Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie rýdzoracionálnej (kde stupeň polynómu v čitateli je menší, ako polynómu v menovateli) resp. ako polynomická funkcia s rovnakým definičným oborom; ďalej teda stačí popísať postup, ako integrovať rýdzoracionálne funkcie na ich definičnom obore. Veta Nech f y = a n x n +... + a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N. Potom existuje (jednoznačný až na poradie činiteľov) rozklad f(x) = a n (x x ) α... (x x k ) α k (x 2 +p x+q ) β... (x 2 +p m x+q m ) βm pričom k, m N {0}, k 0 alebo m 0, x,..., x k R, p,..., p m, q,..., q m R, α,..., α k, β,..., β m N, α + + α k + 2β + + 2β m = n a naviac diskriminanty všetkých kvadratických členov tohto rozkladu sú záporné.
Tomáš Madaras 2009-20 Nájdenie rozkladu polynómu na súčin lineárnych resp. kvadratických členov nie je celkom ľahké, v praxi sa využívajú rozličné numerické metódy. Veta Nech f y = a n x n +... + a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N, pričom a 0, a,..., a n Z. Ak existuje x 0 Q také, že f(x 0 ) = 0, tak x 0 = p q kde p, q Z, p a 0, q a n. Pomocou tejto vety možno rozhodnúť, či polynóm s celočíselnými koeficientami má racionálny koreň tak, že vezmeme zoznam všetkých celočíselných deliteľov absolútneho člena a najvyššieho koeficientu, zostavíme z nich všetky príslušné zlomky a pre každý zlomok určíme, či je hodnota polynómu rovná nule.
Tomáš Madaras 2009-20 Na efektívny výpočet hodnôt polynómov v daných bodoch slúži algoritmus nazývaný Hornerova schéma. Princíp je nasledovný: pre polynóm a n x n +... + a x + a 0 a daný bod z zostavíme tabuľku z a n a n a n 2... a a 0 a n V prvom kroku vynásobíme číslo a n v 2. riadku číslom z, k tomuto súčinu pripočítame a n a výsledok zapíšeme do prvého voľného poľa v 2. riadku: a n a n a n 2... a a 0 z a n z a n + a n Získanú hodnotu vynásobíme číslom z, k súčinu pripočítame a n 2 a výsledok znova zapíšeme do prvého voľného poľa v 2. riadku: a n a n a n 2... a a 0 z a n z a n + a n z (z a n + a n ) + a n 2
Tomáš Madaras 2009-20 Postup opakujeme: hodnotu v poslednom vyplnenom poli v 2. riadku vynásobíme číslom z a pripočítame koeficient polynómu, ktorý je v.riadku nad prvým nevyplneným poľom v 2. riadku; získanú hodnotu zapíšeme do prvého voľného poľa 2. riadku. Číslo pod absolútnym koeficientom a 0 je potom rovné hodnote polynómu v bode z. Lema Nech f y = a n x n +... + a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N a z R je číslo, pre ktoré f(z) = 0. Potom pre každé x R platí f(x) = (x z)(a n x n + b n 2 x n 2 + + b x + b 0 ) (t.j. f(x) je súčinom lineárneho člena a nejakého polynómu stupňa n )
Tomáš Madaras 2009-20 V prípade, že f(z) = 0, možno koeficienty a n, b n 2,..., b, b 0 získať z druhého riadku Hornerovej schémy: sú to postupne všetky čísla v druhom riadku zľava až po poslednú nulu. Príklad Nájdite rozklad polynómu x 5 4x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 6 na súčin ireducibilných činiteľov. Najvyšší koeficient polynómu je, teda potenciálne racionálne korene sú celé čísla delitele 6, čo sú, 2, 3, 6,, 2, 3, 6. Pre každé z nich určíme hodnotu polynómu pomocou Hornerovej schémy: 4 2 2 6 3 2 8 4 2 2 6 3 2 0 4 2 2 6 2 2 2 2 3 0 4 2 2 6 5 7 5 6 0
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad (pokr.) 4 2 2 6 2 6 4 26 53 00 4 2 2 6 3 7 23 67 202 600 4 2 2 6 6 2 4 86 57 308 4 2 2 6 6 0 62 370 222 3320 Z toho vidieť, že 2, 3 a sú korene daného polynómu, teda platí x 5 4x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 6 = (x 2)(x 3)(x + )(x 2 + lx + k) Roznásobením pravej strany a porovnaním koeficientov ľahko vidno, že l = 0 a k = ; daný polynóm teda možno rozložiť na súčin troch lineárnych a jedného kvadratického člena so záporným diskriminantom.
