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Σχετικά έγγραφα
Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ

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º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º

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f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,

S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT

ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ

tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών

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Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

Z

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9

N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1

Montreal - Quebec, Canada.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù

Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι

The Prime Number Theorem in Function Fields

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arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007

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Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam

iii vii Abstract xiii iii

Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Αστρονομίας

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x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2


Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload

+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.

Δυαδικά Συστήματα. URL:

arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002

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Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

plants d perennials_flowers

Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ

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¾

p a (p m ) A (p v ) B p A p B

ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή

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imagine virtuală plan imagine


Δυναμικοί τύποι δεδομένων

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Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.

Preisdifferenzierung für Flugtickets

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Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2

Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου

Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº

ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, , 1990) Õ Ò ¹


ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ

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Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

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[Na + ] [NaCl] + [Na + ]

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Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια

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Μονοδιάσ τατοιπίνακες

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Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις

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Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Αρχείασ την Â Ú. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

A Francesca, Paola, Laura

Θα εμφανίσει την τιμή 232 αντί της ακριβούς

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Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

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Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη,αφούδεναπαντάταιούτεστονΠλάτωναούτεστονΑριστοτέλη.

arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009

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ca t = β 1z t 1(q t γ)+β 2z t 1(q t >γ)+ε t z t = g(x t,π)+u t

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis

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Transcript:

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Ã Ð Ó ½ Ð Ö ÑÓ Ë ÐÑ Ø ½º½ ÔÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ð Ö ÑÓ À ÕÖ ØÛÒ Ð ØÖÓÒ ôò ÙÔÓÐÓ ØôÒ Ó ÖÕ Ð Ó ÔÓÙ Ô ¹ ÒÓ Ò Ø Ù Ø Ò Ò ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø ÓÔÓ Ò Ø ÙÔÓÐÓ Ø Ûº Ð Ò À»Í Ò ÑÔÓÖÓ Ò ÔÓ ¹ Ü Ò Ñ Ñ Ø ôö Ñ Ø ôò Ô Ö ÔØô ÛÒµ ÐÐ ÑÔÓÖÓ Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ò ØÖÓÕ Ò ÓÖÙ ÖÓÙ Ñ Ö ÕÖ ÑÓÔÓ ÒØ ÑÛ ÔÖ Ü ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ô Ñ º Òô Ó À»Í ÙÒ ØÓ Ò Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÒ Ö Ñ Ò ÒÓ ÔÛ ÙØ Ø Ù Ö ÑÑ ØÓÙ Ñ ÓÙ Øк ÕÓÙÒ ÑÛ ØÓ ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ö Ø Õ Ø Ø ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ º ÌÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ò Ø Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ ÓÙÑ ØÓÒ À»Í Ø ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ ÔÓ Ð Ñ ÒÓ Ô Ø Ò Ö Ø Õ Ø Ø ØÛÒ ÙÔÓÐÓ ÑôÒ ØÓÙ ÔÖ Ô ÔÖôØ Ñ Ò ØÙÔô ÓÙÑ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÑÓÖ ÔÐôÒ ÔÖ Ü ÛÒº ÅÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ ØÖ Ñ Ö Ø ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Ø ¹ Û ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø À»Í ½º ÇÖ Ñ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓº ¾º Ò ÔØÙÜ Ò Ð Ö ÑÓÙ ½ Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓº º ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø Ñ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ÔÓ Ô Ø Ðô ¹ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÑÓ º Ç ÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÙÒ Û ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÙÒ ÒØ Ñ Ø Ô ¹ Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ò Ò ÔØÙÜ Ò Ñ Ñ Ø Ó ÑÓÒØ ÐÓÙº ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÕÓÙÑ ØÓ Ô Ö ØÛ ÔÖ Ð Ñ Ò Ð ÓÙÑ ÈÖ Ð Ñ ½º½ ³ ÕÓÒØ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ Ö ÛÒ Ö ÑôÒ Ò ÖÓ Ñ ØÓÒ Ñ Ð Ø ÖÓ Ö Ñ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙº ½ ΗλέξηαλγόριθμοςπροέρχεταιαπότονΠέρσηαστρονόμοκαιμαθηματικόΑλ-Κοβαρίζμι(780-847μ.Χ.)τουοποίουταέργααποτέλεσαντηνβάσηγιατηνεξέλιξητηςάλγεβρας. ½

¾ à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ð Ñ ÑÔÓÖÓ Ò Ö Ø Ñ Ñ Ø Û Ü ÈÖ Ð Ñ ½º¾ ³ ÕÓÒØ ØÓ ÒÓÐÓ A = {n 1, n 2,...,n m } Z ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ò Ò ÖÓ Ñ x = max{y : y A}º ½º¾ Ð Ö ÑÓ Ù Ó ô À Ò ÔØÙÜ Ò Ð Ö ÑÓÙ Ø Ò ÔÐÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Û Ò ØÓ Ô Ó ÓÐÓ Ñ ÖÓ Ø Ò Ð ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒº ÇÖ Ñ ½º½ Ð Ö ÑÓ Ò Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ð ØÙÔÛÑ ÒÛÒ ÔÖ Ü ÛÒ Ø Ò ÔÐÙ ÔÓ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ì Ó Ñ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÔÖÓ ÜÓÙÑ ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾ Ò Ø Ó Ö Ñ ØÛÒ ÔÖ Ü ÛÒ ÔÖ Ô Ò Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Õ Ô ÖÓ Ó ÔÖ Ü ÔÖ Ô Ò Ò Ð ØÙÔÛÑ Ò Ð Ö Ø ØÓ Õ ô ÔÓÙ ÔÓ Ó ÔÓÙ Ò ÒÛÖ¹ Þ ÐÓÙ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ø Ø Ð Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ò Ô ÖÔØÛ µº Ô Ö Ñ Ò Ð Ö ÑÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ½º½ Ø Ò ½º ³ÇÖ Ò Ñ ØÓ Ö Ñ x ØÓÒ ÔÖôØÓ Ö Ó ØÓ Aº ¾º Ë Ö Ò ØÓÒ Ô Ñ ÒÓ Ö Ó ØÓÒ A Ñ ØÓÒ x Ñ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓÒ x Ø Ø Ö Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ x Ñ ÙØ Òº º ³ Ñ ÙÔ ÖÕ ÐÐÓ Ö Ó ØÓ A ÔÓÙ Ò Õ Ü Ø Ø Ø Ø Ô Ò ØÓ Ñ ¾ ÐÐ ô Ó x Ò Ó Ñ Ð Ø ÖÓ Ö Óº ÒØ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÔÖÓØ Ò Ð Ø ÖÓ ØÖ ÔÓ Ø ÔÛ Ð ¹ Ö ÑÛÒ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ý Ù Ó ô º ËØÓÒ Ý Ù Ó ô ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ð Ü ÔÓÙ ÒØ ÔÖÓ ÛÔ ÓÙÒ ÒØÓÐ ØÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ñ º Ô Ö Ñ Ó Ô ¹ Ö Ô ÒÛ Ð Ö ÑÓ Ö Ø Ò Ý Ù Ó ô ÔÛ ØÙÔôÒ Ø ØÓ ËÕ Ñ ½º½º À ÕÖ Ý Ù Ó ô Ø Ò Ô Ö Ö Ð ÓÖ ÑÛÒ ÔÖÓÙÔÓ Ø Ø Ò ÕÖ ÔÓ ÛÒ ÒØÓÐôÒ ÓÑôÒ ÔÓÙ Ô Ö Ö Ø Ø ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙº ÙØ Ó ÒØÓÐ ÓÑ Ô Ö Ð Ñ ÒÓÙÒ Ñ Ø Ü ÐÐÛÒ ÒØÓÐ Û» Ü Û ÓÑ ÒÛÒ Ñ Ø Ð ØôÒ Ø ÖôÒµº ÒØÓÐ ÇÖ ÑÓ Ñ Ø Ð ØôÒ Ø ÖôÒº ÓÑ Ô Ò Ð Ý Ö ÕÓ º ÒØÓÐ ÔÓ ÛÒº Ç Ý Ù Ó ô ØÓÙ ËÕ Ñ ØÓ ½º½ Ô Ö Õ Ð Ø Ô Ö Ô ÒÛ ØÓ Õ Ò Ð Ö ÑÓÙ Ø ÓÔÓ Ü Ø ÓÙÑ Ø Ô Ö Ö ÓÙ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Òº

½º¾º Ä ïçêáâåçá à Á Í ÇÃïÏ ÁÃ Ë Ð Ö ÑÓ Ñ ØÓ n 1, n 2,...,n m, x, mµ ½ x := n 1 ; ¾ for i = 1,...,m if x < n i then x := n i ; rof; return x; end max; ½º¾º½ ËÕ Ñ ½º½ Ù Ó ô Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÓ ½º½ ÒØÓÐ Û» Ü Û ÓÑ ÒÛÒ ³ Ò Ð Ö ÑÓ Õ Ø Õ Ö Ø Ö Ø Ñ ÙÒ ÖØ Ð Ô ÖÒ Ø Ñ Ô ÔÓ Ó ÒÓÐÓ Ò Ø Ñ ÔÓÙ Ò ÓÙÒ ÔÓ Ó ÐÐÓ ÒÓÐÓº ËØ Ò Ô Ö Ö ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ý Ù Ó ô Û ÓÑ ÒÛÒ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÒÓÑ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙº Ð ØÓÒ Ý Ù Ó ô ØÓÙ ËÕ Ñ ØÓ ½º½ ÕÓÑ Ø Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ Ð Ö ÑÓ Ñ ØÓ n 1, n 2,..., n m, x, mµ ÔÓÙ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ max ÓÙÑ Ø ÓÑ Ò {n 1, n 2,...,n m } x mº Ó ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ó Ò Ð Ó ÔÖ Ü Ø Ò Ò Ö ØÓÙ x = max{y y {n 1, n 2,...,n m }} Ø Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ü Ø Ò Ð ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ ôòø Ø Ò ÒØÓÐ return ÔÓØ Ð Ñ µ ÔÓÙ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÑÔÓÖ Ò Ò Ñ Ô Ö Ø Ö Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Û Ø Ò ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓº ½º¾º¾ ÓÑ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ö ÕÓ Â ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ó Ø ÔÓÙ ÓÑôÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ö ÕÛÒº Ç ÔÖôØÓ Ø ÔÓ Ò Ó Ö ÕÓ while ÒØ Ü ØÓÙ Ò Ü while ÙÒ µ ÒØÓÐ endwhile À Ð ØÓÙÖ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ö ÕÓÙ Ò Ü º Ü ÖÕ ÙÔÓÐÓ Þ Ø Ø Ñ Ø ÙÒ ÔÓÙ ÙÒ Û ÒØ ÔÖÓ ÛÔ Ø Ô Ñ Ö Ñ Ø Ô Ö Ø º Ò Ø Ñ Ø ÙÒ Ò Ò Ñ Ò Ø Ø ÐÓ ÖÓ ÙÒ ÕÞ Ñ ØÓÒ Ö ÕÓ Ø ÐÓ ÒØ Ó ÒØÓÐ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ó Ö ÕÓ Û ØÓÙ Ø ØÓ Ø ÐÓ ØÓÙ Ö ÕÓÙ ÔÓÙ ÐÓ ÖÓ Ô Ò ÔÖÓ ÓÖÞ Ø Ø ÖÕ ØÓÙ Ö ÕÓÙº Ò Ø Ñ Ø ÙÒ Ò Ñ Ò Ø Ø ÐÓ ÖÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÙÒ ÕÞ Ô

