PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI
|
|
- ÍΕρρίκος Κολιάτσος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Odjel za fiziku Odjel za kemiju Sveučilišni preddiplomski studij kemije, godina PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI Pripremili: izv. prof. dr. sc. Branko Vuković dr. sc. Maja Varga Igor Miklavčić, pred. Osijek, prosinac
2 PREDGOVOR Kemija i fizika dva su različita znanstvena polja prirodnih znanosti koje proučavaju tvari, ali im se razlikuju pristup i opseg istraživanja. U nekim područjima kemija i fizika toliko su isprepletene da je teško razdvojiti pojedine uloge (fizička kemija, kemijska fizika, spektroskopija, kristalografija, nanotehnologija, ). Često se stoga radi u timovima različitih stručnjaka kako bi jedni nadopunjavali druge. Iako se studenti kemije i fizike razlikuju u svom načinu provoñenja studija, razmišljanju i proučavanju prirode, nema dobrog kemičara bez poznavanja fizike kao ni dobrog fizičara bez poznavanja kemije. Često je potrebno razvijati i dodatne vještine (matematičke, informatičke, ). Praktikum fizike u potpunosti se izvodi na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku i namijenjen je studentima druge godine preddiplomskog studija kemije s Odjela za kemiju. Za razvijanje fizikalnog pogleda na svijet neophodan je i eksperimentalni rad. U praktikumu fizike studenti sami izvode 0 odabranih laboratorijskih vježbi, uz nadzor predavača. Vježbe su izabrane tako da pokrivaju sva četiri, uvriježena, područja iz osnova fizike: klasične mehanike, termodinamike, elektrodinamike te valova i optike, a čiju su teorijsku podlogu studenti slušali na prvoj i drugoj godini preddiplomskog studija kemije. Skripta je tijekom godina rada sa studentima više puta dorañivana i autori se zahvaljuju svima na ispravljanju pojedinih pogrešaka u tekstu. Skripta je prije svega namijenjena studentima kemije, ali može biti korisna i studentima ostalih srodnih studija. - -
3 PRAKTIKUM FIZIKE Popis laboratorijskih vježbi za studente s Odjela za kemiju Uvodni dio: SI sustav Zapis brojeva Grafički prikaz rezultata mjerenja Primjeri za vježbu Način pisanja izvještaja Vježba :...5. Osnovna mjerenja u fizici Vježba :.. Proučavanje helikoidalne zavojnice.. Odreñivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom.3. Odreñivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom Vježba 3: 3.. Matematičko njihalo 3.. Fizikalno njihalo Vježba 4: 4.. Odreñivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena 4.3. Odreñivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom Vježba 5: 5.. Širenje vala izmeñu dva nepomična kraja 5.. Odreñivanje brzine zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi Vježba 6: 6.. Ohmov zakon 6. Ovisnost električnog otpora o dimenzijama vodiča i materijalu od kojeg su načinjeni 6.3. Mjerenje otpora električnih žarulja u ovisnosti o jakosti struje Vježba 7: 7.. Odreñivanje specifičnog toplinskog kapaciteta petroleja 7.. Pravilo smjese 7.3. Odreñivanje latentne topline taljenja leda Vježba 8: 8.. Provjeravanje jednadžbe stanja idealnog plina 8.. Toplinsko širenje čvrstih tijela i tekućina Vježba 9: 9.. Odreñivanje specifičnog naboja elektrona 9.. Balmerova serija i odreñivanje Rydbergove konstante Vježba 0: 0.. Odreñivanje indeksa loma stakla i vode 0.. Odreñivanje žarišne daljine leće 0.3. Odreñivanje pomaka zraka svjetlosti na planparalelnoj ploči 0.3. Odreñivanje kuta devijacije na prizmi - -
