bude 50. Rezultat. D( 6,0). Prava 7. Data je tačka A(l,) i prava jednacinom x + y 3 = 0. a) Naci jednacinu prave koja prolazi kroz tacku A i normalna je na datoj pravoj. b) Naci jednačinu prave koja prolazi kroz tacku A i paralelna je sa datom pravom. 1 1 Rjesenje. a) Koeficijent pravca date prave je k =, a koeficijent trazene prave je k 1 = =, pa je jednačina k 1 tražene prave y = ( x 1), odnosno x y + 3 = 0. Rezultat. b) x + y 4 = Tacke A 1 ( l, 0), B 1 (,1) i C 1 (0, 3) su sredine stranica trougla ABC. Naci koordinate tjemena tog trougla. Uputstvo. x 1 y Prava BC je paralelna sa pravom B 1 C 1 i lahko je viditi da je BC: + = ; prava AB je paralelna sa pravom A B pa je 1 1 x y 3 AB: = ; 3 1 prava AC je paralelna sa pravom A x y 1 1C 1 pa je: AC: =. Rezultat. A(3,4), B( 3,), C(l ) U jednačini prave mx y + 5 =0 odrediti parametar m tako da: a) prava bude paralelna pravoj x + y 1 = 0, b) prava bude normalna na pravu x y +1 = 0; c) prava zaklapa sa pozitivnim smijerom x ose ugao od 60. Rezultat. a) m = ; b) m = ; c) m = Tjemena trougla su ta ke: M 1 (3,0), M (5,) i M 3 (4, 5). Naći jednačinu visine trougla M i M M 3 koja odgovara temenu M 1. Rezultat. x 3y 3 = Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(,3) i sa koordinatnim osama gradi trougao povrsine 1. Uputstvo. Jednačina tražene prave je x y + = 1, a površna trougla je p q 1 P= p q = 1. Iz uslova da tačka A leži na toj pravoj dobija se jednačina + 3 = 1. Za nalaženje veličina p i q koristi se sistem jednačina: pq = 4, 3p + q = 4. p q Rezultat. 3x + y 1 = 0. 34

