GIMNAZIJA LAZAREVAC ZADACI IZ MATEMATIKE ZA MATURSKI ISPIT

Transcript

1 GIMNAZIJA LAZAREVAC ZADACI IZ MATEMATIKE ZA MATURSKI ISPIT

2 I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI I POLINOMI Uprostiti izraz ab abab : ab ba ab yy y y y y y y Uprostiti izraz : Uprostiti izraz Uprostiti izraz a b b a a b b a a b : b abc ac a a b b c pq : : p pqp qppq q ako je p i 7 p Izračunati p 8 a 6 Uprostiti izraz : a a a za ar\-,0, 7 Uprostiti izraz a : a : a a, a a a a a aaa a a aa 8 Uprostiti izraz : a aaaa a a a aaa 9 Ako je a/ uprostiti izraz a aa 8 aaa 6 0 Za y0 i y uprostiti izraz y y y : y y a abb Skratiti razlomak a a b abc bc bc bc Skratiti razlomak Skratiti razlomak Izračunati vrednost izraza ab abc ab ba c ab ba c ab c ab c ab ba ab : ab za ab ab 0 a i 6 b ab ab Ako je a=0 i b=6 izračunati vrednost izraza : ab ab 6 Rastaviti na činioce a) a +ab+b -c b) ---y c) -y -+y d) m +mn+n - +y-y 7 Rastaviti na činioce a) b) p -q -p +q c) a 6 - d) y - -y + 8 Rastaviti na činioce a) n+ -0 n b) a n -00a n 9 Odrediti realan parametar m tako da polinom P()= +m bude deljiv sa + 0 Za koje je vrednosti realnih parametara a,b i c polinom P()= +a +b+c deljiv binomima -, + i -? Za koje je vrednosti realnih parametara a,b i c polinom P()= - +a +b+c deljiv binomima -, + i -? q

3 Odrediti realane parametare a i b tako da polinom P()=a -b -+ pri deljenju sa + daje ostatak 6, a pri deljenju sa - daje ostatak Odrediti realane parametare a, b i c tako da polinom P()= + +a +b+c pri deljenju sa -, - i -daje redom ostatke,, Za koje je realne vrednosti parametra m polinom P()=m + +7+m deljiv sa +? Odrediti realne parametre a, b, c tako da polinomi P() i Q() budu jednaki a) P()= - + i Q()=(+)(a +b+c) b) P()= - ++ i Q()=(+)(a +b+c) II LINEARNE JEDNAČINE NEJEDNAČINE I SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA Rešiti jednačinu -6--=0 Rešiti jednačinu -++=7 Rešiti jednačinu -+= Rešiti jednačinu U jednačini (k -)+k+=0 odrediti realan parametar k tako da jednačina nema rešenja 6 Diskutovati rešenja jednačine a(a-)=a -6-u zavisnosti od parametra a Rešiti nejednačinu 8 Rešiti nejednačinu u skupu prirodnih brojeva 9 Rešiti nejednačinu -<0 0 Rešiti nejednačinu +>+ Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu y y Rešiti sistem jednačina 0 Diskutovati rešenja sistema jednačina k-y=9 i -ky= u zavisnosti od parametra k Diskutovati rešenja sistema jednačina -my=6+m i m-y=m u zavisnosti od parametra m III IV PROCENTNI RAČUN Cena košulje je 6 dinara Posle poskupljenja od 0 došlo je do pojeftinjenja od 0 Kolika je nova cena košulje? Preduzeće treba da podeli dinara na visokokvalifikovanog radnika, 6 kvalifikovanog radnika i 6 nekvalifikovanih radnika po ključu :8: Odrediti pojedinačnu dobit svakog radnika iz ove tri kategorije Koliko časova dnevno treba da rade 6 radnika da bi za dana iskopali 600 tona uglja, ako radnika za dana radeći po 7 časova dnevno iskopaju 780 tona? radnika završe posao za časa Posle 0 časova rada posao napuste tri radnika Koliko još treba da rade preostali radnici da bi završili posao? Jedan posao su odradila radnika i zaradila dinara Prvi radnik je radio dana po 6 časova, drugi 9 dana po 8 časova i treći dana po 7 časova Koji deo zarade pripada svakom radniku? 6 Koliko časova dnevno treba da rade četiri traktora da bi za dana poorali 60ha ako tri takva traktora radeći dnevno po časova za dana pooru 80ha? 7 Za izradu hleba koriste se dve vrste brašna po ceni od 0,7 i 0,6 dinara po kilogramukoliko treba uzeti od svake vrste da bi se dobila mešavina od 600 kg po ceni od 0,70 dinara po kilogramu? 8 Jedan posao su započela radnika i po planu bi ga završili za 80 dana MeĎutim posle 6 radnih dana, 9 radnika napusti posao Za koliko dana je posao završen? 9 Radeći 8 časova dnevno 0 radnika je zaradilo 000 za dana Koliko časova dnevno treba da rade 0 radnika da bi za 0 dana zaradili 0 000? 0 U izvesnu kolicinu 80% alkohola dodato je litara vode i dobijen je 60% alkoholkolika je prvobitna kolicina alkohola? Planirano je da radnika izvrši popis robe za dana radeći po 8 časova dnevno MeĎutim drugog dana se razbole radnika i ne doďu na posao, pa se ostali dogovore da svakog dana rade po sata duže Da li je popis završen na vreme? Tri sela su izgradila zajednički most Troškovi izgradnje od dinara podeljeni su srazmerno broju stanovnika Koliko je platilo svako selo ako imaju redom 00, 00 i 800 stanovnika? Zbog oštećenog puta vozač je morao da smanji brzinu autobusa za u odnosu na planiranu Za koliko procenata vozač mora da poveća brzinu da bi se ponovo kretao planiranom? Sveže pečurke sadrže 90 vode, a suve Koliko kilograma suvih pečurki se može dobiti od kilograma svežih? Cena neke robe je najpre povećana za 0, a posle mesec dana je smanjena za 0 Posle ove promene prvobitna cena se smanjila za 60 dinara Za koliko dinara bi se smanjila prvobitna cena ako bi najpre bila smanjena, a potom povećana za 0? 6 Ruda sadrži 0 primesa Metal dobijen iz te rude sadrži primesa Koliko se metala dobija iz tone rude? 7 Ako se stranica jednakostraničnog trougla površine cm prvo smanji za 0 a zatim stranice tako dobijenog trougla se povećaju za 0, izračunati površinu nastalog trougla 8 Cena hleba povećana je za 0, za koliko procenata treba da se smanji nova cena da bi bila ista kao i pre poskupljenja? STEPENOVANJE I KORENOVANJE Uprostiti izraz y : y, 0, y0 y