4 Uvodni dio MEðUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA Osnovne SI jedinice Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Duljina metar m Masa kilogram kg Vrijeme sekunda s Jakost električne struje amper (ampere) A Termodinamička temperatura kelvin K Količina tvari mol mol Svjetlosna jakost kandela (candela) cd Metar je duljina koja odgovara putu što ga prijeñe svjetlost u vakuumu za vrijeme od / s. Prototip kg je valjak visine 39 mm i promjera 39 mm, načinjen od legure platine (90 %) i iridija (0 %), a čuva se u Meñunarodnom uredu za težine i mjere (Bureau International des Poids et Mesures) u Sèvresu, Francuska. Jedna sekunda je trajanje perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmeñu dvaju hiperfinih nivoa (F = 4, m F = 0 i F = 3, m F = 0) osnovnog stanja atoma cezija 33 ( 33 Cs). Period definiramo kao vrijeme potrebno da svjetlost prevali put koji odgovara jednoj valnoj duljini. Jedan amper je jakost stalne električne struje koja se održava u dvama paralelnim, ravnim, beskonačno dugačkim vodičima zanemarivo malog kružnog presjeka, koji se nalaze u vakuumu i meñusobno su razmaknuti za metar, i u tim uvjetima uzrokuju meñu vodičima silu od 0-7 njutna po metru duljine
5 Jedan kelvin je jedinica termodinamičke temperature koja je jednaka /73,6 dijelu termodinamičke temperature trojne točke vode. Trojna točka vode je ona vrijednost temperature i tlaka kod koje voda može postojati u sva tri agregatna stanja. Jedinica je dobila naziv po engleskom znanstveniku sir W. Thompsonu, Lord Kelvin ( ). Mol je količina tvari onog sustava koji sadrži toliko elementarnih jedinki tvari koliko ima atoma u 0,0 kg izotopa ugljika ( C). Elementarne jedinke uvijek moraju biti specificirane i mogu biti atomi, molekule, ioni, elektroni, neke druge čestice ili odreñene grupe čestica. U jednom molu (0,0 kg) izotopa ugljika ima 6, atoma (Avogadrov broj). Kandela je svjetlosna jakost, u danom smjeru, koju emitira izvor monokromatskog zračenja frekvencije Hz i čiji intenzitet zračenja u tom smjeru iznosi /683 vati po steradijanu. Dopunske SI jedinice Fizička veličina Naziv Oznaka Definicija Kut radijan rad m m - def? Prostorni kut steradijan sr m m
6 Izvedene SI jedinice s posebnim imenom Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija Frekvencija herc (hertz) Hz s - Sila njutn (newton) N m kg s - Tlak paskal (pascal) Pa N m - Energija džul (joule) J N m Snaga vat (watt) W J s - Količina elektriciteta kulon (coulomb) C s A Električni napon volt V W A - Električni kapacitet farad F C V - Električni otpor om (ohm) Ω V A - Električna vodljivost simens (siemens) S A V - Magnetski tok veber (weber) Wb V s Magnetska indukcija tesla T Wb m - Induktivnost henri (henry) H Wb A - Celsiusova temperatura stupanj Celsiusov C K Svjetlosni tok lumen lm cd sr Osvijetljenost luks (lux) lx lm m - Aktivnost radionuklida bekerel (bequerel) Bq s - Apsorpcijska doza grej (gray) Gy J kg - Dozni ekvivalent sievert Sv J kg
7 Izvedene SI jedinice Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Površina kvadratni metar m Volumen kubični metar m 3 Brzina metar u sekundi m s - Ubrzanje metar u sekundi na kvadrat m s - Gustoća kilogram po kubičnom metru kg m -3 Specifični volumen kubični metar po kilogramu m 3 kg - Gustoća struje amper po kvadratnom metru A m - Jakost magnetskog polja amper po metru A m - Koncentracija mol po kubičnom metru mol m -3 Luminancija kandela po kvadratnom metru cd m - Dinamička viskoznost paskal sekunda Pa s Moment sile njutn metar N m Površinska napetost njutn po metru N m - Gustoća toplinskog toka vat po kvadratnom metru W m - Toplinski kapacitet džul po kelvinu J K - Specifčni toplinski kapacitet džul po kilogramu i kelvinu J kg - K - Jakost električnog polja volt po metru V m - Molarna energija džul po molu J mol - Molarni toplinski kapacitet džul po molu i kelvinu J mol - K - Apsorbirana doza zračenja grej po sekundi Gy s - Kutna brzina radijan po sekundi rad s - Kutna akceleracija radijan po sekundi na kvadrat rad s
