ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 18 ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΘΕΜΑ Α Α1. Πότε η ευθεία : λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; Α. Έστω συνάρτηση :. Πότε η ευθεία : y λέγεται ασύμπτωτη της C στο. Α3. Έστω συνάρτηση : και. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να δώσετε τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας της C στο σημείο M,. Α4. Έστω συνάρτηση : και,. Πότε η λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο,. Α5. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Α6. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του. Πότε το P, λέγεται σημείο καμπής της C ; ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ Α7. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν lim τότε lim ή lim». Α8. Θεωρήστε τον ισχυρισμό:, «Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση : A με για κάθε A ισχύει ότι η είναι σταθερή στο A». Α9. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη στο και υπάρχει τέτοιο ώστε ακρότατο στο». τότε η παρουσιάζει ΤΕΛΟΣ ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ης ΣΕΛΙΔΑΣ Α1. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και η είναι κυρτή τότε ισχύει ότι:, για κάθε». ΘΕΜΑ Β Β1. Αν οι συναρτήσεις,g έχουν πεδίο ορισμού το και είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο και ισχύει:. g g g είναι Β. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για κάθε εσωτερικό σημείο του ισχύει είναι σταθερή στο διάστημα., τότε η Β3. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής. α. Αν, ά,, ά, ΤΕΛΟΣ 3ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ης ΣΕΛΙΔΑΣ τότε η στη θέση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με. β. Αν η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,, τότε: i. το δεν είναι τοπικό ακρότατο και ii. η είναι γνησίως μονότονη στο, Β4. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα. Αν η F είναι μια παράγουσα της στο τότε: α. Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G :G F c, c σ.π.α. είναι παράγουσες της στο. β. Κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη μορφή G :G F c, c σ.π.α. ΘΕΜΑ Γ : 3 Γ1. Έστω συνάρτηση,. α. Να ορίσετε την παράγωγο συνάρτηση της. β. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. 1 γ. Να βρείτε το I d. 1 Γ. Δίνεται η συνάρτηση :,, ως προς τη μονοτονία.. Να μελετήσετε την Γ3. Δίνεται η συνάρτηση : ln 1,, ΤΕΛΟΣ 4ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ όπου σταθερός πραγματικός. α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία για τις διάφορες τιμές του. β. Για ποιές τιμές του η παρουσιάζει ολικό ακρότατο και να βρεθεί το είδος του ακρότατου.
ΑΡΧΗ 5ης ΣΕΛΙΔΑΣ Γ4. Έστω συνάρτηση : η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν τα σημεία A 1, 1 και B, με 1 είναι σημεία καμπής της C και για κάθε \, τότε να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες ευθείες της καμπής, τέμνονται. 1 C στα σημεία ΘΕΜΑ Δ Δ1. α. Έστω συνεχής συνάρτηση : και, με. Αν d τότε να δείξετε ότι, για κάθε,7 β. Έστω συνάρτηση g: γνήσια αύξουσα με g 5. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση h : 7, με h 3 η οποία έχει συνεχή παράγωγο στο 7,. Αν 7 1 g h e d 5 να βρείτε τη συνάρτηση h. e Δ. Δίνονται οι συναρτήσεις: : e, g : g ln,,. και Θεωρούμε τα σημεία A, και B,g με, Αν του, τότε:. h είναι το μήκος του τμήματος AB για τις διάφορες τιμές 1 α. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, 1 h. τέτοιο ώστε: β. Να αποδείξετε ότι στο σημείο του (α) ερωτήματος η απόσταση AB παίρνει τη μικρότερη τιμή η οποία δίνεται 1 από σχέση h. γ. Να αποδείξετε ότι: h, για κάθε, e ln d 1. 1 και ΤΕΛΟΣ 5ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 6ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Ε Αν ένα μαθητής/τρια θέλει μπορεί αντί κάποιου ερωτήματος από τα Δ1, Δ να γράψει όποιο θέμα θέλει από τα Ε1, Ε, Ε3, Ε4, Ε5 Ε1. Έστω η συνάρτηση :,,. α. Να δείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. β. Να δείξετε ότι η παραγωγίζεται σε, με 1, για κάθε, :. : Ε. Η συνάρτηση στο και, και είναι παραγωγίσιμη : ln,. Ε3. Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα,. Αν G είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι: t dt G G. Ε4. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση : A η οποία είναι 1-1 ισχύει ότι η είναι γνήσια μονότονη στο A». ΤΕΛΟΣ 6ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 7ης ΣΕΛΙΔΑΣ Ε5. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Έστω δύο συναρτήσεις,g οι οποίες ορίζονται στο διάστημα. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο τότε η συνάρτηση h g δεν είναι παραγωγίσιμη στο». ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! ΤΕΛΟΣ 7ης ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