ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό βιβλίο σελ 5 β) i) Μια συνάρτηση f έχει αντίστροφη όταν είναι - στο Α. ii) Θεωρία σελ. 35-36 Α. Θεωρία σχολικό σελ. 4 Α3. Θεωρία σχολικό σελ. 35, Α4. α) Λάθος π.χ. f() Είναι f '( ) για κάθε, (, ) (, ).Όμως η f δεν είναι σταθερή. β) Λάθος,γιατί πρέπει η f να είναι συνεχής στο,, π.χ. f(),,με lim f ( ) lim f ( ) και f ( ), γ) γ, γιατί: 3 3 4 ΘΕΜΑ Β Β. Η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο οπότε lim f ( ) lim e u u u μιας και lim e lim e B. Θεωρώ g f() g συνεχής στο 3, ως άθροισμα συνεχών, 3, δηλαδή g e, 3, και (πολυωνυμική) g f e e g 3 3 g3 f 33e 3e e (σύνθεση των συνεχών g 3 Άρα από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα 3, g( ) f e, ) τέτοιο ώστε Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
Επειδή η g είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων με g'() e, η g είναι είναι στο 3, οπότε το είναι μοναδική ρίζα Β3. Η f είναι παραγωγίσιμη με f '( ) e f στο Οπότε και - άρα υπάρχει και η Το πεδίο ορισμού της f f f είναι D f, (limf(),lim f()), f 6W Είναι f () f ( ) οπότε f() e e με lne ln ln ln Άρα f () ln, B4.βρίσκουμε lim f ( ) lim ln lim ln Άρα κατακόρυφη ασύμπτωτη 3 ψ= ψ=f() = 3 ψ=f - () ΘΕΜΑ Γ Γ. Επειδή η f παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο Άρα lim f ( ) lim f ( ) f ( ) με lim f ( ) lim e lim f ( ) lim f( ) () f () f( ) f() f( ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο οπότε lim lim Με ( ) f() f( ) e a e e ( ) lim lim lim lim Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
αφού / e e lim lim e f() f( ) ( )( ) lim lim lim lim lim( ) DLH Άρα,άρα από () Γ. f() e Για f'() Για f'() e και επειδή η f είναι συνεχής στο άρα η f είναι στο f οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f, lim f ( ), lim f ( ), Άρα f, Γ3. f i. f (, ) lim f ( ), lim f ( ),e Άρα το f (, ) και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα σ αυτό έχει μοναδική ρίζα, ii. Θέλω να δείξω ότι η εξίσωση f Επειδή έχω f(, ), f () f() αδύνατη στο, η, οπότε f () f() f () f() f() f() f() f() Αλλά f ()και οπότε αδύνατη Γ4. ψ= + M(,ψ) (,) K( ) Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
Είναι 3 Άρα (t) (t) t t t tt '(t) 3 t ' t ' t E' t 3 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η εφαπτομένη της C f στο, είναι y f ( ) f '( ) y f '( ) f '( ) f ( ) και Επειδή η : εφάπτεται της Cf f'( ) f'( ) ( ) f '( ) f( ) f( ) ( ) 6 8 8 /sec Με f παραγωγίσιμη στο με f '( ) ln a ln a Άρα ( ) f '( ) ( ) f( ) Δ. f () d ( )ln d ( )ln d θέτω uοπότε d du d du Για τότε u και για τότε u Άρα lnu ( ) lnu du lnu du u' lnu du u lnu u du ln.. u Δ3. Η f είναι παραγωγίσιμη με f'() ln ln ισότητα να ισχύει για με την Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
Ισοδύναμα έχω 3 3 f ln f ln f f f f ( 3 ) ΘΜΤ για την f, f συνεχής,,αφού η ln συνεχής ως σύνθεση των συνεχών ln και οπότε η f συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών f παραγωγίσιμη,, αφού η ln παραγωγίσιμη ς ως σύνθεση των παραγωγίσιμων ln και οπότε η f παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων. f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) Άρα, τέτοιο ώστε f' Όμως f' για κάθε άρα, f( ) f( ) f' f( ) f( ) άρα ισχύει η (3). Δ4. Έστω,f( ) και,g( ) τα σημεία επαφής της C f,cg με την εφαπτομένη. Τότε f '( ) g' (4) και f'( ) f( ) g' g Όμως f' με την ισότητα να ισχύει για (από και g' 3, με 3 3 g'( ) με την ισότητα να ισχύει για Άρα για να ισχύει η (4) πρέπει και. Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639
Άρα η κοινή εφαπτομένη είναι g( ) g' y και y f( ) f '( ) Επιμέλεια απαντήσεων: Δραγώνας Μπάμπης Γκιούλος Θεόδωρος Διονυσοπούλου Σοφία Μαθηματικοί Φροντιστήριο Μ.Ε «ΕΠΙΛΟΓΗ» - Καλαμάτα Ιατροπούλου 3 & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-9535 & 9639