35 35 1. Odrediti parametar p tako da prava x + py 5 = 0 zaklapa sa koordinatnim osama trougao čija je površina 5. 5 Rezultat. p = Odrediti koordinate tacke A' koja je simetrična tački A(1, 1) u odnosun na pravu x+y 1 = 0. Rješenje. Prava kroz tacku A normalna na datu pravu ima jednačinu x y 3 = 0. Presjek tih pravih je 7 1 tacka B,, 5 5 a tražena tačka A'(x',y') određuje se iz uslova AB = B A', tj. 7 x y = i =. Prema tome, trazena tacka je A, Na pravoj 3x y + 3 = 0 naci tacku M najbližu tački M 1 (, 1). Rezultat. M ( l,0). 15. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 3 (3, 3), a sa pravom 4x y = 0 zaklapa ugao 4 π. Uputstvo. Iz k 4 uslova zadatka dobija se jednačina = 1, gde je k koeficijent pravca tražene prave. Rezultat. Dva rješenja: 5x 1+ 4k + 3y 4, 3x 5y = Odrediti jednačinu geometrijskog mjesta tačaka u ravni Oxy koje su podjednako udaljene od tačaka A( 1,3) i B(3,l). Rezultat. x y = Naći rastojanje između paralelnih pravih x y + = 0 i x y + 9 = 0. Rezultat Odrediti jednačine simetrala uglova koje obrazuju prave 8x + 16y 1 = 0 i 16x 8y + 3 = 0. Rezultat. x 6y + 11 = 0, 1X + 4y +1 = Na pravoj x y 10 = 0 naći tačku M(x,y) tako da je zbir kvadrata rastojanja od tačaka M 1 ( 5,0) i M ( 3, 4) najmanji. Uputstvo. Iz uslova zadatka je: MM 1 +MM =x + y + 16x 8y + 50 i y = x 10, odakle je MM 1 +MM =10x 80x Rezultat. M(4, ). Kružnica 0. Naći jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačke A(l,6) i 5(3, ), a centar C te kružnice leži na pravoj x y + 3 = 0. Rješenje. Centar C(p,q) tražene kružnice leži na pravoj x 4y + 6 = 0 koja je simetrala duži AB i leži na datoj pravoj. Znači, za nalaženje veličina p i q postoji sljedeći sistem jednačina: p 4q + 6 = 0, p q + 3 = 0, pa je centar kružnice C(,l), a poluprečnik je r = AC = 34. Prema tome, tražena jednačina kružnice je ( x+ ) + ( y 1) = Nać i jednač inu kružnice koja prolazi kroz tač ke M 1 (l, 3), M (l, 1)i M 3 ( 1, 3). Rezultat. (x + 3) +(y +1) = 0.. Naći jednačinu kružnice koja prolazi kroz koordinatni početak i čiji centar leži na pravoj y = x na rastojanju p od koordinatnog početka. Rezultat.x +y px py = 0,x +y +px + py = Napisati jednačinu kružnice poluprečnika r=, koja dodiruje x osu, a centar joj je na pravoj y=x. Rezultat. (x 1) +(y ) = 4, (x + 1) +(y + ) = Iz tačke A(15, 5) povući sečicu na kružnicu x +y = 50 tako da odseca tetivu dužine 10. Naći jednačinu te sečice. Rezultat. 3x + 4y 5 = 0, y + 5 = Naći jednačinu tetive kružnice x +y 4x + y + 1 = 0 koja je tačkom A(3,0) prepolovljena. Rezultat. x + y 3 = Odsječak prave 3x + y 6 = 0 koji odsjecaju koordinatne ose je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla. Naći treće tjeme tog trougla. Uputstvo. Tačke presjeka koordinatnih osa i date prave su A(,0) i B(0,3). Prava 4x 6y + 5 = 0 je simetrala duži AB; kružnica čiji je prečnik AB = 13 ima jednačlnu (x 1) + (y 3 ) = Znači, tražena tačka 3 13 C(x,y) je rješenje sljedećeg sistema jednačina: 4x - 6y + 5 = 0, (x 1) + (y ) =. Rezultat C 1,, C,. 7. Naći jednačinu kružnice koja dodiruje pravu x + y = 0 u tački A(1,1) i prolazi kroz tačku B(4,0). Rezultat x + y =. 35