à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì ØÓ Ø ÐÓ ØÓÙ Ö ÕÓÙ Ó ÒØÓÐ ØÓ ÛØ Ö ØÓÙ Ö ÕÓÙ Ò Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý º È Ö Ñ ½º½ Ô Ö Ñ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÕÓÙÑ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ Ö ÑôÒ A = {n 1, n 2,...,n m } Z, ÐÓÙÑ Ò ÖÓ Ñ Ñ ØÓ A Ô Ö Õ ØÓÒ Ö Ñ y ÔÓ Ö Ø º ³ Ò Ð Ö ÑÓ Ø Ò ÔÐÙ ÙØÓ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ò Ð Ö ÑÓ ÙÖ ½({n 1, n 2,...,n m }, y, m) ½ i := 1; ¾ n m+1 := y; while n i y i := i + 1; endwhile; return i; ËØ Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ð Ö ÑÓÙ ÓÙÑ Ð Ø ÓÑ Ò ÔÓÙ Ò Ô Ö Ø Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ù Ö Ñ Ò {n 1, n 2,...,n m } y mº ËØ Ò ÔÖÓ Ñ Ò Ô ÖÔØÛ ØÓ ÒÓÐÓ {n 1, n 2,...,n m } Ò Ô Ö Ø ØÓ Ø Ò Ö ÑÑ ØÓ y Ø Ò Ö ÑÑ ¾ ØÓ m Ø Ò Ö ÑÑ ¾º ËØ Ò Ö ÑÑ ½ ÒÓÙÑ Ñ ÖÕ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ø Ð Ø i ÔÓÙ Õ Ø Ò ÕÖ Ø º ËØ Ò Ö ÑÑ ¾ ÓÖÞÓÙÑ Ñ Ò Ñ Ø Ð Ø n m+1 ÔÓÙ Ø Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ò Ø ÖÑ Ø ÓÙÑ Ø Ò Ô Ò Ð Ý ÔÓÙ Ò Ø Ø Ö ÑÑ ¹ º ËØ Ò Ö ÑÑ Ü ¹ Ø ÞÓÙÑ Ø Ò ÙÒ n i y ÔÓÙ Ò Õ Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Ñ Ñ ØÓ y ÓÔ Ø ÙÜ ÒÓÙÑ ØÓÒ Ø i Ø Ñ ÑÓÒ º Ò Ò Õ ÙÒ Ø Ø ÕÓÑ n i = y ÔÓÙ Ñ Ò Ø Ö Ñ ØÓ y ÔÖ Ô Ò Ø ÖÑ Ø ÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓº ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ Ø Ñ ÔÓÙ Ñ ÔÓ ô Ð Ò i ÔÓÙ Ò i m Ø Ø ØÓ y A Ö Ø Ø Ò i Ò i = m + 1 Ø Ø y / Aº Ç Ø ÖÓ Ø ÔÓ Ö ÕÓÙ ÔÓÙ Ü Ø ÓÙÑ Ò Ó Ö ÕÓ for ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÒØ Ü Ò Ü for Ð Ø i ØÓ ÒÓÐÓ Aµ ÒØÓÐ rof; À Ð ØÓÙÖ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ö ÕÓÙ Ò Ü ØÓ Õ Ó i A Ò Ø Ð ØÓ Ò Ó Ô Ö ØÛ ÒØÓÐ Ø Ò ÓÔÓ Ø Ð ØÓ i Õ Ø Ò ÒØ ØÓ Õ Ø Ñ º Å Ð Ü Ø ØÓ Ò Ð Ø ØÓ Õ i Ø Ø ÐÓ ÖÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÙÒ ÕÞ Ñ Ø ØÓ rof ¾ º ¾ Το rofείναι forγραμμένοανάποδαπουσυμβολίζειτοκλείσιμοτουβρόχου

½º¾º Ä ïçêáâåçá à Á Í ÇÃïÏ ÁÃ Ë È Ö Ñ ½º¾ ³ ØÛ Ø ÕÓÙÑ Ò ÔÒ A = (a ij ) m n º ÌÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ¹ Ò Ò ÖÓ ÓÙÑ Ð Ø ØÓ Õ Ø A Ð σ = m n i j a ij. ³ Ò Ð Ö ÑÓ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ σ Ò Ð Ö ÑÓ ÔÖÓ (A, m, n) ½ σ := 0; ¾ for i = 1,...,m for j = 1,..., n σ := σ + a ij ; rof; rof; return σ; ËØ Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ð Ö ÑÓÙ ÓÙÑ ÔÛ ÔÖÓ ÓÙ¹ Ñ ÒÓ Ð Ø ÓÑ Ò ÔÓÙ Ò Ô Ö Ø Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ù Ö Ñ Ò A, m, nº ËØ Ò Ö ÑÑ ½ ÒÓÙÑ Ñ ÖÕ Ø Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ÔÓÙ Ó Ø Ñ ØÓ Ñ Òº ÌôÖ ÔÖ Ô Ò Ô ØÓ Ñ Ð Ø ØÓ Õ Ø Ñ ØÖ ØÓ ÓÔÓÓ Ô ØÙÒÕ Ò Ø Ø Ö ÑÑ ¾¹ º ËÙ Ö Ñ Ò Ó Ö ÑÑ ¾ Ü Ø ÞÓÙÒ ÐÓÙ ØÓÙ ØÓÕÓÙ i = 1, 2,..., m ØÓÕÓ Ü Ø ÞÓÙÑ Ð Ø Ø Ð x = 1, 2,..., n Ø Ö ÑÑ º ËØ Ò Ö ÑÑ ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ØÓ ÖÓ Ñ ÖÓÞÓÒØ Ò ØÓ Õ Ó ÓÖ º ÇÔ Ø Ö ÑÑ Ø Ð Ø m n ÓÖ º ½º¾º ÒØÓÐ ÔÓ ÛÒ ÙØÓ ØÓÙ Ó ÒØÓÐôÒ Ñ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ò Ð ÓÙÑ ÔÓ Ò ÔÖ ÜÓÙÑ Ò ÐÓ Ñ Ø Ò Ø Ô º ËÙ Ö Ñ Ò ÕÓÙÑ Ø Ò Ò¹ ØÓÐ if, then, else Ø ÓÔÓ ÒØ Ü Ò if Ô Ö Ø µ then ÒØÓÐ else ÒØÓÐ endif; ÔÓÙ ØÓ ØÑ Ñ ØÓÙ else Ò ÔÖÓ Ö Ø º ËØ Ò ÖÕ ÙÔÓÐÓ Þ Ø Ø Ñ Ø Ô Ö Ø ÔÓÙ Ò Ò Ð Ð Ñ Ñ Ò µ Ø Ø Ø ÐÓ ÒØ Ó ÒØÓÐ ÖÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÙÒ ÕÞ Ñ Ø ØÓ endif;º Ò Ô Ö Ø Ò Ý Ù Ø Ø Ø ÐÓ ÒØ Ó ÒØÓÐ ÖÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÙÒ ÕÞ Ñ Ø ØÓ endif;º È Ö Ñ ½º ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÕÓÙÑ Ô Ð ØÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ Ô Ö Ñ ¹ ØÓ ½º½ ÔÓÙ ÕÓÑ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÒÓÐÓ Ö ÑôÒ A = {n 1, n 2,...,n m } Z ÐÓÙÑ Ò ÖÓ Ñ Ñ ØÓ A Ô Ö Õ ØÓÒ Ö Ñ y ÔÓ Ö Ø º ³ Ò Ð Ö ÑÓ Ø Ò ÔÐÙ ÙØÓ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ò

à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì ½º¾º Ð Ö ÑÓ ÙÖ ¾({n 1, n 2,...,n m }, y, m) ½ for i = 1,...,m ¾ if y = n i then return i; endif; rof; return m + 1; Ò É Ö Ø Ö Ø Ð Ö ÑÛÒ Ì Ò Õ Ö Ø Ö Ø ØÛÒ Ð Ö ÑÛÒ Ò Û» Ü Û ÓÑ ÒÛÒ Ñ Ø Ð ØôÒ Ø ÖôÒº Ø ÔÛ ÔÖ Ü ÛÒ ÔÐ ÑÓÖ º È Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ ÔÖ Ü ÛÒº ÍÔÓÐÓ Ø ÔÓÐÙÔÐÓ Ø Ø ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ¹ Ó ÙÔÓÐÓ Ø ÕÖ ÒÓ Ð ¹ ÔØ ôö Øкµ Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÔÖ Ô Ò Ò Ñ ÐÓ Ö º Ò Ù Ó Ð Ö ÑÓ ØÓ ËÕ Ñ ½º½ Ð ØÓÙÖ ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÒÓÐÓ {n 1, n 2,...,n m }º ½º Ë ÐÑ Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ò ÐÙ ÓÒ ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ð ØÖÓÒ Ó ÙÔÓÐÓ Ø Ø Ò ÔÐÙ ÔÖÓ Ð ¹ Ñ ØÛÒ Ö Ñ Ø Û ÔÖ Ô Ò ÕÓÙÑ Ò Ò ØÖ ÔÓ Ò Ò Ô Ö Ø ÓÙÑ ØÓÙ Ö ÑÓ Ò Ò ÙÔÓÐÓ Ø ÓÒ ÔÛ Ò Ö Ñ Ø Ò ½º½ Ó ÙÔÓÐÓ Ø Ò Õ Ø Ò Ò Ø Ø Ò Ô Ü Ö Ø Ö Ñ Ò ÒÓ ÔÛ ÙØ ØÓÙ Ö ÑÓ º ÙØ Ö ô Ò Ô Ö Ø Ô Ö ÐÑ Ø ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ü Ø Ù Ó Ð ØÖÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø Õ Ô Ô Ö Ñ Ò ÙÒ Ø Ø Ø ÑÒ Ñ ¹ Òô Ó Ö ÑÓ ÑÔÓÖ Ò Ò Ô ÖÓ ÔÐ Ó Ñ Óº ÈÖÓ ÔØ ÐÓ Ô Ò Ø Ò Ò Ð ÓÙÑ ØÓ Ñ Ó Ø Ø ÙØôÒ ØÛÒ ÐÑ ØÛÒ ÔÖ Ô Ò Ü Ø ¹ ÓÙÑ ØÓÙ ØÖ ÔÓÙ Ñ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ó Ö ÑÓ Ò Ô Ö Ø ÒØ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø º ËØ Ò Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó Ò ÖÓÙÑ Ô Ö Ð ÔØ ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ò Ô Ö Ø Ö ÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø ô Ø ÐÑ Ø Ø ÓÔÓ ÔÖÓ ÔØÓÙÒº ½º º½ Ò Ô Ö Ø Ö ÛÒ Ö ÑôÒ ÌÓ Ö Ñ Ø Ø Ñ Ò ÙØ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÙÖ Û ÙØ ÔÓÙ Ñ Ø Ô Ö Ø ÖÓ Ó Ó º À ØÓÙ Ó Ö Ñ Ø Ó

½º º Ë ï ÄÅ Ì ËÌÀÆ ÊÁÂÅÀÌÁÃïÀ Æï ÄÍËÀ Ù Ø Ñ ØÓ Ò ØÓ ½¼ Ð Ö ÓÙÑ Ò Ò Ö Ñ Û 454 = 4 100 + 5 10 + 4 1 = 4 10 2 + 5 10 1 + 4 10 0 ÇÖ Ñ ½º¾ ËØÓ Ø Ñ Ö Ó N Ö Þ Ø ô Ò ÔÓÐÙô¹ ÒÙÑÓ Ñ β = 10 ÙÒØ Ð Ø a i {0, 1,..., 9}, i = 1, 2,..., n ô N = p(10) = (a n a n 1 a 0 ) 10 = a n 10 n + a n 1 10 n 1 + + a 0 10 0 ½º½µ ÐÐ Ò ÙÔ ÖÕ Ò Ò Ø ÖÓ Ð Ó Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò ½¼ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ð ØÓÙÖ Ø Ø ØÓÙ Ö Ñ Ø Ó Ù Ø Ñ ØÓº È Ò Ø Ø ÓÒ ÒÓ ØÓÙ Ö ÑÓ Ò ÔØ Õ Ñ Û Ø Ò ØÓÙ Ò ÖôÔÓÙ Ò Ñ ØÖ Ô ÕÓÙÑ ÕØÙÐ Öô ØÓÙ ½ Õ Ô Ö Ø Ö Ø ÔÓ ÙÐ Ø Ò Ù ØÖ Ð Ö ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò Ñ ÒÓ Ó ÕØÙÐ ÓÒ ÓÖ ØÓ Ñ ØÖ Ñ ÕÓÙÒ Ñ ÒÓ Ó Ö ÑÓ ØÓ Ð Ü Ð Ó ØÓÙµº Ç Ð ¹ ØÖÓÒ Ó ÙÔÓÐÓ Ø Ò Ø Ù Ñ ÒÓ Ò Ù Ó Ù Ø Ñ ØÓ ¼ ½µ (on, off) ÓÔ Ø Ò Ð Ø ÖÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ò ¾º ÐÐ ÞÓÒØ Ø Ò Ô β = 10 β = 2 ÕÓÙÑ ØÓ Ù Ö Ñ Ø Ø Ñ º ÇÖ Ñ ½º ËØÓ Ù Ö Ñ Ø Ø Ñ Ö Ó N Ö Þ Ø ô Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ β = 2 ÙÒØ Ð Ø a i {0, 1}, i = 1, 2,..., n ô N = p(2) = (a n a n 1 a 0 ) 2 = a n 2 n + a n 1 2 n 1 + + a 0 2 0 ½º¾µ Ã Ö Ñ Ö Þ Ø ÑÓÒ Ø Ñ º Ô Ö Ñ Ó Ö Ñ (110) 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 22, Ð ÕÓÑ (110) 2 = (22) 10 º Å ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ Ô ÖÓÙ Þ Ø ØÓ ËÕ Ñ ½º¾ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ñ Ø ØÖ ÝÓÙÑ Ò Ò Ö Ó Ò Ö Ñ Ø Ó Ù Ø Ñ ØÓ Ñ β Ò Ö Óº Ç Ð Ö ÑÓ Ð ØÓÙÖ Ò ÖÓÑ º Ò Ò ÔØ ÜÓÙÑ ØÓÒ Ö ÕÓ Ô Ò Ð Ý ÔÛ ÓÖÞ Ø Ø Ö ÑÑ ¾ Û ÕÓÙÑ b n b n 1 := a n := a n 1 + b n β = a n 1 + a n β b n 2 := a n 2 + b n 1 β = a n 2 + a n 1 β + a n β 2 b 0 º := a 0 + b 1 β = a 0 + a 1 β + a 2 β 2 + + a n β n

