SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI INTEGRALI 47 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 6 7 LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA 8 8 FOURIEROVI REDOVI 38 9 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA 55

DVOSTRUKI INTEGRALI Do sada smo se upoznali s jednostrukim integralima odredenima na intervalu [a, b], koje smo interpretirali kao površine ispod grafa funkcije jedne varijable na zadanom intervalu. Sada ćemo se upoznati s dvostrukim integralima. Dvostruki integral je integral funkcije dvije varijable, gdje se područje integracije ne nalazi na pravcu, već u ravnini. Možemo ga interpretirati kao volumen tijela kojeg odozgo zatvara ploha, zadana funkcijom dvije varijable, nad zadanim omedenim podskupom ravnine. Dvostruki integral u pravokutnim koordinatama Ako je područje integracije pravokutnik P = [a, b] [c, d], tada dvostruki integral zapisujemo na sljedeći način: f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy, P [a,b] [c,d] gdje je x [a, b] i y [c, d]. Izračun dvostrukog integrala provodimo tako da zapravo računamo dva jednostruka odredena integrala. Prilikom prve integracije po jednoj varijabli (ili x ili y), drugu uzimamo kao konstantu, te potom provodimo drugu integraciju: ( b ) d ( d ) b f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. P Primjer. a Izračunajte dvostruki integral cos(x + y)dxdy c P ako je područje integracije P omedeno koordinatnim osima i pravcima x = π, y = π. Područje integracije je pravokutnik P = [, π] [ ], π, pa integral možemo računati na dva načina: π ( π ) π π. cos(x + y)dxdy = cos(x + y)dy dx = sin(x + y) dx = P y= π ( ) ( ) π = cos x sin x dx = sin x + cos x = π ( π ) π. cos(x + y)dxdy = cos(x + y)dx dy = sin(x + y) π = P x=dy = π sin ydy = cos y π c = Ukoliko je funkcija zadana kao umnožak varijabli i granice su konstantne, tada dvostruki integral možemo računati kao umnožak dva jednostruka integrala. a

Primjer. Izračunajte dvostruki integral x 3 y 7 dxdy P ako je područje integracije P omedeno pravcima x =, x =, y =, y = 4. P x 3 y 7 dxdy = x 3 dx 4 3 y 7 dy = x4 y8 8 4 = 48 Ako sada uzmemo da je područje integracije neki omedeni podskup ravnine. To područje, označimo sa D, možemo definirati na sljedeći način: D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)} = {(x, y) : c y d, g(y) x h(y)}, pa dvostruki integral računamo prema D f(x, y)dxdy = = b a d c ( h(x) g(x) ( h(y) g(y) ) f(x, y)dy dx ) f(x, y)dx dy Općenito, kada je funkcija f(x, y) =, tada je dvostruki integral jednak površini područja D: dxdy = P D, D a inače je jednak volumenu tijela koje je odozgo omedeno plohom f(x, y), a baza mu je područje D. Primjer 3. Izračunajte dvostruki integral xdxdy ako je područje integracije D omedeno koordinatnim osima, pravcem x = i parabolom y = x + x +. D Nacrtamo li graf i zadani pravac i parabolu, možemo vrlo lako odrediti područje integracije: D = {(x, y) : x, y x + x + }, pa integral računamo na sljedeći način: D xdxdy = xdx x +x+ dy = xy x +x+ y= dx = (x 3 + x + x)dx = 3

Ako zamijenimo poredak integracije, tj. uzmemo fiksne granice za y, a parabolu za x, područje integracije dijelimo u dva dijela: D ={(x, y) : y, x } { } y 34 x D = (x, y) : y 3, pa dvostruki integral računamo na sljedeći način 3 xdxdy = dy xdx + dy D y 3 4 xdx =... = 3. Primjer 4. Izračunajte dvostruki integral xdxdy, D gdje je područje D omedeno pravcem koji prolazi točkama A(, ) i B(, ) i lukom kružnice sa središtem u točki S(, ) i polumjerom r =. Najprije se trebamo prisjetiti jednadžbe pravca kroz dvije točke kao i jednadžbe kružnice y y = y y x x (x x ), (x x S ) + (y y S ) = r. Uvrstimo li sada poznate točke i polumjer kružnice u prethodne jednadžbe, slijedi da je pravac y = x, a kružnica x + (y ) =. Točke presjecišta pravca i kružnice su T (, ) i T (, ), pa ako nacrtamo graf vrlo lako dobivamo da je područje integracije: D = {(x, y) : x, x y x + } i integral x + ( ) x + xdxdy = xdx dy = x y dx = D = x x x dx + x dx y= x xdx = 6 Ako zamijenimo poredak integracije, područje integracije definiramo na sljedeći način: D = {(x, y) : y, y x } y y, te računamo integral D xdxdy = = y y dy xdx = y ( y + 3y )dy = 6 3 x y y x= y =

Primjer 5. Postavite granice integracije u oba poretka u integralu f(x, y)dxdy, D ako je D kružni isječak = OAB s centrom u O(, ) i s krajevima u točkama A(, ) i B(, ). Najprije moramo naći jednadžbe pravaca koji prolaze dužinama OA i OB, kao i jednadžbu kružnice. Već smo se prisjetili jednadžbe pravca kroz dvije točke, pa slijedi da je jednadžba pravca OA y = x, a pravca OB je y = x. Sada ćemo se prisjetiti jednadžbe za izračun udaljenosti izmedu točaka l = (x x ) + (y y ), čime ćemo naći polumjer kružnice r = l =, pa je jednadžba kružnice x + y =. Napokon možemo nacrtati graf, te odrediti područja integracije: pa integral zapisujemo u obliku D f(x, y)dxdy = D = { (x, y) : x, x y x } D = { (x, y) : x, x y x } x dx f(x, y)dy + x x dx f(x, y)dy. x Ako zamijenimo poredak, dobit ćemo da je područje integracije: D = { (x, y) : y, y x y } D = { (x, y) : y, x x x } pa integral zapisujemo u obliku D f(x, y)dxdy = y dy f(x, y)dx + y y dy f(x, y)dx. y Primjer 6. Izračunajte površinu lika omedenog pravcem x + y = 3, parabolom y = 4x i osi x, pri čemu je y. Parabola i pravac se sijeku u točkama T (, ) i T (9, 6). Ako nacrtamo graf, vrlo lako možemo odrediti područja integracije: D = { (x, y) : x 3, x y } D = { (x, y) : 3 x 9, x y 3 x } 4