36 36 8. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar u tački presjeka pravih 3x 4y + 11 = 0 i 5x + 7 y 50 = 0 i koja dodiruje pravu 5x + 1 y 10 = 0. Rezultat. (x 3) + (y 5) = Odrediti n tako da prava y = x + n bude tangenta kružnice x +y x y + 1 = 0. Rezultat. n 1 =, n =. 30. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar tadka C(,5), a dodiruje kružnicu (x + ) + (y l) =. a) spolja; b) iznutra. Rezultat.a) (x ) +(y 5) = 18; b) (x ) + (y 5) = Naci geometrijsko mjesto sredina tetiva kruznice x + y = r koje prolaze kroz tacku M 0 ( r, 0). r r Rezultat. x + + y =, osim tačke M 0 ( r, 0) Naći geometrijsko mjesto svih tačaka u ravni Oxy iz kojih se kruznica x +y = r vidi pod pravim uglom. Rješenje. Neka tačka M(x,y) pripada trazenom skupu i neka je Y = kx + y kx tangenta date kruznice u tačiki M(X,Y) (X i Y) su tekuće koordinate prave). Uslov dodira tangente i kruznice je ( ) ( ) 1+ k r = y kx, odnosno (r x )k +xyk + r y = 0. Dobijena kvadratna jednačina po k ima dva rjesenja k 1 i k, koja zadovoljavaju relaciju k 1 k r y = 1, pa je: 1. = Prema tome, tražena jednačiina je x + y = r. r x Elipsa 33. Naći kanonski oblik jednadine elipse ako je a + b = 10 i c = 0 (a velika poluosa; b mala poluosa; c rastojanjeizmeđu žiža). Rješenje. Iz uslova zadatka dobija se sljedeći sistem jednačina: a b =0, a + b = 10, čije je rješenje a = 6 i b = 4, pa je tražena jednačina elipse 16x + 36y = Pod kojim se uglom vidi žižno rastojanje elipse 9x + 36y 3 3 = 9 36 i iz tačke A3,? Rezultat. ϕ = arctg U elipsu x +4y = 4 upisan je jednakostranični trougao čije se jedno tjeme poklapa sa desnim krajem velike poluose te elipse. Naći koordinate ostala dva tjemena tog trougla. Uputstvo. Tjemena B i C tog trougla nalaze se na pravama y = 3 3 (x ) i y = (x ) Rezultat. B,, C, Tjemena četvorougla nalaze se u žižama elipsi: b x +a y = a b i a x + b y = a b. Naći površnu tog četvorougla. Rezultat. P = a b. 37. Naći jednačine tangenata elipse x +4y =1 koje su paralelne pravoj x +y =. 5 Rezultat. y = x ±. 38. Napisati jednačinu elipse u kanonskom obliku ako ona dodiruje prave: x + y 8 = 0, x + 3y + 16 = 0. Rezultat. a = 40, b = Prava koja odsjeca jednake odsječke na koordinatnim osama je tangenta elipse iz zad. 38. Naći jednačinu te tangente. Rezultat. x +y 8 = Naći jednačnu tangente elipse 9x +5y = 5 čiji je odsječak između koordinatnih osa tačkom dodira prepolovljen (prvi kvadrant). Rezultat. 3x + 5y 15 = Naći jednačinu tangente elipse sa osama a = 7, b = 3 koja sa koordinatnim osama zaklapa trougao površine 48. Rezultat. x ± 3 v ± 4 = Naći ugao pod kojim se sjeku kružnica x + y = 4 i elipsa 3x + 4y = 13. Rezultat. 43. Odrediti jednačine zajedničkih tangenata elipsi x +4y =4 i 9x +y = Rezultat. y = x ±, y = x ± ϕ = arctg Naći geometrijsko mjesto centara krugova koji dodiruju kružnice x + y = 16 i (x ) +y = 4. 36