8 Dopuštene jedinice izvan SI Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija Duljina morska milja - 85 m Masa karat - 0,000 kg tona t 000 kg Volumen litra l, L,00008 dm 3 Vrijeme sat h s minuta min 60 s Brzina čvor - milja h - Tlak bar bar Pa Energija elektronvolt ev, J Prefiksi SI jedinica Faktor Prefiks Oznaka Faktor Prefiks Oznaka 0 8 eksa E 0 - deci d 0 5 peta P 0 - centi c 0 tera T 0-3 mili m 0 9 giga G 0-6 mikro µ 0 6 mega M 0-9 nano n 0 3 kilo k 0 - piko p 0 hekto h 0-5 femto f 0 deka da 0-8 ato a - 7 -
9 ZAPIS BROJEVA Ispis brojeva je obično jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su toliko mali ili pak toliko veliki da to često postaje nezgodno pisati. Npr. bilo bi potrebno zbrojiti mase oko bakterija da bismo dobili masu čovjeka. U vrijeme kad je fizičar Thomas Young otkrio da je svjetlost val, nije bilo znanstvene notacije, tako da je morao pisati da je vrijeme potrebno za jednu vibraciju vala /500 milijuntog dijela od milijuntog dijela sekunde. Znanstveni zapis brojeva je praktičan i uobičajen način zapisivanja vrlo velikih i vrlo malih brojeva. Znanstveni zapis podrazumijeva pisanje broja u obliku umnoška broja i neke potencije broja 0. npr. 3 = 3, = 3, = 3, 0 Broj zapisuje se kao 0 0, 0, kao 0 itd. Negativni eksponenti koriste se za male brojeve: 3, = 3, 0 0,3 = 3, 0 = 0 0,03 3, 0... Većina računala i kalkulatora ispisat će brojeve kako slijedi: 9,E 3 = 9, 0 3, E6 = 3, 0 Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija. 6 3 Pouzdane znamenke Teorija pouzdanih (sigurnih, signifikantnih) znamenki bavi se pouzdanošću znamenki brojeva koje bilježimo. Ako smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 75 cm, to znači da smo sigurni za i 7 te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su pouzdane znamenke. Pouzdana znamenka predstavlja broj čiji iznos je potvrñen pouzdanim mjerenjem
10 Broj pouzdanih znamenki zabilježen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom ureñaju, a djelomice o tome što mjerimo. Ako objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada mjerenje može samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta. Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sličan problem susrećemo npr. kad pomičnom mjerkom odreñujemo dimenzije predmeta čiji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to slučajevi kad treba pažljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako ćemo bilježiti očitanje. Ako mjerimo s pouzdanošću do na centimetar (metar koji ima najmanje podjeljke u centimetrima), ne smijemo zabilježiti mjerni rezultat kao 35, cm jer bi to značilo da je mjerenje pouzdano do na stotinku centimetra. Zato moramo rezultat zabilježiti kao 35, cm pri čemu smo 0, cm procijenili. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj pouzdanih znamenki. Nema smisla bilježiti mnogo znamenki koje nisu pouzdane. Upute za računanje: Nakon izvršenog mjerenja moramo izračunati traženu veličinu. Numerički računamo ili pomoću logaritamskih tablica ili računalom (kalkulatorom). Pri obradi rezultata mjerenja uvijek se radi o brojevima ograničene točnosti. Ako je neki broj zadan, npr. na tri decimale, kažemo da je njegova netočnost 0 3, ako je to broj sa četiri decimale, netočnost je 0 4. U prvom slučaju uzima se kao netočnost 0 3 zbog toga što najveća pogreška koja se pri skraćenom pisanju brojeva može dogoditi iznosi pet jedinica sljedećeg mjesta. To znači da za broj sa 3 decimale najveća pogreška iznosi 5 0 4, odnosno 0 3. Uzmimo, na primjer, da treba pomnožiti broj 9,346 brojem 34,. Već sam način pisanja tih brojeva upućuje nas da je u prvom broju procijenjena peta znamenka (ali svih pet znamenki su pouzdane), a u drugom broju treća. Prema tome, nema nikakvog smisla izračunavati umnožak na više od tri pouzdane znamenke jer drugi broj ima tri pouzdane znamenke (u krajnjem rezultatu se uvijek uzima broj pouzdanih znamenaka koje ima broj s manjim brojem pouzdanih znamenaka). Već u toku računanja zanemarit ćemo četvrtu znamenku i rezultat izraziti ovako: 9,346 34, =