Tomáš Madaras 2009-20 Definícia Nech x 0 R, α N. Parciálne zlomky odpovedajúce výrazu (x x 0 ) α sú zlomky kde A, A 2,..., A α R. A A 2, x x 0 (x x 0 ) 2,..., A α (x x 0 ) α, Definícia Nech p, q R, β N, p 2 < 4q. Parciálne zlomky odpovedajúce výrazu (x 2 + px + q) β sú zlomky M x + N x 2 + px + q, M 2 x + N 2 (x 2 + px + q) 2,..., M β x + N β (x 2 + px + q) β, kde M,..., M β, N,..., N β R.
Tomáš Madaras 2009-20 Veta Každá rýdzoracionálna funkcia f s vyjadrením q(x) f(x) = a n (x x ) α... (x xk ) α k (x 2 +p x+q ) β... (x 2 +p m x+q m ) βm (kde q(x) je polynóm s menším stupňom ako polynóm v menovateli f(x)) sa dá vyjadriť (jednoznačne až na poradie) ako súčet parciálnych zlomkov odpovedajúcich všetkým činiteľom príslušného rozkladu.
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad Rozložte na parciálne zlomky funkciu f y = Platí x 3 + 6 x 2 (x 2 + 2x + 6). x 3 + 6 x 2 (x 2 + 2x + 6) = A x + B x 2 + Mx + N x 2 + 2x + 6 x 3 + 6 = Ax(x 2 + 2x + 6) + B(x 2 + 2x + 6) + (Mx + N)x 2 x 3 + 6 = (A + M)x 3 + (2A + B + N)x 2 + (6A + 2B)x + 6B, z čoho A + M =, 2A + B + N = 0, 6A + 2B = 0, 6B = 6. Potom B =, A = 3, M = 4 3, N = 3. Teda rozklad je f(x) = 3 x + 4 x 2 + 3 x 3 x 2 + 2x + 6.
Tomáš Madaras 2009-20 Ďalej ukážeme, ako integrovať rozličné typy parciálnych zlomkov. A dx = A ln x x 0 + C x x 0 A (x x 0 ) n dx = A + C pre n N, n > : ( n)(x x 0 ) n vezmime substitúciu x x 0 = t. Potom z vety o substitúcii = A A (x x 0 ) n dx = A t n dt = A t n dt = t n+ n + + C = A ( n)(x x 0 ) n + C.
Tomáš Madaras 2009-20 Pri integrovaní parciálnych zlomkov odpovedajúcich výrazu (x 2 + px + q) β, p, q R, β N, p 2 < 4q, urobíme najprv substitúciu x + p 2 = t. Potom (x + p 2 ) = a x 2 + px + q = (x + p 2 ) 2 Výraz Potom 4q p2 4 p2 4 + q = (x + p 2 2 ) 4q p2 + = t 2 + 4 4q p2. 4 je kladný; pre zjednodušenie písania ho označíme a 2. Mx + N (x 2 + px + q) β dx = M (t p 2 ) + N (t 2 + a 2 ) β dt = Teda treba už len odvodiť vzorce pre výpočet integrálov Mt + (N Mp 2 ) (t 2 + a 2 ) β dt. t 2 + a 2 dt, t t 2 + a 2 dt, t (t 2 + a 2 dt pre β >, ) β (t 2 + a 2 ) β dt pre β >.
Tomáš Madaras 2009-20 t 2 + a 2 dt = a arctg t a + C: platí t 2 + a 2 = a 2 ( + ( t a ) 2). Položme z = t a, z čoho dt = a dz. Podľa vety o substitúcii máme t 2 + a 2 dt = a 2 ( + z 2 ) a dz = a + z 2 dz = = a arctg z + C = a arctg t a + C. t t 2 + a 2 dt = 2 ln(t2 + a 2 ) + C: platí t t 2 + a 2 dt = 2 2t t 2 + a 2 dt = 2 (t2 + a 2 ) t 2 + a 2 dt = 2 ln(t2 + a 2 ) + C.