4 Izračunati vrednost izraza ( + ) Izračunati vrednost izraza Izračunati vrednost izraza 0, - +0, - +0, - +0,06 - Uprostiti izraz a a a, za a0 6 Izračunati vrednost izraza Izračunati vrednost izraza 0 8 Izračunati vrednost izraza 8 9 Izračunati vrednost izraza 0 Izračunati vrednost izraza Izračunati vrednost izraza :8 6 Neka je M 6 Tada je broj M: a) prirodan b) ceo ali nije pozitivan c) racionalan ali nije ceo d) iracionalan manji od 8 e) iracionalan veći od 8 Izračunati vrednost izraza a) 000 b) 0,6-6 0,7 +, 0, 7 Izračunati vrednost izraza Neka je A Tada je broj A: a) prirodan b) ceo ali nije pozitivan c) racionalan ali nije ceo d) iracionalan manji od e) iracionalan veći od a b ako je a b 6 Izračunati vrednost izraza 7 Izračunati vrednost izraza [f()] - [f(6)] - ako je f a b 8 Ako je b a 9 Izračunati vrednost izraza 0 Izračunati vrednost izraza izračunati a i b za =6 mn mn za mn mn yy y Ako je >0 i y>0 uprostiti izraz y Izračunati vrednost izraza za mn

5 Izračunati vrednost izraza a bb Racionalisati imenilac Racionalisati imenilac 6 Racionalisati imenilac a ako je a b a b a b y 7 Racionalisati imenilac 6 a b,0 :, ab b ac bc abc ac 8 Uprostiti izraz,0 9 Uprostiti izraz 0 Uprostiti izraz Uprostiti izraz Uprostiti izraz y y : 0 y y yyzy zzz a a Uprostiti izraz y a y y y y y yy aa a Uprostiti izraz a Uprostiti izraz aa aa a b abab A abab ab i izračunati njegovu vrednost za a=0 - i b=0-6 Izračunati vrednost izraza [(a+a - )-(b+b - )] / za a, b 7 Izračunati vrednost izraza Izračunati vrednost izraza A , za R 9 Izračunati vrednost izraza Uprostiti izraz a) a a a 689 a b) Uprostiti izraz a) ab ab ab ab b) a a aa aa y y y y Uprostiti izraz y y y y y Uprostiti izraz y : y y

6 Uprostiti izraz Uprostiti izraz 6 Uprostiti izraz 7 Uprostiti izraz 0 : a a a a a b a b a b a b ab a a ab za a a b, gde je a>0, 0<b< a aa a : 8 a a a aaa a aa aa 9 Uprostiti izraz aa a aa n n n n 0 Uprostiti izraz : n n n n 6 a a a a 8 Pokazati da vrednost izraza : ne zavisi od a i V KOMPLEKSNI BROJEVI Naći realni i imaginarnieo broja i i i i 7 y y Ako realni deo i imaginarni deo y kompleksnog broja z=+iy predstavljaju rešenja sistema izračunati z z z z U skupu kompleksnih brojeva rešiti jednačinu z -=0 Ako je z=+i izračunati z -iz-9-6i Ako je (+i)(a+ib)=-i gde su a i b realni brojevi izračunati a+b 6 Odrediti imaginarni deo kompleksnog broja 7 Izračunati vrednost izraza i i 000 i 8 Naći zbir rešenja jednačine i i i 9 Ako je i imaginarna jedinica izračunati i+i +i ++i Izračunati vrednost izraza i i Izračunati i Koliko ima kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju jednakost zz+z+ z +i=0? i i i i 78 i i i Izračunati vrednost izraza Izračunati vrednost izraza 77 Izračunati vrednost izraza z +z ako je 78 z i i 998 i i 6 Izračunati vrednost izraza 7 Koliko ima kompleksnih brojeva za koje važi z z? i z 998 6

