ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. α) Ψευδής β), 0 f, 0 Βλέπε σχήμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Στο,0 f είναι γνησίως αύξουσα, άρα - Στο 0, f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα - Αν,0, 0, τότε 0, 0, άρα f 0, f 0, οπότε f f Άρα η f είναι - στο,0 0, Όμως η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο αφου είναι γνησίως αύξουσα στο,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό
ΘΕΜΑ Β f, 0 = R { } B. f παραγωγίσιμη στο R { } - 0 ως ρητή, με: 8 8 f + = = = + = = + = = = f 0 8 0 8 + 8 f > 0 > 0 + 8 > 0-0 + - - + + 8 - + + f + - + f( ) ( ] [ ) f συνεχής στο, f, f > 0 στο, f συνεχής στο,0 f,0 f < 0 στο,0 ( ] [ ) f συνεχής στο 0, + f 0, + f > 0 στο 0, + o Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο =, το f = = ( )
B. { } f παραγωγίσιμη στο R 0, ως ρητή με: 8 8 f = + 0 για κάθε = = < R 6 { 0} Ά ρα η f είναι κοίλη στο,0 και στο 0, + και δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Β. Για κατακόρυφη ασύμπτωτη στο o = 0 lim = 0 0 lim f = lim = 0 0 lim =+ 0 Οµοί ως και lim f + 0 = Άρα η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 0, δηλαδή τον άξονα yy. Για πλάγια/οριζόντια στο και στο + lim = lim = lim = lim =λ f = lim = 0 λ= lim f lim lim 0 λ = = = =β f Οµοί ως : lim = και lim f λ = 0 + + Άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη και στο και στο + την ευθεία: y =λ +β y = Β. f - - - - y= f 7 9 - -5 -
ΘΕΜΑ Γ Γ. φού με το σχήμα μήκους m φτιάχνω τετράγωνο, η πλευρά του είναι m και το εμβαδόν του Ε m 6 To σύρμα έχει μήκος 8 m άρα με σύρμα μήκους 8 m φτιάχνω τον κύκλο, άρα πr 8 r 8 π m 8 8 8 8 π 8 Ο κύκλος έχει εμβαδόν Ε π r π π m π π π 0 0 Πρέπει: 0 8 8 0 8 To άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: π Ε Ε Ε 6 π 6π π 6 6 π 6 56, 0,8 6π 6π 6 6 6π
Γ. π 6 56 Ε, 0,8 6π Ε π 6 56 π 6 π 6π 6π 8π Ε 0 π 0 π 8π π Δηλαδή, Ε 0,8 π και Ε 0 0, π Άρα η Ε() παρουσιάζει ελάχιστο όταν π 8 8 8 π 8π 8 Επειδή r r διάμετρος π π π π π π 8 πλευρά του τετραγώνου είναι: π π, r Άρα το Ε ελαχιστοποιείται όταν η διάμετρος r ισούται με Γ. 0 E - + E Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβολών για την Ε έχουμε: Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π Ε m ελάχιστο π m 8 την πλευρά του τετραγώνου
π 6 56 6 lim Ε lim 5 0 0 6π π 6 άρα το σύνολο τιμών Ε m, π () γνησίως αύξουσα στο Δ,8 π π 6 56 π 6 68 56 lim Ε lim 8 8 6π 6π 6π 6 86 56 6π άρα το σύνολο τιμών Ε m, 6 6 πειδή 5, το 5 m,, η Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π π π άρα, οπότε υπάρχει μοναδικός αριθμός 0 0, 0,8 π τέτοιο ώστε Ε 5 0
ΘΕΜΑ Δ Δ. f() e α f παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων με: α α f () e ( α) (e ) f παραγωγίσιμη στο με: α f () (e ) e : α α o f () 0 e e e α 0 α e α α o f () 0 e e e α 0 α Αφού η f έχει μοναδική ρίζα το o α και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτής η C f έχει ακριβώς σημείο καμπτής, το Α(α,f(α)) (α, α ) με α Δ. α f () (e ),α α f () 0 e 0 f () 0 στο (α,+ ) f f συνεχής στο α,+ f () 0 στο (,α) f f συνεχής στο,α
f : συνεχής = f ([α,+ )) f α, lim f' α, f Διότι: ο f(α) (e α) ( α) 0,αφού α α α lim f () lim e lim e e α lim e lim e άρα lim f α α lim α e lim D.L.H. lim 0 α e f : συνεχής Δ f,α f α, lim f α, f e lim e 0 lim e α α lim f () lim e lim Αφού Ο Δ και Ο Δ και f στο α,+ και f στο,α, η εξίσωση f 0 έχει ακριβώς ρίζα α,+, με, α, διότι: f α α 0 για α,α : f Για f () f f () 0 f Για f () 0 και αφού f 0 η f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο α,+ : f Για f () f f () 0 Για f f () 0 και αφού f 0 η f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό ελάχιστο στο Δ. α f e Στο 0,, αφού f 0 και f συνεχής, f γνησίως φθίνουσα στο α, άρα και, οπότε: f f AΔΥΝΑΤΟ διότι 0,, αφού α
Δ. ια α : f e, Από Δ στο, f κυρτή, άρα κάθε εφαπτομένη της βρίσκεται κάτω απο τη C, f με εξαίρεση το σημείο επαφής. Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ,f είναι: ε : y f f f κα y y y Οπότε θα ισχύει: 0 ι f f για κάθε και το "=" θα ισχύει μόνο για f, άρα: f d d θέτω: u u u d = du d du d u 0 u u du u du u du u u u 0 0 0 5 5 u u u u 5 5 5 5 0 0 Άρα f d 5