a površinu računamo kao dvostruki integral, gdje uzimamo da je f(x, y) = : 3 9 3 x P D = dxdy = dx dy + dx dy = 8. D x 3 x Promijenimo li poredak, područje integracije je: } D = {(x, y) : 6 y, y 4 x 3 y, a površinu, odnosno dvostruki integral računamo prema: 3 y P D = dxdy = dy dx = 8 Dvostruki integral u polarnim koordinatama D Ponekad je odredivanje granica integracije u pravokutnom prostoru vrlo dugotrajan i složen proces, te se nastoji olakšati supstitucijom, odnosno transfrmacijom. Ovdje ćemo se upoznati s transformacijom pravokutnih u polarne koordinate: 6 x = r cos ϕ y = r sin ϕ f(x, y) = f(r cos ϕ, r sin ϕ), gdje su nama sada nepoznanice polumjer r i kut ϕ. Izračun dvostrukog integrala sada izgleda ovako: f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ, D D gdje D predstavlja sliku područja integracije u polarnom koordinatnom sustavu. Kada je područje integracije omedeno kružnicama/elipsama poželjno je prijeći na polarne koordinate. Zadatak 7. Prijelazom na polarne koordinate riješite Primjer 5. U Primjeru 5. područje integracije bilo je omedeno pravcima y = x, y = x i kružnicom x + y =, tvoreći kružni isječak. Prelaskom na polarne koordinate x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dobivamo sljedeće: y = ±x r sin ϕ = ±r cos ϕ : r cos ϕ sin ϕ cos ϕ = ± tan ϕ = ± π 4 ϕ 3π 4. 5 y 4

Nadalje, kako je područje integracije zapravo ispunjeni prostor, polumjer r računamo iz nejednadžbe na sljedeći na način: x + y r cos ϕ + r sin ϕ r (cos ϕ + sin ϕ) r r. Sada možemo zapisati integral u sljedećem obliku f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = D D = 3π 4 π 4 dϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. Primjer 8. Prijelazom na polarne koordinate postavite granice integracije ako je područje D zadano trokutom OAB, gdje su točke O(, ), A(, ) i B(, ). Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom, samo što područje integracije s gornje strane nije omedeno kružnicom, već pravcem koji prolazi kroz točke A(, ) i B(, ). Jednadžba toga pravca je y =, a ostale dvije stranice trokuta predstavljaju pravci y = ±x. Na sličan način kao i u prethodnom primjeru, postavit ćemo granice integracije u polarnim koordinatama: odnosno y = ±x r sin ϕ = ±r cos ϕ : r cos ϕ sin ϕ cos ϕ = ± tan ϕ = ± π 4 ϕ 3π 4, y r sin ϕ : sin ϕ r sin ϕ r sin ϕ. 6

Sada možemo zapisati integral u sljedećem obliku f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = D D = 3π 4 π 4 dϕ sin ϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. Primjer 9. Prijelazom na polarne koordinate izračunajte površinu lika omedenog krivuljama x + y = x i x + y = 4x i pravcima y = x i y = x 3. Najprije ćemo kružnice napisati u općemo obliku upotrebom nadopune do potpunog kvadrata: x + y = x x + y = 4x x x + y = x 4x + y = (x ) + y = (x ) 4 + y = (x ) + y = (x ) + y = 4 kako bismo lakše nacrtali graf. Sada ćemo slično kao i u prethodnim primjerima prijeći na polarne koordinate i odrediti granice integracije. Iz jednadžbi pravaca slijedi: y = x r sin ϕ = r cos ϕ tan ϕ = ϕ = π 4 y = x 3 r sin ϕ = r cos ϕ 3 tan ϕ = 3 ϕ = π 6 π 6 ϕ π 4 7

S druge strane iz jednadžbi kružnica slijedi: x + y = x r sin x + r cos x = r cos x r = cos x x + y = 4x r sin x + r cos x = 4r cos x r = 4 cos x r cos x r 4r cos x, pa dvostruki integral, odnosno površinu računamo na slijedeći način: P = dxdy = rdrdϕ = D D π 4 π 6 4 cos ϕ π 4 = dϕ rdr = r 4 cos ϕ = π cos ϕ π r= cos ϕdϕ 6 6 [ π ] [ 4 π = 3 ( + cos ϕ)dϕ = 3 + = π + 6 3 3. 4 ZADACI ZA VJEŽBU π 4 π 6 ( sin π sin π 3 ) ] = cos ϕdϕ = Zadatak. Izračunaj dvostruki integral a) D (x4 + x y + y 4 )dxdy ako je područje integracije D omedeno koordinatnim osima i pravcima x =, y =. I = 346 45 b) D x3 ye xy dxdy ako je područje integracije D omedeno koordinatnom osi x i pravcima x =, y = x. I = 3 + e 4 Zadatak. Promijenite poredak integracije u integralu 9 x dx f(x, y)dy. 3 x 8

I = + 3 8 3 3 y dy dy f(x, y)dx + f(x, y)dx + 9 8 dy 3 dy f(x, y)dx+ 3 y 9 y 9 y f(x, y)dx Zadatak 3. Postavite granice integracije u oba poretka u integralu f(x, y)dxdy, ako je područje integracije četverokut s vrhovima A(, ), B(, ), D C(, ) i D(, ). I = = + x dx dy x +y y f(x, y)dy + f(x, y)dx + x dx dy + x y +y f(x, y)dy f(x, y)dx Zadatak 4. Postavite granice integracije u oba poretka, a potom izračunajte površinu lika omedenog krivuljama y = x i y = 8. 4 x +4 P = = 8 x dx +4 dy = x 4 dy y y dx + 8 y 4 dy dx = 8 y 4 = π 4 3 Zadatak 5. Izračunajte volumen tijela omedenog plohama x + y = i x + z =. Napomena: Iz definicije dvostrukog integrala slijedi da je volumen nekog tijela, koje je odozgo omedeno sa plohom f(x, y) = z(x, y), jednako dvostrukom integralu na dvodimenzionalnom području integracije. U ovom slučaju imamo dvije gornje plohe, z(x, y) = ± x, pa volumen računamo na slijedeći način: V = z(x, y)dxdy, gdje je D područje omedeno kružnicom x + y =. D V = 6 3 9

