Funkcije više varijabli, nastavak

Funkcije više varijabli, nastavak Franka Miriam Brückler

Ponovimo: što je to b a f (x) dx?

Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx?

Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! dx? Skicirajte

Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u?

Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u? Pišemo: dx dy = (b a)(d c) 1. A

Ponovimo: što je to b a f (x) dx? Koliko iznosi b a dx? Skicirajte skup A = [a, b] [c, d] u (x, y)-ravnini! Kako izgleda graf funkcije f : A R, f (x, y) = 1, u prostornom Kks-u? Pišemo: dx dy = (b a)(d c) 1. A Skicirajte graf neke druge nenegativne funkcije f : A R u prostornom Kks-u!

Dvostruki integral nenegativne skalarne funkcije f dviju varijabli po pravokutniku (ili općenitijem podskupu domene od f ) A je (u prostornom Kks-u) volumen omeden grafom te funkcije, skupom A (područje integriranja) i vertikalama povučenim na A u svim točkama ruba od A ( cilindar ); označavamo ga s f (x, y) dx dy ili f (x, y) da. A A

Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y 2 + 20, područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je

Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y 2 + 20, područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y 2 + 20) dx dy. A

Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y 2 + 20, područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y 2 + 20) dx dy. A Dijelovi volumena ispod (x, y)-ravnine (za funkcije koje nisu nenegativne) pribrajaju se s negativnim predznakom: y dx dy = 0. x 2 +y 2 1

Tako je na slici s prethodnog slide-a graf funkcije f (x, y) = 2x 3 y 2 + 20, područje integriranja je A = [ 2, 2] [ 1, 1], a volumen tijela prikazanog slikom je (2x 3 y 2 + 20) dx dy. A Dijelovi volumena ispod (x, y)-ravnine (za funkcije koje nisu nenegativne) pribrajaju se s negativnim predznakom: y dx dy = 0. x 2 +y 2 1 Za dvostruke integrale kao i za jednostruke vrijedi linearnost: (f (x, y) + g(x, y)) dx dy = f (x, y) dx dy + g(x, y) dx dy, A A Cf (x, y) dx dy = C f (x, y) dx dy A za sve funkcije f i g koje su integrabilne na A i svaku konstantu C. A A

Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A

Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A možemo to zamisliti i kao ( b ) d x=a y=c dy dx, tj. kao zbroj beskonačno bliskih površina pravokutnikâ {x} [c, d] [0, 1] (nacrtajte dva takva za dva različita x-a!).

Fubinijev teorem Volumen kvadra [a, b] [c, d] [0, 1] dx dy = (b a)(d c) 1 A možemo to zamisliti i kao ( b ) d x=a y=c dy dx, tj. kao zbroj beskonačno bliskih površina pravokutnikâ {x} [c, d] [0, 1] (nacrtajte dva takva za dva različita x-a!). Ako je područje integriranja pravukutnik i podintegralna funkcija neprekidna na njemu, takav pristup vrijedi i općenito: b ( d ) d ( b ) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx a c c a [a,b] [c,d] Tu tvrdnju zovemo Fubinijevim teoremom za funkcije dviju varijabli.

Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da.

Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy;

Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy;

Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy; g(x)h(y) dx dy. [a,b] [c,d]

Zadatak Izračunajte [ 5,4] [0,3] (2x 4y 3 ) da. Zadatak Izračunajte [0,1] [0,2] xy 2 dx dy; [0,1] [0,2] g(x)h(y) dx dy; g(x)h(y) dx dy. Što primjećujete? [a,b] [c,d] Ako je funkcija f ne samo neprekidna na pravokutniku [a, b] [c, d], nego se i može faktorizirati kao f (x, y) = g(x)h(y), onda vrijedi [a,b] [c,d] ( b f (x, y) dx dy = a ) ( d ) g(x) dx h(y) dy. c

Zadatak Skicirajte područje integriranja za integral x 2 +4y 2 4 f (x, y) dx dy.

Zadatak Skicirajte područje integriranja za integral x 2 +4y 2 4 f (x, y) dx dy. Zadatak Imate li ideju kako biste integrirali funkciju zadanu s f (x, y) = x + y po dijelu (x, y)-ravnine omedenom s y-osi, pravcem y = 9 i parabolom y = x 2? Ako je područje integriranja A omedeno pravcima x = a, x = b i grafovima funkcija y = f 1 (x) i y = f 2 (x), onda je ( b ) f2(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. A a Slično, ako je područje integriranja A omedeno pravcima y = c, y = d i grafovima funkcija x = g 1 (y) i x = g 2 (y), onda je ( d ) g2(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. A c f 1(x) g 1(x)

Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka!

Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu?

Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu? Neka područja lakše je opisati u polarnim koordinatama. To se posebice odnosi na kružne isječke iz kružnica sa središtem u ishodištu ili pak kružne vijence sa središtem u ishodištu. Kako izgledaju opisi takvih skupova u polarnim koordinatama?

Zadatak Izračunajte integral iz prethodnog zadatka! Zadatak Kako biste što jednostavnije opisali četvrtinu jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu? Neka područja lakše je opisati u polarnim koordinatama. To se posebice odnosi na kružne isječke iz kružnica sa središtem u ishodištu ili pak kružne vijence sa središtem u ishodištu. Kako izgledaju opisi takvih skupova u polarnim koordinatama? Kružni isječak iz kruga polumjera a izmedu polupravaca ϕ = α i ϕ = β: 0 r a, α ϕ β. Kružni vijenac izmedu kružnica r = a i r = b: a r b, 0 ϕ 2π.

Koliko iznosi površina isječka kružnog vijenca izmedu kružnica polumjera r i R, ako isječak odreden kutom γ? P = γ 360 (R2 r 2 )π. Ako uzmemo da je γ = ϕ malen i da je R = r + r gdje je r malen, ta je površina A približno površina pravokutnika sa stranicama r ϕ i r. Dakle, A = r r ϕ. Stoga je u polarnim koordinatama Zadatak da = r dr dϕ. Izračunajte A e x 2 +y 2 dx dy ako je A četvrtina jediničnog kruga koja se nalazi u prvom kvadrantu.

