Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Σχετικά έγγραφα
Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

Ekvačná a kvantifikačná logika

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia pojmu derivácia

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Reálna funkcia reálnej premennej

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

Goniometrické substitúcie

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Tomáš Madaras Prvočísla

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

Funkcie - základné pojmy

KATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

x x x2 n

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Integrovanie racionálnych funkcií

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

Matematika 2. časť: Analytická geometria

BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obvod a obsah štvoruholníka

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Planárne a rovinné grafy

1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3

viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

Spojitosť a limity trochu inak

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti Komplexné čísla... 8

3. prednáška. Komplexné čísla

Ján Buša Štefan Schrötter

1-MAT-220 Algebra februára 2012

Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Metódy vol nej optimalizácie

Funkcie komplexnej premennej

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER

Matematická analýza pre fyzikov IV.

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

Matematika 1 Elementárny kalkulus

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

1.1 Zobrazenia a funkcie

Metódy vol nej optimalizácie

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Teória pravdepodobnosti

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2

Základy matematickej štatistiky

DAI01 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú

Gramatická indukcia a jej využitie

Diferenciálne rovnice

ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1

Zložené funkcie a substitúcia

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

Transcript:

Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i, i=1, 2,...? Vynásobme obe strany skalárne funkciouφ i, potom x,φ i =c 1 φ 1,φ i +c 2 φ 2,φ i +...,c n φ n,φ i + =c i, i=1, 2,... Pokial nepovieme inak, hovoríme o konvergencii v priestore H v klasickom zmysle, tj. o konvergencii v norme =,. Definícia 6.1.1. Súčet prvých n členov Fourierovho radu prvku x podl a systému{x n } n N nazývame čiastočný súčet Fourierovho radu prvku x a označujeme ho S n (x). Teda S n (x) := n c k x k. k=1 Pri kovergencii Fourierovho radu prvku x budeme teda hovorit o konvergencii čiastočných súčtov tohto Fourierovho radu (v danej norme, teda S n (x) x 0). 97

Veta 6.1.2 (O jednoznačnosti). Nech{x n } n N je ortogonálny systém v H. Ak rad c n x n konverguje k x, potom koeficienty c n sú určené vzt ahom c n = x,x n x n 2 Definícia 6.1.3. nazývame n-tým Fou- Ak{x n } n N je ortogonálny systém v H, potom číslo c n = x,x n x n 2 rierovým koeficientom prvku x podl a tohto systému a rad nazývame Fourierovým radom prvku x. x, x n x n 2 x n Poznámka 6.1.4. Z vety o jednoznačnosti vyplýva, že Fourierov rad l ubovol ného prvku x konverguje a je zároveň Fourierovým radom svojho súčtu y. Nedokázali sme ale, že tento Fourierovov rad prvku x konverguje práve k tomuto prvku. Vo všeobecnosti to ani nie je pravda, vid nasledujúci príklad, kde y x. Taktiež nie je každý rad c n x n Fourierovým radom nejakého prvku x. Príklad 6.1.5. Systém{sin nx}, n N je ortogonálny v H=L 2 (0, 2π), ale Fourierov rad funkcie f (x)=cos x je podl a totho systému rad samých núl a teda k f nekonverguje. Zhrnieme si teda otvorené otázky. 1. Konverguje v H Fourierov rad každého prvku x H? 2. Kedy konverguje Fourierov rad prvku x Hk tomuto prvku? 3. Kedy pre každé x Hkonverguje Fourierov rad prvku x Hk tomuto prvku? 4. Aké musia byt koeficienty c n, aby rad c n x n konvergoval v H? 98

Najpr uvedieme tvrdenie, ktoré hovorí o vyjadrení blízkosti čiastočných súčtov Fourierovho radu daného prvku x. Veta 6.1.6 (Besselova identita). Platí S n (x) x 2 = x 2 n c k 2 x k 2. k=1 Poznámka 6.1.7. Ortogonálna množina funkcií{x 1,...,x n } generuje lineárny podpriestor priestoru H. Funkcia (prvok) x vo všeobecnosti v tomto podpriestore neleží. Ak uvážime Besselovmu identitu, je vidiet, že n-tý čiastočný súcet Fourierovho radu funkcie x je vlastne jej kolmým priemetom do podpriestoru tvoreného množinou funkcií{x 1,...,x n }. Nasledujúca veta hovorí, že zo všetkých možných čiastočných súčtov má najmenšiu odchýlku od daného prvku x práve čiastočný súčet jeho Fourierovho radu. Veta 6.1.8. Pre l ubovol né T n = n a k x k a pre S n (x) z platí k=1 S n (x) x T n x, pričom rovnost nastáva práve pre T n = S n (x), 99