7 z 8 Izračunati 6 z 9 Ako je i i z i ako je z=+i (rešenje svesti na algebarski oblik kompleksnog broja z=a+ib) izračunati modul od z VI KVADRATNA FUNKCIJA, JEDNAČINA, NEJEDNAČINA Naći sve realna vrednosti parametra r za koje je polinom (r -) +(r-)+pozitivan za svako realno Naći rešenja jednačine 7 Rešiti jednačinu 0 Rešiti jednačinu 0 Odrediti proizvod svih rešenja jednačine 0 6 Odrediti zbir celobrojnih rešenja nejednačine - 7 Ako su =p, p0 i =q, q0 rešenja jednačine +p+q=0 izračunati zbir p+q 8 Odrediti parametar pr tako da rešenja kvadratne jednačine -(p-)+=0 zadovoljavaju uslov 9 Odrediti parametar m tako da rešenja jednačine -(m-)-(m-)=0, po budu jednaka 0 Odrediti parametar a tako da jednačina +(a-9)+a +a+=0 ima realna rešenja Odrediti skup svih vrednosti realnog parametra m za koje je razlika većeg i manjeg rešenja kvadratne jednačine +6+m=0 veća od U jednačini +m+m-=0 odrediti realna parametar m tako da rešenja jednačine budu različitog znaka i da se meďusobno razlikuju za Odrediti parametar m tako da rešenja jednačine =(-m)(-) budu realna, različita i zadovoljavaju relaciju U kom intervalu treba da leži parametar a da bi trinom -a-6a+ bio veći od - za svako realno U zavisnosti od parametra k odrediti prirodu rešenja jednačine (k-) -(k+)+=0 6 Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja i i i i 7 Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja i 8 Odrediti skup svih realnih vrednosti parametra p tako da rešenja jednačine -p+6=0 zadovoljavaju uslov - = 9 Odrediti parametar a tako da jedan od korena a 0bude kvadrat drugog korena 0 U jednačini (k-) +(k-)-(k+)=0 odrediti parametar k tako da važi : a) b) + < c) + < Za koje vrednosti parametra m jednačine -(m-)+=0 i -(9m-)+6=0 imaju zajedničko rešenje Za koje vrednosti parametra m jednačine +m-m=0 i -m+m=0 imaju zajedničko rešenje Odrediti skup svih vrednosti parametra m za koje je funkcija f()= - +(m+)+m-6 negativna za svako realno Odrediti tri broja od kojih je srednji po veličini za veći od najmanjeg i za manji od najvećeg, ako se zna da je proizvod najvećeg i najmanjeg jednak 0 Cifra desetica nekog dvocifrenog broja je za veća od cifre jedinica Ako se taj broj podeli zbirom njegovih cifara, dobija se količnik za 0 manji od broja napisanog istim ciframa obrnutim redom i ostatak Koji je to broj? 6 Rešiti nejednačinu u skupu realnih brojeva 7 Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu 0 m 6 9 Rešiti nejednačinu 0 Za koje vrednosti parametra m nejednačina 6 važi za svako realno Odrediti prizvod svih rešenja jednačine 7 Odrediti parametar a tako da jednačina a ima maksimalan broj različitih rešenja 7

8 Odrediti zbir svih celobrojnih vrednosti za koje je tačna nejednakost 0 8 Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu 6 Rešiti nejednačinu 7 Odrediti skup vrednosti parametra a tako da rešenja jednačine -a+a+=0 budu negativna 8 Odrediti razliku najveće i najmanje vrednosti funkcije y= -+7 na segmentu [,] 78 9 Odrediti skup rešenja nejednačine 0 Odrediti interval iz koga je parametar m, ako su oba korena jednačine +m+=0 iz intervala (0,) Odrediti najmanji prirodan broj k takav da nejednakost (k-) +8+k+>0 važi za svako Data je funkcija y rr r odrediti realan parametar r tako da funkcija bude negativna za svako Data je funkcija y r r odrediti realan parametar r tako da funkcija bude pozitivna za svako U jednačini k -(k-)+k-=0 odrediti realan parametar k tako da rešenja jednačine budu istog znaka Ispitati promene znaka rešenja kvadratne jednačine (m-) +(m-)+m+=0 u zavisnosti od parametra m 6 Data je jednačina (m-) +(m+)-m=0 Za koje vrednosti realnog parametra m su rešenja jednačine suprotnog znaka? 7 Odrediti skup rešenja nejednačine --6> 8 Dat je skup funkcija f()=a +b+c Odrediti koeficijente a, b i c tako da važi f()=0, f()=7 i f(-)=8, a zatim skicirati grafik i ispitati tok te funkcije 9 Rešiti funkcionalnu jednačinu f(+)= -- 0 Rešiti funkcionalnu jednačinu f(-)= ++ VII JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE I SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA Rešiti jednačinu -(9+a ) +9a =0 Rešiti jednačinu =0 Rešiti jednačinu ( ++)( ++)-=0 7 Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu ( -+7) -(-)(-)= 6 Ako je +y = i y=- izračunati -y 7 Rešiti sistem jednačina +y -y+= i +y= 8 Rešiti sistem jednačina (-y) +(-y)= i y=8 9 Rešiti sistem jednačina -y+y =0 i +y+y-y =8 y 0 Rešiti sistem jednačina i y 9 y y VIII IRACIONALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu 8 Rešiti jednačinu 6 Rešiti jednačinu 0 7 Rešiti jednačinu 8 Rešiti jednačinu 0 9 Odrediti interval u kome se nalaze rešenja jednačine 0 Odrediti broj rešenja jednačine Odrediti broj rešenja jednačine Odrediti broj rešenja jednačine 7 Odrediti broj rešenja jednačine Rešiti jednačinu 86 8