Tomáš Madaras 2009-20 t (t 2 + a 2 ) β dt = 2( β)(t 2 + a 2 + C pre β > : ) β vezmime substitúciu t 2 + a 2 = z = ϕ(t). Potom ϕ (t) = 2t, z čoho t (t 2 + a 2 ) β dt = 2 (t 2 + a 2 ) β 2t dt = 2 z β dz = = 2 z β dz = 2 z β+ β + + C = 2( β)z β + C = = 2( β)(t 2 + a 2 ) β + C. Pre prirodzené číslo β > označme I β = (t 2 + a 2 ) β dt. Uvedieme a dokážeme tzv. rekurentný vzťah pre výpočet I β, t.j. vyjadrenie I β pomocou integrálu I β. Keďže I poznáme podľa vyššie odvodeného vzorca, využitím takéhoto vyjadrenia môžeme I 2 vyjadriť pomocou I ; I 3 vyjadriť pomocou I 2, čo zasa vyjadríme pomocou I, teda napokon I 3 pomocou I ; atď.
Tomáš Madaras 2009-20 I β = t 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) β + 2β 3 2a 2 (β ) I β : I β = (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 a 2 (a2 + t 2 ) t 2 (a 2 + t 2 ) β dt = a 2 a 2 t 2 a 2 (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 + t 2 (a 2 + t 2 ) β dt (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 I β t a 2 (t 2 + a 2 ) β t dt. Na druhý integrál použijeme metódu per partes položením u t = (t 2 + a 2, v = t. Podľa vyššie odvodeného vzorca ) β t pre (t 2 + a 2 ) β je u = 2( β)(t 2 + a 2 ) β, v =, z čoho
Tomáš Madaras 2009-20 I β = a 2 I β a 2 [ 2( β)(t 2 + a 2 ) β t = a I t 2 β 2a 2 ( β)(t 2 + a 2 ) + β 2a 2 ( β) I β = t 2(β ) = + 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) β 2a 2 (β ) I β = t = 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) + 2β 3 β 2a 2 (β ) I β. dt] = 2( β)(t 2 + a 2 ) β
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad Vypočítajte x5 + x 4 8 x 3 4x dx. Keďže racionálna funkcia za znakom integrálu nie je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je väčší ako stupeň polynómu v menovateli), polynóm v čitateli treba vydeliť polynómom v menovateli: x 5 + x 4 8 x 3 4x = x 2 + x + 4 (x 5 4x 3 ) x 4 + 4x 3 8 (x 4 4x 2 ) 4x 3 + 4x 2 8 (4x 3 6x) 4x 2 + 6x 8
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad (pokr.) Teda x5 + x 4 8 x 3 4x dx = (x 2 + x + 4 + 4x2 + 6x 8 x 3 ) dx = 4x x 2 dx + x dx + 4 dx + 4 x2 + 4x 2 x(x 2 4) dx = x 3 3 + x2 2 + 4x + 4 x 2 + 4x 2 x(x 2)(x + 2) dx; Výpočet x 2 + 4x 2 dx rozklad na parciálne zlomky: x(x 2)(x + 2) x 2 + 4x 2 x(x 2)(x + 2) = A x + B x + 2 + C x 2 x 2 + 4x 2 = A(x 2 4) + Bx(x 2) + Cx(x + 2)
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad (pokr.) x 2 + 4x 2 = Ax 2 4A + Bx 2 2Bx + Cx 2 + 2Cx x 2 + 4x 2 = (A + B + C)x 2 + ( 2B + 2C)x 4A Porovnanie koeficientov na ľavej a pravej strane: A + B + C = 2B + 2C = 4 4A = 2 A = 2 B + C = 2 B + C = 2 2C = 5 2 C = 5 4, B = 3 4
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad (pokr.) Teda x2 5 3 + 4x 2 x 3 4x dx = 2 ( x + 4 x 2 4 x + 2 ) dx = 2 x dx + 5 4 x 2 dx 3 4 x + 2 dx = 2 ln x + 5 4 ln x 2 3 4 ln x + 2 + C Celkove je teda integrál rovný x 3 3 + x2 + 4x + 2 ln x + 5 ln x 2 3 ln x + 2 + C = 2 x 3 3 + x2 2 + 4x + ln x2 (x 2) 5 (x + 2) 3 + C
Integrovanie trigonometrických funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Najprv ukážeme univerzálny postup, ako sa dá integrovať funkcia, ktorá vznikne z konštánt a z funkcií sin x, cos x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Použijeme pritom substitúciu tg x 2 = t. Platí x = 2 arctg t, dx = 2 dt. Ďalej, + t2 sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 sin x 2 cos x 2 sin 2 x 2 + cos2 x 2 = 2 tg x 2 tg 2 x 2 + = 2t + t 2, cos x = cos2 x 2 sin2 x 2 = cos2 x 2 sin2 x 2 sin 2 x 2 + cos2 x 2 Po dosadení dostaneme integrál z racionálnej funkcie. = tg2 x 2 tg 2 x 2 + = t2 + t 2.