Veta 6.1.9 (Besselova nerovnost ). Pre x Hplatí (i) x 2 c n 2 x n 2, (ii) rad (iii) rad c n 2 x n 2 konverguje, lim n c n x n =0, c n x n konverguje v H. Z vety o jednoznačnosti okamžite vyplýva nasledujúce tvrdenie. Veta 6.1.10 (Parsevalova rovnost ). Fourierov rad prvku x konverguje k tomuto prvku práve vtedy, ak platí x 2 = c n 2 x n 2. Prečo vlastne neudávame len rovnost už vo vete 6.1.9? Lebo Besselova nerovnost platí všeobecnejšie v l ubovol nom Hilbertovom priestore, kde si zvolíme nejaký ortogonálny systém, podl a ktorého funkciu rozvíjame. V prípade, že tento systém je úplný, dostávame analogickú Parsevalovu rovnost. Uvedieme tvrdenie, ktoré nám dáva odpoved na otázky č. 1,4. Veta 6.1.11 (Rieszova-Fisherova). Rad a n x n konverguje (v H) ak konverguje rad a n 2 x n 2. Ak je táto podmienka splnená, potom je rad a n x n Fourierovým radom svojho súčtu. Odpoved na otázku 3 súvisí s bohatost ou systému{x n, n N} - hovoríme o úplnosti daného systému. Odpoved na otázku č. 2 je zrejme tá, že prvok x musí byt z lineárneho obalu systému{x n } n N. 100

Veta 6.1.12. Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: I.{x n } n N je úplný. II. Pre každé x Hplatí Parsevalova rovnost. III. Pre každé x Hjeho Fourierov rad podl a systému{x n } n N konverguje k x. IV. Množina všetkých lineárnych kombinácií konečne vel a prvkov zo systému {x n } n N je hustá v H. Veta 6.1.13. Nech{x n } n N je úplný ortogonálny systém vl 2 w(a, b) a{y n } n N je úplný ortogonálny systém vl 2 w(c, d). Potom{x n y m } n,m N je úplný ortogonálny systém vl 2 w((a, b) (c, d)). 6.2. Trigonometrické rady Myšlienka konštrukcie Fourierových trigonometrických radov je založená na snahe aproximovat reálne funkcie reálnej premennej pomocou trigonometrických funkcií sin a cos. Našim ciel om bude vyjasnenie podmienok pre funkciu f, definovanú na intervale ( π,π), ktoré zaručia jej rozvinutie do radu. a 0 2 + (a n cos nx+b n sin nx), (6.1) kde a n, b n C. Taktiež nás zaujíma charakter konvergencie takejto rady. Ak si označíme čiastočný súčet rozvoja funkcie f ako s 0 (x; f )= a 0 2, s p(x; f )= a p 0 2 + (a n cos nx+b n sin nx), p N, 101

potom môžeme (pomocou známych vzorcov) čiastočný súčet zapísat pomocou pričom p c n e inx, p N 0, n= p Rad teda formálne zapisujeme aj v tvare c 0 = a 0 2, c n= a n ib n, c n = a n+ ib n, n N. 2 2 Poznámka 6.2.1. n= c n e inx. (6.2) V niektorej literatúre sa stretávame s Fourierovým radom (polynómom) v tvare P 0 n 2 + P k cos (kωx+φ k ), k=1 kdeω>0 aφ k ( π,π], k=1,...,n. Je to kvôli fyzikálnej interpretácii zložiek, tj. číslo P 0 2 je stacionárna a P k cos (kωx+φ k ) je k-ta harmonická zložka rozloženého signálu, kde P k, resp.φ k je amplitúda, resp. počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky. Veta 6.2.2 (O jednoznačnosti). Nech f L 1 ( π,π) a nech rad (6.1) resp. (6.2) konverguje rovnomerne na [ π,π] k f. Potom platí: a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx, n N 0, f (x) sin nx dx, n N, (6.3) resp. (6.4) c n = 1 2π π π f (x)e inx dx, n Z. (6.5) 102