9 IX Rešiti jednačinu 0 6 Odrediti zbir svih rešenja jednačine 7 Odrediti zbir svih rešenja jednačine 8 Odrediti zbir kvadrata rešenja jednačine 9 Rešiti jednačinu 0 Rešiti jednačinu 6 Rešiti jednačinu Rešiti nejednačinu 6 Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu 6 6 Rešiti nejednačinu 7 Rešiti nejednačinu 8 Odrediti broj celobrojnih rešenja nejednačine t 0 t t 0 9 Rešiti nejednačinu 0 Rešiti nejednačinu 6 EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA, JEDNAČINE, NEJEDNAČINE Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu + =8 Rešiti jednačinu + + =0 6 Rešiti jednačinu =0 6 7 Rešiti jednačinu 0 8 Rešiti jednačinu - - =0 9 Rešiti jednačinu 9 +6 = 0 Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu = Odrediti interval kome pripada rešenje jednačine =80 Rešiti jednačinu =0 Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu 0 6 Izračunati proizvod kvadrata rešenja jednačine -6 +8=0 7 Rešiti jednačinu = 6 8 Rešiti jednačinu =0 9 Rešiti jednačinu =

10 0 Izračunati proizvod svih realnih rešenja jednačine Izračunati zbir rešenja jednačine =0 Rešiti jednačinu - + 0, - =6 Naći zbir kvadrata rešenja jednačine 0 Rešiti jednačinu 7 7 Rešiti jednačinu,0 8 6 Rešiti jednačinu 0 7 Rešiti jednačinu 6 +6 =700 8 Odrediti zbir kvadrata rešenja jednačine 9 Rešiti nejednačinu + > Rešiti nejednačinu 7 Rešiti nejednačinu <7 Rešiti nejednačinu <6 - Rešiti nejednačinu <0 Rešiti nejednačinu Rešiti nejednačinu > Rešiti sistem jednačina +y - -y =7, +y - -y =0 7 Rešiti nejednačinu -+0, <0 y y 6 8 Rešiti sistem jednačina y Rešiti nejednačinu <0 0 Rešiti sistem jednačina + y =, +y= Rešiti sistem jednačina - y = i + y =8 Rešiti sistem jednačina =8 y i y = Rešiti nejednačinu > Rešiti sistem jednačina - y/ =, - y =7 y y y y Rešiti sistem jednačina 7 0 X LOGARITAMSKA FUNKCIJA, JEDNAČINE, NEJEDNAČINE I SISTEMI LOGARITAMSKIH JEDNAČINA Odrediti vrednost izraza log log Odrediti vrednost izraza log Odrediti vrednost izraza log log 8 log log log 9 log Odrediti vrednost izraza Odrediti vrednost izraza log 6 Ako je log =a izračunati log log6 log 9 7 Izračunati log 68 ako je log 7 log a b 8 Izračunati log 8 ako je log 7 a log b 9 Izračunati log 0 80 ako je log 0 a log 0 b 0

11 0 Odrediti oblast definisanosti funkcije f log Odrediti oblast definisanosti funkcije f log Izračunati vrednost izraza [(log ) - -log 0,7+log 6] -/ Rešiti jednačinu log (log (log 7))=0 Izračunati vrednost izraza (log +log ) -(log -log ) Rešiti jednačinu log (- + )=+ 6 Odrediti vrednost izraza 9 log log 0 log 00 7 IzmeĎu koja dva cela broja se nalazi vrednost izraza ako je log log log 8 Rešiti nejednačinu log > 9 Odrediti proizvod svih rešenja jednačine log 0 log 0 =08 0 Rešiti jednačinu log loglog,0 Rešiti jednačinu log log log 0 log log Rešiti jednačinu Rešiti jednačinu log+log(+)=log(-6) Rešiti jednačinu log ( -8)=- Rešiti jednačinu log (log (-))=0 6 Rešiti jednačinu log +log 6+log =7 7 Odrediti zbir rešenja jednačine log log 8 Odrediti interval kome pripada rešenje jednačine ln ln 0 log 9 Izračunati proizvod svih rešenja jednačine,0 log, 0 Odrediti zbir svih rešenja jednačine log 0 log6 0 0 Rešiti nejednačinu log ( +)< Neka je 0<a< rešiti nejednačinu log a y Rešiti sistem jednačina 0log 99 y 0 Rešiti sistem jednačina log y 6 log 9 log y Rešiti sistem jednačina logy=log8 i log y log XI TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Izračunati tg ako je tg Odrediti ostale trigonometrijske funkcije ugla α ako je a ctg a Odrediti parametar R tako da jednačina po sin+cos= ima rešenja u skupu realnih brojeva Odrediti broj rešenja jednačine -sin=cos-sin koja pripadaju segmentu [0,] Naći sva rešenja jednačine (cos+sin) =cos 6 Rešiti jednačinu tg=cos 7 Dokazati identitet cos cos cos sin sin tg