Zamjena varijabli u dvostrukim integralima Vidjeli smo da je prijelaz iz Kartezijevih u polarne koordinate u ravnini moguće shvatiti kao vektorsko polje i da mu je Jakobijan jednak r. Kao i u tom slučaju vrijedi i općenito: f (x, y ) (x, y) (x, y ) dx dy = f (x, y) dx dy, S gdje je S skup u koji se promjenom varijabli transformira skup A. Posebno, formula za promjenu iz Kartezijevih u polarne koordinate u dvostrukom integralu je f (r, ϕ)r dr dϕ = f (x, y) dx dy. S A A

Povećanjem dimenzije za još jedan dobivamo trostruke integrale u kojima se integrira skalarna funkcija tri varijable po trodimenzionalnom skupu V : f (x, y, z) dx dy dz ili V f (x, y, z) dv. V Po analogiji s jedno- i dvostrukim integralima, što očekujete: koliko iznosi V dx dy dz?

Povećanjem dimenzije za još jedan dobivamo trostruke integrale u kojima se integrira skalarna funkcija tri varijable po trodimenzionalnom skupu V : f (x, y, z) dx dy dz ili V f (x, y, z) dv. V Po analogiji s jedno- i dvostrukim integralima, što očekujete: koliko iznosi V dx dy dz? I za trostruke integrale vrijedi Fubinijev teorem: ako je područje integriranja kvadar V = [a, b] [c, d] [p, q] i f neprekidna na V, onda je b ( d ( q ) ) f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz dy dx V ili slično za neki drugi odabir redoslijeda integriranja. a c p

Takoder, ako je dodatno f moguće faktorizirati kao f (x, y, z) = g(x)h(y)k(z) vrijedi ( b f (x, y, z) dx dy dz = V a ) ( d ) ( q ) g(x) dx h(y) dy k(z) dz. c p Zadatak Izračunajte [2,3] [1,2] [0,1] 8xyz dv.

Takoder, ako je dodatno f moguće faktorizirati kao f (x, y, z) = g(x)h(y)k(z) vrijedi ( b f (x, y, z) dx dy dz = V a ) ( d ) ( q ) g(x) dx h(y) dy k(z) dz. c p Zadatak Izračunajte [2,3] [1,2] [0,1] 8xyz dv. U primjenama se česte varijante višestrukih integrala koji spadaju u neprave integrale (integrali kod kojih područje integriranja nije ograničeno ili pak podintegralna funkcija nije ograničena na području integriranja). U slučaju da se područje integriranja može zapisati kao Cartesiusov produkt tri intervala, makar neki bio neograničen, gornje formule su i dalje primjenjive i pojedini integrali obzirom na jednu varijablu računaju se na uobičajen način.

Primjerice: integral neke funkcije f po čitavom prostoru R 3 može se opisati kao Zadatak R 3 f dv = + x= + y= + z= Skicirajte skup 0, +, 0 u Kks-u. f (x, y, z) dz dy dx.

Promjena koordinata x = x(x, y, z ), y = y(x, y, z ), z = z(x, y, z );

Promjena koordinata x = x(x, y, z ), y = y(x, y, z ), z = z(x, y, z ); F (x, y, z ) = (u(x, y, z ), v(x, y, z ), w(x, y, z )) f (x, y, z ) (x, y, z) (x, y, z ) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz W Specijalno, za prijelaz u sferne: f (r, ϕ, z)r 2 sin θ dr dθ dϕ = f (x, y, z) dx dy dz. W V V

Trostruki integrali u vjerojatnosnom računu R f (x, y, z) dx dy dz = 3 + r=0 2π φ=0 π θ=0 f (r, φ, θ)r 2 sin θ dr dθ dϕ.

Trostruki integrali u vjerojatnosnom računu R f (x, y, z) dx dy dz = 3 + r=0 2π φ=0 π θ=0 f (r, φ, θ)r 2 sin θ dr dθ dϕ.ako je f funkcija gustoće vjerojatnosti za nalaženje nekog objekta na poziciji (x, y, z) u prostoru, vjerojatnost da se taj objekt nalazi unutar podskupa V prostora je P = f (x, y, z) dx dy dz. V Kako se taj objekt sigurno nalazi negdje u prostoru, funkcija f mora biti normirana, tj. zadovoljavati R 3 f (x, y, z) dx dy dz = 1. Prema Bornovoj interpretaciji valne funkcije, kvadrat apsolutne vrijednosti valne funkcije je funkcija gustoće vjerojatnosti za nalaženje tom valnom funkcijom opisanog elektrona u nekoj točki prostora. Prosječna vrijednost veličine opisane operatorom ˆΩ dobiva se trostrukim integralom Ω = R 3 ψ ˆΩψ dx dy dz.

Prosječna udaljenost elektrona do jezgre Posebno, prosječna vrijednost udaljenosti elektrona opisanog valnom funkcijom ψ do jezgre dobije se kao r = rψ ψ dx dy dz = R 3 + 2π π r=0 φ=0 θ=0 r 3 ψ(r, ϕ, θ) 2 sin θ dr dθ dϕ Odredimo prosječnu (očekivanu) udaljenost elektrona 1s-orbitale do jezgre atoma H. ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, πa0 3 (a 0 = 52,9 pm je Bohrov radijus).

r = r ψ 2 dx dy dz = rψ 2 dx dy dz. R 3 R 3 Prijelazom na sferne koordinate dobivamo r = 2π π φ=0 θ=0 + r=0 = 1 2π π πa0 3 dϕ sin θ dθ 0 0 1 πa 3 0 + 0 re 2r/a0 r 2 sin θ dr dθ dϕ = Pritom je korištena formula + 0 x n e ax dx = n! a n+1. r 3 e 2r/a 0 dr = 1 3! πa0 3 2π 2 ( ) 4 = 3 2 2 a 0. a0

Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. S 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0

Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. ψ 1,0,0, ψ 2,0,0 = 1 1 πa0 3 4 2πa0 3 2π π φ=0 2π 0 dϕ + θ=0 r=0 π 0 S sin θ dθ 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0 ψ 1,0,0 ψ 2,0,0 r 2 sin 2 θ dr dθ dϕ = + 0 r 2 e r/a 0 (2 ra0 ) e r/2a 0 dr.

