ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΜΑΡΤΙΟΥ 15 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α 1. α.λ, β.λ, γ.σ, δ.σ, ε.λ. α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το R. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f () = (e +1) e f () = e + 1 e =, R = ( e +1+ e ) e (e +1) e e e = e (e +1+ e e ) e = (e 1) e (e + 1) e f () = e = = = f () > e > e > > > f () < e < e > < < + f () + f Σ.Κ. = e +1, R e e = e (e 1 e + 1) e Είναι f() = e +1. Οπότε η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο A =, e +1 e e β) + f () + f O.E Η συνάρτηση f παρουσιάζει Ο.Ε. στη θέση = το f () = e +1 = e 1 >, άρα f () f () f () >, R. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο e e R. γ) Επειδή η f είναι συνεχής στο R αναζητούμε μόνο πλάγιες-οριζόντιες ασύμπτωτες. f() Είναι : lim = lim e +1 = lim 1 + 1 e e = +, γιατί e >,, R, οπότε, η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτη στο f() Είναι : lim = lim e +1 = lim 1 + 1 + + e + e = 1 άρα λ = 1. Και
(e lim [f() ] = lim [ +1) (e ] = lim +1) e = lim = + 1 + + e + e + e = lim =, + e DLH άρα β =, οπότε η συνάρτηση f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία (ε): y = + ΘΕΜΑ Β 1. Για > 1 ισχύει: f () ln + f() = f () ln + f() = f () ln + (ln) f() = > 1 ln f () + ln(ln) f() = ln f() = ln f() = c ln c R (1) για = e στην (1) έχουμε ln e f(e) = c 1 1 = c c = 1 Επομένως: ln f() = 1 ln f() = 1, > 1. ln. α) Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g() = f(), [1,]. H g είναι παραγωγίσιμη στο [1, ] ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων (άρα και συνεχής στο [1,] ) με g () = f () f(), [1,]. Είναι: g(1) = f(1) 1 = f(1) g() = f() = f(1) = f(1) Οπότε: g(1) = g(). Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (1,), τέτοιο ώστε: g (ξ) = ξ f (ξ) f(ξ) = ξ f (ξ) = f(ξ). ξ Θεωρούμε επίσης την συνάρτηση h με τύπο h() = f () f(), [1, ] h παραγωγίσιμη στο [1, ] ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων (f δυο φορές παραγωγίσιμη) με h () = f () + f () f () = f () > [1,] Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο [1,], οπότε και 1-1 επομένως θα έχει το πολύ μια ρίζα στο [1,] Έτσι το ξ, που προκύπτει από το Θ.Rolle είναι μοναδικό στο (1, ) β) Έστω (1, ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [1, ] άρα παραγωγίσιμη και στα [1, ], [, ] (οπότε και συνεχής) Από Θ.Μ.Τ. για την f στο [1, ] και [, ] υπάρχουν ξ 1 (1, ) και ξ (, ) τέτοια ώστε: f (ξ 1 ) = f() f(1) και f (ξ 1 ) = f() f(). Επειδή f () >, [1, ] η f ως συνεχής θα είναι γνησίως αύξουσα στο [1, ].
Οπότε για 1 < ξ 1 < ξ < f f (ξ 1 ) < f (ξ ) f() f(1) ΘΕΜΑ Γ 1 < f() f(). α) Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει και αρκεί e 1 > (e 1) >, ρίζα το (διπλή) + + e 1 + (e 1) + + Οπότε πεδίο ορισμού της f το Α = (, ) (, + ). Επομένως για είναι : + f( ) = + ln e 1 e 1 = ln 1 e = ln e 1 = f() = lne + ln e 1 = ln e β) lim f() = lim ln e 1 + + Θέτω ω = e 1, είναι lim ω = lim + Άρα lim f() = lim (lnω) = + + ω + lim f() = lim ln e 1 Θέτω ω = e 1, είναι lim Άρα lim ω = lim f() = lim(lnω) = ω limf() = lim ln e 1 Θέτω ω = e 1, είναι lim ω = lim e 1 + e 1 e 1 Άρα lim f() = lim ω 1 (lnω) = ln1 =. = DLH + + e = = lim = + + 1 DLH = lim (e 1) 1 = ( 1) = = lim e = 1 1 γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A με f () = ln e 1 = e 1 e 1 = e e 1 e 1 = e e +1 (e 1) Θεωρώ την συνάρτηση g() = e e + 1, R Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με g () = e + e e = e
Είναι: g () = e = = g () > e > > g () < e < < + g () + g O.E Άρα g() >, και (e 1) >,, άρα f () >,. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ), οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατα. δ) Πίνακας μεταβολών της f + f () + + f + Άρα f(a) = (, ) (, + ) ε) Από τον πίνακα μεταβολών της f φαίνεται ότι 1, με 1 < f( 1 ) < f( ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) (, + ). Επομένως είναι και 1-1 στ) Για να υπάρχει θα πρέπει για κάθε η εξίσωση f () = 1 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Είναι f () = 1 e e +1 = 1 e e + 1 = e (e 1) e 1 =, Θεωρώ συνάρτηση t() = e 1, R. t παραγωγίσιμη στο R με t () = e 1, R t () = e 1 = = t () > e 1 > > t () < e 1 < < + t () + t O.E Οπότε η μοναδική ρίζα της e 1 = είναι η =, η οποία απορρίπτεται γιατί. Άρα δεν υπάρχει εφαπτομένη της C f παράλληλη στην ευθεία y = + 1. ΘΕΜΑ Δ α) Είναι f() = e + + f(t)dt, R (1) Η συνάρτηση e + + είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Επίσης η συνάρτηση f είναι συνεχής άρα η συνάρτηση f(t)dt είναι παραγωγίσιμη ως αρχική συνεχούς. Επομένως το δεύτερο μέλος της σχέσης (1) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Οπότε : f () = e + 1 f(), R (). β) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () g () = e (f () 1) = e (f () 1) + e f () 1 = () [ ] e + e ( e + 1 f ()) 1 = e f () e + 1+ e e f () 1 = = e f () Άρα g() = c, c R., ΙR γ) Είναι g() = c e (f() 1) = c, R (3) Για = στην (3) έχω : e (f() 1) = c f() 1 = c. Για = στην (1) έχω: f() = 1 + = 1. Άρα c =, οπότε g() = e (f() 1) = e f() e = e f() = e + f() = 1 + e, R. δ) f παραγωγίσιμη στο R με f () = e e = e (1 ), R. f () = 1 = = 1 f () > 1 > < 1 f () < 1 < > 1 1 + f () + f O.E f(1) = 1 + e 1 Οπότε f() 1 + e 1, R lim f() = lim (1 + e ) = 1 + lim e + + + e = = 1 + ( )(+ ) = lim f() = lim (1 + + + e ) = 1 + lim 1 + lim = 1 + = 1, άρα σύνολο τιμών f(a) = (, 1 + e 1 ] (1, 1 + e 1 ] = (, 1 + e 1 + e DLH ]. 1 f ε) Για < 1 f () f () f () 1 >. Για 1 f () > 1 >. Άρα [, ] ισχύει ότι f() > Οπότε: E(Ω) = f() d = f()d = (1 + e )d = 1d + + e d = (e ) d = [e ] + e d = e [e ] =
= e e + 1 = 3 3e τ.μ. ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΒΑΒΟΥΡΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΕΣ SCIENCE PRESS