à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì Ð Ö ÑÓ Ó a n, a n 1,...,a 0, βµ ½ b n := a n ¾ for i = n 1, n 2,..., 0 b i := a i + b i+1 β; rof; return b 0 ; end decimal; ËÕ Ñ ½º¾ Å Ø ØÖÓÔ Ö ÓÙ Ñ β Ö Ó È Ö Ñ ½º ØÓÒ Ù Ö Ó (110) 2 ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ØÓ ËÕ Ñ ½º¾ Ò Ô ÖÓÙÑ ½º º¾ b 4 := 1 b 3 := 0 + 1 2 = 2 b 2 := 1 + 2 2 = 5 b 1 := 1 + 5 2 = 11 b 0 := 0 + 11 2 = 22 = (22) 2 Ò Ô Ö Ø ÃÐ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ ³ ØÛ Ø ÕÓÙÑ Ò Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ xº ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ØÓÒ x ô x = x I + x F ÔÓÙ x I = x Ð Ó Ñ Ð Ø ÖÓ Ö Ó Ñ Ö Ø ÖÓ Ó ØÓÙ x x F Ò ØÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ ØÓÙ xº Ð x = 5.3 ÕÓÙÑ x I = 5 x F = 0.3º À Ò Ô Ö Ø ØÓÙ Ñ ÖÓÙ x I Ü Ø Ø Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ø Ò Ô Ö Ö Ó Ü Ø ÓÙÑ Ø Ò Ò Ô Ö Ø ØÓÙ Ð Ñ Ø Ó Ñ ÖÓÙ x F º ÌÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ x F Ö Ø ØÓ Ø Ñ β = 10µ ô x F = a k 10 k = (.a 1 a 2...) 10, k=1 ÔÓÙ a k {0, 1,..., 9}, k = 1, 2,..., º Ò a k = 0 Ð Ø k M ÔÓÙ M ÔÓ Ó Ö Ó Ø Ø Ð Ñ Ø ØÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ Ø ÖÑ ØÞ º Ð 1 = 0.25 = 2 4 10 1 + 5 10 2 = (.25) 10 a k = 0 k 3 Òô 1 = 3 0.333... = 3 10 1 +3 10 2 + a k = 3 Ð Ø kº ÌÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ ÙÒ Ø Ô Ò Ò Ô Ö Ø ØÓ Ù Ø Ñ Û Ù Ð Ñ x F = a k 2 k = (.a 1 a 2...) 2, k=1

½º º Ë ï ÄÅ Ì ËÌÀÆ ÊÁÂÅÀÌÁÃïÀ Æï ÄÍËÀ ÔÓÙ a k {0, 1}, k = 1, 2,..., º ÓÑ ÒÓÙ Ò Ó Ð Ñ ØÓ 0 x F 1 ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ù Ð Ñ (.a 1 a 2...) 2 Ñ ØÓÒ Ô Ö ØÛ ØÖ ÔÓº ³ ØÛ Ø F 1 = x F Ø Ø F 1 = 2F 1 = a k 2 k k=1 a k 2 k+1 = a 1 + k=1 k=1 a (k+1) 2 k, ÓÔ Ø ØÓ a 1 Ò ØÓ Ö Ó Ñ ÖÓ ØÓÙ 2F 1 º Ì Ø Ò ÓÙÑ Ñ F 2 = k=1 a (k+1)2 k ØÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ ØÓÙ 2F 1 ÕÓÙÑ 2F 2 = a (k+1) 2 k+1 = a 2 + a (k+2) 2 k, k=1 k=1 a 2 Ò ØÓ Ö Ó Ñ ÖÓ ØÓÙ 2F 2 º ËÙÒ ÕÞÓÒØ Ø ÙØ Ò ØÓ ØÖ ÔÓ ÑÔÓ¹ ÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ð Ø Ö Ñ Ö Ø ÓÔÓ Ô ÖØÞÓÙÒ ØÓ (.a 1 a 2...) 2 º È Ö Ñ ½º x F = 0.625 ÕÓÙÑ F 1 = 0.625º ÍÔÓÐÓ ÞÓÒØ ØÓ Òع ØÓ ÕÓ Ù Ð Ñ Ñ ØÓÒ ÔÖÓ Ò Ö Ñ ÒÓ ØÖ ÔÓ ÕÓÙÑ 2F 1 = 2(0.625) = 1.25 a 1 = (1.25) I = 1 F 2 = (1.25) F = 0.25 2F 2 = 2(0.25) = 0.5 a 2 = (0.5) I = 0 F 3 = (0.5) F = 0.5 2F 3 = 2(0.5) = 1.0 a 3 = (1.0) I = 1 F 4 = (1.0) F = 0.0 2F 4 = 2(0.0) = 0.0 a 4 = (0.0) I = 0 F 5 = (0.0) F = 0.0 ÇÔ Ø ÕÓÙÑ 0.625 = (.1) 2 º º a k = 0 k > 3. ËØÓ Ô Ö Ñ ½º Ô Ö Ô ÒÛ ØÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ø Þ ÔÛ ØÓ Ò¹ Ø ØÓ ÕÓ Ù º Ù ØÙÕô ÑÛ Ð Ñ ÔÓÙ Ø ÖÑ ØÞ ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ù Ò Ø ÖÑ ØÞ Ô ÒØ º È Ö Ñ ½º x F = 0.1 ÕÓÙÑ F 1 = 0.1º ÇÔ Ø ÙÔÓÐÓ ÞÓÒØ ØÓ Ù ¹ Ð Ñ 2F 1 = 2(0.1) = 0.2 a 1 = 0 2F 2 = 2(0.2) = 0.4 a 2 = 0 2F 3 = 2(0.4) = 0.8 a 3 = 0 2F 4 = 2(0.8) = 1.6 a 4 = 1 2F 5 = 2(0.6) = 1.2 a 5 = 1 2F 6 = 2(0.2) = 0.4 a 6 = 0 º º

½¼ à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì Ã Ð ÔÓÙÑ Ø 2F 6 = 2F 2 ÔÓÙ Õ Û ÔÓØ Ð Ñ Ò Ñ ÓÙÖ Ô Ö Ó ÙÑÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ø Ñ a 2 Û a 5 Ô Ò Ð Ñ ÒÓÒØ º ÌÓ Ù Ð Ñ Ò Ø ÖÑ ØÞ Ò 0.1 = (0.0010101...) 2 º ½º º Ö Ñ Ø Ã Ò Ø ÍÔÓ ØÓÐ Ö Ñ Ø Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ò ÒÓÙÑ Ô Ø ÑÓÒ Ó ÙÔÓÐÓ ÑÓ ÔÛ Ò Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ñ ÔÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ö º ÇÖ Ñ ½º ³ Ò ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ x R Ö Ø Û Ö Ñ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ Ñ β Û x = ±(.d 1 d 2...d n ) β β e ½º µ ÔÓÙ ØÓ β Ò ØÓ n Ö ØÓ e Ó Ø º À ØÓÙ Ð ØÖÓÒ Ó ÙÔÓÐÓ Ø Ò ÙÒ Û ¾ ½ Òô ØÓÙ ÙÔÓÐÓ Ø Ø Ô Ò ½¼º ÌÓ Ñ Ó Ö n Ü ÖØ Ø Ô ØÓÒ Ð ¹ ØÖÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø ÓÙ Ø ÒØ ÔÖÓ ÛÔ ØÓ Ñ Ó ØÛÒ Ö ÑôÒ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ó ÙÔÓÐÓ Ø Ò ÒØ ÔÖÓ ÛÔ º ³ Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ñ Ñ Ð Ö ÑÔÓÖ Ò Õ Ö Ø ÔÓÐ Ñ ÐÓÙ ÒØ ØÓ Õ ÔÓÐ Ñ ÖÓ Ö ÑÓ º ³ÇØ Ò ¹ Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ñ Ö n Ø Ð ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ñ ÔÐ Ö Ñ Ò Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ ÓÙ ØÓÙ Ö ÑÓ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ n/2º ÒØ ØÓ ¹ Õ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÔÐ Ö Ø Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ Ó ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ÑÓ nº ËÙÒ Û Ò Ô ÐÓ ØÓÙ ÕÖ Ø Ò ÓÖ Ò ÔÖ Ö ÑÑ Ò Ô ÙÑ ÔÐ ÔÐ Ö Ô ÐÓ ÙØ Ò ÙÒ Ø Ø Ò ÔÓ Ñ Ø Ð Ø Ò Ò Ô Ö Ø ØÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓ Ñ ØÓ Ø Ö ØÓÙ ÙÔÓÐÓ Ø Ó Ð ÕÓ ØÓ ÔÓ Ñ Ø Ð Ø ÕÓÙÒ ÔÐ ÔÐ Ö ÜÓ ÓÒÓÑ ÑÒ Ñ ÔÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ò ÙÔÓÐÓ Ø º Ô Ö Ñ Ø Ò Ðô ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÑÓ ANSI C Ò Ðô ÓÙÑ Ñ Ñ Ø Ð Ø Ò Ò float Ø ¹ Ø Ö Ò Ý ÛÒ Òô double Ò ½¼ Ý ÛÒº Ç Ø e Ø Ò ½º ÙÑ Ò Ø Ñ Ø Ü Ó Ö Ñ ØÛÒ m < e < M ÔÓÙ ÙÒ Û m = Mº ËØ Ò Ö Ñ Ø Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ Ö Ñ Ö Ø Ø Ò ½º º Ð Ó Ö Ñ ¾ º Ö Ø ô.23684 10 2 º Ô ô ØÓ Ü Ò Ô ¹ Ö Ø ØÓÙ x R ô Ö ÑÓ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ fl(x) n,β º ³ÇØ Ò Ö ÓÙÑ Ò ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ ô fl(x) n,β ÓÒ ÕÓÙÑ Ô Ô Ö Ñ Ò Ö n ÔÓ Ý ØÓÙ x Ò ÙÑÔ Ö Ð Ó Ò ÓÔ Ø ÔÖÓ ÔØ ÖôØ ¹ ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ñ ØÓÒ ÓÔÓÓ Ö ÓÒØ Ø ÔÐ ÓÒ ÞÓÒØ Ý º ÍÔ ÖÕÓÙÒ Ó ØÖ ÔÓ ½º ËØÖÓ ÙÐÓÔÓ ÔÓÙ Ó fl(x) n,β Ò Ó ÔÐ Ø ÖÓ ØÓÒ x Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÕÓÙÑ ÓÔ Ð ØÖÓ ÙÐÓÔÓ Ó Ñ ØÓ ÞÙ Ý Óº ¾º ÔÓ ÓÔ ÔÓÙ Ó fl(x) n,β Ò Ó ÔÐ Ø ÖÓ ØÓÒ x Ñ Ø Ü ¼ xº