Zadatak 6. integralu Prijelazom na polarne koordinate odredite granice integracije u I = 3 3 + 4 x dx f(x, y)dy. 3 I = π 3 π 3 dϕ 4 sin ϕ 3 sin ϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. Zadatak 7. Prijelazom na polarne koordinate postavite granice integracije i izračunajte xdxdy, pri čemu je područje integracije u pravokutnim D koordinatama odredeno nejednadžbama (x ) + (y 3) 4 i y 5 x. Napomena: Pri prijelazu na polarne koordinate uzmite da su: I = 3π 4 π 4 x = r cos ϕ y 3 = r sin ϕ dϕ = 3π + 7 3 r(r cos ϕ + )dr =

TROSTRUKI INTEGRALI Kod dvostrukih integrala, zapravo smo provodili integraciju nad omedenim podskupom ravnine, stoga analogijom možemo reći da je trostruki integral, zapravo integracija nad omedenim podskupom prostora. Možemo ga interpretirati kao masu tijela nekonstantne gustoće f(x, y, z) koje zaprema volumen V, što zapisujemo na sljedeći način: f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dv, V a integriranje provodimo slično kao i kod dvostrukog integrala. Nadalje, neka je područje V definirano na sljedeći način: V = {(x, y, z) : (x, y) D, h (x, y) z h (x, y)}, pri čemu naravno funkcije h i h moraju biti neprekinute nad D, tada trostruki inegral računamo na sljedeći način: ( h ( x,y) ) f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dz dxdy. V D h (x,y) Takoder, kada smo kod dvostrukog integrala uzimali da je funkcija f(x, y) =, dvostruki integral je tada predstavljao površinu podskupa ravnine. Ako kod trostrukog integrala uzmemo da je f(x, y, z) =, tada je trostruki integral jednak volumenu tijela nad kojim provodimo integraciju: dxdyd = V. Trostruki integral u pravokutnim koordinatama V Kao i kod dvostrukih integrala, najprije ćemo računati u pravokutnim koordinatama, a zatim ćemo ih zamijeniti cilindričnim i sfernim koordinatama. Primjer. Izračunajte trostruki integral e x+y+z dxdyz ako je područje integracije kvadar V = [, ] [, ] [, 3]. V Slično kao i kod dvostrukog integrala, najprije ćemo provoditi integraciju nad jednostavnim tijelima, čije su granice konstante. U ovom primjeru područje V definiramo na sljedeći način: V = {(x, y, z) : x [, ], y [, ], z [, 3]}. Nadalje, zadanu funkciju f(x, y, z) = e x+y+z, možemo zapisati u obliku umnoška f(x, y, z) = e x e y e z, pa kao i kod dvostrukog integrala, računamo umnožak tri jednostruka odredena integrala. 3 e x+y+z dxdyz = e x e y e z dxdydz = e x dx e y dy e z dz = V V = e x x= ey y= ez 3 z= = (e )(e )(e 3 ) V

Primjer. Izračunajte trostruki integral (x + y + z)dxdydz V ako je područje V tetraedar s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(,, ) i C(,, ). U prvom primjeru granice integracije već su nam bile zadane, dok ih u ovom primjeru moramo sami odrediti. Pokušajmo najprije odrediti granice za varijablu z. Tetraedar je omeden ravninama (trokutima) ABO i ABC. Da bismo dobili jednadžbe tih ravnina, trebamo se najprije prisjetiti formule za jednadžbu ravnine kroz tri točke T (x, y, z ), T (x, y, z ) i T 3 (x 3, y 3, z 3 ): x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z = Ako uzmemo točke A(,, ), B(,, ) i O(,, ) i uvrstimo ih u formulu dobit ćemo da je ravnina ABO zadana jednadžbom z =, a ako uzmemo točke A(,, ), B(..) i C(,, ) i uvrstimo ih u formulu dobit ćemo da je ravnina ABC zadana jednadžbom z = x y. Time smo odredili granice za varijablu z, pa možemo pisati da je područje integracije V = {(x, y, z) : (x, y) D, z x y}, pa integral zapisujemo i računamo na sljedeći način ( x y ) (x + y + z)dxdydz = (x + y + z)dz dxdy = V D x y ( x y = x dz + y dz + D ) = (xz + yz + z x y dxdy = D z= = (x( x y) + y( x y) + D = ) ( x xy y dxdy D x y ) zdz dxdy = ) ( x y) dxdy = Sada nam preostaje naći dvostruki integral, odnosno odrediti područje integracije D, koje je zapravo projekcija tetraedra u XY ravnini. Ta je projekcija ništa drugo nego trokut A B O, čije su točke A (, ), B (, ) i O (, ). Nadalje, vrlo lako odredujemo granice integracije, primjenom jednadžbe pravca kroz dvije točke (vidi poglavlje o dvostrukim integralima), odnosno područje D je

D = {(x, y) : x, y x}. Napokon računamo integral (x + y + z)dxdydz = ) ( x xy y dxdy = V D = x ) dx ( x xy y dy = = izračun za vježbu = 8. Primjer 3. Izračunajte volumen tijela omeden plohama y = x, y = x, x + z = 6 i z =, primjenom trostrukog integrala. Vidjeli smo da je volumen jednak trostrukom integralu kada je funkcija f(x, y, z) =. Odredimo sada granice integracije za svaku pojedinu varijablu. Nacrtamo li graf, vidjet ćemo da je tijelo omedeno plohama z = s donje strane, odnosno z = 6 x s gornje strane. Projekcija zadanog tijela u XY ravnini omedena je sa dvije parabole y = x i y = x. Ako uzmemo da je varijabla x unutar konstantnih granica x [, 6], tada je područje integracije: V = {(x, y, z) : x 6, x y x, z 6 x}, a integral računamo na sljedeći način: V dxdydz = = 6 6 dx x x (6 x)dx dy 6 x x dz = x dy = = izračun za vježbu = 48 5 6 6 x(6 x)dx = Primjer 4. Postavite granice integracije u integralu f(x, y, z)dxdydz, V pri čemu je V tijelo omedeno plohom y = x i ravninama y + z = i y + z =. Iz jednadžbi ravnina slijedi da je tijelo omedeno plohama z = y i z = y. Izjednačimo li ove dvije ravnine slijedi da se one sijeku u pravcu y =. Takoder, iz parabole y = x slijedi da varijabla y poprima samo pozitivne vrijednosti, odnosno y. Nacrtamo li graf i uzmemo li da su granice za varijablu y konstantne, tada iz projekcije tijela u XY ravninu slijedi da je područje integracije: V = {(x, y, z) : y, y x y, y z y}, te integral pišemo na sljedeći način V dxdydz = y dy dx y ( y) y f(x, y, z)dz. 3