11 Ali ne ovako: 9,346 34, = 38,5866 Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili preveliku grešku zaokruživanja. Upamtimo, dakle, da je posljednja znamenka u brojevima koji su dobiveni mjerenjem uvijek procijenjena. Prema tome, pri izražavanju rezultata mjerenja potrebno je da pretposljednja znamenka bude očitana, a posljednja znamenka procijenjena. Tako, npr. pri očitavanju skale nekog instrumenta pretposljednja znamenka dana je crticom skale, a posljednja vrijednošću koju ocjenjujemo. Uzmimo, na primjer da je skala nekog termometra razdijeljena na 0, ºC, pa očitamo temperaturu,65 ºC; to znači da smo na skali očitali,6 crtica, a razmak izmeñu,6 ºC i,7 ºC procijenili na 0,05 ºC. Ako bi se stupac žive u termometru podudarao sa,6 crtica skale, ne bismo ga izrazili kao,6 ºC, nego kao,60 ºC, jer bi u prvom slučaju značilo da je skala podijeljena na cjelobrojne stupnjeve, a ne na 0, ºC. Analogno, nema smisla rezultat izraziti kao,600 ºC, jer bi to značilo da je skala podijeljena na 0,0 ºC. Pri računanju s brojevima različitih redova veličina izražavamo te brojeve pomoću potencija broja 0. Iskustvo, naime, pokazuje da su tada individualne pogreške pri računanju manje. Prema tome, piše se ovako: 3 0, ,7 3,85 0,37 0 = 75,,75 0. Da bismo izbjegli pogreške pri računanju, moramo usvojiti neke metode kontrole. Bitne su ovdje dvije metode:. u svakom računu treba provjeriti, računajući napamet, odgovara li red veličine rezultatu. račun provesti još jednom na drugi način. U navedenom primjeru takva su dva načina da se jednom pomnože oba faktora brojnika i produkt podijeli nazivnikom i kvocijent pomnoži drugim faktorom
12 GRAFIČKO PRIKAZIVANJE REZULTATA MJERENJA Grafičko prikazivanje vrlo je važan način prikazivanja rezultata mjerenja. Kako je cilj mnogih pokusa pronalaženje ovisnosti meñu mjerenim veličinama, iz grafa se to zorno može vidjeti. No može nam poslužiti i kao provjera uspješnosti mjerenja ako nam je odnos izmeñu veličina poznat. Pretpostavimo da smo u našem pokusu mijenjali neku fizikalnu veličinu x i time uzrokovali promjenu druge, o njoj zavisne, fizikalne veličine y, te time dobili niz parova točaka (x i, y i ). Te parove točaka zatim u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav, ali pri tome treba slijediti slijedeće upute:. Nacrtati graf na milimetarskom papiru dovoljne veličine, kako točke ne bi bile suviše sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa možda neće biti sasvim uočljiv karakter ovisnosti izmjerenih veličina.. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko riječi), u kojem će biti naznačeno o kojim se veličinama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima vezanim za ucrtanu seriju mjerenja. 3. Nezavisna varijabla (veličina koju vršitelj pokusa može neposredno podešavati po svojoj volji i koju preciznije mjerimo) ucrtava se duž osi apscise (x osi), a zavisna (ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se duž osi ordinate (y osi). 4. Uz krajeve svake osi označiti veličinu koja joj je pridružena, te jedinice u kojima je os baždarena u uglatim zagradama (na primjer t [s] je vrijeme u sekundama). Ako smo os baždarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili dekadski višekratnici dotične veličine, to takoñer treba naznačiti (na primjer B [0-5 T]). Veličine moraju obavezno biti naznačene u jedinicama meñunarodnog sustava (SI), pri čemu je dovoljno koristiti prefikse (na primjer cm, hpa,...). 