½º º Ë ï ÄÅ Ì ËÌÀÆ ÊÁÂÅÀÌÁÃïÀ Æï ÄÍËÀ ½½ È Ö Ñ ½º ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÖÓ ÙÐÓÔÓ ÕÓÙÑ ( ) 2 fl = fl(0.666...) 2,10 = +(.67) 10 0 3 2,10 fl(0.455) 2,10 = +(.46) 10 0 ØÓÒ ¼º Ð ÔÓÙÑ Ø Ó Ö ÑÓ ¼º ¼º Ô ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ô ØÓÒ ¼º ÓÔ Ø ØÖÓ ÙÐÓÔÓ Ó Ñ ØÓ ÞÙ Ý Óº ÒØ ØÓ Õ Ø Ò ÔÓ ÓÔ ÕÓÙÑ ( ) 2 fl = fl(0.666...) 2,10 = +(.66) 10 0 3 2,10 fl( 456742) 2,10 = +(.45) 10 6 Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓ Ö ÓÒ ÓÖ ØÓ Ñ Ó ØÛÒ Ö ÑôÒ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ò Ô Ö Ø ÓÙÑ º ËÙ Ö Ñ Ò ÕÓÙÑ Ø Ô Ö ØÛ Ô Ö ÔØô Ò x β M ÕÓÙÑ ÙÔ ÖÕ Ð Ò 0 x β m n ÕÓÙÑ ÙÔÓ Õ Ð º Ã Ø Ó Ô Ö ÔØô Ó Ö Ñ Ò Ø ÔÓÐ Ñ ÐÓ Ø ÔÓÐ Ñ Ö Ò Ò Ô Ö Ø ØÓÒ Ð ØÖÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø º Ð Ø Ö ØÓÙ ÙÔÓÐÓ Ø Ø Ò Õ Ø Ö n ÕÓÙÒ Ü Ô Ö Ø º ÓÒ ÔÓ Ý Ö ÓÒØ Ø Ò Ö ÞÓÙÑ Ò Ò Ö Ñ ô Ö Ñ ¹ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ Ð Û Ø ØÖÓ ÙÐÓÔÓ Ø ÔÓ ÓÔ ÔÖÓ ÔØ ÔÓ Ó ÐÑ º ÌÓ Õ Ø ÐÑ Ò fl(x) n,β = x(1 + δ(x)) δ(x) = fl(x) n,β x x ÓÑ Ò β, e n ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ö ô Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ δ Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ø Ó Ô Ö ÔØô º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º º Ö ÞÓÙÑ Ò ÙÒ Õ ÒÓÐÓ Ö ÑôÒ R Ñ Ò Ö Ø ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ø Ñ Ô ÕÓÙÒ β e n Ñ Ø Ü ØÓÙ Ð ØÓ Ñ Ó ØÓÙ Ñ Ö Ø ÖÓÙ Ö ÑÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ÓÙÑ º x = 0.104 Ô Ö Ñ n = 2, β = 10 0.10 0.11 0.12 R e = 0 Ó Ö ÑÓ fl(x) 2,10 ÔÓÙ ¹ Ö ÞÓÙÒ ØÓ R ÒÓÒØ ØÓ ËÕ Ñ ½º º β e n = 0. Ç Ö Ñ x = 0.104 Ö Ø Ò Ñ ¹ ØÓÙ Ö ÑÓ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ ËÕ Ñ ½º Ç Ö ÑÓ fl(x) 2,10 x 0.10 0.11 ÓÔ Ø Ò ÕÖ ÑÓ ÔÓ ¹ R ÓÙÑ ÔÓ ÓÔ ØÖÓ ÙÐÓÔÓ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ µ ÕÓÙÑ fl(0.104) 2,10 = +0.10 10 0 º Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ ÓÙÑ ØÖÓ ÙÐÓÔÓ Ñ Ø Ô Ø Ñ Ø Ü ØÓÙ x fl(x) n,β Ö Þ Ø Ô Ô ÒÛ fl(x) n,β x 1 2 βe n.

½¾ à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì ÓÑ ÒÓÙ Ø x > β e 1 ÓÒ n 1 β e n Ó Ñ Ö Ø ÖÓ Ö Ñ ØÓ Ñ Ó ØÓÙ Õ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ö Þ Ø Ô Ô ÒÛ fl(x) n,β x x 1 β e n 2 x 1 β e n 2 β = 1 e 1 2 β1 n δ(x) = fl(x) n,β x x 1 2 β1 n. ÇÔ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò ØÖÓ ÙÐÓÔÓ ØÓ Õ Ø ÐÑ Ô Ö ÓÖÞ Ø Ø Ö 0 δ(x) 1 2 β1 n º Å ÒØ ØÓ Õ Ò ÐÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø Ø Ò ÔÓ ÓÔ ØÓ Ñ Ó ØÓÙ Õ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ô Ö ÓÖÞ Ø Û δ(x) β 1 n º ½º º Ë ÐÑ Ø ³ÇÔÛ Ô Ö Ö Ý Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ø Ò ÔÖÓ Ô Ñ Ò Ò Ô Ö ¹ Ø ÓÙÑ Ö ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò Ô ÖÓ Ñ Ó Ý ÛÒ Ñ Ö ÑÓ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ÓÙ Ý ÛÒ ÔÖÓ ÝÓÙÒ Ò Ø ÐÑ ¹ Ø º Ï ØÓ ØÓÙ ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÔÖ Ð Ñ ÔÓÙ Ô Õ Ö ÓÙÑ Ò Ð ÓÙÑ Ñ Ò Ò Ð ØÖÓÒ ÙÔÓÐÓ Ø ÓÙÑ ÐÑ ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ñ Ô Ø Ò Ø Ñ ÔÓÙ ÓÙÑ Ø Ö Ñ Ø ÓÑ Ò Ø Ò ÑÒ Ñ ÙØ Ò Ò Ô Ù¹ ØÓ Ð Û Ø Ô Ô Ö Ñ Ò ØÛÒ ÙÔÓÐÓ ØôÒº È Ö Ð ÙØ ÔÛ Ô Ü Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÕÓÙÑ ÔÐ Ö Ô ÒÛ ÓÒ ÓÖ ØÓ Ñ Ó ÙØôÒ ØÛÒ ÐÑ ØÛÒº ÌÓ ÖôØ Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÖÓ ÔØ ØôÖ Ò ØÓ Ø Ô Ó ÙØ Ø ÐÑ Ø Ñ Ø ÐÓÒØ Ø ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ º ³ ØÛ Ø x t Ò Ð Ò Ø Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ò ÓÔÓ Ò ÒÛÖÞÓÙÑ µ x c Ø Ñ ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ Ñ º ÇÖÞÓÙÑ Ø Ô Ö ØÛ Ô ÐÙØÓ Ë ÐÑ = x t x c ËÕ Ø Ë ÐÑ = x t x c x t ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ñ Ö ÑÓ Ò Ø ÙÔÓ ØÓÐ Ò Ø ØÓ ÐÑ ÙÒ Ø Ò Ó Û Ø ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ º

½º º ËÃïÀË ÁË ½ ½º ½º½ ÍÔÓÐÓ Ø ØÓÙ Ù Ó Ö ÑÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ØÓÙ Ó µ 32170 µ 7/16º µ 75/128º ½º¾ ÍÔÓÐÓ Ø ØÓÙ Ù Ó Ö ÑÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò Ø Ô Ö ØÛ Ð Ñ ¹ Ø º Ì Ù Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ Ø Ò Ø ÖÑ ØÞÓÙÒº µ 1/3 µ 1/10º µ 1/7º ½º ÍÔÓÐÓ Ø ØÓÒ Ù Ö Ñ ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ØÓÙ Ö ÑÓ 10 6 4/3º ½º Å Ø ØÖ ÝØ ØÓÒ (473) 10 ØÓÒ ÒØ ØÓ ÕÓ Ö Ñ Ö Ñ Ø Ó Ù Ø Ñ ØÓ Ñ β µ β = 2º µ β = 6º µ β = 8º ½º ÍÔÓÐÓ Ø ØÓÙ Ó Ö ÑÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ØÓÙ Ô Ö ØÛ Ö ¹ ÑÓ µ (11) 2 µ (16341) 8 º µ (4523) 6 º ½º ÔÓ ÜØ Ø Ö Ñ 2 n ÔÓÙ n Z + ÑÔÓÖ Ò Ö Ø ô Ñ n Ý 0.a 1 a 2...a n º ½º ÔÓ ÜØ Ø 2 = 1.99999...º

½ à ï Ä ÁÇ ½º Ä ïçêáâåçá à Á Ë ï ÄÅ Ì

Ã Ð Ó ¾ ÔÐÙ Ü ô ÛÒ ÌÓ ÔÖ Ð Ñ Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÕÓÐ Ó Ñ ÙØ ØÓ Ð Ó Ò ÔÐÙ Ñ Ö ÑÑ ôò Ò ôò Ð Ö ôò Ü ô ÛÒ Ø ÑÓÖ f(x) = 0º Ð ÕÓÙÑ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÈÖ Ð Ñ ¾º½ ÔÐÙ Ü ô ÛÒµ ³ ÕÓÒØ Ñ ÙÒ ÖØ f(x) Ö Ø ØÓ x ØÓ ÓÔÓÓ f( x) = 0º À ÙÒ ÖØ f(x) ÙÒ Ø Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÓÔÓ ÔÓØ ÐÐ Ð Ö ¹ Ü Û ÔÓ Ü Û Ø Ò ÓÔÓ Ò ÕÓÙÑ Ò Ò ÐÙØ Ø ÔÛ ÐÐ ÑÔÓÖ Ó Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÖÕÓÒØ Ô Ô Ö Ñ Ø º ¾º½ Û Ø ÔÓ Ô Ö ÔØô ÔÛ Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÑ Ø ØÖ ÛÒ Ü ô ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0, ¾º½µ ÓÔÓÙ ÒÛÖÞÓÙÑ Ò ÐÙØ ÑÓÖ Ø Ð ØÓÙ Ò Ö ÑÑ Ñ Ö Ñ¹ Ñ Ü ô Ò Ô ÕÓÒØ Ò ÐÙØ Ð º Ô Ö Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÑÓ n Ñ Ñ Ø Ð Ø p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ÒÛÖÞÓÙÑ ½ Ø n > 4 Ü Û p(x) = 0 Ò Õ Ò ÐÙØ Ð º Ù ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ø Ò Ü Û ¾º½µ ÕÓÙÑ Ø Ð ½ Τοθεώρηματου Abel(1802-1824) x = b ± b 2 4ac 2a ½

½ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ô ØÓ Ò Ð Ø ÔÖ ÑÓ Ø Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ð ¹ Ø Ø Ò Ó Ö Ñ º ÓÒ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÐÔÞÓÙÑ Ò ÐÙØ Ð Ø Ò f(x) = 0 ÔÖÓ ÓÙÑ Ö Ñ Ø Ð Ó ÓÔÓ Ô Ö ÕÓÙÒ ÔÓ ÔÖÓ Ø Ð Ð ÛÒ Ø Ü Û º ÇÖ Ñ ¾º½ ÓÑ ÒÓÙ Ñ ÙÒ ÖØ Û f(x) Ó Ö Ñ x ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò Ü Û f( x) = 0 Ð Ø ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Û Ð Ø f(x) = 0º È Ö Ñ ¾º½ ³ ØÛ Ø ÕÓÙÑ Ò ÐÓ Ö Ñ Ø Ò ØÖ Ô Þ ØÓÒ ÓÔÓÓ ¹ Ø ØÓÙÑ Ñ Ò ØÓ ÔÓ ØÛÒ P ÕÖ Ñ ØÛÒº À ØÖ Ô Þ Ñ Ô Ö Õ Ø Ó Ô Ø Ó Rº Ì Ø Ó ÙÒÓÐ Ö Ñ ÕÖ Ñ ØÛÒ ÔÓÙ ÕÓÙÑ Ñ Ø Ô N Ø ¹ Ò A = P + P ( 1 + R ) ( + P 1 + R 2 ( + + P 1 + 12 12) 12) R N 1. ËØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ó ÖÓ P ( 1 + 12) R i 1 Ò ÙÒ ÓÖ Ø i Ô ØÓ Ø ¹ ÐÓ Ø ØÓ ÙÒÓÐ ÔÓ Aº Ð Ø Ð ÙØ Ø ÙÒ Ö P Ñ Û ÔÖÓ Ó Ñ Ò P ( 1 + 12) R Ó ØÛ Ü Û Ø Ò ÔÖôØ ÔÓÙ ) N 1 ÙÒ Ö P ( 1 + 12) R N 1 ( ØÓ Ø Ð ÔÓ ØÓ Ñ Ò Nº Ù P 1 + R 12 Ò ØÓ ÔÓ P Ò Ó Ø Ó N 1 Ñ Ò Ò ØÓ Þ Ñ ÒÓµº ÇÔ Ø ÕÓÙÑ Ø Ò ÛÑ ØÖ Ö A = N ( P 1 + 12) R n 1 = P 1 ( 1 + R 12 1 ( 1 + R 12 n=1 ) N ) = P R/12 [ ( 1 + R ) N 1]. 12 ³ ØÛ Ø ÐÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ Ñ Ø Ô Ø Ó R ÒÛÖÞÓÒØ Ø P, A Nº ÇÔ Ø ÕÖ Þ Ø Ò ÖÓ Ñ Ø Ò ÖÞ Ø Ü Û [ ( f(r) = P 1 + R ) N 1] = 0. R/12 12 ³ÇÐ Ó Ö Ñ Ø Ñ Ó Ó ÔÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ ÙØ ØÓ Ð Ó Ø Ò ÔÐÙ Ø f(x) = 0 ÓÙ Ø ÒÓÙÒ Ø Ô Ö ØÛ ½º Ñ ÓÙÖ Ó Ò Ñ ÓÐÓÙ Ø ÑôÒ x i = x 1, x 2,... ÔÓÙ Ò ÔÖÓ Ø Ð x f( x) = 0º ¾º Ë Ô Ò Ð Ý Ø ÐÓ Ò Ò Ð ÕÓ Ð Ò Ô ØÛ Ô Ó ÓÒØ Ö Ø Ô ÖÓ Ð Ø Ò ÔÖ Ñ Ø ÖÞ º Ø Ñ ÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ø Ò Ö Ð ÛÒ ÒÓÙÑ ÕÖ ØÛÒ Ô Ö ØÛ ÔÓØ Ð Ñ ØÛÒ Ô Ø Ò ³ Ð Ö Ò ÐÙ º