Trostruki integral u cilindričnim i sfernim koordinatama Cilindrične koordinate su zapravo već dobro poznate polarne koordinate, odnosno vrijedi x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z što znači da varijabla z ostaje nepromijenjena, a projekciju tijela u XY ravnini računamo u cilindričnim koordinatama. Trostruki integral tada računamo prema f(x, y, z)dv = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz, V V gdje je V slika područja integracije V u cilindričnom koordinatnom sustavu. Ako je projekcija tijela u XY ravnini omedena elipsama, a ne kružnicama, tada uzimamo općenitiji oblik cilindričnih koordinata: x = ar cos ϕ y = br sin ϕ z = z jer je jednadžba elipse sa središtem u ishodištu x a + x b =. Trostruki integral tada računamo prema f(x, y, z)dv = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) a b rdrdϕdz, V V Takoder, kod trostrukih integrala možemo prijeći i na sferne koordinate, gdje sada varijabla r označava udaljenost od ishodišta do neke točke na tijelu, a ne polumjer u projekciji u XY ravnini. Nadalje varijabla ϕ ostaje ista, tj. označava isti kut, te se uvodi nova varijabla θ koja označava kut izmedu pozitivnog dijela z osi i iste točke na tijelu, te vrijedi da je θ [, π]. Zamjenu provodimo na sljedeći način x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ te integral pišemo u sljedećem obliku f(x, y, z)dv = f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r sin θdrdϕdθ. V V 4

Takoder, ako je tijelo omedeno elipsoidima, a ne sferama, tada uzimamo općenitiji oblik sfernih koordinata: x = ar sin θ cos ϕ y = br sin θ sin ϕ z = cr cos ϕ te integral pišemo u sljedećem obliku f(x, y, z)dv = f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) a b c r sin θdrdϕdθ. V V Primjer 5. Prijelazom na cilindrične i sferne koordinate izračunajte volumen kugle x + y + z R. Izvršimo najprije prijelaz na cilindrične koordinate: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Ako ove varijable uvrstimo u jednadžbu kugle slijedi r + z R, pa kažemo da je kugla omedena plohama z = R r s donje strane i z = R r s gornje strane. Projekcija kugle u XY ravnini, zapravo je krug, omeden kružnicom x + y = R (projekciju računamo tako da izostavljamo dio koji se odnosi na varijablu z), što u cilindričnim (polarnim koordinatama) prelazi u r = R. Takoder, kružnica nema nikakvih ograničenja ili presjeka, što znači da je kut ϕ [, π]. Sada možemo odrediti područje integracije: V = {(r, ϕ, z) : ϕ π, r R, R r z R r } a integral računamo prema V dv = rdrdϕdz = V π = izračun za vježbu = 4πR3 3, R R r dϕ rdr dz = R r što je zapravo dobro nam poznata formula za volumen kugle. Prijedimo sada na sferne koordinate i riješimo isti zadatak: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 5

Uvrstimo li sferne koordinate u jednadžbu kugle proizlazi da je r R, odnosno odredujemo da je polumjer kugle r [, R]. Takoder, kako kugla nema nikakvih ograničenja ili presjeka, kut izmedu bilo koje točke na kugli i pozitivnog dijela z osi, je u intervalu θ [, π]. Vidjeli smo da je projekcija kugle u XY ravnini zapravo neograničena kružnica, pa proizlazi ϕ [, π]. Vrlo lako odredujemo područje integracije: D = {(r, ϕ, θ) : ϕ π, θ π, r R} te je volumen dv = r sin θdrdϕdθ = V V = π dϕ π sin θdθ R r dr = = izračun za vježbu = 4πR3 3. Primjer 6. Prijelazom na cilindrične i sferne koordinate postavite granice integracije u integralu f(x, y, z)dxdydz, pri čemu je V dio kugle x + y + z za koji je z x + y. V Prisjetimo se da je z = x + y stožac, te prije nego prijedemo na neke druge koordinate, nacrtajmo graf. Tijelo nad kojim provodimo integraciju je s gornje strane omedeno plohom z = x y (pozitivni dio kugle), a s donje stošcem. Izjednačimo li ove dvije plohe x y = x + y x + y = : x + y = slijedi da je njihov presjek kružnica polumjera r =, što je zapravo i projekcija ovog tijela u XY ravnini. Prijedimo sada na cilindrične koordinate x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Uvrstimo li ove koordinate u jednadžbu kugle i stošca, slijedi z x y z r z x + y z r z [r, r ] 6

Iz projekcije u XY ravnini, odnosno iz kružnice x + y = proizlazi da je r [, ], te je kut ϕ [, π]. Sada integral zapisujemo u sljedećem obliku f(x, y, z)dv = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz = V V = π dϕ rdr r r f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz. Prijelazom na sferne koordinate x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, i uvrštavanjem u jednadžbu kugle slijedi da je r, odnosnoi r [, ]. Kako je kugla ograničena, odnosno presiječena stošcem, iz njegove jednadžbe odredujemo koliki je kut θ. Uvrštavanjem sfernih koordinata u z = x + y slijedi z = x + y r cos θ = r sin θ : r cos θ tan θ = θ [, π ] 4 Iz projekcije u XY ravninu, odnosno kružnice presjeka slijedi ϕ [, π], te integral zapisujemo u sljedećem obliku f(x, y, z)dv = f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r sin θdrdϕdθ = V V Primjer 7. = π dϕ π 4 sin θdθ r f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr. Prijelazom na cilindrične i sferne koordinate izračunajte z dxdydz, pri čemu je V kugla x + y + (z ). V Područje integracije V je kugla polumjera, čije je središte u točki S(,, ). Ukoliko prijedemo na cilindrične koordinate: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z i uvrstimo ih u jednadžbu pomaknute kugle, koju omeduju dvije plohe, slijedi x + y + (z ) = (z ) = r z = ± r z [ r, + r ] 7

