Ιουνίου 08 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. α) Ψευδής β), 0 f, 0 Βλέπε σχήμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Στο,0 f είναι γνησίως αύξουσα, άρα - Στο 0, f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα - Αν,0, 0, τότε 0, 0, άρα f 0, f 0, οπότε f f Άρα η f είναι - στο,0 0, Όμως η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο αφου είναι γνησίως αύξουσα στο,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό
ΘΕΜΑ Β f, 0 B. f παραγωγίσιμη στο - 0 ως ρητή, με: 8 8 f f 0 8 0 8 8 f 0 0 8 0 8 f - - + - + + + - + f f συνεχής στο, f στο, f 0 στο, f συνεχής στο,0 f στο, 0 f 0 στο,0-0 f συνεχής στο 0, f στο0, f 0 στο 0, f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο o, f Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08
B. f παραγωγίσιμη στο 0, ρητή με: 8 f 8 0 για κάθε 0,f συνεχής στο 0 ά η f είναι κοίλη στο,0 και στο 0, και δεν έχει σημείο καμπής. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 Β. Για κατακόρυφη ασύμπτωτη στο o = 0 lim 0 0 lim f lim 0 0 lim 0 ί και lim f 0 Άρα η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 0, δηλαδή τον άξονα yy. Για πλάγια/οριζόντια στο και στο lim lim lim lim f lim 0 lim f lim lim 0 β f ί : lim και lim f 0 Άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη και στο και στο + την ευθεία: y Β. f - - - - y f 7 9 - -5 -
Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08
Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 ΘΕΜΑ Γ Γ. φού με το σχήμα μήκους m φτιάχνω τετράγωνο, η πλευρά του είναι m και το εμβαδόν του είναι Ε m 6 To σύρμα έχει μήκος 8 m άρα με σύρμα μήκους 8 m φτιάχνω τον κύκλο, άρα 8 μήκος κύκλου πr 8 r m π 8 8 8 Ο κύκλος έχει εμβαδόν Ε π r π π m π π π 0 0 Πρέπει: 0 8 8 0 8 To άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: 8 π 8 π 6 6 Ε Ε Ε 6 π 6π 6π π 6 6 π 6 56, 0,8 6π 6π 5
Γ. π 6 56 Ε, 0,8 6π Ε π 6 56 π 6 π 6π 6π 8π Ε 0 π 0 π 8π π Δηλαδή Ε 0,8 και Ε 0 0, π π Άρα η Ε() παρουσιάζει ελάχιστο όταν π 8 8 8 π 8π 8 Επειδή r r διάμετρος π π π π π π 8 πλευρά του τετραγώνου είναι: π π, r Άρα το Ε ελαχιστοποιείται όταν η διάμετρος r ισούται με την πλευρά του τετραγώνου Γ. Αρκεί να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδικό 0,8 με E 0 - + E 8 o o 5 Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβολών για την Ε έχουμε: Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π Ε m ελάχιστο π m Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 6
π 6 56 6 lim Ε lim 5 0 0 6π π 6 άρα το σύνολο τιμών Ε m, π Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 () γνησίως αύξουσα στο Δ,8 π π 6 56 π 6 68 56 lim Ε lim 8 8 6π 6π 6π 6 86 56 6π άρα το σύνολο τιμών Ε m, Επειδή 5 m,,δεν υπάρχει τέτοιο ώστε 5 o o 6 6 πειδή 5, το 5 m,, η Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π π π άρα, οπότε υπάρχει μοναδικός αριθμός ο 0, 0,8 π τέτοιο ώστε Ε 5 ΘΕΜΑ Δ Δ. f() e α ο f παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων με: α α f () e ( α) (e ) α f παραγωγίσιμη στο με f () (e ) e : α α o f () 0 e e e α 0 α e α α o f () 0 e e e α 0 α Αφού η f έχει μοναδική ρίζα το o α και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτής η C f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το Α(α,f(α)) (α, α ) με α 7
Δ. α f () (e ),α α f () 0 e 0 f () 0 στο (α,+ ) f f συνεχής στο α,+ στο α,+ f () 0 στο (,α) f f συνεχής στο,α στο,α f : συνεχής = f ([α,+ )) f α, lim f' α, f Διότι: ο f(α) (e α) ( α) 0,αφού α e α α lim f () lim e lim e διότι: α lim e α lim, lim e α lim e α D.L.H. lim 0 α e f : συνεχής Δ f,α f α, lim f α, f e lim e 0 lim e α α lim f () lim e lim Αφού f α α 0 για α, έχω Ο Δ και Ο Δ και f στο α,+ και f στο,α, άρα η εξίσωση f 0 έχει ακριβώς ρίζα, α και ακριβώς ρίζα α,+ με α Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 8
Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08,α, f ( ) 0, f στο,α f Για f () f ( ) f () 0 f Για α f () 0 άρα η f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο α,+, f ( ) 0, f στο α,+ f Για α f () f ( ) f () 0 f Για f () 0 άρα η f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ελάχιστο στο Δ. Στο Δ έδειξα: f 0 στο, και στο, και f 0 στο, Επιπλέον f συνεχής στο, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και. α α f e 0 αφού α α 0 e, δηλ.,. Οπότε α f - δηλ. α, οπότε για κάθε α,, f f οπότε η εξίσωση f f είναι AΔΥΝΑΤH στο α, 9
Δ. ια α : f e, Από Δ στο, f κυρτή, άρα κάθε εφαπτομένη της βρίσκεται κάτω απο τη C, f με εξαίρεση το σημείο επαφής. Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ,f είναι: ε : y f f f κα y y y Οπότε θα ισχύει: 0 ι f f για κάθε και το "=" θα ισχύει μόνο για f, άρα: f d d θέτω: u u u d = du d du d u 0 u u du u du u du u u u 0 0 0 5 5 u u u u 5 5 5 5 0 0 Άρα f d 5 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Ιουνίου 08 0