¾º½º ÁË Ï ïà ½  ôö Ñ ¾º½ ³ ØÛ Ø f(x) Ò ÙÒ Õ ØÓ [α, β]º Ò ÔÓ x 1, x 2 [α, β] Õ f(x 1 ) γ f(x 2 ) Ø Ø ÙÔ ÖÕ x 3 [α, β] ÔÓÙ f(x 3 ) = γº Ë ÙØ ØÓ Ð Ó Ò Ö Ñ Ø Ø ÖÞ Ø f(x) Ð ÔÓ Ó x [α, β] Ø ØÓ Ó ô Ø f( x) = 0º Ô ØÓ ôö Ñ ¾º½ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ð Ô ËÕ Ñ ¾º½µ Ø Ò ÔÓ x 1, x 2 [α, β] Õ f(x 2 ) 0 f(x 1 ) Ø Ø Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÙÔ ÖÕ ÈË Ö ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ñ ÖÞ ØÓ [xèë Ö 1, x 2 ]º À Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ f(x 2 ) 0 f(x 1 ) Ò Ó Ò Ñ Ñ Ø Ò f(x 2 )f(x 1 ) 0º f(x) f(x 1 ) f(x) f(γ) f (γ) = 0 f(x) f(β) f(γ) f(x 2 ) α x 2 β x x 1 2 4 f(α) = f(β) α γ β x f(α) α γ β x (αʹ) Θεώρημα 2.1 (βʹ) Rolle s ËÕ Ñ ¾º½  ÛÖ Ñ Ø ¾º½¹ ¾º (γʹ) Μέση Τιμή Â ôö Ñ ¾º¾ Rolle sµ ³ ØÛ Ø f(x) Ò ÙÒ Õ ØÓ [α, β] Ô Ö ¹ Û Ñ ØÓ (α, β)º Ò f(α) = f(β) Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó γ (α, β) Ø ØÓ Ó ô Ø f (γ) = 0, ÔÓÙ f (γ) Ò ÔÖôØ Ô Ö Û Ó Ø f(x) ØÓ γº ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ Ñ Ð Ø Ò Õ f(α) = f(β) Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ñ Ó γ (α, β) ØÓ ÓÔÓÓ ÔØÓÑ Ò Ø f(x) ØÓ γ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Û ÔÖÓ ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ xº ÇÔ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ò Ü Û f(x) = 0 Õ Ó ÖÞ α, β Ð f(α) = f(β) = 0 Ø Ø Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ôö Ñ ¾º¾ Ü Û f (x) = 0 Õ Ñ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ÖÞ γ (α, β)º ³ Ñ ÖÑÓ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ò ØÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ º  ôö Ñ ¾º Å Ì Ñ µ ³ ØÛ Ø f(x) Ò ÙÒ Õ ØÓ [α, β] Ô Ö Û Ñ ØÓ (α, β)º Ì Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó γ (α, β) Ø ØÓ Ó ô Ø f(β) f(α) β α = f (γ), ÔÓÙ f (γ) Ò ÔÖôØ Ô Ö Û Ó Ø f(x) ØÓ γº

½ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ ¾º¾ Å Ó Ó ÕÓØ Ñ ÙØ Ñ Ó Ó Ò ÔÓ ÔÐ Ô ÙØ ÔÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ ÙØ ØÓ ¹ Ð Ó Ò Ñ ÖÑÓ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ¾º½ ÔÓÙ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ü Ó Ñ ÛÒ Ø ÓÔÓ Ó Ø Ñ Ñ ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ f(x) ÕÓÙÒ ÒØ Ø ÔÖ ¹ Ñ Ò Ñ ÙØ Ø Ñ ÔÖ Ô Ò ÙÔ ÖÕ Ñ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ÖÞ Ò Ñ ØÓÙº À Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ Ò Ò ÕÓØÓÑ ÓÙÑ ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Ø ÖÞ Ô Ò Ð Ý º ÓÒ ÒÛÖÞÓÙÑ ÔÓ Ô Ø Ó ØÑ Ñ Ø ÔÓÙ Ô Ö Õ Ò Ô Ø Ò ÕÓØ Ñ Ô Ö Õ Ø ÖÞ Ð ÓÙÑ ÙØ ØÓ ØÑ Ñ Ô Ò Ð Ñ ÒÓÙÑ Ø Ò º Ì ÖÑ ØÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ò ÔÐ ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Ò ÔÓÐ Ñ Ö º Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ð Ö ÑÓ ¾º½ Å Ó Ó ÕÓØ Ñ µ ÕÓØÓÑ (f( ), ǫ) ½ Ö a 1, b 1 f(a 1 )f(b 1 ) < 0; ¾ for k = 1, 2... m := (a k+b k ) ; 2 if f(a k )f(m) 0 a k+1 := a k, b k+1 = m; else a k+1 := m, b k+1 = b k ; fi if b k+1 a k+1 < ǫ 11 ½¼ rof; ½½ return a k+1, b k+1 ; f(x) ÙØ Ö ô Ò Ó Ð Ö ¹ ÑÓ ¾º½ ÔÛ Ô ÓÒÞ Ø ØÓ ËÕ Ñ ¾º¾ ÔÓ ÙÒ ÖØ º ¹ Ô Ò Ð Ý k = 1, 2,... ØÓÒ Ö ÕÓ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ø Ö ÑÑ ¾¹½¼ Ö ÓÙ¹ Ñ ØÓ Ñ Ó m ØÓÙ Ø Ñ ØÓ [a k, b k ] b 4 b 3 b 2 Ð ÕÓÙÑ Ò ØÓ Ø Ñ m 3 m 2 b 1 [a x k, m] a 1 m 1 ÙÔ ÖÕ ÖÞ Ø Ò Ö ÑÑ º Ò ÙÔ Ö¹ a 2 Õ ÖÞ ØÓÙÑ ØÓ Ø Ñ Ø Ò ¹ a 3 a 4 Ô Ñ Ò Ô Ò Ð Ý [a k+1, b k+1 ] = [a k, m] Òô Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ø Ø Ò Ø Ð Û Ø Ø Ø ØÛÒ ÖÕ ôò a 1, b 1 ËÕ Ñ ¾º¾ À Å Ó Ó ÕÓØ Ñ Ø Ò Ö ÑÑ ½ ÙÔ ÖÕ ÖÞ ØÓ ¹ Ø Ñ [m, b k ] ÔÓÙ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ò Ð Ý Ð [a k+1, b k+1 ] = [m, b k ]º Â Ø ÖÑ Ø ÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ò Ø Ò ÙÒ Õ ¹ ÕÓØ Ñ ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÓÙ ǫ ÙÒ ÓÔÓ Ð Õ Ø Ø Ò Ö ÑÑ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙº

¾º¾º Åï ÂÇ ÇË ÁÉÇÌïÇÅÀËÀË ½ È Ö Ñ ¾º¾ ³ ØÛ Ø f(x) = x 3 + x 1 ÔÓÙ x [0, 1] ÐÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ x Ø ØÓ Ó ô Ø f(x ) = 0º  ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º½º À ÔÖôØ Ò Ö ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÒÓÙÑ Ò Ò Ð ÜÓÙÑ Ò ÙÔ ÖÕ ÖÞ ØÓ Ð Ø Ø Ñ [0, 1]º ÒØ ØôÒØ Ø Ö ØÓÙ Ø Ñ ØÓ Ø Ò ÙÒ ÖØ Ö ÓÙÑ f(0) = 1, f(1) = 1f(0)f(1) < 0, ÓÔ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ Ñ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ôö Ñ ¾º Ø ÙÔ ÖÕ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ ÖÞ ØÓ [0, 1]º Ò ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ø Ô Ò Ð Ý ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÖÓ Ñ k = 1 a 1 = 0, b 1 = 1, m = 0 + 1 = 0.5 2 f(m) = f(0.5) = (0.5) 3 + 0.5 1 = 0.375 < 0 f(a 1 ) = f(0) = 1 < 0 f(b 1 ) = f(1) = 1 > 0 a 2 = 0.5, b 2 = 1 k = 2 m = 0.5 + 1 = 0.75 2 f(m) = (0.75) 3 + 0.75 1 = 0.172 > 0 f(a 2 ) = f(0.5) = 0.375 < 0 a 3 = 0.5, b 3 = 0.75 0.5 + 0.75 k = 3 m = = 0.625 2 f(m) = (0.625) 3 + 0.625 1 = 0.131 < 0 f(a 3 ) = f(0.5) = 0.375 < 0 f(b 3 ) = f(0.75) = 0.172 > 0 a 4 = 0.625, b 4 = 0.75 0.625 + 0.75 k = 4 m = = 0.6875 2 f(m) = (0.6875) 3 + 0.6875 1 = 0.245 > 0 f(a 4 ) = f(0.625) = 0.131 < 0 a 5 = 0.625, b 4 = 0.6875 ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Òô ØÓ k ÙÜ Ò Ø ØÓ Ø Ñ [a k, b k ] Ñ ôò Ø Ð Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ º ³ÇØ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô ÔÓ Ó ǫ Ø Ø Ø ÖÑ ØÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ð ÓÙÑ Ø ÖÞ Ø f(x) = x 3 + x 1 Ö Ø ØÓ [a k, b k ]º Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ñ ÖÞ ØÓ Ø Ñ [α, β] Ø Ø Ñ Ó Ó ÕÓØ ¹ Ñ Ò Ø Ô Ó ÔÓÐ ÔÐÓ º ÖÓÙÑ Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ñ ÖÞ ØÓ [α, β] Ø Ø ½º f(α)f(β) > 0 Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÖØ Ó Ö Ñ Ð ÛÒ ØÓ [α, β]º

¾¼ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ ¾º f(α)f(β) < 0 Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ô Ö ØØ Ö Ñ Ð ÛÒ ØÓ [α, β]º È Ö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø f(x) = x 2 1 ÔÓÙ x [ 2, 2] Ð Ó ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Û Ò ½ ½º ÓÒ f( 2)f(2) > 0 ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ ÖØ Ó Ö Ñ Ð ÛÒº ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ ÕÓÑ k = 1 a 1 = 2, b 1 = 2, m = 2 + 2 = 0 2 f(m) = f(0) = 1 < 0 f(a 1 ) = f( 2) = 3 > 0 f(b 1 ) = f(2) = 3 > 0 ÇÔ Ø Ð ÔÓÙÑ Ø f(m)f(a 1 ) < 0 f(m)f(b 1 ) < 0 Ð Ø Ó Ø ¹ Ñ Ø [ 2, 0] [0, 2] Ô Ö ÕÓÙÒ Ñ ÖÞ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Â ôö Ñ ¾º½º ËÙ ¹ Ö Ñ Ò [0, 2] ÕÓÑ m = 0 + 2 = 1 f(1) = 0, 2 [ 2, 0] ÕÓÑ m = 2 + 0 2 = 1 f( 1) = 0. Ô ØÓ Ô Ö Ñ ¾º ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÕÓÙÑ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ñ ÖÞ ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Þ Ø Ø Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ ÑÔÓÖ Ò ÖÑÓ Ø Ñ Û ÔÓÐÐ ÔÐôÒ Ð ÛÒ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º½º ÌÓ Ó Õ Ð Ø Ñ ÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ø Ô Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙ ÓÔ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ Ñ ÑÓÒÓ ÖÞ ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø Þ º ¾º¾º½ Ë Ð Ø Å ÓÙ ÕÓØ Ñ Ç Ð Ö ÑÓ ÕÓØ Ñ Ô Ö Ñ ÓÐÓÙ ÒØÖÛÒ Ø Ñ ØÛÒ c 1, c 2,...,c n ÔÓÙ lim n c n = r, ÔÓÙ r Ò ÖÞ Ø f(x) ØÓ Ø Ñ [α, β]º ÇÔ Ø Ñ Ø Ô n Ô Ò Ð Ý ÕÓÙÑ ( ) n 1 r c n (β α), 2 ÔÓÙ Ò ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ñ Ó Ó Ù ÐÒ Ö ÑÑ Ñ ÖÙ Ñ 1 2 Ö Õ Ø µº È Ö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø f(x) = x 3 + x 1, x [0, 1]º ÍÔÓÐÓ Ø Ñ Ø Ô Ô Ô Ò Ð Ý Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ Ö Ñ ÔÖÓ Ø ÖÞ c n Ø ØÓ ô Ø r c n 10 5,