37 37 Uputstvo. Neka je M(x, y) jedna tačka traženog geometrijskog mjesta tačaka, a r poluprečnik kružnice koja dodiruje date kružnice. Tada je očito (obavezno nacrtajte sliku): ( ) r+ = x + y, 4 r= x + y. Rezultat. Elipsa ( ) 8x + 9y = 7 i prava y = 0 bez tačke (4,0). II način. Neka su: O 1 centar veče kružnice čiji je poluprečnik r 1 = 4, O centar kružnice čiji je poluprečnik r 1 =, tada je (vidi sliku) (O 1 M = r 1 r, O M = r + r) O 1 M + O M = r 1 + r = 6, tj. traženo geometrijsko mjesto je elipsa čiji su fokusi O 1 i O, tako da je a = 6, c = O 1 O = r 1 =. Zato je (a, c) = (3, 1) i b = a c = Naći geometrijsko mjesto tačaka koje dijele ordinate tačaka kružnice x + y =5 u razmjeri 3:. Rezultat. 9x +5y = 5. x y 45. Odrediti geometrijsko mjesto tačaka iz kojih se elipsa + = 1 vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak a b 3, odjeljak Kružnica. Rezultat. x + y = a + b.. Hiperbola 47. Odrediti jednačinu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz tačke M 1 (,0) i M (6,4). Rješenje. Iz uslova da tačke M 1 i M pripadaju hiperboli čija je jednačina: b x a y = 1 dobija se sljedeći sistem jednačina: 4b = a b, 36b 16a = a b. Izlazi a = 4 i b x y =, pa je jednačina te hiperbole = Naći jednačinu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz tačku A( 4, 3) i ako ona ima iste žiže kao i elipsa x + 7y x y =70. Rezultat. = Data je jednačina elipse 9x + 5y = 5. Napisati jednačinu hiperbole čija su temena u žižama te elipse, a žiže te hiperbole u temenima date elipse. x y Rezultat. = x y 50. Izračunati rastojanje žiža hiperbole = 1 od njenih asimptota. Rezultat Naći dužinu tetive hiperbole 5 x 4y = 0 koja prolazi kroz desnu žižu te hiperbole i paralelna je sa pravom x + y = 1. Rezultat Napisati jednačinu tetive hiperoble 4x 9y = 36 koju polovi tačka A(5,1). Rezultat. 0x 9y = Jednakostranični trougao, koji je simetričan u odnosu na x osu, ima jedno tjeme u koordinatnom početku, a druga dva tjemena su na hiperboli 4x 9y = 36 (x > 3). Naći koordinate tjemena tog trougla. Rezultat. O(0, 0), A(6, 3 ), B(6, 3 ). 54. Iz tačke A(1,0) povučene su tangente na hiperbolu x y =4. Naći jednačine tih tangenata. Rezultat. y=± 3 ( x 1 ) Odrediti jednačine tangenata hiperbole 9x 4y =36 koje su paralelne pravoj x y 4 = 0. Rezultat. y = x ± Odrediti jednačine tangenata hiperbole x y = 4 koje su normalne na pravoj x +y = 1. Rezultat. y = x± Odrediti jednačinu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola dodiruje pravu x y x y = 0 u tački A(4,). Rezultat. = Ako su prave 5x 7y l = 0 i x y l = 0 tangente hiperbole b x a y = a b, odrediti jednačinu te hiperbole. Rezultat. x y =. 59. Pod kojim se ugtom seku krive x + y = 5 i x y =? Rezultat. ϕ = arctgl Naći jednačine zajedničkih tangenata hiperbole 3x 4y = 1 i kružnice x +y =1. Rezultat. y = x + 1, y = x 1, y = x + 1, y = x 1. 37