5. Svaku os baždariti tako da nakon ucrtavanja točaka ne ostane previše praznog prostora ni u jednom smjeru. Svaku os treba početi od 0 ukoliko je to moguće, to jest ukoliko najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno veća od raspona izmeñu najmanje i najveće vrijednosti. 6. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim točkama, naznačivši parametre ovisnosti dobivene računom. Kada crtamo graf neće sve točke ležati na krivulji, i zbog toga krivulju povlačimo nizom točaka tako da podjednaki broj točaka bude ispod i iznad krivulje. Čak i kada graf treba biti pravac, sve točke neće ležati na njemu, zbog neizbježnih pogrešaka u eksperimentalnom mjerenju. - -
13 7. Dijelovi skale na obje osi ne moraju biti jednaki, ali dijelovi skale na jednoj osi moraju. Skala mora biti takva da na jediničnoj mjeri mjerene veličine odgovara višekratnik broja,,... milimetara na grafu. 8. Mjerene podatke unosimo tako da točkom označimo položaj u koordinatnom sustavu, te oko svake nacrtamo kružić. Kada krivulja prolazi kroz točke dobivene mjerenjem, oznake tih točaka moraju biti jasno vidljive jer se po njima eksperimentalna krivulja razlikuje od teorijske. 9. Eksperimentalne podatke upisujemo u tablicu. Prednost grafičkog prikazivanja očituje se i u tome što se interpolacijom ili ekstrapolacijom mogu dobiti vrijednosti veličine y i za one vrijednosti x koje nisu izmjerene. No, dok interpolacija (točka izmeñu dviju mjerenih točaka) u pravilu daje ispravne vrijednosti, kod ekstrapolacije (protezanje grafa izvan područja mjerenih točaka) treba biti oprezan, jer uvijek postoji mogućnost da promatrana fizikalna pojava počinje odstupati od uočenoga ponašanja. Analiza linearnog grafa: Ako je iz grafa očito da postoji linearna ovisnost y = ax + b, zanimaju nas tada parametri a (koeficijent smjera pravca) i b (odsječak na osi ordinate). Za odreñivanje tih parametara moguće je primijeniti grafički postupak ili metodu najmanjih kvadrata. Grafički postupak: Prozirnim ravnalom povučemo odoka pravac koji najbolje prolazi kroz mjerene točke. Odredimo nagib tog pravca a i odsječak na ordinati b. Zatim povučemo ispod i iznad još dva pravca koji su u razumnu slaganju s mjerenim točkama. Na taj način procijenimo pogrešku parametara a i b. Takav je postupak podložan subjektivnoj procjeni, pa je uvijek poželjno primijeniti strožu matematičku metodu. Napomenimo da kod nagiba pravca treba razlikovati geometrijski od fizikalnog. Geometrijski nagib jednak je tangensu kuta izmeñu tog pravca i osi x, i to je broj. Fizikalni nagib je omjer y i x, to jest omjer prirasta veličina nanesenih na osima, pri čemu se koristimo skalom i jedinicama kako su odabrane na osima. Veličina koju odreñujemo iz nagiba pravca ima jedinicu koja je jednaka omjeru jedinica veličina na osima. - -
14 Metoda najmanjih kvadrata: Metoda najmanjih kvadrata je matematička metoda pomoću koje možemo zadanu funkciju aproksimirati drugom funkcijom odreñenog tipa globalno, tako da u odreñenom smislu njihova meñusobna udaljenost bude što manja, bez obzira na to što se funkcije možda neće poklapati niti u jednoj točki. Pretpostavimo da u mjerenom postupku dobijemo parove izmjerenih veličina (x i, y i ) tako da samo mijenjamo i bilježimo x i čime neizravno mijenjamo i vrijednosti y i. Ako izmeñu veličina postoji linearna ovisnost y = ax + b, tada bi n parova vrijednosti (x i, y i ), koje se ucrtavaju u koordinatni sustav, približno trebale ležati na pravcu čiju smo jednadžbu naveli. Pretpostavimo da izmeñu promatranih veličina postoji linearna ovisnost i da su sva odstupanja od pravca slučajne prirode. Nepoznate parametre pravca, a i b, možemo izračunati zahtijevajući da donja suma ima minimum. n (, ) = ( + ) S k l yi kxi l i= To se dogaña ako su njezine parcijalne derivacije po oba parametra jednake 0 (nužan uvjet): (, ) S k l k = 0, (, ) S k l l = 0-3 -