¾º º Åï ÂÇ ÇË ÉÇÊ ïàë ¾½ ÔÓÙ r Ò ÔÖ Ñ Ø ÖÞ Ø f(x) Ð f(r) = 0µº ÒÛÖÞÓÙÑ Ø r c n = 1 2 n = 10 5 2 n = 10 5 nlog2 = 5log10 = 5 n = 5 = 16.6677 17. log2 ÇÔ Ø Ô ØÓ ÒØ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ½ Ô Ò Ð Ý ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÕÓØ Ñ Ò Ô Ø ÙÕ Ô ÙÑ Ø Ö º Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ñ Ò ÔÐ ÓÒ ÓÐÓ Ò Õ Ñ Ø ÓÙÑ Ø Ò Ò Ô Ö¹ ÔØÛ º ÔÓ Ó ÖÕ Ø Ñ [α, β] ÔÓÙ T = β α Ó Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ n ÔÓÙ Ô ØÓ ÒØ Ò Ö ÖÞ Ñ Ö ǫ Ö Þ Ø Ô ØÛ Û n > log ( ) ǫ T log2. ¾º Å Ó Ó ÉÓÖ ÙØ Ñ Ó Ó Ò Ô Ö ÑÓ Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ ÐÐ Û ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ ÓÙ ÒØ Ò Ñ ÓÙ Ñ ÓÙ Ò Ø Ñ ØÓ Ô ÖÒÓÙÑ Ò Ñ Ó ØÓÒ Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÜÓÒ ØÛÒ Ø ÑôÒ ØÓÙ x ÔÓÙ Ò ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ñ ÕÓÖ ÔÓÙ ÒôÒ Ó Ñ Ô ÒÛ Ø Ò ÑÔ Ð ÔÓÙ ÓÖÞ f(x)º f(x) ³ ØÛ Ø ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø (b 1, f(b 1 )) Ø Ò ÖÞ Ñ ÙÒ ÖØ f(x) Ò [a, b]º ËØ Ò Ñ Ó Ó ÕÓÖ Ö ÓÙÑ ØÓ ¹ Ñ Ó ØÓÑ ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ x Ø ÕÓÖ¹ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹ (a, f(a)) (b, f(b)) ØÓ ÓÔÓÓ Ö¹ a 1 a 2 a 3 a 4 Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ü Ø ÖÞ x Ø ØÓ ÓÔÓÓ Ü ÖØ Ø Ô Ø Ò ÙÖØ Ø ¹ b 1 b 2 b 3 Ø Ø ÙÒ ÖØ º ÙØÓ ØÓÙ ¹ b 4 Ñ ÓÙ ØÓÑ Õ Ñ ØÞÓÙÑ Ñ Ò ÕÓÖ (a 1, f(a 1 )) Ø ÓÔÓ ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ñ ØÓÒ ÜÓ¹ Ò ØÓÙ x Ò ÔÐ Ø ÖÓ Ø Ò ÖÞ ËÕ Ñ ¾º À Å Ó Ó ÉÓÖ Ø f(x)º ÇÔ Ø Ô Ò Ð Ñ ÒÓÒØ Ø Ò ÙØ Ù ÐÒÓÙÑ ÔÖ Ø Ò ÖÞ Ð Ô ËÕ Ñ ¾º µº À ÕÓÖ Ñ Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ (a, f(a)) (b, f(b)) ÓÖÞ Ø Ô Ø Ò Ù y f(b) = f(b) f(a) (x b), b a

¾¾ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ ØÓ Ñ Ó ØÓÑ ÙØ Ø Ù Ñ ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ x Ò Ð Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ü Û Û ÔÖÓ ØÓ x y = 0 x = b f(b) f(b) f(a) = f(b) b a x b = f(b) b x ( ) b a af(b) bf(a) = f(b) f(a) f(b) f(a). ¾º¾µ Ð Ö ÑÓ ¾º¾ Å Ó Ó ÉÓÖ µ ÉÓÖ (f( ), ǫ) ½ Ö a 1, b 1 f(a 1 )f(b 1 ) < 0; ¾ for k = 1, 2... c := a kf(b k ) b k f(a k ) f(b k ) f(a k ; ) if f(c) < ǫ 11 if f(a k )f(c) 0 a k+1 := a k, b k+1 := c; else a k+1 := c, b k+1 := b k ; fi; ½¼ rof; ½½ return c; ³ ÕÓÒØ ÓÖ Ø Ò Ò ÐÙØ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ÓÙ ØÓÑ Ñ ØÓÒ ÜÓÒ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Õ Ñ Ø ÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ÕÓÖ ¾º¾º À Ð ØÓÙÖ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÔÛ Ò Ø ØÓ ËÕ Ñ ¾º Ò Ü º Ø Ñ [a k, b k ] ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ñ ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ x Ø Ò Ö ÑÑ Ø Ò Ö ÑÑ Ð ÕÓÙÑ Ò ØÓ Ñ Ó ÙØ ÔÓØ Ð Ñ ÒÓÔÓ Ø ÔÖÓ Ø ÖÞ ÔÓÙ Ø ÖÑ ØÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓº Ò ØÓ Ô ÖôÒ Ñ Ó ØÓÑ Ò Ò Ñ ÒÓÔÓ Ø ÔÖÓ Ø Ò ÖÞ Ø Ø ÔÓØ Ð Ò Ô Ø Ñ ÔÓÙ ÓÖ ÓÙÒ ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ø Ñ ÔÛ ÓÖÞÓÙÒ Ó Ö ÑÑ ¹ º ËÙ Ö Ñ Ò Ò ØÓ Ñ Ó ØÓÑ c Ò Ö Ø Ö Ø ÖÞ Ð Ñ Ö Ø ÖÓ ÔÐ Ø Ö ØÓ Ñ Ò Ô Ø Ò ÖÞ µ Ø Ø ØÓ Ò Ó Ø Ñ Ò [c, b k ] Òô Ø Ò ÒØ Ø Ô ÖÔØÛ Ò [a k, c]º À ÙÒ Ø Ò Ö ÑÑ Ò Ü Ò Ñ ÃÙÖØ Å ¹ ÙÖØ ÖÑÓ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ¾º½º ËØÓ ËÕ Ñ ¾º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 00 11 Ò Ø ÖÑÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ¾º¾ Ñ ÙÒ ÖØ Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ö Ø Ô ÒØ Ø Ò Ö Ø Ö ÔÐ ÙÖ Ø ÖÞ º ÙØ ÙÑ Ò Ø ÙÒ ¹ ËÕ Ñ ¾º ÃÙÖØ Ø Ø ÖØ ØÓ Õ Ñ Ò ÙÖØ º Ò Ø Ö Ò Ô Ò ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ô Ø Ò ÑÔ Ð Ø Ò ÕÓÖ Ñ Ø Ü Ó Ñ ÛÒ Ø Ò ÑÔ Ð Ò ÙÖØ Ø Ø ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ö Ø Ô ÒØ Ô Ø Ò Ñ ÔÐ ÙÖ Ø ÖÞ Ø ÓÕ Ô Ò Ð Ý

¾º º Åï ÂÇ ÇË Å Ì ÄïÇÅ ÆÀË ÉÇÊ ïàë ¾ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ÕÓÖ º Å Ô Ò Ð Ø ÙÖØ Ò Ù Ñ Ø Ü Ó ÓÔÓ ÓÒ ÔÓØ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ô Ò Ò Ü ÓÐÓ Ð ÖÓÙ Ø Ò Ô Ò º Ô Ö Ñ ØÓ ËÕ Ñ ¾º Ð ÔÓÙÑ Ø Ø Ò Ø Ö Ô Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ñ ÔÓÙ Ù ÔÓÙ ÓÖÞÓÙÒ Ò Ô Ö Õ Ø Ø Ò Ô Ò º Ò ÙÒ ÖØ Ò ÙÖØ ÓÐ Ø Ø Ô Ò ÔÓÙ ÓÖÞ ÓÔÓ ÔÓØ ÕÓÖ Ñ Ø Ü Ó Ñ ÛÒ Ø Ò ÑÔ Ð Ø Ò ÙÖØ º ËÙ ÖÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓÖ Ñ ÙØ Ò Ø ÕÓØ Ñ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓÖ ÕÓÙÑ Û ÔÓØ Ð Ñ Ñ Ø Ñ ÔÓÙ ÔÖÓ Þ Ø Ò ÖÞ ÒØ Ò Ø Ñ ØÓ ÓÔÓÓ Ñ Ø ÓÙÖÓ Ø Ô Ö Õ Ø Ò ÖÞ Ø ÙÒ Ö¹ Ø Ûº Ô Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ø Õ Ø Ø Ð ÔÖÓ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Û Ü ÖØ Ø Ô Ø Ò Ð ØÛÒ ÓÕ ôò ÕÓÖ ôò ÔÓÙ Õ Ñ Ø¹ ÞÓÒØ ÔÓÙ Ü ÖØ ÒØ Ô Ø Ò ÑÓÖ Ø ÑÔ Ð º  ÑÔÓÖÓ Ñ ÓÐ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ô Ö Ñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ó Õ Ö ÖÙ Ñ Ð Ø Ò ÖÞ º Ö ÔÐ Ñ ÒØ ¾º Å Ó Ó Å Ø Ð Ñ Ò ÉÓÖ Ë ÙØ Ø Ò Ñ Ó Ó ØÖÓÔÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓÖ Ò Ô Ø ÕÓÙÑ Ø Õ Ø Ö Ð Ñ ôòóòø Ø Ò Ð ØÛÒ ÓÕ ôò ÕÓÖ ôò Ø ô Ø Ø ÓÕ Ñ ØÓÑ ÔÐ ÞÓÙÒ Ñ Ø Õ Ø ÖÓ ÖÙ Ñ Ø Ò ÖÞ º ÙØ Ñ Ó Ó Ô Ñ Ô ØÖ Ô Ò ÓÖ ÓÙÑ Ò Ø Ñ ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ö Õ Ø ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Ûº f(x) ³ ØÛ Ø ÕÓÙÑ Ñ ÙÒ ¹ ÖØ f(x) ÒÛÖÞÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ R R Ñ ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Û ØÓ Ø ¹ Ñ [a 1, b 1 ] Ð Ô ËÕ Ñ ¾º µº  ØÓÙ¹ a 3 a R 2 Ñ R = f(b 1 ) L = f(a 1 ) ÙÔÓ¹ a 1 x x 4 4 ÐÓ ÞÓÙÑ ØÓ Ñ Ó ØÓÑ Ø Ù x x 3 b 2 Ñ Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ (L, a b1 1 ) (R, b 1 ) L b 3 x 2 2 ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ x ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Õ ¾º¾ Û x 2 º ÌÓ Ñ Ó x 2 ØÓÒ ¹ ÜÓÒ ÓÖÞ Ò Ò Ó Ñ Ó (R, b L 2 ) Ø Ò ÑÔ Ð ÔÓÙ ØÓÑ Ø ÕÓÖ Ñ Ø ¹ Ü ÙØÓ ØÓÙ Ñ ÓÙ ØÓÙ (L, a 1 ) ËÕ Ñ ¾º À Å Ó Ó Å Ø Ð Ñ Ò ÓÖ Ò Ò Ó Ñ Ó x 3 ØÓÒ ÜÓÒ ØÓÙ ÉÓÖ xº Å Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓÖ ÙÒ ÕÞ Ñ Ø ÙØ ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ÓÕ Ñ x k Ø ÓÔÓ Ù ÐÒÓÙÒ ÔÖ Ø Ò ÖÞ º Ð ÔÓÙÑ ÑÛ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÐ ÓÙÑ Ø Õ Ø Ö Ø Ò ÖÞ Ò Ñ ôò Ñ Ø Ò Ð Ø ÕÓÖ º ÓÒ Ó ÓÕ Ô Ò Ð Ý Ø Ñ x 2 x 3 Ö ÓÒØ Ô Ø Ü Ø ÖÞ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ø Ô Ñ Ò Ô Ò Ð Ý Ø Ñ ÔÓÙ ÔÖÓ ÝÓÙÒ Û ØÓÑ ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ ÕÓÖ ôò Ö ÓÒØ Ø Ò ÔÐ ÙÖ º ÇÔ Ø ÒØ Ø Ò ÕÓÖ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ñ Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ (b 3, R ) (a 3, L) Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò ÕÓÖ ØÛÒ ¹