Sada, ako dio koji se odnosi na varijablu z izjednačimo s nulom, dobit ćemo projekciju kugle u XY ravninu, odnosno kružnicu x + y =. Prema tome, uvrstimo li u tu jednadžbu kružnice cilindrične koordinate, slijedi da je r [, ], te ϕ [, π], pa integral računamo na sljedeći način z dxdydz = z rdrdϕdz = V V π + r = dϕ rdr z dz = r = izračun za vježbu = 8π 5. Prijedimo sada na sferne koordinate x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. Ukoliko takve koordinate uvrstimo u jednadžbu naše pomaknute kugle, zakomplicirat ćemo si izračun. Medutim, ako mi uvedemo pomaknute sferne koordinate x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ z = r cos θ +, izračun postaje vrlo jednostavan. Uvrstimo li takve koordinate u jednadžbu kugle, odnosno sfere, slijedi x + y + (z ) = r sin θ + r cos θ = r = r [, ] Takoder, uvodenjem pomaknutih sfernih koordinata, zapravo smo postavili kuglu u ishodište, te je kut θ [, π]. Već smo vidjeli da je projekcija kugle, kružnica x + y =, te je kut ϕ [, π]. Prema tome, integral računamo na sljedeći način z dxdydz = (r cos θ + ) r sin θdrdϕdθ = V V = π dϕ π dθ = izračun za vježbu = 8π 5 (r cos θ + ) r sin θdr = Zadatak. ZADACI ZA VJEŽBU Izračunajte trostruki integral x y 3 z 4 dxdydz, V 8

ako je V = [, ] [, ] [, ]. I = 6. Zadatak. Postavite granice integracije u integralu f(x, y, z)dxdydz, V ako je V piramida s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(, 3, ) i C(,, 6). I = 3 3 x 6 3x y dx dy f(x, y, z)dz. Zadatak 3. Postavite granice integracije u integralu f(x, y, z)dxdydz, V ako je V tijelo omedeno plohom y = x i ravninama z = y i z =. Zadatak 4. I = y dx dy f(x, y, z)dz. x Postavite granice integracije u integralu f(x, y, z)dxdydz, V pri čemu je V tijelo omedeno plohom z = x + 4y i ravninom z =. I = 4y dy dx 4y f(x, y, z)dz. x +4y Zadatak 5. Postavite granice integracije i izračunajte integral x + y + z dxdydz, pri čemu je V kugla x + y + z x. I = V x x x x y dx dy x + y x x x x + z dz = π y. 9

Zadatak 6. Postavite granice integracije i izračunajte integral z x + y dxdydz, V pri čemu je V tijelo omedeno valjkastom plohom x + y = x i ravninama y =, z = i z = 3, za y. I = x x dx dy 3 z x + y dz = 8. Zadatak 7. U integralu 3 3 3 x 4 x y dx dy f(x, y, z)dz 3 x izvršite prijelaz na A. cilindrične koordinate, B. sferne koordinate. I = = π π dϕ dϕ 3 π 3 4 r rdr sin θdθ cos θ f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz r f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr Zadatak 8. izračunajte Prijelazom na cilindrične koordinate postavite granice integracije i V y x + (y ) dxdydz, pri čemu je V tijelo omedeno plohom z = x + (y ) i ravninom z = 4. I = π dϕ 4 dr (r sin ϕ + )dz = 3π r 3 Zadatak 9. Prijelazom na poopćene sferne koordinate postavite granice integracije i izračunajte volumen tijela omedenog elipsoidom 3x + 3y + z =.

Napomena: Izvršite prijelaz na poopćene sferne koordinate, tj. ako je u pravokutnim koordinatama x + y + z = R onda su poopćene sferne koordinate a b c x = ar sin θ cos ϕ y = br sin θ sin ϕ z = cr cos θ I = 8 π π 3 dϕ sin θdθ r dr = 3 3π 3

3 VEKTORSKA ANALIZA Vektorska analiza proučava vektorske funkcije, odnosno vektorska polja. Za početak ćemo se upoznati sa vektorskom funkcijom jedne skalarne varijable, koju označavamo na sljedeći način: v(t) = v (t) i + v (t) j + v 3 (t) k = x(t) i + y(t) j + z(t) k gdje je argument t u nekom intervalu iz skupa realnih brojeva. Funkcije v (t), v (t), v 3 (t) (x(t), y(t), z(t)) nazivamo skalarnim komponentama vektorske funkcije jedne varijable v(t). Primjer jedne takve vektorske funkcije je i sljedeća funkcija: čije su skalarne komponente f (t) = x(t) = sin t, f (t) = y(t) = cos t, f 3 (t) = z(t) = t. f(t) = sin t i + cos t j + t k, Općenito, skalarno polje definiramo i zapisujemo kao skalarnu funkciju dvije, odnosno tri varijable z = f(x, y) u = f(x, y, z). Ako su skalarne komponente neke vektorske funkcije skalarna polja, tada vektorske funkcije predstavljaju vektorska polja: f(x, y, z) = f (x, y, z) i + f (x, y, z) j + f 3 (x, y, z) k. Navedimo nekoliko primjera. Funkcija f(t) = t i + t j + t 3 k predstavlja vektorsku funkciju jedne skalarne varijable, gdje su skalarne komponente f (t) = x(t) = t, f (t) = y(t) = t, f 3 (t) = z(t) = t 3. Nadalje, funkcija f(x, y, z) = x + y + z predstavlja skalarno polje triju varijabli, te funkcija f(x, y, z) = x yz i + xy z j + xyz k predstavlja vektorsko polje triju varijabli, čije su skalarne komponente

