Ιουνίου 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. α) Ορισμός σχ. βιβλίο σελ. 5 β) i. θεωρία σχ. βιβλίο σελ. 35 ii. θεωρία σχ. βιβλίο σελ. 35-36 Α. Σχ. βιβλίο σελ. 4 Α.3 Θεώρημα σελ. 35 Α.4 α) Λάθος Α.5 γ ΘΕΜΑ Β B. : Αιτιολόγηση: σχόλιο σχ. βιβλίο σελ. 34 β) Λάθος, διότι αυτό ισχύει μόνο αν η είναι συνεχής στο x -x x e λ, λ, D Αφού η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y, θα ισχύει: x lim e x lim lim e λ lim λ λ λ x x xe x lim x x e
B. Για λ : x e Θεωρώ την g x x x g x e x, D H g είναι συνεχής στο ως διαφορά και σύνθεση συνεχών άρα είναι και συνεχής στο [,3] g e e e g g3 3 3 3 e g3 e 3 e 3 3 e e Ισχύει για την g το θ. Βolzano στο [,3], άρα η εξίσωση: g x έχει μία τουλάχιστον ρίζα x,3 Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με: g x e x x e, για κάθε x Άρα η g είναι γν. φθίνουσα στο Β3. H Άρα η Αφού η, επομένως το x,3 είναι η μοναδική της ρίζα. είναι παραγωγίσιμη στο με: ( x) e για κάθε x ln( y) x e : είναι γνησίως φθίνουσα στο είναι αντιστρέφεται., ye e y y ( x) y y x (διότι: e ) e Άρα, οπότε και. e x ln( y ) x ln( y ) y y y Δηλαδή, y x y ( ) ( ) ln(y ), με y (x) ln(x ), με x
Β4. (x) ln(x ), x Η είναι συνεχής στο (, ), ως σύνθεση συνεχών. Ελέγχω για κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x : lim ( x) lim( ln(x )) : u lim lnu lim( lnu) u x x u lim u lim (x ) u x Επομένως, η Οι Η η C C C, C C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία είναι συμμετρικές ως προς y x. είναι μετατόπιση της γραφικής παράστασης x hx ( ) e x. μονάδες προς τα πάνω και είναι μετατόπιση της (x) ln x (συμμετρική της (x) lnx ως προς τον κατά μονάδες προς τα δεξιά. xx ) 3
ΘΕΜΑ Γ Γ. x x α, x x e βx, x Aφού η είναι παραγωγίσιμη, είναι παραγωγίσιμη και στο x συνεχής στο, άρα ισχύει: x x x x x x, οπότε και x x lim lim και lim x lim x x x lim x lim x α α 3 x lim x lim e βx e β β 4 x x 3, 4 α β α β Για α β: x x α, x x e αx, x x,δ : x x α α x x x x 5 x x x 5 x lim lim 6 x x γ, : x x x x x e αx α e αx α e α x e = α 7 x x x x x x 6, 8 7 x x de x e e lim lim α x α α 8 x x dx x x α α Επειδή α β έχουμε α β x Τότε lim x x Β τρόπος x e Για να βρεθεί το lim μπορεί να εφαρμοστεί κανόνας De l' Hospital. x x 4
Γ. Για έχω: x e x, ( x) x, x. Η είναι παραγωγίσιμη στο με (x) στο (,) και ( x) ( x) στο x e x, x, x, διότι, άρα (x) στο () (από Γ) συνεχής στο Θα βρω το σύνολο τιμών: άρα η είναι στο. x lim ( x) lim (e x) x x Διότι u x u lim e lim e x x u u lim ( x) lim ( x ) x x και lim x x ( ) lim ( x), lim ( x) (),() Άρα, το σύνολο τιμών της είναι: x x Γ.3 i. ( x) x e x Παρατηρώ ότι,, x () e και e Θεωρώ το διάστημα [,] : Η e e e ( ) e είναι συνεχής στο [,] και επιπλέον ( ) (), άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Bolzano για την στο [,]. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα x της ( x) στο (,), η οποία, συνεπώς, είναι και αρνητική. Επιπλέον η μοναδική. είναι ii. x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) στο, άρα -, οπότε η ρίζα x (,) είναι Ισχύει ότι ( x) στο ( x, ), αφού στο Γ3 (i.) ερώτημα δείξαμε ότι το x (,) είναι η μοναδική ρίζα της ( x). 5