38 Naći jednačinu kružnice čiji je centar na y osi i dodiruje hiperbolu 3x y = 3 u tački M(,3). Rezultat. x + (y 4) = Naći jednačinu one krive čije su tačke dva puta dalje od tačke F(8,0) nego od prave x =. Rješenje. Neka je M(x,y) proizvoljna tačka tražene krive. Iz datog uslova dobija se jednačina ( ) x 8 + y = x, x y a posle kvadriranja i sređivanja dobija se tražena kriva = Naći geometrjsko mjesto tačaka iz kojih se hiperbola b x a y = a b vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak 3, odjeljak Kružnica. Rezultat. x + y = a b (a > b). 64. Naći geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju spolja kružnice x + y = 4 i x + y 6x = 0. 3 Rezultat. 8x y =. Parabola 65. U jednačini parabole y = px odrediti parametar p tako da tačka M(,4) leži na toj paraboli, a zatim nać'i direktrisu i žižu te parabole. Rezultat. p = 4, x =, F(,0). 66. Na paraboli y = 4x naći tačku A čije rastojanje od koordinatnog početka iznosi 1. Rješenje. Neka je tačka A = (a,b). Tada je b = 4a, a iz uslova OA = 1 dobija se jednačina a +b = 1. Dakle, a i b se dobiju iz sistem jednačina: b =4a, a + b = 1. Tražene tačke su: 1, = ( ± ) A 3, U parabolu y = x upisan je istostranični trougao čije se jedno tjeme nalazi u tjemenu te parabole, a druga dva na datoj paraboli. Naći koordinate druga dva tjemena tog trougla. Rezultat. A = ( 6, 3 ), B= ( 6, 3 ). 68. Naći jednačinu tetive parabole y = 4x koja je tačkom A(3,1) prepolovljena. Rješenje. x y = Kroz žižu parabole y = 4x, okomito na pravu y = x, povučena je tetiva parabole. Odrediti koordinate sredine S ove tetive. Rezultat. S(9, 4). 70. Naći tangentu parabole y = 3x koja je paralelna pravoj 3x y l = 0. Rezultat. 1x 4y + l = Pod kojim se uglom vidi parabola y = 8x iz tačke A(,3)? Rezultat. ϕ = π. 7. Naći ugao između tangenata parabole y = x koje su povučene u tačkama preseka te parabole i prave x y =. Rezultat. ϕ = 5 arctg Na paraboli y = 4x naći tačku najbližu pravoj 4x + 3y + 46 = 0 i izračunati njeno rastojanje d od te prave Rezultat. A,,d = Naći jednačinu kružnice čiji je centar na x osi i koja sa parabolom y = 1x u tački A(3,6) ima zajedničku tangentu. Uputstvo. Jednačina tangente parabole y = 1x u tački A(3,6) je y = x + 3. To je i jednačina tangente tražene kružnice. Jednačina normale te prave u tački A je y = x + 9. Tačka C(9,0) je centar kružnice, a poluprečnik je r = AC = 6. Rezultat. (x 9) +y = Koja od parabolu y = px koja siječe kružnicu (x +3) +y = 7 pod pravim uglom. Rezultat. y = 1x. 76. Pod kojim se uglom sjeku krive y = 3x i x + y 4x 6 = 0? Rezultat. ϕ = π Naći zajedničke tangenate kružnice x + y = i parabole y = 8x. Rezultat. y = x +, y = x. 78. Na pravoj x + y + 3 = 0 naći tačku iz koje se parabola y = 4x vidi pod pravim uglom. Rezultat. A( l, ). 79. Naći geometrijsko mjesto sredina tetiva krive y = 1x koje su paralelne pravoj 3x 4y + 4 = 0. Rezultat. y 8 = 0 x Koju krivu opisuje centar kružnice koja dodiruje y osu i kružnicu x + y x = 0? Rezultat. y =4x. Grafički predstavi i riješiti sistem jednačina: 81. x + y 6x 4y 1 = 0, x y 6 = 0. Rezultat. Presječne tačke kružnice (poluprečnika 5 sa centrom u 38

39 tački (3,)) i prave K P = {( 3, 3 ),( 8, )}. 8. x + y = 16, y = 6x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole {( ± )} 39, x + 4y = 4, 4y 3 = 3x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole 1, ±. 84. y=x + 3x 1, xy = 3. Rezultat. Presjek parabole i hiperbole ( ± 1, ± 3 ), ( 3, 1 ). { } 85. x + y + x 6y + 5 = 0, x + y y 9 = 0. Rezultat. Presjek dvije kružnice {( ) ( )} 86. 9x + y = 45, xy = 6. Rezultat. Presjek elipse i hiperbole {( ±, ± 3 ),( ± 1, ± 6 )}. 87. x + y = 5, x + y = 13. Rezultat. Presjek kružnice i parabole {( ± 4, 3 ),( ± 3, 4 )}. 88. x + y = 34, xy = 15. Rezultat. Presjek kružnice i hiperabole {( ± 3, 5 ),( ± 5, 3 )}. 1, 4, 3,. LITERATURA 1. M. Merkle (i dr. devet autora): ZBIRKA ZADATAKA I TESTOVA za polaganje prijemnog ispita IZ MATEMATIKE za upis na tehničke i.,. dopunjeno izdanje, Beograd 000, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, 39