f (x, y, z) = x yz, f (x, y, z) = xy z, f 3 (x, y, z) = xyz. Kako funkcije triju varijabli imaju samo parcijalne derivacije, tako se za analizu skalarnih i vektorskih polja uvode posebni operatori, koji se mogu usporediti s derivacijom funkcije jedne varijable. Neki od tih operatora koje ćemo obraditi su: gradijent skalarnog polja, divergencija vektorskog polja i rotacija (rotor) vektorskog polja. Prije nego ih upoznamo pojedinačno, definirajmo tzv. Hamiltonov operator (nabla, del, atled,...) = x i + y j + z k, koji, u odnosu na polje primjene, provodi navedene operacije. Gradijent skalarnog polja Gradijent skalarnog polja je vektorsko polje, koje pokazuje pravac najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u tom polju. Neka je f(x, y, z) skalarno polje, tada gradijent tog polja zapisujemo na sljedeći način: grad f(x, y, z) = f(x, y, z) = f(x, y, z) i + x f(x, y, z) j + y Primjer. Izračunajte gradijent skalarnog polja f(x, y, z) = x ye z. f(x, y, z) k z Prilikom izračuna gradijenta, zapravo tražimo parcijalne derivacije funkcije triju varijabli, odnosno skalarnog polja. Već smo se prisjetili kod dvostrukih, odnosno trostrukih integrala da ukoliko integriramo po jednoj varijabli, ostale uzimamo kao konstante. Isto vrijedi i kod parcijalnog deriviranja, pa gradijent računamo na sljedeći način: grad f(x, y, z) = f(x, y, z) = (x ye z ) i + (x ye z ) j + (x ye z ) k = x y z = xye z i + x e z j x ye z k Primjer. T (, e, ). Izračunajte gradijent skalarnog polja f(x, y, z) = x ln y z u točki Ovaj primjer možemo shvatiti na sljedeći način. Neka zadano skalarno polje f(x, y, z) = x ln y predstavlja širenje topline u prostoru. Želimo saznati kolikim z intenzitetom i u kojem pravcu se ta toplina širi iz promatrane točke prostora T (, e, ). Primjer ćemo riješiti kao i prethodni: grad f(x, y, z) = f(x, y, z) = ( x ln y ) z i + ( x ln y ) z j + ( x ln y x y z = ln y xz x i + yz x ln y j k z 3 z ) k =

Sada nam samo preostaje naći koliki je ovaj gradijent u točki T (, e, ), odnosno računamo grad f(x, y, z) T (,e,) = grad f(, e, ) = = 4 i + e j 4 k Primjer 3. Izračunajte smjer i intenzitet najveće promjene skalarnog polja f(x, y, z) = e r. Ono što tražimo u ovom primjeru zapravo je gradijent skalarnog polja. Da bismo ga riješili potrebno je definirati tzv. radijalnu funkciju ili radij-vektor čija je duljina r = x i + y j + z k, r = r = x + y + z. Prema tome, zadano skalarno polje možemo zapisati u sljedećem obliku f(x, y, z) = e r = e (x +y +z ) i izračunati gradijent +y +z ) +y grad f(x, y, z) = f(x, y, z) = (e (x ) +z ) +y i + (e (x ) +z ) j + (e (x ) k = x y z Divergencija vektorskog polja = xe r i ye r j ze r k = = e r (x i + y j + z k) = e r r Divergencija vektorskog polja je skalarno polje koje mjeri intenzitet izvora ili ponora tog vektorskog polja. Takoder, može se reći da je divergencija vektorskog polja mjera promjene u gustoći tog vektorskog polja. Kao primjer za bolje razumijevanje, uzmimo da vektorsko polje predstavlja brzinu širenja zraka. Ukoliko taj zrak zagrijavamo, on se širi te divergencija ima pozitivnu vrijednost. S druge strane, ako taj zrak hladimo, on se skuplja i divergencija ima negativnu vrijednost. Nadalje, neka je zadano vektorsko polje f(x, y, z) = f (x, y, z) i + f (x, y, z) j + f 3 (x, y, z) k. Tada je divergencija skalarni produkt operatora i zadanog vektorskog polja: div f(x, y, z) = f(x, y, z) = f (x, y, z) x Primjer 4. Izračunajte divergenciju vektorskog polja f(x, y, z) = e x i + y j e z k u točki T (, e, ). + f (x, y, z) y + f 3(x, y, z) z 4

Prilikom računanja divergencije, zapravo tražimo parcijalne derivacije skalarnih komponenti vektorskog polja na sljedeći način div f(x, y, z) = f(x, y, z) = (e x ) x + (y ) y + ( ez ) z = e x + y e z Sada je potrebno naći koliki je intenzitet divergencije u točki T (, e, ), odnosno računamo div f(x, y, z) T (, e,) = div f(, e, ) = e e e = 4e. Primjer 5. Izračunajte divergenciju vektorskog polja f(x, y, z) = r = x i + y j + z k. div r = r = (x) x + (y) y + (z) z = 3. Rotacija (rotor) vektorskog polja Rotacija ili rotor vektorskog polja je vektorsko polje koje pokazuje intenzitet i smjer rotacije zadanog vektorskog polja. Takoder, rotacija ili rotor vektorskog polja može se opisati i kao gustoća njegove cirkulacije. Neka je zadano vektorsko polje f(x, y, z) = f (x, y, z) i + f (x, y, z) j + f 3 (x, y, z) k. Tada je rotacija ili rotor vektorski produkt operatora i vektorskog polja ( ) rot f(x, y, z) = f(x, f 3 (x, y, z) y, z) = f (x, y, z) i+ y z ( ) ( ) f (x, y, z) + f 3(x, y, z) f (x, y, z) j + f (x, y, z) k, z x x y odnosno rot f(x, y, z) = f(x, i j k y, z) = x y z f (x, y, z) f (x, y, z) f 3 (x, y, z). Primjer 6. Izračunajte intenzitet i smjer rotacije vektorskog polja f(x, y, z) = x i + y j + sin z k. Kao i kod prethodnih primjera, moramo naći parcijalne derivacije skalarnih komponenata zadanog vektorskog polja: f (x, y, z) = x, f (x, y, z) = y, f 3 (x, y, z) = sin z. 5