¾ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ Ñ ÛÒ (b 3, R ) (a 3, L/2)º Å ôòóùñ Ð ØÓ L ØÓ Ñ Ù Ò Ñ ô ÓÙÑ Ø Ò Ð Ø ÕÓÖ º Ç Ð Ö ÑÓ Ñ Ø Ð Ñ Ò ÕÓÖ Ò Ó Ô Ö ØÛº Ð Ö ÑÓ ¾º Å Ó Ó Å Ø Ð Ñ Ò ÉÓÖ µ Å Ø ÐÓÑ Ò ÉÓÖ (f( ), ǫ) ½ Ö a 1, b 1 f(a 1 )f(b 1 ) < 0; ¾ L = f(a 1 ), R = f(b 1 ), x 1 = a 1 ; for k = 1, 2... if a k b k < ǫ 14 x k+1 := a kr b k L ; R L if f(a k )f(x k+1 ) < 0 a k+1 := a k, b k+1 := x k+1, R := f(x k+1 ); if f(x k )f(x k+1 ) > 0 L := L 2 else ½¼ a k+1 := x k+1, b k+1 := b k, L := f(x k+1 ); ½½ if f(x k )f(x k+1 ) > 0 R := R 2 ½¾ fi; ½ rof; ½ return [a k, b k ]; Ç Ð Ö ÑÓ ¾º Ò Ô Ö ÑÓ Ó Ñ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ÕÓÖ ¾º¾ Ñ Ø Ò ÓÖ Ø Ô Ö Õ Ø Ô ÔÖ Ø Ñ Ø Ð Ø x k, R L Ù ÓÐ ØÓÙ ÙÔÓÐÓ ¹ ÑÓ º À ÙÒ Ø ÖÑ Ø ÑÓ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ Ò Ø Ò Ö ÑÑ ÔÓÙ Ð ¹ Õ Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò Þ Ø ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ò ÖÞ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô Ñ ÓÑ Ò Ö ǫº ËØ Ö ÑÑ ½½ Ó Ð Ö ÑÓ Ð Õ Ò Ø Ó Ø Ð ÙØ Ô Ò Ð Ý ØÓ Ñ Ó ØÓÑ x k+1 Ö Ø Ø Ò ÔÐ ÙÖ Ô Ø Ò ÖÞ ÔÓÙ Ñ ôò Ø ØÓ Ñ Ù ØÓ R ØÓ L ÒØ ØÓ Õ º È Ö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø f(x) = x 3 + x 1 ÔÓÙ x [0, 1] ÔÛ ØÓ Ô Ö Ñ ¾º¾ ÐÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ x Ø ØÓ Ó ô Ø f(x ) = 0º ÉÖ ÑÓ¹ ÔÓ ôòø ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Å Ø ÐÓÑ Ò ÉÓÖ (x 3 + x 1, ǫ) Ó Ô Ò Ð Ý

¾º º Åï ÂÇ ÇË NEWTON ¾ ÕÓÙÑ a 1 = 0, b 1 = 1, f(a 1 ) = 1, f(b 1 ) = 1 L = f(a 1 ) = 1, R = f(b 1 ) = 1, x 1 = a 1 = 0. k = 1 x 2 = a 1R b 1 L R L = 1 2 f(a 1 )f(x 2 ) = ( 1)( 0.375) > 0 a 2 = x 2 = 1/2, b 2 = b 1 = 1, L = f(x 2 ) = 0.375. f(x 1 )f(x 2 ) = ( 1)( 0.375) > 0 R = R 2 = 1/2 k = 2 x 3 = a 2R b 2 L R L = 0.714 f(a 2 )f(x 3 ) = ( 0.375)(0.078) < 0 a 3 = a 2 = 1/2, b 3 = x 3 = 0.714, R = f(x 3 ) = 0.078. f(x 2 )f(x 3 ) = ( 0.375)(0.078) < 0 ÌÓ Ø Ñ [a 3, b 3 ] = [0.5, 0.714] Ô Ö Õ Ø Ò ÖÞ Ñ ÔÖÓ Ø ÓÔÓ Ø Ò ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ó ØÓÑ x 4 = 0.6772º Ë Ö Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ ØÓ Ô Ö Ñ ¾º¾ ÔÐ Ñ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ñ Ø ÖÞ ÔÓÙ Ò ¼º ¾ Ó Ñ ÒÓ Ô Ò Ð Ý ÒØ Ø Ö º ¾º Å Ó Ó Newton Ç ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ñ Ó Ó ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ Ø ÖÞ Ñ ÙÒ ÖØ Û Õ Ò ØÓ ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ô Ö Û Ó Ø ÙÒ ÖØ Ò Ø Ò Ô Ö Ø Ø ÓÔ Ø Ò Ø Ò Ò Ò ÐÙØ Ø ÔÛ Ø ÙÒ ÖØ º À Ñ Ó Ó Newton ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÔÖôØ Ô Ö Û Ó Ø ÙÒ ÖØ f(x) Ò ÔÖÓ Ø Ò ÖÞ Ø Ð Û ÙØÓ Ù ÐÒ Ø Õ Ø Ö ÐÐ Ù Ø Ö Ù Ö Ø Ö Õ ÔºÕº Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó ÕÓØ Ñ µº ³ ØÛ Ø ÕÓÙÑ ØÓ Ò ÔØÙ Ñ Taylor Ñ ÙÒ ÖØ f(x) ØÓ Ñ Ó x 0 f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0) 2 f (x 0 ) + 2 Ò Ð ÓÙÑ Ø Ò Ü Û f(x) = 0 ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÖÓ ÓÙÑ Ø Ò ÖÞ Ð ÒÓÒØ f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x = x 0 f(x 0) f (x 0 ),

¾ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÙ ØÓ Ñ Ó x Ò ØÓÑ ØÓÒ ÜÓÒ ØÛÒ Ø ÑôÒ ØÓÙ x Ø ÔØÓÑ Ò Ø f(x) ØÓ Ñ Ó Ø Ò ÑÔ Ð (x 0, f(x 0 ))º f(x) x 4 x 3 ËÕ Ñ ¾º À Å Ó Ó Newton x 2 x 1 x 1 x 2 = f(x 1 ) f (x 1 ) x Ò Ö Ñ Ø ÓÒØ Ø Ò ÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Ø Ø Ð Ø ÙÒ ÖØ ¹ Ò ÒÓÙ ØÓ Ñ Ó x Ò ÔÐ Ø Ö Ø Ò ÖÞ Ô ØÓ x 0 º Ô Ò Ð Ñ ÒÓÒØ ÙØ Ø Ò ¹ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ó¹ Õ Ñ Ø ÓÔÓ Ù ÐÒÓÙÒ Ø Ò ÖÞ º ËØÓ ËÕ Ñ ¾º ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó ¹ Ñ Ø Ò ÙÑÔ Ö ÓÖ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ö ¹ Ñ Ò º ÈÖÓ ÜØ Ø Ò ¹ Ñ ÒØ Ò Ö Ñ Ø ÓÒØ Ø Ò ÖÞ ÐÛ Ø Ò ÓÐÓ Ø ÓÕ ¹ Ñ x k Ò ÔÓÑ Ö ÒÓÒØ Ô Ø Ò ÖÞ ¾ º Ï Ö Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ø ÑÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ ÓÙÑ ØÓ ÓÒ Ø Ø Ñ x k Ô ÒØ Ò Ñ Ö Ø Ö Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò ÖÞ Ö Ø Ò Ö Ñ Ø ÓÒØ Ø Ò ÖÞ Ó ÓÕ Ñ x k x k+1 Ò Ô ÔÓÐ ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙº Ð Ö ÑÓ ¾º Å Ó Ó Newtonµ Newton(f( ), f ( ), ǫ) ½ Å ÒØ Ý x 1 ÖÞ Ø f(x); ¾ for k = 1, 2... x k+1 := x k f(x k) ; f (x k ) if x k+1 x k < ǫ 6 rof; return x k+1 ; ³Ï Ñ Ò ÓÑ Ò ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Newton Ô Ö ÕÓÙÑ ØÓÙ Ò ÐÙØ ¹ Ó Ø ÔÓÙ Ø ÙÒ ÖØ Û ô Ø ÔÖôØ Ô Ö ô ÓÙ ÔÓ ¹ Ö ǫº Ç Ð Ö ÑÓ Ø Ö ÑÑ ¾¹ ÔÐô ÙÔÓÐÓ Þ ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ó ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ Ð Õ Ò ÕÓÙÑ Ð Ò Ñ Ó ØÓ ÓÔÓÓ Ô Òô Ò ÖÞ º È Ö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø f(x) = x 6 x 1º ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Ñ Ó Ó ¾ Σχηματίστεγραφικάπαραδείγματασυναρτήσεωνγιατιςοποίεςγιακάποιοαρχικόσημείοη μέθοδος Newton δεν συγκλίνει στην ρίζα

¾º º Åï ÂÇ ÇË NEWTON ¾ Newton Ñ ÖÕ Ø Ñ x 0 = 2 f (x) = 6x 5 1 ÕÓÙÑ k = 1 x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) = 1.68 k = 2 x 2 = 1.43 º k = 5 x 5 = 1.13 º k = 7 x 7 = 1.1347 ÔÓÙ f(x 7 ) = 4.0 10 9 0º ÅÔÓÖÓ Ñ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ñ Ó ÓÙ ÔÐÙ Ü ô ÛÒ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ò n¹ó Ø ÖÞ ÔÓ ÓÙ Ö ÑÓ n α ÓÒ x = n α x n α = 0. n = 2 Ó Ø ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ ØÓÙ Ô Ñ ÒÓÙ Ñ ÓÙ Ø Ò Ö ÑÑ ØÓÙ Ð ¹ Ö ÑÓÙ ¾º Ò x k+1 = x k f(x k) f (x k ) = x k x2 k α 2x k = 2x2 k x2 k α 2x k = 1 ) (x k + αxk. 2 ÒØ ØÓ Õ Ø Ò Ò Ô ÖÔØÛ Ó Ø ÔÓ Ø Ò x k+1 = 1 ( (n 1)x k + α ) n x n 1. ¾º µ k ³ÇÔÛ Ò Ö Ñ Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ó Ó Newton ÑÔÓÖ Ò ÔÓØ Õ ÓÖ Ñ ¹ Ò ÙÒ ÖØ ÖÕ Ñ º ËÙ Ö Ñ Ò Ò ÔÓ Ó Ñ Ó x k ÕÓÙÑ f (x k ) = 0 Ø Ø ÕÓÙÑ Ö Ñ ØÓ Ñ Ò Ó Ð Ö ÑÓ Newton Ø ÖÑ Ø Ñ ÙÔÓÐÓ Ø ÐÑ º ³ ØÛ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ¹ Ñ Ó ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÔÖôØ Ô Ö Û Ó Ñ ÒÞ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ò ÐÓÙ ÖÛ Ô Ò Ø ØÓ Ó Ñ Ó Ô Ô ÖÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÖÑ Ø ÔÓØ º Ò Ø Ö Ø Ò Ñ Ó Ó Newton ÓÔÓ ÔÓØ ÐÐ Ö Ñ Ø