Poznámka 6.2.3. Ked že pre čísla a n, b n a c n z predchádzajúcej vety platia vzájomné vzt ahy, tak čiastočné súčty oboch radov sú rovnaké. Fourierove koeficienty rozvoja funkcie f L 1 ( π,π) nezávisia na hodnotách funkcie f na množine nulovej miery. Ked že systém goniometrických funkcií, podl a ktorého rozvíjame danú funkciu, sú 2π periodické, sú také aj čiastočné súčty radu a ak existuje aj súčet tohto radu. Preto sa možno obmedzit na skúmanie takýchto funkcií. Prejdeme k skúmaniu bodovej resp. rovnomernej konvergencie Fourierových radoch. V praxi sa často stretávame s funkciami (a ich deriváciami), ktoré tvoria nasledujúcu triedu funkcií. Definícia 6.2.4. Hovoríme, že funkcia f je po častiach spojité na intervale [a, b], akk existujú body a= x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b tak, že na intervaloch (x i 1, x i ), i=1,...,n je f spojitá a v týchto bodoch existujú vlastné jednostranné limity. Symbolom C a 2π budeme označovat množinu 2π periodických funkcií (na R), ktoré sú na intervale [a, a+2π], a Rpo častiach spojité. Problém 6.2.5. Prečo platí, že ak f, f C a 2π potom je f aj zl1 (a, a+2π) L 2 (a, a+2π)? Označme si Fourierov rad funkcie f ako s(x; f ) podl a systému goniometrických funkcií. Potom platí nasledujúce tvrdenie o bodovej konvergencii, ktoré hovorí, že pre rozmuné funkcie konverguje Fourierov rad danej funkcie v každom bode a v bodoch spojitosti k funkčnej hodnote tejto funkcie. 103

Veta 6.2.6. Nech je f, f C a 2π, potom pre každé x Rje s(x; f )= 1 2 ( lim t x 0 f (t)+ lim t x + 0 ) f (t). Navyše je táto konvergencia rovnomerná na uzavretých podintervaloch intervalu, kde je f spojitá a ak je f C(R), tak aj na celomr. Dôsledok 6.2.7. Ak je f, f C π 2π f na [ π,π] a f ( π)= f (π), potom jej Fourierov rad konverguje rovnomerne k Ak chceme rady derivovat po členoch ( napr. pri riešení rovníc matematickej fyziky), potrebujeme vo všeobecnosti rovnomernú konvergenciu a príslušnú hladkost danej funkcie. V tomto prípade nám stačí hladkost derivácií funkcie f po častiach. Veta 6.2.8 (Derivovanie po členoch). Nech f (k 1) C(R) je 2π periodická a f (k), f (k+1) C a 2π, k 0 nar, potom pre s=0, 1,...,k rady n s ( a n + b n ), n= n s c n, konvergujú. Navyše Fourierov rad funkcie f k nej konverguje rovnomerne na R a je možné ho k-krát derivovat po členoch, pričom tieto rady kovergujú rovnomerne na R. Poznámka 6.2.9. Je dobré si uvedomit, že rady vytvorené z derivácií členov Fourierovho radu funkcie f sú Fourierovými radmi derivácií tejto funkcie, lebo z periodičnosti f je c 0 = 0 pre f (s), s>0. 104

(a) Periodické predĺženie funkcie f (x)=sgn x (def. na intervale π,π.) (b) f (x)= 4 π n=0 sin (2n+1)x 2n+1 Obr. 6.1: Fourierov rad periodickej funkcie. Veta 6.2.10 (Integrovanie po členoch). Nech je f C π 2π a π f (x) dx=0, potom je funkcia F(x)= x f (x) dx aj jej derivácia π 0 z C π 2π a je spojitá nar. Navyše Fourierov rad funkcie f k nej konverguje rovnomerne naraje rovný radu, ktorý dostaneme integráciou po členoch od 0 do x. Poznámka 6.2.11. Podmienka π f (x) dx=0 nám zaručí, že aj F je 2π periodická. Ak nie je splnená π táto podmienka, potom F(x) := x f (t) dt a 0 x už je 2π periodická. 0 2 Definícia 6.2.12. Periodickým predĺžením funkcie f C a 2π, a Rbudeme nazývat funkciu f (x)= f (x), f (x 2kπ), 1 ( 2 ) lim f (t)+ lim f (t) t a t a + ak x (a, a+2π), ak x (a+2kπ, a+2(k+1)π), k Z,, ak x=a+2kπ, k Z. Podobne sa dá definovat periodické predĺženie na intervale inej dĺžky. Zavedieme si aj nové typy predĺžení, ktoré majú dobré vlastnosti. 105

Definícia 6.2.13. (Ne)párnym periodickým predĺžením funkcie f C 0 π budeme nazývat funkciu f, ktorá vznikne tak, že najprv predĺžime f na [ π,π] : f ( x)= f (x), x [ π, 0],tj. (ne)párne, a potom túto funkciu rozšírime periodicky na celér. 106