ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό σελίδα 5 β) i. Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε A y y A, η συνεπαγωγή: αν τότε ii. Μια συνάρτηση g: με την οποία κάθε αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο ισχύει. Από τον τρόπο αυτό ορίστηκε η g προκύπτει ότι: - Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της - Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: y g y A. Σχολικό σελίδα 4 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Α4. α) Λάθος, αντιπαράδειγμα, 0, 0 για κάθε. Παρατηρούμε αν 0,0 0,, όμως η δεν είναι σταθερή στο,0 0, A ισχύει β) Λάθος, αντιπαράδειγμα, 0 0, 0. Παρατηρούμε ότι: lim lim και 0 0 0 0 Α5. Σωστή απάντηση είναι το (γ) 4
ΘΕΜΑ Β, : e Β. Αφού η έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y lim lim e 0 τότε Β. Θεωρώ g η οποία είναι ορισμένη στο. Η g είναι παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g e 0, για κάθε Η g. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο.,3 είναι συνεχής στο, αφού είναι παραγωγίσιμη g e e 0 e g 3 3 g 3 3 3 e 3 e 0 3 e g(3) 0 Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει 0,3 τέτοιο ώστε μοναδικό αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και -. g 0 0 το οποίο είναι 0 0 0 Β3. Η είναι παραγωγίσιμη στο με e 0, οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε, lim, lim η είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και -, οπότε αντιστρέφεται y y e ln y ln y. Άρα ln με, Β4. lim, αφού lim ln e, A : Η είναι γνησίως φθίνουσα στο άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη Η είναι παραγωγίσιμη στο, με e 0 άρα η είναι κυρτή στο
7 Κατακόρυφες ασύμπτωτες δεν έχει αφού είναι συνεχής στο ln, A :, Η είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η, είναι παραγωγίσιμη στο, με 0 άρα η, είναι κυρτή στο dlh lim lim 0 lim, άρα δεν έχει ασύμπτωτες στο 7 Θα πρέπει να σχεδιάσουμε και την y η οποία είναι ο άξονας συμμετρίας τους.
Η μελέτη της αντίστροφης θα μπορούσε να μην γίνει και να φτιάξω μια πρόχειρη γραφική παράσταση με την βοήθεια της συμμετρίας ως προς την y = *Οι γραφικές παραστάσεις μπορούν να γίνουν με την μετατόπιση των γραφικών παραστάσεων από την διδαχθείσα ύλη της Β Λυκείου.
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής lim lim dlh e a e lim lim lim ( ) () a ( a ) dlh lim lim lim( ) Άρα α=. Επομένως ( ), e, Γ. Για έχω / ( ) 0 για κάθε. Για έχω / ( ) e 0 για κάθε. Άρα / ( ) 0 για κάθε οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο. και lim lim ( e ) lim lim ( ) H είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο άρα ( A) Γ3. i. Έχω lim lim( ) άρα 0 0 (,0) (,) αφού 0 (,) άρα υπάρχει 0 (,0) τέτοιο ώστε ( 0) 0 το οποίο είναι και μοναδικό αφού η αύξουσα άρα και -. ii. ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 άρα 0 0 ( ) 0 άτοπο αφού 0( 0, ) 0 είναι γνησίως ( ) 0 Ή 0 Θα δείξουμε ότι η εξίσωση ( ) 0 0 είναι αδύνατη στο ( 0, ) Θεωρώ g( ) ( ) 0 η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, ). lim g lim( ( ) ) 0 0 0 0 0
lim g ga Άρα g( A) ( 0, ) και 0 ( ) άρα η εξίσωση ( ) 0 0 είναι αδύνατη. Γ4. Το σημείο t, yt κινείται στην καμπύλη y To τρίγωνο είναι ορθογώνιο με βάση t () και ύψος y t t ( ) ( ) με t ( ) 3 0 t 0 και E t t y t t t 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E t t t t ( ) 3 ( ) ( ) E( t0) 9 7 8 m / s ΘΕΜΑ Δ Δ. Η () ( )ln( ) με D είναι παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα και γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων συναρτήσεων,ln ) και με '() [( )ln( ) ]' ln( ),ln( ) (σύνθεση των παραγωγίσιμων ( ) Η (ε) εφάπτεται της C στο (,) άρα ισχύουν () '() Άρα α = - και β =. Δ. Η και η y είναι συνεχείς στο, οπότε ( )ln( ) d ( )ln( )d Πρόσημο της () ( )ln( ) στο [,] 0 ( ) ln[( ) ] 0
Άρα () 0 στο [,]. Οπότε ( )ln( )d Θέτω u du ( )d Για u Για u Άρα lnudu [ulnu] u du ln u. Δ3. i. ( ) '() ln( ) Η 'είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα, πηλίκο και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων άρα και συνεχής στο. ( ) ( )( 4) ''() [ln( ) ]' ( ) ''() 0 0ή 4 0 η οποία έχει μοναδική ρίζα το αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι 0. Όποτε η η ' ' είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ). Άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το '() και ισχύει '(). ii. 3 3 ( ) ( )ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θεωρώ διάστημα [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο (, ) Άρα από Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) με ( ) ( ) '( ) (( ) ( )) Όμως ισχύει '( ) (( ) ( )) ( ) ( ).
Δ4. Η g παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων με σημεία επαφής των C,Cgμε τις εφαπτόμενες με εξισώσεις : ( ) : y '( ) ( ) '( ) ( ): y g'( ) g( ) g'( ) g'() 3. Έστω (,( )), (,( )) Για να έχουν οι () C,C g κοινή εφαπτόμενη πρέπει '( ) g'( ) () και ( ) '( ) g( ) g'( ) Παρατηρώ ότι '(), g'(0), οπότε () επαληθεύεται με () '() g'(0) 0, που ισχύει. και 0. Τότε η () γράφεται Οπότε οι C,C g έχουν μια τουλάχιστον κοινή εφαπτόμενη. Για την g'() 3 έχουμε g''() 6 και ισχύουν g'γνησίως αύξουσα στο (,0], και γνησίως φθίνουσα στο [0, ). Άρα η g'παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 με g'(0) και ισχύει g'() g'(0). Από Δ3. η η ' παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το '() και ισχύει '(). Άρα οι C,C g έχουν μοναδική κοινή εφαπτόμενη στα σημεία (,), (0,) η οποία είναι η y. ος τρόπος Ισχύει g '() 3,. Η (ε) : y είναι εφαπτομένη της Έστω B,g( ) σημείο επαφής της g ( ) 3 0 C C g στο A(,). με εφαπτομένη της ε και έστω Τότε η ( ε ) είναι: y g(0) g (0)( 0) y y Δηλαδή η (ε) είναι εφαπτομένη και της C g, οπότε είναι κοινή εφαπτομένη των C, C g. Η μοναδικότητα αποδεικνύεται όπως στο ο τρόπο. 3 ος τρόπος Από τον ο τρόπο και την () έχουμε ( ) ln 3 ( ) ln 3
Παρατηρούμε ότι 3 0 και το ίσον ισχύει μόνο για 0 ( ) ln 0 και ότι ( ) ln 0 και 0 και το ίσον ισχύει μόνο για. Οπότε στα A(,), B(0,) οι C, C g έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη. Επιμέλεια απαντήσεων: Τσαλιγόπουλος Μίλτος, Βαλιάδη Μαρία, Νατάσα Παπαγούλα, Ηλίας Κουντούπης