Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ 97393 & 9769376 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 76 Α α) O ισχυρισμός είναι ψευδής (Ψ), (, ) β) Για τη συνάρτηση f = 3, (,5) (, ) (,5) ισχύει f ( ) = για κάθε, ενώ η f δεν είναι σταθερή στο (, ) (,5) Α3 Η συνάρτηση που παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο) στο είναι η h Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ΘΕΜΑ B Β Η f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ως πράξεις μεταξύ συνεχών και δύο φορές παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f = και f = ( + ) ( > ) f ( + ) + σημείο καμπής το (, f ) Β f () + f() 3 Η f είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ) Η γραφική παράσταση της f έχει f + lim = lim = ( + ) = + + +
f + lim = lim = = και ( f ) ( ) lim + = lim ( ) = =, γιατί lim (( ) ) = lim = lim = lim ( ) = DLH Άρα η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη στο την ευθεία y = Β3 H f είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων και f() f() = ( 3) <, οπότε από θ Bolzano η εξίσωση f( ) = έχει μία, τουλάχιστον ρίζα, έστω, στο διάστημα (, ) Απ το Β έχουμε ότι η f είναι κυρτή στο [, + ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) επομένως και στο [, ] Για κάθε (, ) έχουμε: f f () f f () f < < < < < <, οπότε είναι f > Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και το είναι μοναδική ρίζα Για το έχουμε: + ( ) f( ) = ( ) + = + = = f( ) = Β Για την f ισχύουν προφανώς οι προϋποθέσεις του θ Roll στο διάστημα [, ], επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = Άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f ) ξ ξ είναι παράλληλη με τον άξονα
ΘΕΜΑ Γ Γ 5 5 d d = d + d = + + + + f () f () f () f () + 5 d = d = f () + + f () f (), οπότε f() 3 f() Για = έχουμε για = έχουμε f f + = = ( ) + ( ) = f( ) = και () + = f() = Για κάθε (,) έχουμε f + = f = f Επίσης η f είναι συνεχής στο (,) Επομένως η f διατηρεί πρόσημο στο (,) και αφού f () = > είναι f( ) > για κάθε (,) Επομένως για κάθε (,) έχουμε f + = f = f = και αφού f( ) = f() =, ισχύει Γ Για κάθε (,) ισχύει f = για κάθε [,] f( ) = ( ) = = f Αφού οι τετμημένες των σημείων Α,Β και Γ,Δ είναι ίσες και οι τεταγμένες των σημείων Α,Δ και Β,Γ είναι ίσες, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Επίσης το μήκος του ΑΔ είναι και το μήκος του ΑΒ είναι f( ) Επομένως το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι: Ε = f =, (, ) Γ3 Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ), ως σύνθεση και πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με 8 Ε = Ο πίνακας μεταβολών της Ε είναι: Ε () + Ε () Επομένως το εμβαδόν μεγιστοποιείται για = και η μέγιστη τιμή του είναι Ε = τμ Για (, ) : = ή = 3 Ε = = = 3 3 ( ) 3
Άρα για = ή = 3 το εμβαδόν παίρνει την τιμή 3 τμ Γ Τη χρονική στιγμή, έστω t, κατά την οποία το εμβαδόν είναι ίσο με 3 τμ, για πρώτη φορά, έχουμε t ( ) = και ( t) = () t t () () t Ε =, οπότε Ε () t = () t () t + t () 8 3 Ε ( t) = τμ/sc 3 t () () t () t και για t = t έχουμε ΘΕΜΑ Δ Δ Έστω ότι f για κάθε (,), τότε αφού η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο [,], οπότε και στο (,), διατηρεί πρόσημο στο (,) Τότε: αν f( ) > για κάθε (,), θα έχουμε f d > ΑΤΟΠΟ αν f( ) < για κάθε (,), θα έχουμε f d < ΑΤΟΠΟ Επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε f( ) = f [, ] = [, 3], οπότε f > για κάθε (,) και η f Επίσης είναι γνησίως αύξουσα στο (,) Άρα υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο ώστε f( ) = [ος τρόπος λύσης για το ένα, τουλάχιστον: Roll σε παράγουσα της f ] Δ Απ το Δ έχουμε: f f < < ( ) = και f f f f > > = Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τους άξονες και yy είναι 3 τμ, οπότε f d = 3 f d = 3 () () Επίσης f ( ) d = 3 f d + f d f d = = Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
τμ Ε= f d = f d + f d = + = 3 3 6 Δ3 Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [,], με F = f Απ το Δ προκύπτει ο πίνακας μεταβολών της F : F( ) + F( ) H F παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και στο και τοπικό ελάχιστο (το οποίο είναι ολικό) στο Η F είναι συνεχής στο [,] ως παραγωγίσιμη και η F είναι γνησίως αύξουσα στο (,), αφού F = f για κάθε (,) Άρα η F είναι κυρτή στο [,] Δ Είναι f ([, ] ) = [, 3] οπότε f 3 για κάθε [,] Επίσης η F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,], αφού η f είναι παραγωγίσιμη, με F = f Για την F προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θμτ στο [,], οπότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε F () F () F () f() F () + F ( ξ) = f ( ξ) = f ( ξ) = F () + Είναι f ( ξ ) 3 3 F () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΛΑΥΔΙΑΝΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΙΟΥΛΗ ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΗΛΙΟΥΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