15 Uz te uvjete dobivamo sustav od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: n i= i= ( ) yi kxi + l xi = 0 n ( ) yi kxi + l = 0, n n n yi xi k xi l xi i= i= i= n i i= i= = 0 n y k x nl = 0 koje daju izraze za najvjerojatnije vrijednosti koeficijenata a i b: n n n n x y x y xy x y k = = i i i i i= i= i= n n _ n x x x i x i i= i= n n n n n n xi yi xi xi yi yi a xi i= i= i= i= i= i= n n n n xi xi i= i= i l = = = y ax Napomena: Prije računanja pravca treba u grafu provjeriti ima li smisla linearna regresija i jesu li su podaci podjednako raspršeni. Rezultate sumiranja ne smije se zaokružiti jer pogreške zaokruživanja bitno utječu na razliku velikih sličnih brojeva. Važno je napomenuti da su oznake k i l za koeficijent smjera pravca i odsječak na osi apscisi proizvoljno odabrane te da se u literaturi mogu naći i drugačije oznake (a i b ili a i a 0 itd.). Nelinearni zakoni: Nakon što se mjerene točke unesu u graf, lako se uočava linearna ovisnost ako ona postoji. No, ako opazimo da veličina y nema linearnu ovisnost o x, moramo pokušati odrediti u kojoj je nelinearnoj ovisnosti riječ. Ako na osnovu poznavanja sličnih fizikalnih zakona očekujemo neku odreñenu nelinearnu ovisnost, onda uvoñenjem pomoćnih varijabli pokušamo mjerenu fizikalnu veličinu prikazati u linearnom grafu. U slučaju kada ne želimo nasumce isprobavati razne supstitucijske varijable, možemo iskoristiti pravilo logaritmiranja: - 4 -
16 Logaritamsko logaritamski grafovi Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = kx l, logaritmiranjem dobivamo linearnu ovisnost izmeñu log x i log y: log y = log k + l log x. Prikazivanje u log log grafu posebno je korisno kada nepoznati eksponent b nije cijeli broj, pa ga supstitucijom nije lako pogoditi. U log log grafu, l jednostavno odreñujemo kao koeficijent nagiba pravca koristeći se prije opisanim metodama. Logaritamsko - linearni grafovi Uz navedene nelinearne zakone u kojima fizikalnu veličinu potenciramo nekim brojem, u fizici se javljaju i bitno drugačiji nelinearni zakoni. Ako u log log grafu ne dobijemo pravac, možemo provjeriti takoñer čestu nelinearnu ovisnost, u kojoj se veličina x javlja kao eksponent. Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = ke lx, logaritmiranjem dobivamo linearni odnos varijabli x i log y: log y = log k + xl log e. Ako sada na apscisi nanosimo varijablu x, a na ordinati varijablu log y, nagib pravca dat će nam vrijednost za l log k, a odsječak na ordinati daje log k. Eksperimentalni podaci upisuju se u tablicu: t [s] s [m],3 0,7,6,,3,,7,5 3,, 4,0,9 Pretpostavljena ovisnost puta (s; os y) o vremenu (t; os x) je s=v t. Linearnom regresijom iz navedenih se podataka dobiva v = 0,6 ± 0, ms. ( ) s [m] 3 s-t graf t [s] Slika : Prikaz zapisa mjerenih veličina, grafa i zapisa konačnog rezultata - 5 -
17 PRIMJER ZA VJEŽBU: Za kuglicu koja se giba niz kosinu treba naći akceleraciju iz odnosa izmeñu puta s i vremena t. Mjerni podaci dani su u tablici. Treba odrediti aritmetičku sredinu i procijeniti maksimalnu relativnu pogrešku uz pretpostavku da je put mjeren pomoću ravnala s milimetarskom skalom, a vrijeme je mjereno zapornim satom s točnošću od stotinke sekunde. Takoñer, treba odrediti akceleraciju pomoću metode najmanjih kvadrata. Tablica: mjerenje s t jedinica cm s.,00,00. 55,00, ,00 3, ,00 4, ,00 4, ,00 5,00 Rješenje: mjerenje s t a jedinica cm s cm s -.,00,00 4,0. 55,00,00 7,5 3. 0,00 3,00 6, ,00 4,00 5, ,00 4,50 3, ,00 5,00 4,0 Aritmetička sredina: Treći stupac u gornjoj tablici predstavlja izračunatu akceleraciju za svaki izmjereni par s put vrijeme, a izračunata je po formuli a =. Aritmetičku sredinu dobijemo tako da t zbrojimo sve dobivene vrijednosti i podijelimo s brojem mjerenja (u našem slučaju, broj mjerenja je 6)