Rotaciju ili rotor ćemo izračunati tako da uvrstimo skalarne komponente u prethodno navedenu determinantu: i j k rot f(x, y, z) = f(x, y, z) = x y z x y sin z ( ) ( sin z = y x i + y z z sin z x = ) j + ( ) y x x k y Primjer 7. Izračunajte rotaciju električnog polja E(x, y, z) = y i + xz j + xy k. Električno polje je zapravo vektorsko polje, čiju rotaciju računamo kao i prethodni primjer: i j k rot f(x, y, z) = f(x, y, z) = x y z y xz xy ( ) ( xy = y xz y i + z z xy x = y j + (z ) k Potencijalna i solenoidalna vektorska polja ) j + ( ) xy x y k y Sada ćemo se upoznati sa posebnim vrstama vektorskih polja. Za vektorsko polje f(x, y, z) = f (x, y, z) i + f (x, y, z) j + f 3 (x, y, z) k kažemo da je potencijalno ili konzervativno ako postoji skalarno polje p(x, y, z) takvo da vrijedi: f(x, y, z) = grad p(x, y, z) = p(x, y, z) f (x, y, z) = p(x, y, z), f (x, y, z) = x p(x, y, z), f 3 (x, y, z) = y p(x, y, z) z Tada se skalarno polje p(x, y, z) naziva potencijalnom zadanog vektorskog polja f(x, y, z). Nadalje, ako je zadano vektorsko polje diferencijabilno na nekom konveksnom području, tada je ono potencijalno ili konzervativno onda i samo onda ako je i bezvrtložno: rot f(x, y, z) = f(x, y, z) =. Ako je vektorsko polje potencijalno, tada njegov potencijal u nekoj točki T (x, y, z ) računamo prema: p(x, y, z) = x x f (t, y, z)dt + y y f (x, u, z)du + 6 z z f 3 (x, y, v)dv + C.

U našem daljnjem računu, zbog jednostavnosti izračuna, uzimat ćemo da je točka T (x, y, z ) = T (,, ). Primjer 8. Zadano je vektorsko polje f(x, y, z) = e y i + (xe y + sin z) j + y cos z k. Dokažite da je polje potencijalno i izračunajte njegov potencijal. Da bismo dokazali da je polje potencijalno, trebamo ispitati uvjet rot f(x, y, z) = f(x, y, z) =, pa računamo rot f(x, y, z) = f(x, i j k y, z) = x y z e y xe y + sin z y cos z ( ) ( y cos z = (xey + sin z) e i y y cos z + y z z x ( ) (xe y + sin z) + ey k = x y Ovime smo dokazali da je zadano polje potencijalno. Sada trebamo pronaći njegov potencijal. Prema prethodno navedenoj formuli za izračun potencijala, tražimo f (t, y, z), f (x, u, z) i f 3 (x, y, v). Spomenuli smo da ćemo uzimati x = y = z =, pa uvrštavanjem u skalarne komponente zadanog vektorskog polja slijedi f (x, y, z) = e y f (t, y, z) = e y f (x, y, z) = xe y + sin z f (x =, u, z) = e u + sin z = sin z f 3 (x, y, z) = y cos z f 3 (x =, y =, v) = sin v =. Preostaje nam samo integrirati dobivene funkcije p(x, y, z) = x x f (t, y, z)dt + x y y = e y dt + sin zdu + = e y t x + sin z u y + C = = xe y + y sin z + C. Za vježbu provjerite da li je f (x, y, z) = Primjer 9. p(x, y, z), f (x, y, z) = x y f (x, u, z)du + z Provjerite je li magnetsko polje H(x, y, z) = dv + C = z z ) j+ f (x, y, v)dv + C p(x, y, z), f 3 (x, y, z) = y z y j + y k p(x, y, z). z 7

potencijalno, te odredite njegov potencijal. Primjer ćemo riješiti kao i prethodni. Najprije provjeravamo uvjet rot H(x, y, z) = H(x, y, z) =, pa računamo rot H(x, y, z) = H(x, i j k y, z) = x y z z y y ( y = ) ( z y i + y z z ) y j+ x ( ) z y + x k = y Sada tražimo potencijal, odnosno najprije ćemo tražiti skalarne komponente f (x, y, z) = f (t, y, z) = f (x, y, z) = z y f (x =, u, z) = z u f 3 (x, y, z) = y f 3 (x =, y =, v) = = i. Na kraju, uvrstimo funkcije u integral i izračunamo x y p(x, y, z) = f (t, y, z)dt + f (x, u, z)du + f (x, y, v)dv + C x y z x y z z = dt + du + idv + C = u = z u y + i v z + C = u= z = z y iz + iz + C = z y + C. Vektorsko polje f(x, y, z) zovemo solenoidalnim ako postoji vektorsko polje g(x, y, z) takvo da vrijedi f(x, y, z) = rot g(x, y, z) = g(x, y, z). Nadalje, neprekinuto diferencijabilno vektorsko polje f(x, y, z) je solenoidalno ako i samo ako vrijedi div f(x, y, z) = f(x, y, z) =. Primjer. Provjerite je li električno polje [ yz E(x, y, z) = K (x z i 3 z) ] x 5 j + y x k, 8

gdje je K konstanta, solenoidalno. Uvjet da je vektorsko polje solenoidalno je div f(x, y, z) = f(x, y, z) =. Prema tome za zadano električno polje provjeravamo div E(x, y, z) = E(x, y, z) = ( ) K yz z = + [ K(x 3 z) x 5] + x y =. Ovime smo dokazali da je električno polje solenoidalno. Laplace skalarnog polja ( ) K y x Do sada smo upoznali tri osnovna operatora vektorske analize. Sada ćemo još navesti i obraditi Laplace skalarnog polja, te usmjerene derivacije skalarnog i vektorskog polja. Laplace skalarnog polja f(x, y, z) označavamo sa f(x, y, z) i možemo definirati kao drugu derivaciju skalarnog polja, odnosno vrijedi f(x, y, z) = f(x, y, z) x + f(x, y, z) y + f(x, y, z) z. Veza izmedu Laplacea, gradijenta i divergencije dana je sljedećom formulom: f(x, y, z) = div [ grad f(x, y, z)]. z = Primjer. Izračunajte Laplace skalarnog polja f(x, y, z) = e x y ln z. Laplace zadanog skalarnog polja izračunat ćemo po zadnje navedenoj formuli. Najprije tražimo gradijent tog skalarnog polja: grad f(x, y, z) = ex y ln z x i + ex y ln z y = e x y ln z i + e x ln z j + ex y z k. j + ex y ln z k = z Sada tražimo divergenciju toga gradijenta, odnosno računamo Laplace: ( ) e f(x, y, z) = div [ grad f(x, y, z)] = (ex y ln z) + (ex ln z) x y z + x y z = e x y ln z ex y z = 9