40 PRIMJER PRIJEMNOG ISPITA 40 Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu,

41 41 41

42 Fakultet za saobraćaj i komunikacije, Univerziteta u Sarajevu 4 Zadaci za Prijemni ispit ( ) Grupa A Broj zad. Tekst zadatka 1. Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina ( k+ 1) x + ( k + 1) x + k 1 = 0 ima dva rješenja oba negativna. Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:. a) x + 3 x < 5 ; b) 3x 5 > x 1. Ako je f ( x) f (1 x) = x, riješite trigonometrijsku jednačinu f(sin x + cos x) =. 6 U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 4 cm, 1 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački B 1, a stranicu CA u tački C 1. Izračunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu poluprečnika ρ kružnice K upisane tom trouglu; b) površinu P 1 novonastalog trougla ABC. 1 1 Napomena: Svaki od zadataka se vrednuje na isti način po maksimalno 10 bodova. Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova Fakultet za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu 4

43 43 Zadaci za Prijemni ispit ( ) Broj zad. Grupa B Tekst zadatka Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina 1. ( k+ 1) x + ( k + 1) x + k 1 = 0 ima dva rješenja različitog znaka. Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:. a) x + 3 x > 5 ; b) 3x 5 < x 1. Ako je f (1 x) f ( x) = 1 x, riješite trigonometrijsku jednačinu f(sin x cos x) =. 6 U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 4 cm, 1 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački B 1, a stranicu CA u tački C 1. Izračunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim O 1 novonastalog trougla ABC. 1 1 Napomena: Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova Svaki od zadataka se vrednuje na isti način po maksimalno 10 bodova. Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 007/008. godine 43

44 Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Broj zad. 44 PRIJEMNI ISPIT ( ) Tekst zadatka Grupa A a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) = x 5x + 4. Nakon toga riješiti svaku od nejednadžbi: 1. x 5x + 4 < 0, x 5x + 4 0, x 5x + 4> 0, x 5x b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba kx ( k + ) x + k + 1 = 0 ima dva realna i različita rješenja koja pripadaju intervalu (0,5).. Riješiti sistem jednadžbi: log ( x + y ) + 1 = log 130 log ( x y) log ( x+ y) = log Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3. z 1 5 =, 8i z 3 4 z z 8 = 1, gdje je i imaginarna jedinica. 4. Izračunati sve vrijednosti izraza sinα + cos β tgα ako je 3 α+ β = π isinα = U trokut čije stranice imaju dužine 4 cm, 1 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati obim novonastalog trokuta. Napomene: - Svi zadaci se vrednuju na isti način po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni u 14 00, u zgradi Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Ime i prezime kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova 44

45 Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu 45 PRIJEMNI ISPIT ( ) Grupa B roj zad. Tekst zadatka a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) = x 4x + 3. Nakon toga riješiti svaku od nejednadžbi: 1. x 4x + 3 < 0, x 4x + 3 0, x 4x + 3> 0, x 4x b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba kx k x k + ( 1) = 0 ima dva realna i različita rješenja od kojih tačno jedno pripada intervalu (0, 1). Riješiti sistem jednadžbi:. log ( x + y ) + 1 = log log ( x y) log ( x+ y) = 4log. Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3. z 8i 3 =, z 1 5 z 8 z 4 = 1, gdje je i imaginarna jedinica. 4. Izračunati sve vrijednosti izraza tgα sin α +cos β ako je 3 α+ β= π i cosα = U trokut čije stranice imaju dužine 4 cm, 1 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati površinu novonastalog trokuta Napomene: - Svi zadaci se vrednuju na isti način po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni u 14 00, u zgradi Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Sarajevu, školske 007/008. godine Ime i prezime kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova 45