Ortogonalnost vodikovih 1s i 2s orbitala ψ 1,0,0 (r, θ, ϕ) = 1 e r/a 0, ψ 2,0,0 (r, θ, ϕ) = πa0 3 f, g = f g ds. ψ 1,0,0, ψ 2,0,0 = 1 1 πa0 3 4 2πa0 3 + 0 r 2 e r/a 0 2π π φ=0 2π 0 dϕ + θ=0 r=0 π 0 S sin θ dθ (2 ra0 ) e r/2a 0 dr = 1 4 2πa0 3 (2 ra0 ) e r/2a 0 ψ 1,0,0 ψ 2,0,0 r 2 sin 2 θ dr dθ dϕ = + 0 r 2 e r/a 0 (2 ra0 ) e r/2a 0 dr. ( 2 23 a0 3 2! 3 3 1 24 a0 4 3! ) a 0 3 4 = 0

Primjer Molarna provodnost u pravilu se mjeri indirektno mjerenjem otpora, a njihova veza dana je s Λ m = K cell Rc, gdje je K cell konstanta konduktometrijske ćelije. U nekom mjerenju otpora niza vodenih otopina NaCl u ćeliji s K cell = 0,2 cm 1 dobiveni su sljedeći parovi podataka (c/(mol L 1 ), R/Ω): (5,0 10 4, 3314), (5,0 10 3, 342), (2,0 10 2, 89) i (5,0 10 2, 37). Želimo, primjerice, procijeniti molarnu provodnost pri koncentraciji od 1,0 10 2 mol/l. x i = 10 2 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0, 05 1,207 0,5 1,170 2 1,124 5 1,081

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja.

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n?

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1

Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1 Problem 3: Ako smo pretpostavili oblik funkcije f, s nepoznatim parametrima a, b, c,..., kako minimizirati E?

f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min

f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min Funkcije E su diferencijabilne, dakle su jedine kritične točke stacionarne: E = 0.

MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0.

MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n s x 2 = xi 2 ; s x = i=1 n s xy = x i y i ; s y = n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0. n i=1 n i=1 i=1 x i y i

Imamo dakle sustav: s x 2 a + s x b = s xy Cramerovo pravilo daje: s x a + n b = s y a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x Nije preteško dokazati da je ova stacionarna točka (a, b) stvarno točka minimuma za E..

x i y i x 2 i x i y i s x = s y = s x 2 = s xy = a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x.

Primjer x i y i x 2 i x i y i 0,05 1,207 0,0025 0,06035 0,5 1,170 0,25 0,585 2 1,124 4 2,248 5 1,081 25 5,405 s x = 7,55 s y = 4,582 s x 2 = 29,2525 s xy = 8,29835 z = ns x 2 s 2 x = 4 29,2525 7,55 2 = 60,0075 a = ns xy s x s y z b = s x 2s y s x s xy z = 0,023342 = 1,189558.

Primjer Za polazni primjer odredimo Λ 0 m ako znamo da se ovisnost molarne provodnosti Λ m o koncentraciji c jakog elektrolita opisuje Kohlrauschovim zakonom gdje su Λ 0 m i K konstante. Λ m = Λ 0 m K c, x i = 10 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0,2236 1,207 0,7071 1,170 1,4142 1,124 2,2361 1,081

Zadatak Arrheniusova jednadžba k = Ae Ea/(RT ) opisuje temperaturnu ovisnost koeficijenta k brzine reakcije. Vrijednosti A i E a (i naravno R = 8,3145 J/(K mol)) su konstantne. Mjerenjima tokom raspada CH 3 CO dobiveni su sljedeći parovi podataka (T /K, k/(l/(mol s)): (700, 0,0110), (760, 0,105), (810, 0,789) i (910, 20,0). Arrheniusovu zakon brzine interpretirajte kao jednadžbu pravca y = ax + b. Zatim metodom najmanjih kvadrata izračunajte koeficijente a i b. Koliko iznosi energija aktivacije E a?

Nabla-operator Upoznali smo se s skalarnim funkcijama više varijabli i njihovim parcijalnim derivacijama te s vektorskim funkcijama i parcijalnim derivacijama njihovih koordinatnih funkcija. Skalarne i vektorske funkcije ponajviše se u fizici koriste kao funkcije triju varijabli (pozicije) i to kao tzv. skalarna polja ( r = [x, y, z] f (x, y, z)) i vektorska polja triju varijabli ( r = [x, y, z] F (x, y, z) = [F 1 ( r ), F 2 ( r ), F 3 ( r )]). Od velikog su fizikalnog značenja skalarnim i vektorskim funkcijama, tj. poljima, po odredenim principima iz pripadnih parcijalnih derivacija konstruirana nova skalarna i vektorska polja. Ti principi se nazivaju različitim načinima djelovanja nabla-operatora. Djelovanja nabla-operatora mogu se opisati tako da poistovjetimo s vektorom operatorâ deriviranja ( ),..., x 1 x n i ponašamo se kao da s tim vektorom na različite načine množimo.

Gradijent skalarne funkcije Gradijent skalarnoj funkciji pridružuje vektorsko polje po pravilu: ( f grad f (X ) = f (X ) = (X ),..., f ) (X ). x 1 x n Primjer Ako je f (x, y) = x ln y, onda je f (x, y) = (ln y, x y ) pa je f (1, e) = 1 i f (1, e) = (1, 1/e), dakle je vektor normale na nivo-liniju x ln y = 1 (u Kks-u u ravnini) u točki (1, e) na njoj jednak i + 1 e j. Primijetimo: f (X ) [ x 1, x 2,..., x n ] = n i=1 f x i (X ) x i f

Primjer Potencijalna energija medudjelovanja dvaju naboja Q 1 i Q 2 udaljenih za r je V = Q 1Q 2 4πε 0 r. Sila koja djeluje na drugi naboj uslijed postojanja prvog je F = V = Q 1 Q 2 4πε 0 1 r. No, r = r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 pa je (1/r) x = 1 r 2 1 2 x 2 + y 2 + z 2 2x = x r 3 i analogno za deriviranje po y i z.