12 8 Rešiti jednačinu sincos+cos-sin=0 9 Rešiti jednačinu sin sin cos 0 Izračunati sin 0 0 sin 70 0 Odrediti broj rešenja jednačine sin -cos+=0 na segmentu [996,997] Rešiti jednačinu cos +sin-=0 tg ctg ctg Uprostiti izraz tg ctg ctg sin cos Rešiti jednačinu tg -8cos +=0 Uprostiti izraz sincos sincos 6 Rešiti jednačinu sin+sin+sin+sin=0 7 Koliko rešenja ima jednačina sin+cos=0 na segmentu [-,] 8 Koliko rešenja ima jednačina cos na segmentu [997,998] 9 Odrediti broj rešenja jednačine 0 0 Ako je sin na segmentu [0,π] cos sin sin cos tg, onda je? sin cos sin sin sin sin 0 sin 0 sin 80 8 Rešiti jednačinu Dokazati Rešiti nejednačinu cos>sin za [0,] Rešiti nejednačinu sin+sin0 Naći uglove trougla čije su stranice a=0, b=8 i c=9 XII ANALITIČKA GEOMETRIJA Data je kružnica +y =69 Odrediti dužinu njene tetive čije je središte u tački S(,) Samo jedna od pravih p :+y-=0, p :+y-=0, p :+y-=0, p :+y-=0, p :+y+=0 nije ni tangenta ni sečica kružnice (-) +(y-) = Koja? Odrediti rastojanje presečne tačke pravih -y=0 i y-= od koordinatnog početka Odrediti tačku R simetričnu sa tačkom P(-,) u odnosu na pravu -y-=0 Odrediti ortogonalnu projekciju tačke A(8,9) na pravu +y+=0 6 Odrediti jednačinu simetrale duži čije su krajnje tačke A(,) i B(,) 7 Naći ugao pod kojim se elipsa +y = vidi iz tačke P(0,) 8 Naći ortogonalnu projekciju tačke T(,) na pravu +y+=0 9 Odrediti rastojanje izmeďu tangenti hiperbole -y =0 koje su normalne na pravu +y+8=0 0 Odrediti rastojanje tačke M(,) od centra kruga +y --y+=0 Odrediti rastojanje centra kružnice +y +-6y+6=0 od koordinatnog početka Ako je dužina tetive kružnice (-) +(y-) =r na osi O jednaka 6, naći dužinu tetive te kružnice na osi Oy Prave p i q sadrže tačku T(6;8), meďusobno su normalne i sa osom O grade trougao površine Odrediti obim tog trougla Odrediti parametar p tako da prava y=+p u ravni Oy dodiruje parabolu y= - Temena trougla su tačke A(-,-8), B(-,) i C(,0)Izračunati jednačine simetrala stranica trougla i poluprečnik opisanog kruga 6 Naći presečne tačke parabole y = i kružnice -9+y +=0 7 Naći parametar a tako da prava y=a+ dodiruje elipsu +y = 8 Odrediti ugao pod kojim se elipsa +y = vidi iz tačke P(0,) 9 Napisati jednačinu tangenti kružnice (-) +y = koje prolaze kroz koordinatni početak 0 Napisati jednačinu kružnice čiji je centar presek pravih +y= i -y=, a koja dodiruje pravu -y= Date su tačke A(,), B(,) i C(,) Napisati jednačinu kružnice kojoj je centar tačka C, a tangenta je prava odreďena tačkama A i B Napisati jednačinu prave kojoj pripada tetiva kružnice +y -+y+=0, a čije je središte tačka A(,0) Odrediti jednačinu elipse koja dodiruje prave +y-8=0 i +y+6=0 Odrediti rastojanje tačke A(,) od prave +y+=0 Odrediti površinu trougla ako njegove stranice pripadaju pravama +y-=0, -y+=0 i -y-8=0 6 Napisati jednačinu kružnice koja je koncentrična kružnici +y -+y-=0 i prolazi kroz tačku M(,) 7 Ako tačka M(,y) pripada pravoj +y-6=0 i ako je jednako udaljena od tačaka A(,) i B(,6), odrediti proizvod y 8 Napisati jednačinu prave koja sadrži presek pravih -y+=0 i +y+=0, a ortogonalna je na pravu -y+=0 9 Dva naspramna temena kvadrata su A(-,) i C(,) Napisati jednačinu prave odreďene dijagonalom BD 0 Date su tačke A(,) i B(,) Odrediti zbir koordinata tačke S koja deli duž AB u razmeri AS:SB=:7 Odrediti najkraće rastojanje tačke M na krugu (-) +(y+) = od tačke N na krugu (+) +(y-) =9 Prava -y+=0 seče parabolu y = u dvema tačkama Napisati jednačine tangenti parabole u tim tačkama Data je parabola y =p ikružnica sa centrom u žiži te parabole i poluprečnikom r=p Naći ugao pod kojim se seku te krive Odrediti ostala temena i površinu trougla ako je dato teme A(,-), h c: -y+=0 i t c: +y=0 Izračunati površinu površi koja je ograničena elipsom koja sadrži tačke A(,) i B(-,-) i hiperbolom y= 6 Odrediti koordinate tačke C koja je podjednako udaljena od tačaka A(,) i B(,6), ako je njeno rastojanje od koordinatnog početka d 7 Na krugu +y --y=0 naći tačku A najbližu pravoj +y+=0 i izračunati rastojanje tačke A od te prave