Ισχύει ( x ), με x x () :. ύ Για x x x x x () Άρα από (), () προκύπτει ότι: ( x) Γ.4 ος τρόπος: Το σύνολο τιμών της για το,,lim,, δηλαδή x x x x ( x ) ως άθροισμα θετικών, αφού x x Επομένως η εξίσωση x x x ( ) ( ) στο Το σημείο Μ(x,y) κινείται κατά μήκος της καμπύλης του αλλάζουν με το χρόνο, οπότε ( x, ) x ( x) [ x, ) στο στο ( x, ) είναι το. ( x, ) και y x, x, άρα οι συντεταγμένες 6
M x t, y t M x t,x t Για t t : x t 3, y t και x t μον/sec. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι: 3 Εt xt yt x tx t x t x t Τότε: Εt 3x t xt xt xt3x t Για t t :Ε t x t 3x t 3 3 8 τ.μ./sec. ΘΕΜΑ Δ Δ. : x x ln x x αx β, α, β H είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο, σύνθεση και άθροισμα παραγωγισίμων στο x x x ln x α x x ln x x x ln x x αx β ln x x x x α x x Αφού η ε : y x εφάπτεται της C στο Α(,) θα ισχύει: lnα β β β λε ln α α α Δ. Για και ( x) (x) ln(x x ) (x) x x (x) ln(x x ) με 7
Η είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισίμων, με: 4 x x x x x x (x) x x x x x 4 x x x 4 x x x x x x x x x x x x 4 x x x (x ) x x x 4 x x x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x 4 Όπου: x x 4 για κάθε x,αφού Δ 4 6 x x για κάθε x,αφού Δ 4 8 (x) x x x - + x Στο,, η συνεχής και κυρτή, άρα κάθε εφαπτομένη της βρίσκεται κάτω από τη εξαίρεση το σημείο επαφής. Οπότε, στο συνεχής ως άθροισμα συνεχών Θεωρώ τη συνάρτηση, C ισχύει: (x) (x) x και σ(x) (x) x, για κάθε x, σ(x) x ln x x x x σ(x) x ln x x Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E σ x dx x ln x x dx, με 8
Θέτω: x x u du x x dx du x dx du x dx x dx du u u Οπότε: E lnu du u lnu du ulnu u du ln ln du u ln u ln ln ln τ.μ. (το παρακάτω σχήμα δεν είναι ζητούμενο, δεν έπρεπε να το φτιάξουν οι μαθητές. Εδώ δίνεται χάριν κατανόησης) 9
Δ.3 i. Από (Δ) ισχύουν: ( x), ( x) ή, ( x), ( x) ή, γν. φθίνουσα στο,, γν. αύξουσα στο x (x) (x) Άρα, η - + έχει ελάχιστο στο x το ln. Επομένως, θα ισχύει ii. x x 3 ln 3 ln Αφού παραγωγίσιμη στο Ελάχιστο () συνεχής και παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο, και,, οπότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την στο,, άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε:
x, άρα θα ισχύει και Όμως () Δ.4 () x x ln x x x D 3 g x x x D g Η g είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με g 3x Η εφαπτομένη της C σ ένα σημείο της Aγ, γ είναι: ε : y γγ γy γ γ γ γ Η εφαπτομένη της Cg σ ένα σημείο της Bδ, δ είναι: ε : y gδ gδ δ y gδ x δgδ gδ Για να ταυτίζονται οι (ε) και (ε) πρέπει: γ gδ γ gδ γ gδ γ gδ γ γ γ δ g δ g δ γ γ γ δ γ g δ δ γ γ γ g δ γ γ δ γ g δ γ g δ 3δ g γ
Η g 3x έχει γραφική παράσταση παραβολή με κορυφή μέγιστο στο για x=. x το g, άρα: g x για κάθε x K, και παρουσιάζει και το «=» ισχύει μόνο Από Δ3(i) x για κάθε x και το «=» ισχύει μόνο για x=. Άρα η εξίσωση () επαληθεύεται μόνο για α= και β=. Τότε η () γίνεται: g που ισχύει. Τελικά μοναδική λύση του συστήματος των (), () είναι το ζεύγος γ,δ, Άρα οι C και Cg έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη την ευθεία : y x που προκύπτει με αντικατάσταση για γ= στην (ε) είτε για δ= στην (ε)., δηλαδή την (ε)