Stoga je F = Q 1 Q 2 4πε 0 1 r 3 [ x, y, z] = Q 1Q 2 r 4πε 0 r 3 = Q 1Q 2 r1 4πε 0 r 2, gdje je r 1 jedinični vektor smjera i orijentacije kao r (vektor pozicije drugog naboja u odnosu na prvi), odnosno iznos sile kojom prvi naboj djeluje na drugi je F = Q 1Q 2 4πε 0. Sila po jedinici drugog r 2 naboja (dakle, sila kojom prvi naboj djeluje na jedinicu naboja na poziciji r ) je elektrostatsko polje naboja Q 1 : E = 1 Q 2 F = Q 1 4πε 0 r 2 r1. Primijetimo: E = φ gdje je φ = V /Q 2 pripadno skalarno polje elektrostatskog potencijala.

Divergencija vektorskog polja Primjer Neka je F (x, y) = (ln y, x y ) = (F 1(x, y), F 2 (x, y)). Jacobijeva matrica vektorskog polja F je ( ) 0 1/y JF (x, y) = 1/y x/y 2. Zbroj dijagonalnih elemenata u Jacobijevoj matrici vektorskog polja, tj. zbroj parcijalnih derivacija koordinatnih funkcija redom po odgovarajućoj varijabli (prve po prvoj, druge po drugoj,... ) zove se divergencijom vektorskog polja F : div F (X ) = F (X ) = F 1 x 1 (X ) +... + F n x n (X ).

Primjer Divergencija se može shvatiti kao mjera koliko se vektorsko polje u nekoj točki ponaša kao izvor ili ponor. Recimo da promatramo brzinu stlačivog fluida u svakoj njegovoj točki. Linije strujanja sastoje se od slijeda pozicija pojedine čestice fluida. U područjima u kojima se te linije šire u smjeru toka, gustoća fluida se smanjuje i divergencija brzine je pozitivna. Divergencija je u tom kontekstu mjera širenja linija strujanja. Jednadžba koja opisuje stlačivi fluid obzirom na taj efekt je (ρv) = ρ t, gdje je ρ gustoća fluida, v brzina (obje su funkcije pozicije) i t vrijeme. Primjer Gaussov zakon za magnetsko polje B ima oblik B = 0. Ta formula iskazuje da nema točkastih izvora magnetskog polja.

Konzervativna vektorska polja Vidjeli smo: gradijent skalarne funkcije je vektorsko polje, tj. neka vektorska polja su gradijenti skalarnih funkcija (usporedi: neke funkcije jedne varijable su derivacije neke funkcije). Je li F (x, y, z) = (x, y 2, xz) gradijent neke skalarne funkcije?

Konzervativna vektorska polja Vidjeli smo: gradijent skalarne funkcije je vektorsko polje, tj. neka vektorska polja su gradijenti skalarnih funkcija (usporedi: neke funkcije jedne varijable su derivacije neke funkcije). Je li F (x, y, z) = (x, y 2, xz) gradijent neke skalarne funkcije? Pretpostavimo da jest: F = f za neku f. To znači da je dakle (integriranjem po x) f x = x, i stoga f (x, y, z) = x 2 + C(y, z) 2 y 2 = f y = C y,

odnosno (integriranjem po y) pa je C(y, z) = y 3 3 + D(z), f (x, y, z) = x 2 2 + y 3 3 + D(z) i xz = f z = D (z), što je nemoguće. Dakle, nije svako vektorsko polje gradijent neke skalarne funkcije.

Definicija Vektorsko polje F zove se konzervativnim ako postoji skalarna funkcija f takva da je F = f. U tom slučaju f se zove potencijalom od F. Uoči: po definiciji je f uvijek konzervativno vektorsko polje. Primijetimo: ako je F = f, znači da je F 1 = f x 1,...,F n = f x n, pa po Schwartzovom teoremu mora vrijediti F i x j = F j x i, i, j = 1, 2,..., n. Gornji uvjet zove se Eulerovim uvjetom: vektorsko polje zadovoljava Eulerov uvjet ako mu je Jacobijeva matrica simetrična. Vektorsko polje koje ne zadovoljava Eulerov uvjet sigurno nije konzervativno.

Teorem Ako je domena od F otvorena i povezana a, vektorsko polje F je konzervativno točno ako njegove koordinatne funkcije zadovoljavaju Eulerov uvjet. a Primjerice, cijeli R n, 0, n, otvoreni pravokutnik, otvoreni krug,... Zadatak Je li F (x, y) = (2x 3 y 4 + x, 2x 4 y 3 + y) konzervativno vektorsko polje? Ako da, odredite mu potencijal! Napomena Ako vektorsko polje F opisuje neku silu i ako je konzervativno, govorimo o konzervativnoj sili.

Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija?

Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija? Je li vektorsko polje?

Rotacija vektorskog polja Rotacija vektorskog polja se definira samo za vektorska polja F = (F x, F y, F z ) : Ω R 3, Ω R 3 : i j k rot F (X ) = F (X ) = x y z. F x F y F z Je li rotacija skalarna ili vektorska funkcija? Je li vektorsko polje? Primjer Ako je F (x, y, z) = (y, z, x) = y i + z j + x k, onda je rot F = i j k. Primjer Ako je v vektorsko polje koje opisuje brzinu fluida, onda njegova rotacija v u svakoj točki (x, y, z) opisuje sklonost čestica fluida da rotiraju oko osi definirane vektorom v(x, y, z).

Sažetak o nabla-operatoru Koje vrste produkata vezane za vektore u R n smo dosad upoznali?

Sažetak o nabla-operatoru Koje vrste produkata vezane za vektore u R n smo dosad upoznali? Označimo s vektor (operatora), tzv. nabla-operator, ( ) =,...,. x 1 x n Množenje vektora skalarom f, gdje je f skalarna funkcija Skalarni produkt vektora F, gdje je F vektorsko polja Za n = 3: vektorski produkt vektor F,, gdje je F vektorsko polja Zbog linearnosti deriviranja slijedi da je nabla-operator linearan u sva tri svoja načina djelovanja na funkcije. Vrijede i mnoga druga zgodna svojstva (vidjeti skriptu za formule).

Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ).

Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0.

Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ).

Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ). ( F ) = div rotf = 0 Dakle, ako je neko polje rotacija drugog polja, divergencija mu je nul-funkcija.

Rotacija gradijenta, divergencija rotacije i divergencija gradijenta Neka je f skalarna funkcija triju varijabli f. Odredite ( f ). ( f ) = rot gradf = [0, 0, 0] Dakle, rotacija konzervativnog vektorskog polja je nul-polje. Primjerice, rotacija elektrostatskog polja točkastog naboja je nul-polje: E = φ = 0. Neka je F vektorsko polje triju varijabli. Odredite ( F ). ( F ) = div rotf = 0 Dakle, ako je neko polje rotacija drugog polja, divergencija mu je nul-funkcija.

Ako je f skalarna funkcija, f je vektorsko polje te je f = 2 f skalarna funkcija. Operator 2 naziva se Laplaceovim operatorom. Raspišimo njegovo djelovanje na funkciju triju varijabli: ( f 2 f (x, y, z) = x, f y, f ) = z Općenito: = f x x + f y y + f z z = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 2 f = n 2 f x 2 i=1 i Zadatak Koje su još kombinacije dvostrukog djelovanja nabla-operatora smislene osim rot grad, div rot i div grad?

Primjer Za f (x, y, z) = A sin(ax) sin(by) sin(cz) je 2 f (x, y, z) = (a 2 + b 2 + c 2 )f (x, y, z), tj. funkcija f je svojstveni vektor Laplaceovog operatora koji odgovara svojstvenoj vrijednosti a 2 b 2 c 2. Napomena Laplaceov operator se pojavljuje u mnogim važnim jednadžbama u fizici: Laplaceova jednadžba 2 φ = 0, Helmholtzova jednadžba 2 φ + k 2 φ = 0, 2 φ t 2, valna jednadžba 2 φ = 1 v Schrödingerova jednadžba (za stacionarna stanja): Ĥψ = E ψ, Ĥ = 2m 2 + V.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Termodinamička motivacija Svako stanje (termodinamičkog) sustava opisuje se preko odredenih skalarnih svojstava, dakle stanje opisano sa m svojstava možemo poistovjetiti s nekim elementom X R m. (Termodinamički) sustav onda poistovjećujemo sa skupom svih svojih mogućih stanja, tj. nekim (otvorenim) podskupom Ω R m. Primjer Plin stalnog sastava opisujemo podacima o tlaku, volumenu i temperaturi, tj. možemo ga promatrati kao Ω( R 3, pri čemu ) elemente od Ω (pojedina moguća stanja) označavamo p p, V 1 L, T 1 K. Procesi su promjene stanja sustava. U infinitezimalnim procesima se te promjene dogadaju u beskonačno malim iznosima. Svaki infinitezimalni proces može se vizualizirati kao glatka orijentirana krivulja γ u skupu Ω; točke na toj krivulji predstavljaju sva moguća stanja tokom procesa. Reverzibilan proces je onaj čiji smjer možemo obrnuti infinitezimalnom promjenom nekog od svojstava.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivulje Parametarski definirane funkcije koje smo spominjali u poglavlju o deriviranju funkcija jedne varijable i koje su bile zadane formulama oblika x = x(t), y = y(t), t I (gdje je I neki interval u skupu realnih brojeva) zapravo su vektorske funkcije γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)).

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivulje Parametarski definirane funkcije koje smo spominjali u poglavlju o deriviranju funkcija jedne varijable i koje su bile zadane formulama oblika x = x(t), y = y(t), t I (gdje je I neki interval u skupu realnih brojeva) zapravo su vektorske funkcije γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)). Definicija (Krivulja) Krivulja u R n je skup svih točaka oblika γ(t) R n za a t b, gdje je γ : [a, b] R n neprekidna funkcija a. Kad govorimo o funkciji γ takoder ćemo ju nazivati krivuljom. a U pravilu: derivabilna s neprekidnom derivacijom. Primjer γ(t) = (cos t, sin t), 0 t π:

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulju γ : [a, b] R n : A = γ(a) zovemo početkom krivulje, B = γ(b) zovemo krajem krivulje; ako je A = B kažemo da je γ zatvorena. Ako je za svako t γ(t) element neke plohe, govorimo o krivulji na toj plohi. Krivulje su prirodno orijentirane, tj. postoji prirodan smjer obilaska krivulje: u smjeru porasta varijable t (tj. od γ(a) prema γ(b)). 2D krivulja γ(t) = (x(t), y(t)) γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) tangencijalni vektor 1 γ (T ) = (x (T ), x (T )) γ (T ) = (x (T ), y (T ), z (T 3D 1 Vektor smjera tangente na krivulju u njenoj točki γ(t ).

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t).

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t). Ako je γ : [a, b] R 3, ravnina koja je u točki γ(t ) okomita na krivulju (normalna ravnina) je odredena jednadžbom

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Duljina krivulje; normalna ravnina Duljina krivulje: l(γ) = b a γ (t) dt. Pritom je γ (t) (pozitivni) drugi korijen sume kvadrata koordinata od γ (t): γ (t) = γ (t), γ (t). Ako je γ : [a, b] R 3, ravnina koja je u točki γ(t ) okomita na krivulju (normalna ravnina) je odredena jednadžbom x (T )(x x(t )) + y (T )(y y(t )) + z (T )(z z(t )) = 0.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru?

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru? x(t) = cos( t) = cos t, y(t) = sin( t) = sin t, 0 t 2π Općenito: γ(t) = γ(a + b t), a t b. Zadatak Opišite parametarski krivulju ABCA, gdje je dio AB dužina od A = (0, 0) do B = (1, 0), a C četvrtina jedinične kružnice od B do C = (0, 1).