46 46 GRAĐEVINSKI FAKULTET, Sarajevo ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Svaki zadatak ima četeri ponuđena odgovora: a, b, c, d. OBAVEZNO : 1. riješite postavljeni zadatak, a zatim. zaokružiti SAMO tačan rezultat. SMATRA SE DA NISTE RIJEŠILI TAJ ZADATAK, ako: (i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata (a, b, c, d), (ii) ne zaokružite nijedan od odgovora (a, b, c, d), (iii) samo zaokružite tačan rezultat a da niste zapisali rješenje. (iv) 1. ZADATAK Nejednačina: ( m 1) x + mx+ m 0 važi za sve realne x, ako je:. ZADATAK a) 0 m 1 b) m 0 c) m 1 d) m 1 Neka se na horizontalnom terenu iz tačke A toranj visok 30m vidi pod uglom od 6 π. Da bi se iz iste tačke toranj vidio pod uglom od 3 π trebao bi biti visok: a) 60m b) 75m c) 90m d) 60 3.ZADATAK Ako je je hipotenuza c = 4, a za mjerne brojeve oštrih uglova vrijedi α : β = 1 : 3, tada je površina pravouglog trougla: a) ( 1) ; b) 3 ; c) 5+ 1; d). 4.ZADATAK Osnovica ravnokrakog trougla je a = 5, a krak b = 10. Tada je poluprečnik opisanog kruga oko trougla: 5. ZADATAK Izraz: ima vrijednost: a) 3 5 ; b) : x y x+ y x+ y x y x y y xy ( ) ( ) ; c) ( ) ; d) a) 4; b) xy + 3; c) ; d) xy ZADATAK Ako je: 63 π 7 π cos α=, α 0, i cos β=, β 0,, tada je α+β jednako: 46

47 47 a) 45 0 ; b) 90 0 ; c) 60 0 ; d) Korisne formule: 1+ cosθ 1 cosθ cos θ =±, sin θ =±, cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y. U pravouglom trouglu čije su katete a i b, a hipotenuza c: sinα = a c, cosα = b c RJEŠENJA 1.Zadatak Kvadratni trinom f(x) = ax +bx + c ne mijenja znak ako je diskriminanta D = b ac 0, tj. Dakle, ( ) ( ) ( ) (f ( x) 0 ( D 0 a < 0 )) x R (f x 0 D 0 a > 0 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( x R m 1 x + mx+ m 0) D = m m 1 m = m 0 m 1< 0 m 0. x x R m 1 x + mx+ m 0 m m 0. Drugi način (S. Dolarević): ( )( ) ( x+ 1).Zadatak Neka je x = CA i tražena visina tornja H = CB, tada je: x = hctg30 0 =30 3, H = xtg60 0 = = 30.3= 90 m. h C A CAB1=30 0, CAB=60 0 CAB 1=30 0, CAB= Zadatak Iz α : β = 1 : 3, izlazi β = 3α, tako da iz osobine zbira oštrih uglova u pravouglom trouglu α + β = 90 0, izlazi 4α=90 0, tj. α=45 0. Katete pravougli trougao ABC su (nacrtati sliku) : a = csinα, b = c cosα, te je površina tog trougla P = ab = csinα c cosα = c sin α = =. 47

48 4.Zadatak 48 Iz pravouglog trougla BDS ( čiji su vrhovi (nacrtati sliku): B vrh na osnovici a =BC ravnokrakog trougla ABC, D je podnožje visine h = AD, povučene iz vrha A na osnovicu BC, dok je S centar opisanog kruga oko ravnokrakog trougla 1 ABC), čije su katete a i h r, a hipotenuza r, izlazi h = AD = a 5 15 b = ( r je poluprečnik kruga opisanog oko trougla ABC ) a r = (h r) + 5.Zadatak Kako je:, tj. hr = a h + ( = b ). Dakle r = ( x y( x+ y) ) ( x y( x+ y) ) ( x y( x+ y) ) ( ) ( ) b 4 15 =. h 3 ( ) ( ( )) 3 3 x + y y xy x+ y x xy+ z 1 y x y xy A = :( x y ) + =. + x+ y x+ y x y x+ y ( x y( x+ y) ) x y x+ y x xy+ z xy y x y = + = = 1, 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 B= = = = 3, tako da je I = A+B=4. 6.Zadatak Za oštre uglove α i β izlazi(ispred korjena uzet znak plus zato što je α oštar ugao): cosα = 1+ cosα = 1 =, sin α = 1 cosα =, 1+ = 65 65, 7 9 sin β= 1 cos β= 1 = cos α + β = cosαcos β sinαsin β = = = Zato je: ( ) π π 135 iz 0, i 0, slijedi 0,. 0 tj. α+β= α β α+β ( π) 48