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad sin x dx. Použijeme substitúciu t = tg x 2. Potom Vypočítajte sin x dx = Príklad Vypočítajte 2t +t 2 2 + t 2 dt = t dt = ln t +C = ln tg x 2 + C. dx cos x (sin x + cos x). Pri t = tg x 2 je dx cos x (sin x + cos x) = 2 + t 2 ( t 2 )( t 2 + 2t + ) dt = t 2 ( 2t +t 2 + t 2 + t2 + t 2 ) 2( + t 2 ) 2 + t 2 dt = (t )(t + )(t 2 2t ) dt.
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad (pokr.) Kvadratický výraz t 2 2t síce nemá záporný diskriminant (v skutočnosti t 2 2t = (t 2)(t + 2)), platí však rovnosť (pre tie t, pre ktoré sú uvedené výrazy definované) Preto 2( + t 2 ) (t )(t + )(t 2 2t ) = t t + + 2t 2 t 2 2t 2( + t 2 ) (t )(t + )(t 2 2t ) dt = ( t t + + 2t 2 t 2 2t ) dt = t dt (t2 2t ) t 2 2t t + dt + 2t 2 t 2 dt = ln t ln t + + 2t dt = ln t ln t + + ln t2 2t + C
Tomáš Madaras 2009-20 V niektorých úlohach uvedeného typu síce substitúcia t = tg x 2 prevedie daný integrál na integrál z racionálnej funkcie, ale táto funkcia je dosť komplikovaná a výpočet zdĺhavý. Uvedieme niekoľko príkladov, kedy môžeme použitím inej substitúcie počítať jednoduchšie. Príklad sin x cos x Vypočítajte + sin 2 x dx. Vezmime substitúciu sin x = t. Potom cos x dx = dt a integrál je rovný t t 2 + dt = 2 ln(t2 + ) + C = 2 ln( + sin2 x) + C.
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad Vypočítajte (sin x + cos x) 2 dx. Po úprave (sin x + cos x) 2 dx = ( sin x cos x + )2 cos 2 x dx. Položme tg x = t. Potom cos 2 dx = dt a integrál je rovný x (t + ) 2 dt = t + + C = + tg x + C.
Tomáš Madaras 2009-20 Uvedieme ďalej niekoľko metód, ako počítať sin n x cos m x dx, n, m N {0}. Ak m je nepárne, tak vezmeme substitúciu sin x = t, z čoho cos x dx = dt, teda sin n x cos m x dx = sin n x(cos 2 x) m 2 cos x dx = sin n x ( sin 2 x) m 2 cos x dx = t n ( t 2 ) m 2 dt; pôvodný integrál teda vieme previesť na integrál z polynomickej funkcie. Ak n je nepárne, tak po substitúcii cos x = t (a použití vzťahu sin n x = (sin 2 x) n 2 sin x) podobným spôsobom zasa dostaneme integrál z polynomickej funkcie.
Tomáš Madaras 2009-20 Nech m = 0. Označme pre n N {0}, I n = sin n x dx. Platí I 0 = x + C, I = sin x dx = cos x + C. Odvodíme rekurentný vzorec, pri ktorom pre n 2 integrál I n vyjadríme pomocou I n 2. Máme I n = sin n x dx = sin x sin n x dx, čo pri použití metódy per partes, keď u = sin x, v = sin n x (teda u = cos x, v = (n ) sin n 2 x cos x), je rovné I n = cos x sin n x + (n ) ( sin 2 x) sin n 2 x dx = cos x sin n x + (n ) sin n 2 x dx (n ) sin n x dx = cos x sin n x + (n )I n 2 (n )I n. Ak na obe strany pripočítame (n )I n a potom vydelíme n, dostaneme ni n = cos x sin n x + (n )I n 2 I n = n cos x sinn x + n n I n 2.
Tomáš Madaras 2009-20 Podobným spôsobom možno odvodiť vzťah cos m x dx = m sin x cosm x + n n cos m 2 x dx. Ak n, m sú párne, tak cos m x = (cos 2 x) m 2 = ( sin 2 x) m 2 a sin n x cos m x dx = sin n x ( sin 2 x) m 2 dx. Tento integrál sa dá vypočítať využitím predtým uvedeného rekurentného vzťahu, keď sa najprv funkcia umocní a roznásobí.