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Promjena orijentacije, spajanje krivulja Primjer Kružnicu zadanu parametarski s x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 t 2π obilazimo u pozitivnom smjeru. Kako postići da ju obilazimo u negativnom smjeru? x(t) = cos( t) = cos t, y(t) = sin( t) = sin t, 0 t 2π Općenito: γ(t) = γ(a + b t), a t b. Zadatak Opišite parametarski krivulju ABCA, gdje je dio AB dužina od A = (0, 0) do B = (1, 0), a C četvrtina jedinične kružnice od B do C = (0, 1). Krivulja γ = γ 1 γ 2 nastala spajanjem dvije krivulje γ 1 i γ 2 : γ(t) = γ 1 (t) za a t c i γ(t) = γ 2 (t) za c t b.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Radna motivacija Znamo: mehanički rad izvršen duž ravnog puta (dužine) može se opisati integralom b w = F (x) dx = F dx a I =[a,b] koji prestavlja (do na predznak) površinu omedenu dužinom [a, b], dijelom grafa od F iznad te dužine i vertikalama povučenim u krajevima dužine. Što ako put nije ravan, nego je nekakva krivulja γ u ravnini ili prostoru? Opet će rad geometrijski biti (do na predznak) površina omedenu krivuljom, dijelom grafa od F iznad te krivulje i vertikalama povučenim u krajevima krivulje, u notaciji w = F ds, gdje ds predstavlja infinitezimalni djelić od γ. No, što bi to značilo γ... ds? γ

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Krivuljni integrali prve vrste Definicija (Krivuljni integral prve vrste) Neka je f : Ω R n R neka neprekidna skalarna funkcija od n varijabli te neka je γ krivulja u Ω (dakle, γ : [a, b] Ω). Tada je krivuljni integral od f (poznat i kao krivuljni integral prve vrste skalarne funkcije f ) duž γ definiran s γ f ds = b a f (γ(t)) γ (t) dt.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulje u R 2 i R 3 : γ f ds = f ds = γ b a b a f (x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt.

Krivulje i krivuljni integrali prve vrste Za krivulje u R 2 i R 3 : γ f ds = f ds = γ b a b a f (x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt, f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt. γ f ds = γ f ds. f ds = γ 1 γ 2 f ds + γ 1 f ds. γ 2 Oznaka umjesto koristi se kad se želi naglasiti da se integrira po zatvorenoj krivulji. Zadatak γ xy 4 ds =? ako je γ rub polukruga x 2 + y 2 4, y 0.

Diferencijali Diferencijal varijable dx x!!!

Diferencijali Diferencijal varijable dx x!!! d je linearan funkcional na R n koji n-torci pridružuje iznos koordinate koja odgovara varijabli : Primjer dx i (x 1, x 2,..., x n ) = x i, i = 1, 2,..., n Ako promatramo R 3 s koordinatama (x, y, z), onda je dy(1, 2, 3) = 2. No, nije da dx nema veze s x: dx i ( X ) = dx i ( x 1, x 2,..., x n ) = x i, tj. u sluçaju male promjene točke u R n diferencijal dx i ukupnoj promjeni pridružuje promjenu i-te koordinate.

Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx 1 +... + F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy

Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx 1 +... + F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy ω F (1, 2) = (1 + 2) dx + (1 2 2 2 ) dy = 3 dx 3 dy

Diferencijali Diferencijal je uvijek odreden nekim vektorskim poljem. Ako je F = (F 1,..., F n ) vektorsko polje varijabli (x 1,..., x n ), izraz (funkciju) oblika ω F = F 1 dx 1 +... + F n dx n = i F i dx i zovemo diferencijalom odredenim vektorskim poljem F (oprez: to NIJE isto što i diferencijal polja F, u oznaci df!!!). Primjer F (x, y) = (x + y, x 2 y 2 ) ω F = (x + y) dx + (x 2 y 2 ) dy ω F (1, 2) = (1 + 2) dx + (1 2 2 2 ) dy = 3 dx 3 dy ω F (1, 2)(3, 4) = 3 dx(3, 4) 3 dy(3, 4) = 3 3 3 4 = 3. F : Ω R n R n ω F : Ω L(R n, R) ω F (X ) : R n R, X Ω

Diferencijali Uvrštavanje u diferencijale Za vektorsko polje F s domenom ω pripadni diferencijal ω F = F 1 dx 1 +... + F n dx n = i F i dx i je funkcija koja točki X 0 Ω R n pridružuje linearni funkcional definiran na R n, dakle se u ω F (X 0 ) (koji je sad linearna kombinacija dx i -ova s konstantnim koeficijentima) ponovno može uvrstiti bilo koji X R n i tako dobiti realan broj ω F (X 0 )(X ). Uočite: prvi argument, X 0, je u domeni od F, te se uvrštava u F i -ove, a drugi je bilo gdje u R n te se uvrštava u dx i -ove. Primjer F (x, y, z) = (x y, y z, z x) ω F = (x y) dx + (y z) dy + (z x) dz X 0 = (4, 3, 1) ω F (X 0 ) = dx + 4 dy 5 dz

Krivuljni integrali druge vrste ω F = i F i }{{} dx i }{{} skalarna funkcija lin.funkcional ω F (X 0 ) = i F i (X 0 ) }{{} broj dx i }{{} lin.funkcional ω F (X 0 )(X ) = i F i (X 0 ) }{{} broj x }{{} i broj ω F (X 0 )( X ) = i F i (X 0 ) x i Termodinamički gledano, stoga diferencijali predstavljaju infinitezimalne promjene termodinamičkih svojstava, tj. indirektno opisuju ne samo svojstvo, već njegovu promjenu. Ukupnu promjenu odgovarajućeg svojstva tijekom procesa γ dobijemo kao γ ω F. Definicija (Krivuljni integral druge vrste) Neka je F = (F 1,..., F n ) : Ω R n neko vektorsko polje i γ krivulja u Ω. Tada je krivuljni integral druge vrste diferencijala ω F (odnosno vektorskog polja F = (F 1,..., F n )) duž γ definiran s γ ω F = γ F 1 dx 1 +... + F n dx n = b a F (γ(t)), γ (t) dt.

Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1.

Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1. Rješenje: 37/6.

Krivuljni integrali druge vrste Primjer Izračunajmo integral γ x dx + xy 2 dy po dijelu pravca y = 2x + 1 za x izmedu 0 i 1. Rješenje: 37/6. Primjer ω = γ 1 γ 2 ω + γ 1 ω. γ 2 Izračunajmo krivuljni integral diferencijala y 2 dx + xy dy po krivulji ABC koja je unija dvije dužine AB i BC gdje je A = ( 1, 1), B = (0, 0) i C = (2, 2), s tim da se krivulja obilazi od A preko B do C. Koliko taj integral iznosi ako se krivulja obide obrnutim smjerom? AB: x(t) = t, y(t) = t, 1 t 0; BC: x(t) = t, y(t) = t, 0 t 2. ABC y 2 dx+xy dy = 0 1 ( t) 2 1+t ( t) ( 1) dt+ 2 0 ( t) 2 1+t t 1 dt = 6.

