Άπειρα όρια. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Άπειρα όρια Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Άπειρα όρια καθώς Ορισμός: Έστω f ορισμένη στο ανοικτό διάστημα που περιέχει το χωρίς το, δηλ. ΠΟ(f) = (α, ) U(,β), τότε: (i) lim f()=+ M> ένα δ>: ΠΟ(f) με - <δ f()>m (ii) lim f()=- M> ένα δ>: ΠΟ(f) με < - <δ f()< -M Παράδειγμα: f()=/ f()= / & = όποιο και να πάρω μέσα στο [ ]: f()>m, άρα lim =+ Όμοια αν πάρω την f()= - /, όπου lim = -

Ιδιότητες (i) lim f()=+ f()> όταν το είναι κοντά στο lim f()= - f()< όταν το είναι κοντά στο (ii) lim f()=+ lim (-f())= - (iii) lim f()= ± lim = f() (iv) lim f()= f()> κοντά στο lim =+ f() Όμοια το όριο = - αν f()< κοντά στο (v) lim f()= ± lim f() =+ (vi) lim f()= + lim k f()=+ Άσκηση : Επαληθεύστε τις ιδιότητες με χρήση του ορισμού

Παράδειγμα ο : lim =+ + lim = - Παραδείγματα lim =? lim δεν υπάρχει Και γενικά ΔΕΝ υπάρχει το : lim ν+, ν Άσκηση: Να δ.ό. αντιθέτως υπάρχει το όριο για / και γενικά για / ν Παράδειγμα ο : lim( )= - lim = + τότε lim (f()+g())= lim () = Υπόδειξη: βλ. π.χ. ορισμού

Απροσδιόριστες μορφές Οι επόμενες μορφές πράξεων δεν ορίζονται: (+ ) + (- ) (± ) / (± )/(± )

Πεπερασμένα όρια όταν ± Ορισμός: (i) lim f()=l ε> Ν>: με >Ν f()-l <ε + (ii) lim f()=l ε> Ν>: με <-Ν f()-l <ε Το απομακρύνεται κινούμενο στον + Το απομακρύνεται κινούμενο στον

Άπειρα όρια όταν ± Ορισμός: (i) lim f()=+ Μ> Ν>: με >Ν f()>μ + (ii) lim f()=+ Μ> Ν>: με <-Ν f()>μ (iii) lim f()= - Μ> Ν>: με >Ν f()< -Μ + (iv) lim f()= - Μ> Ν>: με <-Ν f()< -Μ Παρατήρηση: Από τα προηγούμενα αντιλαμβανόμαστε ότι: για να βρούμε το όριο μιας f στο +, πρέπει το Π.Ο.(f) να είναι της μορφής (α, + ) (με α αριθμός ή - ). αντίστοιχα (-, β) για f στο -.

Κανόνες ορίων καθώς ± Αν L, M, και k πραγματικοί αριθμοί & lim f( ) = L και lim g ( ) = M, τότε: ± ±. Όριο αθροίσματος/δαφοράς: lim [ f( ) ± g ( )] = L±Μ ±. Όριο γινομένου: lim [ f( ) g ( )] = L Μ ± 3. Όριο σταθερού πολλαπλάσιου: lim [k f( )] = k L ± f( ) L 4. Όριο πηλίκου: lim =, M ± g ( ) M s s 5. Όριο δύναμης: lim [ f( )] = L, r,s, s ± r Παρατήρηση: Οι πράξεις μας είναι ίδιες όπως και στα πεπερασμένα όρια, π.χ. π 3 lim = lim (π 3) lim lim = π 3 = r

Όρια ρητών συναρτήσεων με ± Διαιρώ πάντα με τον μεγαλύτερο βαθμό του παρονομαστή Παράδειγμα ο : (Βαθμός αριθμητή = Βαθμός παρονομαστή) 8 3 5+ - 5 +8-3 5 5 lim = lim = = + 3 + + + 3 + 3 3 + Παράδειγμα ο : (Βαθμός αριθμητή < Βαθμός παρονομαστή) + lim = lim = = - + 3 3-3 Παράδειγμα 3 ο : (Βαθμός αριθμητή > Βαθμός παρονομαστή) 7 3-4+ -4 +7 + + lim = lim = = + -3-3 - -

Παραδείγματα με αντικατάσταση Παράδειγμα ο : Να βρεθεί το lim sin + Έστω t=/, τότε όταν +, το t + Άρα lim sin = lim sin t= + + t Παράδειγμα ο : Να βρεθεί το lim Έστω t=/, τότε όταν, το t t Άρα lim e = lim e = t e t

Όρια πολυωνυμικής συνάρτησης με ± Αν Ρ()=α ν ν +α ν- ν- + α +α, α ν τότε: ν lim Ρ()= lim (αν ) ± ± 5 3 5 π.χ. lim (4-3 +6 +7)= lim (4 ) = Και αν Q()=β κ κ +β κ- κ- + β +β, β κ τότε: Ρ() α ν ν lim = lim ( ) ± κ Q() ± β κ

Συμπεριφορά της εκθετικής & της λογαριθμικής συνάρτησης με ± Αν α > lim α & lim α + lim log α = = + = & lim log = + + α Αν < α < lim α = + & lim α = + lim log = + & lim log = α + α Εικόνες: http://eisatopon.blogspot.com /3//blog-post_.html

Άπειρα όρια: Οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες Έστω η f()=/, τότε παρατηρούμε ότι: καθώς +, (/) & καθώς -, (/) & lim ( ) = + lim ( ) = Λέμε ότι η γραφική παράσταση «τείνει ασυμπτωτικά» σε μια ευθεία όταν η απόσταση του γραφήματος της συνάρτησης και της ευθείας τείνει στο μηδέν. Η ευθεία λέγεται «ασύμπτωτη» της γραφικής παράστασης Δηλ. στο π.χ. της f()=/, όποιο Β> και να διαλέξω πάνω στην ασύμπτωτη yy, υπάρχουν άπειρα τ.ώ. f()>β, δηλ. lim f( ) = lim ( ) = + + + (Όμοια για f()<-b, δηλ. lim f( ) = lim ( ) = )

Ορισμός Μία ευθεία y=b είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης y=f() αν ισχύει ότι: lim f( ) = b ή lim f( ) = b + Μία ευθεία =α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης y=f() αν ισχύει ότι: lim f( ) = ± ή lim f( ) = ± + a a

Παράδειγμα Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της y = + 3 +. ± δηλ. να βρούμε την συμπεριφορά της y καθώς Επειδή: + 3 y = = + + +. - (όπου μηδενίζεται ο παρονομαστής) Έχω το γράφημα της / μετατοπισμένο μονάδα πάνω και μονάδες αριστερά. Άρα οι ασύμπτωτες είναι οι y= και =-

Πλάγια ασύμπτωτη ρητών συναρτήσεων με βαθμός αριθμητής = βαθμός παρονομαστής + Βρίσκουμε την πλάγια ασύμπτωτη διαιρώντας κατά μέλη ώστε να εκφράσουμε την συνάρτηση με κάποιο υπόλοιπο τ.ώ. τείνει στο όταν ± Παράδειγμα: Ποια η πλάγια ασύμπτωτη της y = 3 7 + 4 y 3 8 5 = = ( ) 7+ 4 7 49 49(7 4) γραμμική συνάρτηση g() υπόλοιπο Καθώς ± το υπόλοιπο, δηλ. η g() είναι η πλάγια ασύμπτωτη της f() = y