Tomáš Madaras 2009-20 Príklad Vypočítajte sin 2 x cos 4 x dx. Upravíme a budeme viackrát využívať rekurentný vzťah: sin 2 x cos 4 x dx = sin 2 x ( sin 2 x) 2 dx = sin 2 x ( 2 sin 2 x + sin 4 x) dx = sin 2 x dx 2 sin 4 x dx + sin 6 x dx = I 6 2I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x + 5 6 I 4 2I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x 7 6 I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x 7 6 ( 4 cos x sin3 x + 3 5 I 2) + I 2 = 6 cos x sin5 x + 7 24 cos x sin3 x + 3 0 I 2 = 6 cos x sin5 x + 7 24 cos x sin3 x + 3 6 cos x sin5 x + 7 24 cos x sin3 x 3 20 0 ( 2 cos x sin x + 2 I 0) = 3 cos x sin x + 20 x + C.
Tomáš Madaras 2009-20 Integrovanie niektorých iracionálnych funkcií Uvedieme spôsoby výpočtu niektorých štandardných integrálov obsahujúcich odmocniny: x 2 + c dx = ln x + x 2 + c + C pre c R {0} a x R také, že x 2 + c > 0: z c 0 máme x + x 2 + c 0. V prípade, že x + x 2 + c > 0 máme x + x 2 + c = x + x 2 + c, (ln x + x 2 + c ) = (ln(x + x 2 + c)) = x + x 2 + c ( + 2 (x2 + c) 2 2x) = x + x 2 + c ( + x x 2 + c ) = x x + x 2 + c 2 + c + x = x 2 + c x 2 + c.
Tomáš Madaras 2009-20 Ak x + x 2 + c < 0, tak x + x 2 + c = x x 2 + c, (ln x + x 2 + c ) = (ln( x x 2 + c)) = x x 2 + c ( 2 (x2 + c) 2 2x) = x + x 2 + c ( + x x 2 + c ) = x 2 + c. a 2 x dx = arcsin x + C pre a R {0} a x R 2 a také, že a 2 x 2 > 0: substitúciou t = x a máme dt = a dx; teda a 2 x 2 dx = a dx = ( xa )2 ( xa )2 a dx = t 2 dt = arcsin t + C = arcsin x a + C.
Tomáš Madaras 2009-20 x x 2 + c dx = x 2 + c + C pre x R také, že x 2 + c > 0: použijeme substitúciu x 2 + c = t 2. Potom 2x dx = 2t dt, x x dx = t dt, teda x 2 + c dx = t t dt = dt = t + C = x 2 + c + C. x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + C pre x R také, že a 2 x 2 > 0: položme a 2 x 2 = t 2. Potom 2x dx = 2t dt, x dx = t dt, x z čoho a 2 x dx = 2 ( t) dt = t dt = t + C = a 2 x 2 + C.
Tomáš Madaras 2009-20 x 2 + c dx = x x 2 + c + c 2 2 ln x + x 2 + c + C pre x R také, že x 2 + c > 0: x 2 + c dx = x2 + c x 2 + c dx = x 2 x 2 + c dx+ c dx. Druhý integrál je rovný x 2 + c c ln x + x 2 + c podľa už odvodeného vzťahu. Na prvý integrál použijeme metódu per partes: u x = x 2 + c, v = x, u = x 2 + c, v =, teda je rovný x x 2 + c x 2 + c dx. Dostali sme x 2 + c dx = x x 2 + c x 2 + c dx + c ln x + x 2 + c. Po prenesení x 2 + c dx na ľavú stranu a delení dvoma máme x 2 + c dx = x 2 x 2 + c + c 2 ln x + x 2 + c + C.
Tomáš Madaras 2009-20 a 2 x 2 dx = x a 2 x 2 + a2 2 2 arcsin x a + C pre x R také, že a 2 x 2 > 0: platí a 2 x 2 dx = a2 x 2 a 2 x 2 dx = a2 a 2 x 2 dx x 2 a 2 x 2 dx = a2 arcsin x a Metódou per partes pri u = x a 2 x 2 x dx. x a 2 x 2, v = x máme podľa už dokázaného u = a 2 x 2, v =, teda a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x a + x a 2 x 2 a 2 x 2 dx, čo je rovné (po prenesení integrálu na ľavú stranu rovnice rovnice a vydelení 2) a2 2 arcsin x a + x a 2 x 2 + C. 2