Krivuljni integrali druge vrste Za obilazak u suprotnom smjeru imamo: CB je x(t) = t, y(t) = t za 0 t 2, a BA je x(t) = t, y(t) = t za 1 t 0. Slijedi y 2 dx + xy dy = 6. CBA

Krivuljni integrali druge vrste Za obilazak u suprotnom smjeru imamo: CB je x(t) = t, y(t) = t za 0 t 2, a BA je x(t) = t, y(t) = t za 1 t 0. Slijedi y 2 dx + xy dy = 6. Zadatak CBA γ ω = ω. γ f (x, y) = x 2 y; F (x, y) = f (x, y) = (2xy, x 2 ); izračunajte B A 2xy dx + x 2 dy za A = ( 1, 0), B = (1, 0) ako (a) od A do B idemo najkraćim putem; (b) preko donje jedinične polukružnice.

Krivuljni integrali druge vrste Još malo termodinamike Svako svojstvo sustava možemo shvatiti kao skalarnu funkciju Y definiranu na sustavu Ω čije vrijednosti Y (X ) su iznosi tog svojstva u stanjima X. U termodinamici često ne raspolažemo pravilom funkcije Y, već samo diferencijalom ω koji opisuje promjene funkcije Y, ali ne i njene apsolutne iznose. Medu svojstvima sustava neka su istaknuta i zovu se funkcije stanja: svojstva sustava čija promjena tokom bilo kojeg procesa ne ovisi o samom procesu, nego samo o početnom i konačnom stanju. Dakle: Y je funkcija stanja ako γ ω ne ovisi o γ, već samo o početnoj i krajnjoj točki od γ. Takve diferencijale ω nazivamo egzaktnim diferencijalima: termodinamička funkcija Y opisana diferencijalom ω je funkcija stanja točno ako je ω egzaktan.

Egzaktni diferencijali Egzaktni diferencijali Neka je F konzervativno vektorsko polje i ω F pridruženi diferencijal. Tada je F = f za neki potencijal f, odnosno F i = f x i za sve i, pa je b f ω F = (γ i (t))γ i (t) dt =... = f (B) f (A). x i γ a i Dakle, diferencijali pridruženi konzervativnim vektorskim poljima imaju traženo svojstvo. Definicija Diferencijal ω F zovemo egzaktnim (ili potpunim) ako je F konzervativno vektorsko polje, tj. to je diferencijal pridružen gradijentu f neke skalarne funkcije f te se označava s df. df = ω f = f x i dx i

Egzaktni diferencijali Primjer f (x, y, z) = e x y z 2 f (x, y, z) = (e x y z 2, e x y z 2, 2e x y z) f (0, 0, 1) = (1, 1, 2) df (x, y, z) = f (0, 0, 1) (x, y, z) = x y + z. Znamo: za odabrani vektor a R n je s f a (x) = a x definiran linearan funkcional na R n. Takoder znamo: ako je dana skalarna funkcija n varijabli, njen gradijent izračunat u nekoj točki njene domene je vektor u R n. Dakle: za svaku skalarnu funkciju f od n varijabli i svaki element X 0 iz njene domene je s X f (X 0 ) X definiran linearan funkcional na R n. Takav linearan funkcional zove se diferencijalom skalarne funkcije f u točki X 0 i označava se s df (X 0 ). Vidimo: diferencijal skalarne funkcije i egzaktan diferencijal su sinonimi.

Egzaktni diferencijali Teorem Za diferencijal ω ekvivalentne su tvrdnje: (i) Integral od ω ne ovisi o putu, tj. γ 1 ω = γ 2 ω za svake dvije krivulje γ 1 i γ 2 koje imaju zajedničke početke i zajedničke krajeve. (ii) γ ω = 0 za sve zatvorene krivulje. (iii) ω je egzaktan diferencijal. Napomena: Eulerov kriterij egzaktnosti Ako su sve F i glatke fukcije s otvorenom povezanom domenom, diferencijal ω = i F i dx i je egzaktan ako i samo ako je za sve i, j = 1,..., n. F i x j = F j x i

Egzaktni diferencijali Zadatak Ako je f konstantna funkcija na R n i X 0 proizvoljni element iz R n, što je df (X 0 )?

Egzaktni diferencijali Zadatak Ako je f konstantna funkcija na R n i X 0 proizvoljni element iz R n, što je df (X 0 )? df (X 0 )( X ) = ω F = (F 1,..., F n ) ( dx 1,..., dx n ) df = f ( dx 1,..., dx n ) n i=1 f x i (X 0 ) dx i ( X ) = n i=1 f x i (X 0 ) x i. Svaki član u gornjoj sumi je procjena promjene vrijednosti funkcije kad se samo jedna od varijabli malo promijeni u odnosu na vrijednost koju ima u X 0, pa stoga cijela suma procjenjuje ukupnu promjenu funkcije kad se svaka od tih varijabli malo promijeni. Primjer f : R R, f (x) = x 2 ; f x (c) = f (c) = 2c; df (c) = f x (c) dx = 2c dx;

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Neke primjene u kemijskoj termodinamici Uočimo: ako znamo pravilo, odnosno formulu za Y, uvijek je dy egzaktan jer je to po definiciji diferencijal odreden s Y. Funkcije stanja su sva svojstva koja su odrediva na tzv. apsolutnoj ljestvici. To su npr. volumen, tlak, temperatura, množina,... To u osnovi (sjetite se MNK!) znači da je takvim funkcijama načelno moguće odrediti pravilo. Primjer Ukoliko je dana jednadžba stanja plina, tlak p je moguće opisati kao funkciju n, T i V s konkretnom formulom i stoga odrediti i pripadni egzaktni diferencijal dp. Primjerice, za idealni plin je dp = RT V dn + nr V dt nrt V 2 dv. Za rad i toplinu poznato je da iznos promjene (tj. izvršeni rad odnosno razmijenjena toplina) ovisi o načinu na koji je ta promjena postignuta pa odgovarajući diferencijali nisu egzaktni. Usprkos tome, uobičajeno ih je označavati s dw i dq. Volumni rad je definiran diferencijalom p dv.

