ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Σάββατο Νοεμβρίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Μονάδες 7 A Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες 4 A Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; Μονάδες 4 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Για μια συνάρτηση f : A R ισχύει: f ( ) f ( ) με, A τότε β) Ισχύει ότι: συν γ) Αν f( ) και f( ) κοντά στο, τότε o o f ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
δ) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f, τότε ισχύει πάντοτε ότι f g g f ε) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f : R R και g : R R αν ( ) g τότε f ( ) g( ) f( ) και Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 7 5 Β Να αποδείξετε ότι η f είναι " " Β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) έχει μοναδική ρίζα στο (,) Β Αν είναι στο f( ), g ( ), να βρείτε το α R, ώστε η g ( ) να είναι συνεχής α α, f ( )ημ Β4 Να βρείτε το όριο 4 Β5 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε f (λ 5λ) f(λ 6) Μονάδες 6 Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Γ Έστω η συνάρτηση ( ) ln( f ) ln( ), (,) Γ Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
Γ Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f Μονάδες 6 Γ Αν g( ) f ( ),, να βρείτε τη μονοτονία της g ( ) και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση f ( ) f ( ) Γ4 Να βρείτε το όρια: Μονάδες 7 i) f( ) ii) f ( ) 6 ( ) f Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις R λ g( ) 95 ( 5), R και 4 4 4 5 h ( ), Δ Να αποδείξετε ότι η σύνθεση f g h ορίζεται για κάθε τιμή του R και έχει τύπο f ( ) ( g h)( ) 5 λ Δ Να υπολογίσετε το f( ) f ( ) Δ Για λ να υπολογίσετε το 4 4 Δ4 Για λ να υπολογίσετε το, για τις διάφορες τιμές του λ R Μονάδες 8 Μονάδες 6 ημ f ( ) Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Σάββατο Νοεμβρίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σελίδα 74 A α Ψευδής β Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως, μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση g ( ), O =g() Α Ορισμός σελίδα 7 Α4 α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Για κάθε, με έχουμε και 7 7 7 5 7 5 οπότε Β 7 5 7 5 f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο επομένως και - o Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] o f () 5 και f () άρα f() f() Επομένως από θεώρημα Bolzano η εξίσωση f( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,) η οποία είναι μοναδική αφού η f είναι " " ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5
Β Είναι: f ( ) 7 8 ( )( 8) g( ) ( 8) Για να είναι η συνάρτηση g συνεχής στο θα πρέπει g( ) g() a a a a a ή 5 Β4 Είναι f ( ) ( 7 5) 7 5 4 4 7 5 Επειδή και οπότε Είναι επομένως από το κριτήριο παρεμβολής B5 Είναι ΘΕΜΑ Γ f f( 5 ) f( 6) 5 6 7 6 ή ή Γ Για κάθε, (,) με έχουμε: ln( ) ln( ) ln( ) ln( ),() και ln( ) ln( ),() Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε: ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) Γ Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και - επομένως αντιστρέφεται Θέτουμε f ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5
f ( ) ln( ) ln( ) ln ( ) ln, Επειδή Άρα f ( ) ln, Γ Για κάθε, (,) με είναι f ( ) f ( ) αφού f και f ( ) f ( ) g( ) g( ) Άρα Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) Είναι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) g( ) g( ) και επειδή (,) άρα g Γ4 i) f( ) ln Αν θέσουμε u τότε f ( ) ln u ln u u οπότε ii) f ( ) 6 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), επειδή και f ( A) (,) οπότε D f f f ( ) ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ Για να ορίζεται η g h πρέπει Dh και h( ) Dg ή ισοδύναμα και h ( ) που ισχύει Επομένως για κάθε είναι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5
f ( ) ( g h)( ) h ( ) h( ) 95 ( h( ) 5) 4 4 (4 5) 4 5 4 5 95 5 4 9 4 6 4 5 5 85 4 6 86 5 4 Άρα f ( ) 5 με Δ Για (, ) είναι 5 5 f ( ) 5 Επειδή και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν το f( ) Αν το f( ) Αν έχουμε f( ) 5 5 f ( ) 5 και 5 5 5 5 5 5 5 5 Δ Για ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5
f ( ) 5 5 4 4 ( )( 4 7)( 5 ) 4 4 5( ) ( )( 4 7)( 5 ) 5 5 ( 4 7)( 5 ) 4 Δ4 Για f ( ) 5 5 Έχουμε 5 5 οπότε 5 5 5 Επειδή 5 είναι 5 οπότε 5 5 Επομένως από το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5