18 6 ai i= 4,00 + 7,50 + 6,67 + 5,00 + 3,70 + 4,00 a = = cm s = 5,5cm s Maksimalna relativna pogreška: Pogrešku ćemo procijeniti na način koji je opisan u knjizi Vježbe iz fizike, str.. Kako smo put mjerili ravnalom s milimetarskom skalom, desetinku milimetra mogli smo samo procijeniti, što znači da je najveća moguća relativna pogreška za put 0,05 cm. Slično, najveća moguća pogreška u odreñivanju vremena je tada t = 0,0005 s. Maksimalnu relativnu pogrešku akceleracije sada računamo: Kako je ( t ) = t t, vrijedi ( t ) s r = ( + ) s t s t r = ( + ) s t Kako naša mjerenja nisu provedena svaki puta u istim uvjetima (tj. putovi koje je tijelo prelazilo promatrani su za različita vremena), ne možemo računati ukupnu pogrešku akceleracije, nego samo pogrešku akceleracije za svaki pojedini par podataka. Tako će za par podataka (s =,00 cm, t =,00 s) relativna maksimalna pogreška biti 0,005cm 0,0005s r = ( + ) = 0,0083. cm s Za sljedeći par podataka (s = 55,00 cm, t =,00 s) vrijedit će i tako dalje. 0,005cm 0,0005s r = ( + ) = 0,008 55cm s - 7 -
19 Metoda najmanjih kvadrata: Metodu najmanjih kvadrata primjenjujemo ukoliko je veza izmeñu zavisne i nezavisne varijable linearna. U našem slučaju vrijedi s = at. Ukoliko t shvatimo kao nezavisnu, a s kao zavisnu varijablu, njihova će veza biti linearna, a koeficijent smjera pravce (k) bit će dan s k = a. Koeficijent smjera pravca računamo po formuli: xy x y k = x x U našem slučaju, varijablu x predstavlja kvadrat vremena ( t ), a varijablu y put (s), pa vrijedi: Tablica: k = t s t s ( t ) ( t ) s t t s t ( t ) mjerenje jedinica cm s s cm s s 4.,00,00,00,00,00. 55,00,00 4,00 0,00 6, ,00 3,00 9,00 080,00 8, ,00 4,00 6,00 300,00 56, ,00 4,50 0,5 4860,00 40, ,00 5,00 5, ,00 65,00-8 -
20 t t,00 + 0, , , , ,00 s = cm s = 8,00cm s 6,00 + 4,00 + 9,00 + 6,00 + 0, 5 + 5,00 = s =,54s 6, ,00 + 0, , , ,00 s = cm = 54,50cm 6, , , , , , 00 ( t ) = s = 3,5s ( t ) =,54,54s = 57, 9s 8,00 (,54 54, 40) k = cm s =,78cm s 3,5 57, Kako je k = a, vrijedi da je a - - = k =, 78cm s = 3,56cm s. Možemo za vježbu izračunati i l (odsječak na osi apscisi): l = y k x tj., u našem slučaju: l s k t = = = 54,50cm, 78,54cm 6, 78cm Dakle, jednadžba pravca glasi: y,78cm s - = x + 6,78cm - 9 -
21 Pisanje izvještaja: Izvještaji laboratorijskih vježbi se pišu u radnu bilježnicu, a predaju se na ocjenjivanje prije izvoñenja naredne vježbe u dogovoreno vrijeme s odgovarajućom naslovnom stranicom
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραImpuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραVOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραPREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA
OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραREGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija
REGRESIJSKA ANALIZA REGRESIJSKA ANALIZA često imamo dvije ili više varijabli koje su inherentno povezane, odnosno postoji neka zavisnost (korelacija) među njima koju želimo istražiti regresijske tehnike
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnovne jedinice SI sustava
Međunarodni sustav jedinica SI (kratica SI izvedena je prema francuskom nazivu Le System International d'unites) je moderni metrički sustav mjera, kojeg je uspostavila 1960. Generalna konferencija o utezima
Διαβάστε περισσότερα