13 8 Odrediti jednačine tangenti elipse +y =8 koje sa pravom -y-0=0 grade ugao od 0 9 Iz tačke A(,9) konstruisane su tangente na parabolu y = Odrediti jednačinu prave odreďene dodirnim tačkama XIII PLANAMETRIJA I STEREOMETRIJA Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom u temenu C i neka su njegove katete BC=a i AC=b Ako je D presečna tačka simewtrale pravog ugla i hipotenuye AB i D normalna projekcija tačke D na katetu AC Izračunati DD Težišne duži AD i CE trougla ABC seku se u tački T Središte duži AE je tačka F Izračunati odnos površina truglova TFE i ABC U oštrouglom trouglu su date dve stranice a=cm i b=cm i poluprečnik opisane kružnice R=8,cm Izračunati treću stranicu tog trougla Simetrale dva unutrašnja ugla trougla zaklapaju ugao od 7 0 Izračunati treći ugao tog trougla Izračunati odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla čije su stranice a=cm, b=8cm i c=cm 6 Zbir kateta pravouglog trougla je 7, a dužina njegove hipotenuze Kolika je površina tog trougla? 7 Naći uglove jednakokrakog trougla čija je površina, a visina koja odgovara osnovici je dužine 8 Kvadrat i jednakostraničan trougao imaju jednake obime Površina trougla je 9 Izračunati dijagonalu kvadrata 9 Oko kruga poluprečnika cm opisan je jednakokraki trapez čija je dužina kraka 7cm Izračunati manju osnovicu trapeza 0 Ako je poluprečnik opisanog kruga pravouglog trougla cm, a poluprečnik upisanog cm Izračunati dužine njegovih kateta Dat je kvadrat ABCD stranice 8cm Kružnica sadrži temena A i D i dodiruje stranicu BC Izračinati poluprečnik te kružnice Ako tačka dodira upisanog kruga pravouglog trougla i hipotenuze deli hipotenuzu na odsečke dužine cm i cm, izračunati razliku kateta tog trougla Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7: Odrediti odnos osnovica tog trapeza Površina paralelograma stranica 0cm i cm je 60cm Izračunati zbir dužina visina tog paralelograma Oko kružnice poluprečnika cm opisan je jednakokraki trapez površine 0cm izračunati dužinu kraka tog trapeza 6 U datu pravu kupu poluprečnika osnove r i visine H=r upisana je kocka ABCDA B C D tako da osnova ABCD pripada osnovi kupe a temena A, B, C i D pripadaju omotaču kupe Naći odnos zapremina kupe i kocke 7 U kocku ABCDA B C D upisana je četvorostrana piramida ABCDA Ako je površina piramide cm, odrediti površinu kocke 8 Jednakostraničan trougao stranice a= cm rotira oko prave p koja je normalna na osnovicu AB trougla i sadrži teme A tog trouglaodrediti zapreminu nastalog tela 9 Kanal za vodu dugačak je m i može da prihvati 0l vode Poprečni presek kanala je jednakokraki trapez čiji je krak cm, a visina 8cmKoliko vode prihvata kanal do polovine svoje visine? 0 Na ravan sto su stavljene tri lopte poluprečnika različitih dužina One dodiruju sto u tačkama A,B i C i svake dve se meďusobno dodiruju Ako su stranice trougla ABC jednake AB=cm, BC=6cm i CA=8cm, odrediti proizvod dužina poluprečnika te tri lopte Odrediti zapreminu paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice a i oštrog ugla 60 0 Sfera S poluprečnika r upisana je u kocku ivice, a sfera S poluprečnika r opisana je oko te kocke Naći zbir r r U jednakostraničan trougao stranice a 6 cmupisan je krug Ako ova figura rotira oko visine trougla, naći odnos zapremina rotacionih tela dobijenih rotacijom trougla i kruga Osnova trostrane piramide je jednakostraničan trougao stranice a, a ortogonalna projekcija vrha te piramide na ravan osnove je težište tog trougla Ako bočne strane grade sa ravni osnove uglove od 60 0, izračunati površinu piramide Visina i izvodnica prave kupe odnose se kao :, a njena zapremina je 96cm Izračunati površinu te kupe 6 Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide je a=8cm, a bočna ivica je za cm duža od visine piramide Izračunati površinu piramide 7 Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 6, a bočna ivica zaklapa sa ravni osnove ugao od 0 Odrediti zapreminu piramide 8 Kada se omotač kupe razvije u ravni, dobije se četvrtina kruga poluprečnika Izračunati zapreminu kupe 9 Ako je ugao diedra pravilnog tetraedra stranice aodrediti cos 0 Osnova piramide je jednakokraki trapez sa paralelnim stranicama a=cm i b=cm i krakom c=7cm Podnožje visine piramide je u preseku dijagonala osnove, a veća bočna ivica piramide je 0cm Izračunati zapreminu piramide Dužina visine pravilnog tetraedra je H= cm Odrediti dužinu ivice tog tetraedra Dužina osnovne ivice pravilne četvorostrane piramide je 8 cm, a visina bočnih strana je za cm duža od visine piramide Izračunati površinu piramide Odrediti rastojanje temena B od dijagonale AC kocke ABCDA B C D ivice cm Poluprečnik osnove prave kupe je r, a dve uzajamno normalne izvodnice dele omotač te kupe u odnosu : Naći zapreminu kupe Površina pravilnog valjka je 8cm, a visina mu je za cm kraća prečnika osnove Naći zapreminu valjka 6 Odrediti zapreminu pravilnog tetraedra upisanog u sferu poluprečnika R 7 Bočna ivica pravilne četvorostrane piramide je dm i sa ravni osnove gradi ugao od 0 Naći zapreminu piramide 8 Odrediti zapreminu pravilne četvorostrane piramide čija je bočna ivica s, a ugao koji ona zaklapa sa ravni osnove 9 Kocka ABCDA B C D je stranice a Naći zapreminu piramide čija su temena DCA D 0 U jednakoivičnu četvorostranu piramidu upisana je kocka tako da se temena gornje osnove kocke poklapaju sa središtima strana piramide, a donja osnova leži u osnovi piramide Naći odnos zapremina ta dva tela U pravilan tetraedar ivice a upisana je pravilna trostrana prizma tako da se temena gornje osnove prizme poklapaju sa centrima strana tetraedra, a donja osnova prizme pripada osnovi tetraedra Izračunati odnos zapremina ta dva tela Izračunati površinu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom pravougaonika oko njegove dijagonale ako se zna da su stranice pravougaonika 0cm i cm Jednakokraki trapez čije su osnove cm i 7cm i čija je dijagonala normalna na krak rotira oko kraka Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela U kupu poluprečnika r i visine H upisana je kockaizračunati odnos zapremina ta dva tela Romb čije su dijagonale dm i dm rotira oko visine koja prolazi kroz centar romba Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela XIV ARITMETIČKA I GEOMETRIJSKA PROGRESIJA Ako je n-ti član aritmetičke progresije jednak m, a m-ti član jednak n odrediti a n-m Zbir tri broja koji obrazuju rastuću geometrijsku progresiju je 6, ako je srednji član jednak odrediti najmanji član Treći članovi aritmetičkog i geometrijskog niza su jednaki i iznose 6 Ako su i prvi članovi ovih nizova jednaki, a zbir prvih 6 članova aritmetičkog niza je,7 odrediti šesti član geometrijskog niza Dužina dijagonale pravouglog paralelopipeda je 6cm, apovršina 7cm Izračunati osnovne ivice tog paralelopipeda ako se zna da one obrazuju geometrijsku progresiju Cifre jednog trocifrenog broja obrazuju rastući aritmetički niz Ako ovaj broj podelimo zbirom njegovih cifara, dobija se količnik i ostatak Ako se broju doda 9, dobija se broj napisan istim ciframa obrnutim redom Odrediti taj broj

