ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f στο, και f στο,, τότε να αποδείξετε ότι το f είναι τοπικό μέγιστο της f Μονάδες 7 A Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; A Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:,, αν είναι G μια παράγουσα της f στο [α,β], τότε το f t dt G G β) Αν οι συναρτήσεις έχουν όριο στο και ισχύει f g lim f lim g κοντά στο, τότε γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f για κάθε,, στο,,, είναι σταθερή δ) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y f έχει ακριβώς μια λύση ως προς ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m Μονάδες A Επειδή f για κάθε, Έτσι έχουμε και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f f, για κάθε, () Επειδή f για κάθε, και η f είναι συνεχής στο, Έτσι έχουμε: f f, για κάθε, () Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f f, για κάθε,, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, που σημαίνει ότι το f
είναι μέγιστο της f στο, και άρα τοπικό μέγιστο αυτής Α Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A f g ισχύει Α Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα, και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: f f f Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M,f να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ με,f και,f Α4 α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ y Ο M(ξ,f(ξ)) a A(a,f(a)) ξ ξ β Β(β,f(β)) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f, B Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία f η είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f B Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία f η είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης Μονάδες 9 B Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f Μονάδες 7 B4 Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες Β Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f f Για κάθε είναι f f, f f, Η f έχει τοπικό ελάχιστο το f και για κάθε είναι f + f ΤΕ Β Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f 6 6 f 6 f + f 4 ΣΚ ΣΚ 4
Για κάθε ή διαστήματα, στο, και είναι, f και επειδή η f είναι συνεχής, είναι κοίλη σε καθένα από τα Για κάθε Η f έχει σημεία καμπής τα,f, 4, είναι και Β Επειδή η f είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες lim f lim lim lim f lim lim Β4 f, οπότε η f είναι κυρτή,f, 4, άρα η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της, άρα η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο C f στο ΘΕΜΑ Γ Γ Να λύσετε την εξίσωση e -, Γ Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:r R που ικανοποιούν την σχέση f e κάθε και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Γ Αν f e -, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή Γ4 Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: όταν, Γ Έστω g e, f f f f Η f είναι παραγωγίσιμη στο με g e e Για κάθε είναι e e, οπότε: Για κάθε g Για κάθε είναι και επειδή η g είναι συνεχής, είναι, είναι g και επειδή η g είναι συνεχής, είναι, = - για Μονάδες 8 Μονάδες 9
ος τρόπος g Για κάθε g g και για κάθε είναι η μοναδική ρίζα της g ος τρόπος Επειδή η g έχει ελάχιστο στο για 4 g, ισχύει ότι, οπότε η εξίσωση g Γ Είναι g g, άρα η g g για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο έχει μοναδική ρίζα την f = e - για κάθε και επειδή η f είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα Άρα ή f e ή f e f e f e Επειδή για κάθε και για κάθε f, οι δυνατές περιπτώσεις για την f είναι: ή f e, f e, e, f e, ή e, e, ή f, και, Γ Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f e 4 e e e Επειδή e και e για κάθε συνεχής, είναι κυρτή στο, είναι Γ4 ος τρόπος: Έστω g f f, Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g f f,, οπότε Επειδή η f είναι κυρτή, η f είναι f f f g g g f f f f g g g f για κάθε και επειδή η f είναι Επειδή για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την ος τρόπος: Είναι και για κάθε, τότε λόγω του ΘΜΤ για την f υπάρχει, f f f f - Αν τέτοια, ώστε: f και f,, και,, οπότε: Επειδή η f είναι κυρτή στο, η f είναι, οπότε είναι και - στο f f f f f f που είναι άτοπο Επειδή το είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι και μοναδική, τότε λόγω του ΘΜΤ για την f, υπάρχει, και, f f f f - Αν τέτοια, ώστε f και f Επειδή η f είναι κυρτή στο, η f είναι, οπότε είναι και - στο,, οπότε:,
f f f f f f f f f f που είναι άτοπο Επειδή το είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι και μοναδική ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: f f d f και f f lim e f f e για κάθε και Δ Να δείξετε ότι f (μονάδες 4) και f (μονάδες ) Δ α) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο R (μονάδες 4) Μονάδες 7 β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R (μονάδες 4) Δ Να βρείτε το lim f e f ln Δ4 Nα δείξετε ότι d ΔΈστω f h,, με lim h Είναι f h και limf limh Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο είναι και συνεχής, οπότε είναι συνεχής και στο limf f f, άρα ος τρόπος: f f d f d f d f d f d f fd f f f f f d ος τρόπος: f f d [f f ]d [f f f f ]d f f d f f d f f f f f f f 5
ος τρόπος: ος τρόπος: f f h f lim lim lim h f f lim lim f DLH Δ α) Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο σύμφωνα με το θfermat, ισχύει ότι f f Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη, οι συναρτήσεις e και f f e είναι παραγωγίσιμες, ως σύνθεση και άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων, οπότε: f f e f f e e f f f f e Για η προηγούμενη σχέση γίνεται: f e f f f f e e Άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο άτοπο αφού 6 f β) Επειδή f για κάθε και η f είναι συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Επειδή επιπλέον f είναι f f f f f, οπότε: Δ Για κάθε () f f f f f f f Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f έχει σύνολο τιμών το lim f, lim f Αν κάποιο από τα lim f, lim f αριθμός, τότε το σύνολο τιμών της f δεν θα ήταν το Όμως f, άρα lim f και lim f Είναι με το κριτήριο παρεμβολής είναι Δ4 ος τρόπος: f u u u ήταν πραγματικός lim lim, οπότε λόγω της () και σύμφωνα f u lim f Έστω ln u τότε d du Για είναι u και για e είναι u f ln Είναι d f u du f Είναι f f f f κάθε, d f d d f d και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για, έχουμε: ος τρόπος: Είναι e ln ln e f f ln f f ln f ln Επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε,e έχουμε: e f ln e e f ln e f ln d d d ln d e