¾ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ Ñ Ó Ó ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ô ÓÐÓ Ô Ö Ñ Ø Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ó ÔÓØÙ Õ Ò º ÇÔ Ø Ó Ñ Ó Ó ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÙÑ Ð ØÓÙÖ Ó Ò ØÛ Ô Ò ÙÒ ÖÑÓ ÙØôÒ Ù Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÖÓÙ¹ ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÐÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ô ØÓÒ Ö ÙÒ Ø Ò Ü Ö ô Ò Ó ÙÒ Ò Ø ØÓ ô Ø Ñ Ó Ó Ò ÔÓØ Õ º ÙØ ØÓÒ ÓÔ ÐÛ Ø ÜÓ ÓÙÑ ÕÖ ÒÓ Ø Ò Ø Ò ÙØôÒ ØÛÒ Ö Ñ Ø ôò Ñ ÛÒ Òô Ó Ô Ö Ø Ö Ô ÙØ Ò Ñ Ñ Ñ Ñ Ø ÐÓ Ñ ÔºÕº MATLAB, Mathematica, Mapleµº ¾º Ô Ò Ð ÔØ Å Ó Ó ËØ ÖÓ Ë Ñ ¹ ÓÙ ÇÖ Ñ ¾º¾ ÔÓ ÙÒ ÖØ f(x) ØÓ Ñ Ó x Ð Ø Ø Ö ¹ Ñ Ó Ø ÙÒ ÖØ Ò Ñ ÒÓ Ò f( x) = xº ³ ØÛ Ø ÒÛÖÞÓÙÑ Ø ÖÞ x Ø f(x) Ò ØÓ Ø Ñ (α, β)º ÙÔÓ¹ ÓÙÑ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ô Ø Ò f(x) Ñ ÙÒ ÖØ g(x) ØÓ Ø Ñ (α, β) ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò ÙÒ x = g( x) f( x) = 0. ¾º µ Ô Ö Ñ ØÛ Ø g(x) = x a(x)f(x) ÔÓÙ a(x) 0 Ò x (α, β)º Ì Ø g(x) = x a(x)f(x) = 0 f(x) = 0º È Ö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø f(x) = x 2 x 2º È Ò g(x) Ò i) g(x) = x 2 2 ii) g(x) = x + 2 iii) g(x) = 1 2 x Ã Ñ Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö ÔØô ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò ÙÒ ¾º µ Ø Ò f(x)º ÇÖ Ñ ¾º À ÙÒ ÖØ g(x) ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò ÙÒ ¾º µ ÔÓ f(x) Ð Ø Ô Ò Ð ÔØ ÙÒ ÖØ º Ü Ø ÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º Ø Ò ÔÐÙ Ø f(x) = 0 ÓÑ ÒÓÙ Ñ Ô Ò Ð ÔØ ÙÒ ÖØ Û g(x) Ø f(x)º Ð Ö ÑÓ ¾º Å Ó Ó ËØ ÖÓ Ë Ñ ÓÙµ ËØ ÖÓË Ñ Ó(g(x), x 0, ǫ) ½ for i = 1, 2... ¾ x i := g(x i 1 ); if x i g(x i ) < ǫ 5 rof; return γ = x i ;

¾º º È Æ ÄÀÈÌÁÃïÀ Åï ÂÇ ÇË ËÌ Â ÊÇïÍ ËÀÅ ïáçí ¾ Ç ÓÔ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ¾º Ò Ö Ò Ö ÑÓ Ñ ÓÙ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ö Ñ Ó Ø Ò g(x)º Ò Ð ØÓÙÖ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ð Ö ÑÓ ÔÖ Ô Ò Õ ÓÙÒ Ø Ü ½º ØÓ ÖÕ Ñ Ó x 0 Ø x 1, x 2,... Ò ÙÔÓÐÓ Ñ Ø Ò g(x)º Ô Ö Ñ Ò g(x) = x Ø Ø x 0 > 0 ÕÓÙÑ x 1 = g(x 0 ) = x 0 < 0 ÓÔ Ø g(x 1 ) Ò ÓÖÞ Ø º ¾º À ÓÐÓÙ x 1, x 2,... ÔÖ Ô Ò Ù ÐÒ ÔÓ Ó Ñ Ó xº º ÌÓ Ñ Ó Ð γ ÔÖ Ô Ò Ò Ø Ö Ñ Ó Ø g(x)º ÈÖÓ ÜØ Ø Ô Ø ÙÒ ½ ¾ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ò ÙÒ ¾º ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ò ÙÒ º  ôö Ñ ¾º Ò g(x) Ò ÙÒ Õ ØÓ Ø Ñ (α, β) ÓÐÓÙ x 1, x 2,... ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º Ù ÐÒ ÔÓ Ó Ñ Ó x Ø Ø ØÓ x Ò Ø Ö Ñ Ó Ø g(x)º Ô Ü ÓÒ ÓÐÓÙ x 1, x 2,... Ô Ö Ø Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÕÓÙÑ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÙÔ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ x = lim n x n+1 = lim n g(x n ). ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ÙÔ Ø g(x) Ò ÙÒ Õ ( ) lim g(x n) = g lim x n = g( x). n n y Ò Ü Ø ÓÙÑ ØÓ Ø Ô Ó ¹ y = x Õ ÙÒ ¾ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ g(x 1 ) Ø ÖÓ Ñ ÓÙ ÔÖ Ô Ò Ü Ø ÓÙÑ g(x 3 ) ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ð ØÓÙÖ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº g(x 5 ) ÙØ ØÓ ÒÓÙÑ Õ Ñ Ø Û Ü Ð Ô ËÕ Ñ ¾º µº ËÕ ÞÓÙÑ Ø Ó ÙÒ ÖØ g(x) xº ÒÛÖÞÓÙÑ Ø g(x 4 ) g(x 2 ) Ò g(x) Õ Ø Ö Ñ Ó Ø Ø Ù¹ y = g(x) g(x 0 ) Ø ØÓ Ñ Ó Ö Ø Ø Ò ØÓÑ ØÛÒ x Ó ÑÔ ÐÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞÓÒØ Ô Ø x 1 x 3 x 5 γ x 6 x 4 x 2 x 0 ÙÒ ÖØ Ð Ð Ø Ñ x ¹ Ò Ø Ö Ø Ò ÙÒ ÖØ xµº À ËÕ Ñ ¾º À Å Ó Ó ËØ ÖÓ Ë ¹ Õ x i = g(x i 1 ) ÓÖÞ Ø ÓÑ ÒÓÙ Ñ ÓÙ ØÓÙ x i 1 ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ó x i Ö ¹ Ô Ø Ò ÙÒ ÖØ y = x Ô ÒÓÒØ Ô ØÓ Ñ Ó (x i 1, g(x i 1 )) ÔÓÙ ÒÛÖÞÓÙÑ Ø x 1 g(x i 1 ) ØÓ Ñ Ó (x i, g(x i 1 )) ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ø Ò y = xº ÇÔ Ø ÙØ Ô Ö Ñ x 1, x 2, x 3,... Ø ÓÔÓ Ö ÓÒØ ÓÕ

¼ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈïÁÄÍËÀ ÁËïÏË ÏÆ ÒØ Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ γº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÙÒ ÖØ g(x) Õ Ø Ò ÑÓÖ ÙØ ÔÓÙ Ô ÓÒÞ Ø ØÓ ËÕ Ñ ¾º Ð ÔÓÙÑ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ù ÐÒ ÔÖ ØÓ Ø Ö Ñ Ó γº ÍÔ ÖÕÓÙÒ ÑÛ Ô Ö ÔØô ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ Õ Ô Ð Ô ØÓ Ø Ö Ñ Ó ÔÛ Ò Ø Ô ØÓ ËÕ Ñ ¾º ÔÓÙ Ø Ó Ô Ö ÔØô ÙÒ ÖØ ÛÒ ÓÐÓÙ x 1, x 2,... ÔÓ ÐÒ Ô ØÓ Ø ¹ Ö Ñ Ó γ Ø g(x)º ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ô ÙØ Ø Ó Ô Ö ÔØô Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ Ø Ð Ø ÔØÓÑ Ò Ø Ò g(x) Ò Ñ Ó ÓÒØ ØÓ ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ (γ, g(γ)) Ò ÙÝ Ð º Ò ÕÓÙÑ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ø ÔÖÓ Ý ÔÓ Ó Ñ Ó x k Ø Ò ÓÐÓÙ x 1, x 2,... ÔÓÙ Ô ÙØ ØÓ Ñ Ó Ñ Ø ÕÓÙÑ Ô Ð Ô ØÓ γº ËÙÒ Ù ÞÓÒØ Ò Ö Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÓÒ ÓÖ Ø ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ g(x 1 ) y y = g(x) y = x y y = g(x) y = x g(x 0 ) g(x 1 ) g(x 0 ) g(x 2 ) x x γ x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 γ x 0 x 2 ËÕ Ñ ¾º Ô Ð ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ ¾º ÙÒ ½¹ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÒÓÙÑ Ø Ô Ö ØÛ ÙÔÓ Ò Ü Ð ÓÙÑ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÓ Ñ ÓÙ ¾º Ù ÐÒ Ò Ø Ö Ñ Ó ÔÓ g(x)º ͽ ÍÔ ÖÕ Ò Ø Ñ [α, β] ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖÞ Ø g(x) g(x) [α, β] g : [α, β] [α, β]º ; À g(x) Ò ÙÒ Õ ØÓ [α, β]º Í À g(x) Ò Ô Ö Û Ñ ØÓ [α, β] ÙÔ ÖÕ Ñ Ø Ö K < 1 Ø ØÓ ô Ø x [α, β], g (x) K. ÌôÖ Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ØÙÔô ÓÙÑ ØÓ ôö Ñ ÔÓÙ ÔÓ Ò Ø Ò ÓÖ Ø Ø ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ Ø ÖÓ Ñ ÓÙº  ôö Ñ ¾º ³ ØÛ Ø g(x) ÒÓÔÓ Ø ÙÔÓ Í½¹Í º Ì Ø g(x) Õ Ò Ö ô Ø Ö Ñ Ó γ ØÓ Ø Ñ [α, β] ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÖÕ Ñ Ó x 0 ÓÐÓÙ x 1, x 2,... ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ Ø ÖÓ Ñ ÓÙ ¾º Ù ÐÒ ØÓ γº

¾º º È Æ ÄÀÈÌÁÃïÀ Åï ÂÇ ÇË ËÌ Â ÊÇïÍ ËÀÅ ïáçí ½ Ô Ü À Ô ÖÜ Ò Ø ÖÓ Ñ ÓÙ ÔÓ Õ ØÓ ôö Ñ ¾º º Ò ÜÓÙÑ Ø ÓÐÓÙ x 1, x 2,... Ù ÐÒ ÔÓ Ó Ø Ö Ñ Ó γ Ø g(x) Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÐÑ ØÓÙ x n Õ Ñ ØÓ γ e n = γ x n Ø Ò ØÓ Ñ Ò ô n º ÓÒ ÒÛÖÞÓÙÑ Ø γ = g(x) x n = g(x n 1 ) ÕÓÙÑ e n = g(γ) g(x n 1 ) = g (y)(γ x n 1 ) = g (y)(e n 1 ), ÔÓ Ó y [γ, x n 1 ] Ô ØÓ ôö Ñ Ñ Ø Ñ º Ô Ø Ò ÙÔ Í Ü ÖÓÙÑ Ø g (y) K, y [α, β] ÓÔ Ø e n = g (y) e n 1 K e n 1. ¾º µ Ò ÔØ ÓÒØ Ø Ò Õ ¾º Ð Ø Ô Ò ÐÑ Ø ÕÓÙÑ e n K e n 1 K 2 e n 2 K n e 0, ¾º µ ÔÓÙ e 0 Ò ØÓ ÖÕ ÐÑ γ x 0 º À ¾º Ñ Ð Ø ØÓ Ø Ð ÐÑ e n Ö Þ Ø Ô Ô ÒÛ Ô ØÓ K n e 0 º  ÛÖ ÒØ ÐÓ Ô Ò Ø ÕÓÙÑ ØÓ Õ Ö Ø ÖÓ ÙÒ Ø ÐÑ Ð e n = K n e 0 ÕÓÙÑ lim e n = lim K n e 0 = 0, n n ÓÒ 0 K 1 lim n K n = 0º ³ Ö ÓÐÓÙ x 1, x 2,... Ù ÐÒ Ø Ö Ñ Ó γ Ø g(x)º È Ö Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ γ Ò ÑÓÒ º ³ ØÛ Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó δ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ô Ø Ö Ñ Ó Ø g(x) Ð ÕÓÙÑ δ = g(δ)º ÖÑ ÞÓÒØ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ ¾º x 0 = δ ÕÓÙÑ x 1 = g(x 0 ) = δ = x 0 º ÇÔ Ø e 0 = e 1 = γ δ e 0 = e 1 K e 0 e 0 K e 0, ÐÐ ÓÒ K < 1 ÕÓÙÑ e 0 = 0º ÇÔ Ø γ δ = 0 γ = δº Å Ò Ø Ö Ø ÔÛ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ¾º Ò Ô Ö ØÛ ÔÓÙ ÒØ ¹ ØÓ Ñ Ø Ò ÙÔ Í½ ÓÔÓ Ò Õ Ø ÓÐÓ Ò Ô Ð ÙØ Ô Ø Ò ÔÖÓÙÔ Ø ØÓ ÖÕ Ñ Ó x 0 ØÓÒ Ð Ö ÑÓÙ Ø ÖÓ Ñ ÓÙ Ò Õ Ø ÓÒØ ØÓ Ø Ö Ñ Ó γ Ø g(x)º  ôö Ñ ¾º Ò g(x) Ò ÙÒ Õ Ô Ö Û Ñ ÔÓ Ó Ø Ñ ÔÓÙ Ô Ö Õ ØÓ Ø Ö Ñ Ó γ Ò g (γ) < 1 Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó ǫ > 0 ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÓ Ñ ÓÙ ¾º Ù ÐÒ ÔÓØ x 0 γ ǫº

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