ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0, να αποδείξετε ότι η f είναι και συνεχής στο x 0 Μονάδες 7 Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Α3 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Η συνάρτηση f () x στο πεδίο ορισμού της» Μονάδες 4 x είναι παραγωγίσιμη α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (Μονάδα 1) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (Μονάδες 3) Μονάδες 4 Α4 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη i) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της x, f ( x ) δεν έχει ποτέ άλλο κοινό σημείο με τη C f ii) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 0 0 iii) Κάθε συνάρτηση 1 1 είναι γνησίως μονότονη iv) Αν υπάρχει το lim( f ( x) g( x)) τότε είναι ίσο με f() g() x Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Β Β1 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = lnx+x 5, x > 0 α Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται β Να λυθεί η εξίσωση f 1 (x) = x Β Έστω η συνάρτηση f με f(x) = x - x + 019, με D f = [1, ) α Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται β Να βρεθεί η f 1 ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 7 Γ1 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = 019x lnx 018, x > 0 Να βρεθεί η κλίση και η γωνία της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(1, f(1)) Μονάδες 6 Γ α Να βρεθούν τα α, β, για τα οποία η εφαπτομένη (ε) της C f με : f(x) = (α + )x + (β 1)x + 3, στο σημείο Α( - 1, 3) να έχει κλίση λ = - 1 Μονάδες 9 β Για α = - 1 και β = 1, να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (η), της γραφικής παράστασης της προηγούμενης συνάρτησης, όταν έχει κλίση λ (η) = 3 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν (1) για κάθε x R και f (0) f f x f x x 4 ( ( )) 4 ( ) 6 Δ1 Να δείξετε ότι f() f( ) Μονάδες 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
Δ Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 στο (0, ) Επίσης να εξετάσετε αν η f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Μονάδες 4 Δ3 i) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 (0, ) τέτοιο ώστε f( x0) 0 ii) Να δείξετε ότι f ( ) 0 Μονάδες 3 Μονάδες 4 Δ4 Με την προϋπόθεση ότι το όριο αριθμός, να βρείτε το lim f ( f ( x)) x1 lim x1 x 6 4 f ( x) υπάρχει και είναι πραγματικός Μονάδες 6 Δ5 Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 f ( f ( x)) 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0, ) Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1 Θεωρία Α Θεωρία A3 α Λάθος β Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () x x είναι το [0, ) Η f είναι 1 παραγωγίσιμη στο (0, ), με f( x) αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 επειδή x f ( x) f (0) x 1 lim lim lim που δεν είναι πραγματικός αριθμός x0 x 0 x0 x x0 x Α4 i Λάθος ii Σωστό iii Λάθος iv Λάθος ΘΕΜΑ Β Β1 α Για οποιουσδήποτε x 1, x με x 1 < x έχω: x 1 < x (1) x 1 < x x 1 5 < x 5 () Από (1) + () προκύπτει ότι f(x 1 ) < f(x 1 ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα θα είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται β Η εξίσωση f 1 (x) = x x = f(x) άρα lnx + x 5 = x lnx = 5 x = e 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 5