14 6 Rešiti jednačinu 6 n 7 Rešiti jednačinu,00gde je n prirodan broj 8 Zbir prva četiri člana aritmetičke progresije je za 8 manji od dvostrukog zbira prva tri člana te progresije Ako je četvrti član te progresije 9 odrediti njen peti član 9 Zbir k uzastopnih prirodnih brojeva je 66(prvi može, a i ne mora biti ) Koliko različitih vrednost broja k ima? 0 Naći tri broja koja čine aritmetičku progresiju, ako je njihov zbir 8, a proizvod 6 Brojevi a, a i a su tri uzastopna člana geometrijske progresije sa količnikom q=, a brojevi a, a i a su tri uzastopna člana aritmetičke progresije sa razlikom d=6 Naći zbir a +a +a +a Peti član aritmetičke progresije je 6 a jedanaesti je Izračunati zbir prvih 7 članova te progresije Četiri pozitivna broja čine geometrijsku progresiju Ako je prvi veći od drugog za 6, a treći od četvrtog za, izračunati njihov proizvod Tri broja čiji je zbir 6 čine geometrijski niz Uveća li se srednji član za dobija se aritmetički niz Koji su to brojevi? Zbir prva tri člana geometrijske progresije je, a zbir prvog i trećeg člana je dva puta veći od zbira drugog i četvrtog člana Odrediti treći član te progresije 6 Zbir tri uzastopna člana aritmetičke progresije je 0 Ako je najveći od njih četiri puta veći od najmanjeg izračunati njihov proizvod 7 7 Zbir tri broja je, a zbir njihovih recipročnih vrednosti je Ako ti brojevi obrazuju rastući geometrijski niz izračunati njihov proizvod 8 Četiri broja čine rastući aritmetički niz Njihov zbir je 6, a zbir njihovih kvadrata je 8 Izračunati zbir njihovih kubova 9 Tri broja čiji je zbir 6 obrazuju aritmetički niz Ako od prvog oduzmemeo 7, od drugog 9, a od trećeg dobija se geometrijski niz Koji su to brojevi? 0 Zbir prva tri člana geometrijskog niza je 9 Ako tim članovima dodamo redom, 7 i dobićemo tri broja koja obrazuju aritmetički niz Odrediti sedmi član datog geometrijskog niza XV FUNKCIJE Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y Skicirati grafik i ispitati tok funkcije Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y ln 7 y Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y=( -)e Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y y 9 y y ln 6 6 Skicirati grafik i ispitati tok funkcije 7 Skicirati grafik i ispitati tok funkcije 8 Skicirati grafik i ispitati tok funkcije 9 Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y 0 Data je funkcija f()= +a +9+ Odrediti parametar a tako da funkcija ima ekstremum za =- i za tako odreďenu vrednost parametra a skicirati grafik i ispitati tok funkcije Izračunati površinu ograničenu krivom -osom i y-osom XVI IZVODI I NJIHOVA PRIMENA Odrediti ekstremne vrednosti i ispitati monotonost funkcije Naći prvi izvod funkcije yln y ( ) e Naći izvod funkcije y ln arctg arctg Naći izvod funkcije y ln ln arctg Naći izvod funkcije 6 Naći drugi izvod funkcije y ln arctg 6 y ln y sin sin 7 Naći prvi izvod funkcije

