Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } : X( ) xt e dt () = = Εξαρτάται μόνο από τις τιμές του σήματος xt για t Περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού LAPLACE σt Έστω Λ= : { σ : xt e dt<} Αν Λ= το σήμα ( ) xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE Αν Λ, έστω σ mi το ελάχιστο στοιχείο του Λ Το σύνολο μιγαδικών αριθμών σmi < σ σ Λ mi Q: = {, Re > σ } ονομάζεται περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού LAPLACE και για κάθε Q το ολοκλήρωμα () υπάρχει. ω
Παράδειγμα Έστω x( t) u( t) = η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. U = u t e dt= e dt= e t= t= () e = lim T e T Για = σ+ jω ( σ jω) T + σt jωt e = lim e = lim e e (3) T Το όριο στην (3) υπάρχει ανν T ( ) σ > Re > και τότε είναι σt jωt lim e e = T Τότε η () δίνει U e = = Επίσης έχουμε ότι σt σ > ute dt< και άρα η περιοχή σύγκλισης του U( ) είναι το σύνολο (το ανοικτό θετικό ημιεπίπεδο) Q: = {, Re > }
Παράδειγμα Έστω x( t) δ( t) = η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. X t e dt δ = Το κάτω όριο διότι η δ t δεν ορίζεται για t = Εφόσον t δ( t) και άρα Εφόσον = η περιοχή σύγκλισης του t ( t) e = ( t) e = ( t) δ δ δ δ X = t dt= σt : δ t e dt e σ = = X είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο.
bt Παράδειγμα Έστω xt ( ) e ut ( ) = όπου b Ο μετασχηματισμός Laplace X() είναι: e bt t ( + b) t ( b) t + t= ] t= X = e e dt= e dt= e + b ( + b ) ( + b ) T = lim e T Για = σ+ jω ( b) ( σ b) T + + jωt e lim e e = (4) T Το όριο (4) υπάρχει ανν σ + b > και τότε ( σ bt ) + jωt lim e e = T bt και άρα ο μετασχηματισμός Laplace X( ) του x( t) e u( t) X = + b H περιοχή σύγκλισης του X είναι το σύνολο Q: = {, Re > b} = είναι:
Γραμμικότητα ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE Αν x t X, y t Y τότε ( ) a, b : ax t + by t ax + by Παράδειγμα at ut και e ut + a Δεξιά μετάθεση Αν x t X at + a ut + e ut + = + a + a τότε για κάθε t > ( ) t ( ) ( ) ( ) x t t u t t e X Παράδειγμα Έστω ο τετραγωνικός παλμός t ec: pt t t = t< t> t ( ) = ( ) ( ) pt ut ut t t e ut ut ( t) e = t
Δεν υπάρχει ανάλογο αποτέλεσμα για την αριστερή μετάθεση ( ) xt+ t, t> του σήματος x t. Διότι ο μετασχηματισμός Laplace του x( t+ t ): ( + ) xt t e dt δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί μέσω του X x t Χρονική κλιμάκωση x t X Αν ( ) xat X a a Παράδειγμα Αν ut η μοναδιαία βηματική συνάρτηση, τότε u( at) = a/ a (το περιμένουμε, εφόσον για κάθε a, u( at) u( t) Πολλαπλασιασμός με δύναμη του t x t X τότε για κάθε ακέραιο Αν Απόδειξη (για = ) Παραγωγίζοντας την txt > = ) d d ( ) X X x t e dt = d d X xt e dt txte dt txt d d = = ( ) = μετασχηματισμoς Laplace του
Παράδειγμα Έστω το σήμα «ράμπα» rt = tut d d rt R U d d ( ) = = = Γενικεύοντας έχουμε tut! + Παράδειγμα vt= te b bt Έστω το σήμα, Από την παίρνουμε txt V( ) vt bt e + b d d ( ) X d = = d + b + b ( ) Γενίκευση bt te! + + ( b) Πολλαπλασιασμός με Για κάθε a Απόδειξη at e ( ) ( ) at e x t X a at ( a) e x t e dt= x t e dt= X a t ( )