Β α Είναι f(x) = x - x + 1 + 018 = (x 1) + 018, x 1 και τότε για x 1, x [1, ) (1), με f(x 1 ) = f(x ) (x 1 1) + 018 = (x 1) + 018 (x 1 1) = (x 1), άρα x 1 1 = x 1 και λόγω της (1), x 1 1 = x 1 x 1 = x επομένως η f είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται β Θέτω f(x) = y, με xd f = [1, + ) τότε x x y (019 ) 0 x x 019 y x 1, 0 4 4(019 y) 4y 4018 0 y 018 1, ά ή x 1 y 018 1, ά ί 1 Τελικά x = 1+ y 018, οπότε f 1 (y) = 1 + y 018 Άρα f 1 (x) = 1 + x 018, με x 018 ΘΕΜΑ Γ Γ1 Η f είναι παραγωγίσιμη με f (x) = 019-018 1, άρα f (1) = 019 018 = 1, x όπου θα είναι η ζητούμενη κλίση Αν ω η γωνία της εφαπτομένης στο Α και του άξονα χ χ, τότε εφω = 1 άρα ˆ =45 ο Γ α Θα είναι f (x) = (α + )x + β - 1 και θα πρέπει: f ( 1) 3 f '( 1) 1 άρα 1 3 3 4 1 1 3 4 με πρόσθεση κατά μέλη έχω - α = 1, άρα α = - 1 Τότε - 1 β = - 3 1 δηλ (α, β) = ( - 1, 1) επομένως f(x) = x + x + 1 β Για α 1 και β 1 είναι f ( x) x x 3 και f ( x) x 1 Αν Μ(x o, y o ) το σημείο επαφής της (η), τότε f( x0) 3 xo 1 3 xo xo 1 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5
Είναι f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 και f (1) 3 Οπότε (η): y f (1) f (1) y 5 3( ) y 3x ΘΕΜΑ Δ Δ1 Από (1) για x 0 έχουμε f ( f (0)) 4 f (0) 6 f () 4 6 f () Από (1) για x έχουμε f ( f ()) 4 f () 16 6 f ( ) 4( ) 10 f ( ) Δ Έστω x1, x(0, ) με f ( x1) f ( x) οπότε f ( f ( x1)) f ( f ( x)) () και 4 f ( x1) 4 f ( x) (3) Προσθέτουμε τις () και (3) και έχουμε: (1) 4 4 1 1 1 f ( f ( x )) 4 f ( x ) f ( f ( x ) 4 f ( x ) 6 x 6 x x x x x x x άρα η f είναι 1-1 στο (0, ) 4 4 4 4 1 1 1 Από το Δ1 ερώτημα έχουμε ότι f( ) f() όμως άρα η f δεν είναι 1-1 στο Df R Δ3 i) Η f είναι συνεχής στο [0, ] και f(0) f() ( ) 4 0 Επομένως από το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 (0, ) τέτοιο ώστε f( x0) 0 ii) Από (1) για x x0 έχουμε f ( f ( x )) 4 f ( x ) x 6 f (0) 0 x 6 x 4 x 4 4 4 0 0 0 0 0 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 5
διότι x0 (0, ) Άρα f ( ) 0 Δ4 Έστω lim x1 x 6 4 f ( x) R Για x 1 θεωρούμε τη συνάρτηση gx ( ) x 6 4 f ( x) οπότε Είναι ( ) g( x) x 6 ( ) g( x) x 6 4 f ( x) f ( x) ( ) g( x) x 6 0 6 4 lim f( x) lim 1 x1 x1 4 4 4 4 Οπότε έχουμε u f ( x) lim f ( f ( x)) lim f ( u) 1 x1 u1 Δ5 Έστω h( x) 3 f ( f ( x)), x [0, ] Η h είναι συνεχής στο [0, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Η f ( f ( x)) είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων h(0) 3 f ( f (0)) 3 f () 6 4 h( ) 3 f ( f ( )) 3 f (0) 6 8 Άρα h(0) h( ) 0 Επομένως από το θεώρημα του Βolzano η εξίσωση h( x) 0 3 f ( f ( x)) 0έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, ) Έστω τώρα x1, x(0, ) με h( x1) h( x) 3 f ( f ( x )) 3 f ( f ( x )) 3 f ( f ( x )) 3 f ( f ( x )) 1 1 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5
[ () αφού η f είναι 1-1 στο (0, ) ] ( ) ( ) f ( f ( x )) f ( f ( x )) f ( x ) f ( x ) x x 1 1 1 1 Άρα η h είναι 1-1 στο (0, ) επομένως η ρίζα της εξίσωσης h( x) 0 3 f ( f ( x)) 0 είναι μοναδική ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5