FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos + si = = f ( d = f ( cos d = = f ( d ( d ( d / = = = = = f ( cos d ( cos d ( cos d = = Ko i uvek, ovj itegr ćemo rešiti stru uz pomoć prcije itegrcije: = u cos d= dv ( cos d= = ( si si d= d= du si = v ( si ( si = si d cos == + ( si = + cos ( Sd se vrtimo d ucimo grice: ( si = ( cos d= + cos / = ( ( si ( si = + cos cos + ( ( = cos cos ( = = ( ( ( ( ( (
Sičo ko u prethodim primerim, rzmišjmo o prim i eprim, p je:, = k = {, k = ( Sd idemo u početu formuu: f ( = + ( cos + si = (k f ( = = ( + cos (k cos(k = (k Pogedjmo i sumu koj se trži:. Vidimo d u šem redu tre uciti = : ( = cos(k = (k = (k = = (k (k 8 Primer 5. Fukciju f( = - rzviti u Furijeov red segmetu [,]. Rešeje: Mormo koristiti formue: f ( = + ( cos + si = = f ( d = f ( cos d = f ( si d Dke, immo:
= ( d / 6 = = = = ( cos d= = ( cos d D rešimo jpre ovo ez gric: = u cos d= dv ( cos d= = ( si si d= d= du si = v ( si ( si = si d cos == + ( si = + cos ( ( si = ( cos d= + cos / = ( ( si ( si = + cos cos + = ( ( si si = + cos + cos ( ( = cos ( ( = ( [cos cos ] cos α+ β α β Sećte se trigoometrijske formuice: cosα cosβ = si si, ko ju upotreimo: = [cos cos ] [ si si ] ( = ( = = Još d djemo: = ( si d= ( si d
= u si d= dv ( si d= = ( cos + cos d= d= du cos = v ( cos ( cos = + cos d si == + ( cos = + si ( D ucimo grice: ( cos = ( si d= + si / = ( ( cos ( cos + si si + = ( ( cos cos = ( cos + cos α+ β α β Opet mor formuic: cosα+ cosβ = cos cos = + = = = ovo je = ( + ( cos cos cos cos ( ( + Sd idemo u početu formuu: f ( = + ( cos + si = Pzite: f(-=, f(+= i f(-=, f(+=- pogedjte siku:
y - - - p je + ( = ( si = S, (, + ( = ( si = { =, {,} S Primer 6. Fukciju, (, f ( =, [,] rzviti u red po: po siusim po cosiusim Rešeje: Fukciju, (, f ( =, [,] rzviti u red po siusim. D i smo rzvii ovu fukciju po siusim, mormo je dodefiisti do epre fukcije. To ćemo oviti sedeći či:, [, ] F( =, (,, [, ] 5
Pogedjmo kko ov fukcij izged sici: y - - - Nrvo d su ovde i jedki ui tržimo: = f ( si d = f ( si d f ( si d f ( si d f ( si d = = = Zog či koji je fukcij defiis, ovj itegr rstvjmo dv: = f ( si d= si d ( si d + Nko rešvj ovih itegr, metodom prcije itegrcije, sič či ko u prethodim primerim doijmo: 8 = si Rzmišjmo kko se poš si. Zmo d uzim vredosti,,... Z = si = si = Z = si = si = Z = si = si = Z = si = si = 5 Z = 5 si = si = 6 Z = 6 si = si = itd. 6
Dke, zkjučujemo: P je:, = k = { k 8, = k+ ( ( k+,,,. k 8 ( (k+ f ( = si, z (,] (k+ k 8 ( (k+ F( = si, z [, ] (k+ Z rzvoj po kosiusim mormo dodefiisti fukciju do pre sedeći či: +, [, ] F( =, (,, [, ] Dt fukcij je prikz sedećoj sici: y - - - Nrvo, sd je = tržimo: = f ( d = f ( cos d = f ( d f ( d = = f ( d= f ( d= d+ ( d= 7
= f ( cos d f ( cos d = = f ( cos d f ( cos d cos d ( cos d = = + Prcijom itegrcijom rešimo ove itegre i doijmo: = 8 cos ( cos + Rzmisimo kko se poš izrz cos z rzičite. z = cos = cos = z = cos = cos = z = cos = cos = z = cos = cos = itd. Dke, ko je epr roj, =k+, td je = Pogedjmo sd pre, i oik =k ii =k+ z,,,. =k 8 = cos (+ cos 8 k 8 k = cos (+ cos k = cos k (+ ( k ( k 6k 6k 8 8 = cos k cos k = 6k 6k 8
=k+ 8 = cos (+ cos 8 (k+ = cos (+ cos(k+ (k+ (k+ k 8 = cos (k+ + (+ cos (k+ (k+ (k = cos(k+ (+ (k+ ovo je (k+ = = (k+ (k+ (k+ Kočo immo: cos(k+ cos(k+ f ( =, (,] i F( =, [, ] (k+ (k+ 9