15 8 Odrediti ekstremne vrednosti funkcije y e 9 Napisati jednačinu tangente krive y= - + u tački M(,y) 0 Odrediti ekstremne vrednosti i intervale rašćenja i opadanja funkcije Odrediti prevojne tačke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije y y y ln Odrediti ekstremne vrednosti i intervale rašćenja i opadanja funkcije Dokazati da funkcija y cos sin zadovoljava jednačinu y +9y=0 Odrediti ekstremne vrednosti i prevojne tačke funkcije y Napisati jednačinu tangente krive y u tački u kojoj ta kriva seče y-osu XVII GRANIČNE VREDNOSTI I NJIHOVA PRIMENA Odrediti graničnu vrednost a) lim a) lim b) Odrediti graničnu vrednost Odrediti graničnu vrednost lim a) 8 Odrediti asimptote funkcije y b) lim lim Odrediti graničnu vrednost lim ctg 6 Odrediti asimptote funkcije 7 Odrediti asimptote funkcije 0 b) y y a ln lna lim, a 0 0 XVIII INTEGRALI I NJIHOVA PRIMENA Izračunati e d Izračunati arctgd Izračunati d Izračunati d d Izračunati cos 6 Izračunati d cos 7 Izračunati površinu figure ograničene linijama y=7- i +y= 8 Izračunati površinu figure ograničene parabolom y=- i pravom +y=0 9 Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko -ose figure ograničene parabolom y=- i pravom y=0 7

16 XIX 0 Izračunati površinu ograničenu lukom krive y, -osom i ordinatama njenih ekstremnih tačaka KOMBINATORIKA I BINOMNI OBRAZAC Naći peti član u razvoju binoma y Odrediti koeficijent uz član a 7 b 8 u razvoju binoma (a+b) U razvoju U razvoju binoma a a, a>0, odrediti član koji ne zavisi od a a Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u razvoju 6 U razvoju binoma m, 0 i mn, koeficijenti četvrtog i trinaestog člana su meďusobno jednaki Naći član koji ne sadrži m y 7 Treći član u razvoju binoma m, mn, 0, je 6 Odrediti član koji ne sadrži, 0, mn, odrediti član koji ne sadrži ako se zna da je koeficijent trećeg člana za veći od koeficijenta drugog člana m, 0, mn, ne sadrži Odrediti sve vrednosti tako da taj član bude jednak drugom članu u razvoju (+ ) 0 8 Za koju vrednost u razvijenom obliku binoma? 9 Odrediti tako da zbir trećeg i sedmog člana u razvoju binoma cos sin 8 bude 7 0 Naći prirodan broj n takav da zbir koeficijenata drugog i trećeg člana u razvoju binoma sadrži n zbir trećeg i petog člana je, ako je zbir binomnih koeficijenata poslednja tri člana 6 n bude Za tako odreďeno n odrediti član kojine 6

17 7