Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 1 / 17
Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + + a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 2 / 17
Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + + a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Ak existuje mocninový rad n=0 a n(x x 0 ) n so stredom v bode x 0 taký, že konverguje v nejakom okolí bodu x 0 k funkcii f a ak má funkcia f v bode x 0 všetky derivácie, tak ho môžeme v okolí bodu x 0 rozvinút do Taylorovho radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 2 / 17
Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 3 / 17
Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Funkcia f sa nazýva analytická (v bode x 0 ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu x 0 zhoduje s danou funkciou. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 3 / 17
Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 4 / 17
Taylorov polynóm Definícia Nech f je (n + 1)-krát diferencovatel ná funkcia v bode x 0, definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Potom platí f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+1 (x), n! kde výraz R n+1 (x) označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá čast (čast bez zvyšku) sa nazýva (n-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie f so stredom v bode x 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 5 / 17
Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 6 / 17
Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 6 / 17
Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Pre n z Taylorového aproximačného polynómu dostaneme Taylorov rad. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 6 / 17
História Taylorových radov 17. - 18. storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 7 / 17
História Taylorových radov 17. - 18. storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 7 / 17
História Taylorových radov 17. - 18. storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 7 / 17
História Taylorových radov 17. - 18. storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu sin x x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 7 / 17
Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 8 / 17
Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... a n x n, n N je konečné číslo. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 8 / 17
Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... a n x n, n N je konečné číslo. Potom f (x) = p(x) a pre x 0 = 0 máme: a 0 = f (0) f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + + na n x n 1 a 1 = f (0) f (x) = 2a 2 + 6a 3 x + + n(n 1)a n x n 2 a 2 = f (0) 2. Všeobecne a k = f (k) k! p(x). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 8 / 17
Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 9 / 17
Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 9 / 17
Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! +... 6! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 9 / 17
Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 Prirodzený logaritmus ln(1 + x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! +... 6! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! +... 4 + + ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 9 / 17
Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 e x = n=0 xn n! pre x R sin (x) = x2n+1 n=0 ( 1)n (2n+1)! pre x R cos (x) = x2n n=0 ( 1)n (2n)! pre x R arcsin(x) = (2n)!x 2n+1 n=0 pre x 1 4 n (n!) 2 (2n+1) arctg(x) = ( 1) n x 2n+1 n=0 2n+1 pre x R ln(1 + x) = n=1 ( 1) n+1 x n n pre x 1, x ( 1) ln(1 x) = n=1 xn n pre x 1, x 1 (1+x) α = n=0 x n pre x < 1 (1-x) 1 = n=0 x n pre x < 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 10 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 11 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 11 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 11 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). x sin (2x) = 2x2 1! 23 x 4 3! + 25 x 6 5! 27 x 8 7! + + ( 1)m 1 2 2m 1 x 2m (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 11 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x)4 4 + + ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x)4 4 + + ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x 2 + 9 (3x) 3 x 3 + 9 ( 1) n 1 (3x) n x n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x)4 4 + + ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x 2 + 9 (3x) 3 x 3 + 9 ( 1) n 1 (3x) n x n +... 9 x ln(1 + 3x) = 33 34 x 2 + 35 x 2 3 + ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x)4 4 + + ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x 2 + 9 (3x) 3 x 3 + 9 ( 1) n 1 (3x) n x n +... 9 x ln(1 + 3x) = 33 34 x 2 + 35 x 2 3 + ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n +... 9 x ln(1 + 3x) = n=1 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x4 4 + + ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x)4 4 + + ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x 2 + 9 (3x) 3 x 3 + 9 ( 1) n 1 (3x) n x n +... 9 x ln(1 + 3x) = 33 34 x 2 + 35 x 2 3 + ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n +... 9 x ln(1 + 3x) = n=1 9 x ln(1 + 3x) = m=0 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 ( 1) m 3 m+3 m+1 (x 0) m Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 12 / 17
Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 13 / 17
Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 13 / 17
Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 13 / 17
Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 13 / 17
Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií - pri hl adaní riešenia systému diferenciálnych rovníc... a inde Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 13 / 17
Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 14 / 17
Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 14 / 17
Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 14 / 17
Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 14 / 17
Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. - chybu odhadneme pomocov zvyškov, napríklad pomocou Lagrangeovho tvaru zvyšku: R n+1 (x) = f (n+1) (ζ) (n + 1)! (x x 0) n+1, kde číslo ζ je medzi x a stredom x 0 (pre x < x 0 je ζ (x, x 0 ), pre x > x 0 je ζ (x 0, x)). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 14 / 17
Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 15 / 17
Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 15 / 17
Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 15 / 17
Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 15 / 17
Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Potom ( 1) n x 2n = 1 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x (2n + 1)! n=0 x= π 2 n=0 x= π 2 = 1 x sin x x= π 2 = 2 π Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 15 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( 1 1 + x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( 1 1 + x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( 1 1 + x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( 1 1 + x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: x sin x lim x 0 x 3 x 3 x x + = lim 3! + o(x 3 ) x 0 x 3 = 1 6 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 16 / 17
Ďakujem za pozornost. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, 15. 12. 2015 17 / 17