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Prvi i drugi glavni stavak termodinamike 1 Unutrašnja energija je funkcija stanja sustava jednoznačno (za infinitezimalne procese) odredena egzaktnim diferencijalom du = dw + dq. 2 Entropija je funkcija stanja sustava jednoznačno (za reverzibilne procese) odredena egzaktnim diferencijalom Primjer ds = dq T. Ukoliko je jedini mogući rad u nekom sustavu volumni te ako se odvija reverzibilni proces, za svako stanje X tog sustava (poistovjećeno s parom (V, S)) vrijedi du(x ) = dw(x ) + dq(x ) = p(x ) dv + T (X ) ds.

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Termodinamički potencijal za odredene termodinamičke uvjete je funkcija stanja a Φ takva da je dφ = 0 (ako je jedini mogući rad volumni). Za izobarno izotermne uvjete (p =const., T =const.) termodinamički potencijal je Gibbsova energija definirana kao G = U + pv TS : dg = d(u +pv TS) = dw + dq +p dv +V dp T ds S dt = = p dv + T ds + p dv T ds = 0. a Koja ima (lokalni) minimum u ravnotežnom stanju. Zadatak Raspišite diferencijal entalpije H = U + pv (uz pretpostavku da je jedini mogući rad volumni). Koje su varijable entalpije u tom kontekstu?

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je egzaktan diferencijal, dg = V dp S dt

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je dg = V dp S dt egzaktan diferencijal, dakle je oblika ( ) G dg = dp + p Slijedi: ( ) G p T T = V, ( ) G dt. T p ( ) G = S. T p Uvrštavanje posljednje jednakosti u definiciju G = H TS daje drugu Gibbs-Helmholtzovu relaciju

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Druga Gibbs-Helmholtzova relacija Kako je G = H TS funkcija stanja, slijedi da je dg = V dp S dt egzaktan diferencijal, dakle je oblika ( ) G dg = dp + p T ( ) G dt. T p Slijedi: ( ) ( ) G G = V, = S. p T T p Uvrštavanje posljednje jednakosti u definiciju G = H TS daje drugu Gibbs-Helmholtzovu relaciju G = H + T ( ) G T p odnosno ( ) G H = G T. T p

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Maxwellove formule Svaka od Maxwellovih formula dobiva se iz egzaktnosti jednog od diferencijalâ du, dh, da i dg. Primjerice, kako je dg = S dt + V dp, budući je dg egzaktan, mora zadovoljavati Eulerov uvjet egzaktnosti pa je ( ) ( ) S V =. p T T p To je jedna od Maxwellovih formula.

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Reakcijski gradijenti Ako je Y neko ekstenzivno svojstvo sustava, pripadni reakcijski gradijent je r Y = Y ξ, gdje je doseg ξ definiran sa dξ = 1 ν J dn J, a J bilo koji sastojak sustava. Osobito često se koristi reakcijski gradijent Gibbsove energije, zvan reakcijska Gibbsova energija. Imamo dakle r G = G ξ.

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?).

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?). Ako pak U smatramo funkcijom temperature, tlaka i množine, bit će

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Primjer Ako U smatramo funkcijom temperature, volumena i množine, vrijedi ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dv + dn T V,n V T,n n T,V (zašto?). Ako pak U smatramo funkcijom temperature, tlaka i množine, bit će ( ) ( ) ( ) U U U du = dt + dp + dn. T p,n p T,n n T,p Kolika je razlika izmedu relativnih promjena unutrašnje energije obzirom na promjenu temperature (iskazanih parcijalnim derivacijama U T ) u ova dva slučaja?

Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) U = T V,n ( ) U +?. T p,n

Neke primjene u kemijskoj termodinamici + ( U p ( ) ( ) U U = T V,n T ( ) ( ) ( ) U U T = T V,n T p,n T ) ( ) ( ) p U + T n T,n V,n +?. p,n T,p + V,n ( n T ), V,n

Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) ( ) U U = +?. T V,n T p,n ( ) ( ) ( ) U U T = + T V,n T p,n T V,n ( ) ( ) ( ) ( ) U p U n + + p T,n T V,n n T,p T ( ) ( ) ( ) ( ) U U U p = + T T p T V,n p,n T,n, V,n. V,n

Neke primjene u kemijskoj termodinamici ( ) ( ) U U = +?. T V,n T p,n ( ) ( ) ( ) U U T = + T V,n T p,n T V,n ( ) ( ) ( ) ( ) U p U n + + p T,n T V,n n T,p T ( ) ( ) ( ) ( ) U U U p = + T T p T V,n p,n T,n, V,n. V,n

Neke primjene u kemijskoj termodinamici Izohorni i izobarni toplinski kapacitet definirani su s ( ) ( ) ( ) q S q C V = = T, C p = T V,n T V,n T p,n = T ( ) S. T p,n Primjer U izotermnim okolnostima definirana je izotermna kompresibilnost (stlačivost) κ T = 1 ( ) V, V p T,n a u izoentropijskim uvjetima adijabatska kompresibilnost κ S = 1 ( ) V V p. S,n Vrijedi: Dokažite! C p C V = κ T κ S.

Neke primjene u kemijskoj termodinamici C p C V = ( S T ( S T Korištenjem Eulerovog cikličkog pravila u brojniku i u nazivniku dobije se da je prethodni kvocijent dalje jednak ( ) ( ) S p ( V ) ( ) ( ) S V p T S p p ( S V ) T,n T,n ( V T ) S,n S,n = ( V T ) T,n S,n ) ) p,n V,n ( T p ). T,n S,n = ( V p ) T,n S,n = κ T κ S. U zadnjem redu smo za dobivanje prve jednakosti koristili formulu, za dobivanje druge lančano pravilo, a za dobivanje y x = 1 x y zadnje smo razlomak proširili faktorom 1 V.