49 MALO STATISTIKE 49 - Uspješnost rješavanja pojedinih zadataka (tj. broj kandidata koji su riješili pojedine zadatke): Zadatak br Nijedan zad. Rijšilo kand %(0d 141) Uspješnost kandidata po ukupnom broju rješenih zadataka: Rješili ukupno zadataka kandiddata % (od 141 kand.) Gornje tabele sve kažu o nevjerovatno lošem predznanju kandidata: najlakši zadatak br. 5 (operacije sa razlomcima : elementarna algebra i aritmetika) riješilo je 35 (slovima tridesetpet, tj. samo 5% od 141 kandidata ), nepoznavanje trigonometrije je još gore (zadaci, 3, 6 ). Navodim nekoliko rariteta iz radova kandidata koji se ne vide iz priloženih tabela: 1. formule za površinu trougla koje se koriste u 3. zadatku. : c + ( α+β) c b b a+ b P =, P= a+ b,p =,P=, 3. Pitagorina formula za pravougli trougao c = b a, gdje je c hipotenuza i a, b su katete pravouglog trougla; 3. u. zadatku jedan kandidat koristi proporciju H: h = α : β, te je tražena visina tornja 0 α 60 H = h = 30 = 60; 0 β biseri iz aritmetike vezani za 5. zadatak: = = 30, tj. treba da je tačno x+ y= xy , ili analogan rezultat : =... 49

50 50 Testirajte se za prijemni ispit iz matematike! Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka! Ime: Prezime: 1. Vrednost izraza. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je: 3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duľina osnovice AB=10, a duľina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duľina sve tri visine trougla ABC je: 50

51 51 4. Ako je, onda vrednost izraza pripada intervalu: 5. Za svako realno x razlomak je jednak: 6. Sfera S1 poluprečnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S poluprečnika je opisana oko te kocke. Zbir je: 7. Vrednost izraza je: 51

52 5-1 nijedan od ponuđenih 1 i -i 8. Ako je i, onda je : Zbir svih rešenja jednačine je: 10. Proizvod svih rešenja jednačine je: Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veće osnovice trapeza je: 5

53 53 1:3 1:5 1:4 1:6 1: 1. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednačine negativna je podskup skupa: 13. Jednačina na segmentu : ima tačno 1 rešenje ima više od 4 rešenja ima tačno rešenja nema rešenja ima 4 rešenja 14. Broj rešenja jednačine je: bar Zapremina paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je: 53

54 Rastojanje između tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu je: 17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem, ima jedinstveno rešenje je: Ako je i, tada je jednak: 54

55 Osoba A trči stalnom brzinom po kruľnoj putanji i obiđe je za 40 sekundi. Osoba B trči u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiđe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiđe putanju? Broj presečnih tačaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj tački tog sedmougla je:

56 56 Programi za prijemni ispit iz Matematike 1. Osnovne logičke operacije. Pojam funkcije.. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi. 3. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina i nejednačina. 4. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina. 5. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine. 6. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne jednačine i nejednačine. 7. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije na trougao i mnogougao. 8. Kompleksni brojevi. 9. Analitička geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola i parabola). 10. Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, četvorougla i kruga). 11. Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i delovi sfere). 1. Binomna formula. Aritmetička i geometrijska progresija. 13. Pojam granične vrednosti. Izvod i primjena izvoda. 56