Παράδειγμα Έστω το σήμα ( ) ( ) ( ) at vt= ut ut t e, t >, a α= - Έχουμε δει ότι Βάσει της έχουμε ότι t e ut ut ( t) t ( ) ( ) at e x t X a t ( ) ( ) t a at e a vt= ut ut t e = V
Πολλαπλασιασμός επί i( ω t) ή co( ω t) j xt t X j X j i ω ( + ω) ( ω) xt t X j X j co ω ( + ω) + ( ω) Απόδειξη Από τον τύπο του Euler: j jωt i ωt= e e jωt Βάσει της έχουμε ( ) ( ) at e x t X a ( ± ω) jωt e x t X j j jωt jωt j jωt jωt xt i ωt= e e xt = e xt e xt j X j X j ( + ω) ( ω) Παράδειγμα Έστω vt ( ) = co ωt Εφόσον ο μετασχηματισμός Laplace του vtεξαρτάται μόνο από τιμές του t, γράφουμε vt= co ωtut Είναι ut ( ) ( ) ( )
Κάνοντας χρήση της με x( t) = u( t), παίρνουμε ( ) = ( co ωtut ) ( ) vt x t t X j X j co ω ( + ω) + ( ω) jω+ + jω + = = = V + jω jω + ω + ω co ωt +ω Ομοίως μπορούμε να αποδείξουμε ότι ω i ωt +ω Παράδειγμα bt vt= e co ωt Έστω ( ) Από την και την ( ) ( ) at e x t X a co ωt +ω αντικαθιστώντας το έχουμε απο το + b e bt co ωt b + + + ( ) b ω
Συνέλιξη Έστω xt, vt, xt=, vt=, για t< Συνέλιξη των x( t), v( t ) Εφόσον vt = για t< Θα δείξουμε ότι Απόδειξη t ( )( ) ( ) ( ) x y t = x τ v t τ dτ, t ( )( ) ( ) ( ) x v t = x τ v t τ dτ, t ( x v)( t) X( ) V( ) τ τ τ τ τ τ t x v t x v t d e dt x v t e dt d ( )( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Αν t = t τ t x( τ) v( t τ) e dt dτ ( t ( + τ) ) = x( τ) v( t ) e dt dτ τ ( t ( + τ) ) = x( τ) v( t ) e dt dτ, εφοσον v( t ) =, για t < τ = x( τ) e dτ v( t ) e dt = X V
Διαφόριση ως προς τον χρόνο t Αν x t X ( ) ( ) ( ) xt X x = t t ( ) L x t = x t e dt = x t e x t e ' dt = d x t t= = lim t x t e x x t e dt= X x dt Γενικα d x t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X x x x x Θεώρημα Αρχικής Τιμής lim t f ( t) = lim F( ) Θεώρημα Τελικής Τιμής (αν υπάρχει το όριο lim t f ( t) lim f ( t) = lim F( ) t )
Περιγραφή συστημάτων μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Έστω το αιτιατό, γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα (με μηδενικές αρχικές συνθήκες) τότε yt = ( Fx) t = ( ) = ( τ) y t h x t h t x t dτ όπου htη κρουστική απόκριση του συστήματος. Αν xt ( ) =, για t< t yt = ( h x) t= htxt ( τ) dτ, t> (5) Θεωρώντας τον μετασχηματισμό Laplace της (5) και κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού Laplace της συνέλιξης, έχουμε ( ) = H( ) X( ) Y ( ),, ( ) yt Y ht H xt Y ( ) Y H = X
Παράδειγμα Έστω ότι η είσοδος x( t) = e t u( t) εφαρμόζεται σε ένα γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα και η έξοδος είναι Είναι Y και X H ( ) yt= e + e t t 3 + = + + + + = + ( ) 4 t t 3 co ω, 3 + + Y + ( + ) + 4 ( + ) ( + )( + ) + + 6 = = = 3+ = 3 X ( + ) + 4 + 4 + 8 + Υπολογισμός της εξόδου yt=αντίστροφος ( ) μετασχηματισμός Laplace του H ( ) X( )