Usmjerena derivacija skalarnog polja Usmjerena derivacija skalarnog polja f(x, y, z) u smjeru vektora s i u točki T (x, y, z ), je skalarno polje dobiveno kao skalarni produkt jediničnog vektora u smjeru vektora s i gradijenta zadanog skalarnog polja u točki T i označava se na sljedeći način: f(x, y, z) s = s T s grad f(x, y, z) T = s s f(x, y, z) T. Jedinični vektor vektora smjera s računamo tako da vektor s podijelimo sa njegovom dužinom: s = s i + s j + s 3 k s = s + s 3 + s 3 s s = s = s i + s j + s 3 k = s = + s + s + s3 i s s + s + s 3 j + s 3 s + s + s 3 k Primjer. Izračunajte usmjerenu derivaciju skalarnog polja f(x, y, z) = x 3 + y sin z u smjeru vektora s = i j + k u točki T (,, π). Najprije odredimo jedinični vektor vektora s: s s = i j + k 3. 3 3 Zatim izračunajmo gradijent zadanog skalarnog polja: grad f(x, y, z) = f(x, y, z) = (x3 + y sin z) i + (x3 + y sin z) j + (x3 + y sin z) k x y z = 3x i + y sin z j + y cos z k, te pronadimo skalarni produkt jediničnog vektora i gradijenta, odnosno usmjerenu derivaciju: f(x, y, z) s = s s grad f(x, y, z) = 3x y sin z + y cos z 3. Sada nam samo preostaje odrediti dobivenu usmjerenu derivaciju u točki T (,, π), odnosno f(x, y, z) s = T (,,π) ( 3x y sin z + y cos z 3 ) T (,,π) = = 4 3 3

Usmjerena derivacija vektorskog polja Usmjerena derivacija vektorskog polja f(x, y, z) u smjeru vektora s i u točki T (x, y, z ) je vektorsko polje definirano na sljedeći način: f(x, ( y, z) f(x, = s y, z) f(x, + s y, z) + s ) f(x, y, z) 3 = s T x y z T ( ) = s x + s y + s 3 f(x, y, z), z T gdje je s s = s i + s j + s 3 k. Primjer 3. Izračunajte usmjerenu derivaciju vektorskog polja f(x, y, z) = x e z i y j + z 3 k u smjeru vektora s = i + j u točki T (,, ). Kao i u prethodnom primjeru najprije izračunajmo jedinični vektor u smjeru vektora s: s s = i + j, iz čega slijedi s = s = s 3 =. Sada nadimo parcijalne derivacije vektorskog polja f(x, y, z), odnosno parcijalno deriviramo skalarne komponente, a vektore i, j i k prepišemo : f(x, y, z) = xe z i x f(x, y, z) = j y f(x, y, z) z = x e z i + 3z k Zatim računamo usmjerenu derivaciju vektorskog polja: f(x, ( y, z) f = s s x + s f y + s ) f 3 = z = xe z i j + (x e z i + 3z k) = = xez i j 3

Preostaje nam samo uvrstiti vrijednosti točke T (,, ): ( ) xe z i j f(x, y, z) s = T (,,) = i j T (,,) ZADACI ZA VJEŽBU Zadatak. Izračunajte gradijent i apsolutnu vrijednost gradijenta (duljinu) za skalarno polje f(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 3xyz u točki A(,, ). grad f(x, y, z) = (3x 3yz) i + (3y 3xz) j + (3z 3xy) k grad f(x, y, z) T (,,) = 6 i 9 j + 6 k grad f(x, y, z) T (,,) = 6 + ( 9) + 6 = 3 7 Zadatak. Izračunajte gradijent skalarne funkcije f = a r, gdje je a vektor s konstantnim skalarnim komponentama a = a i + a j + a 3 k, a r je radij vektor. grad f = a Zadatak 3. Izračunajte f(x, y, z) i f(x, y, z), ako je f(x, y, z) = xz i + y k. f(x, y, z) = z f(x, y, z) = i + x j Zadatak 4. Izračunajte f(x, y, z) i f(x, y, z), ako je f(x, y, z) = x i + xyz j + z k. f(x, y, z) = x + xz + z f(x, y, z) = xy i + yz k = Zadatak 5. Dokažite da je električno polje E(x, y, z) = yz(x + y + z) i + xz(x + y + z) j + xy(x + y + z) k potencijalno ili konzervativno, te izračunajte njegov potencijal. 3

rot E(x, y, z) = p(x, y, z) = xyz(x + y + z) + C Zadatak 6. Dokažite da je magnetsko polje ( ) ) H(x, y, z) = (xy + z) i + x j + (x + yz k z potencijalno ili konzervativno, te izračunajte njegov potencijal. rot H(x, y, z) = p(x, y, z) = x y + xz y z + C Zadatak 7. Izračunajte usmjerenu derivaciju polja f(x, y, z) = xyz u točki A(5,, ), a u smjeru vektora AB, gdje je B(9, 4, 4). Napomena: vektor izmedu dvije točke: (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k. Zadatak 8. f(x, y, z) AB ( = A(5,,) = 98 3 4 3 yz + 3 xz + 3 3 xy Izračunajte Laplace skalarnog polja ) A(5,,) = f(x, y, z) = xe y ln z u točki T (,, e). ( ) f(x, y, z) = xe y ln z( + y ) xey T (,,e) z Zadatak 9. Izračunajte f(x, y, z), s T (,,e) = 6e e. gdje je vektorsko polje f(x, y, z) = x i + xyz j + z k, a vektor smjera s = i + j + k. f(x, y, z) s = x i + (xy + yz + xz) j + z k 3 33

4 KRIVULJNI INTEGRALI Prije nego krenemo obradivati krivuljne integrale, potrebno je definirati postupak koji se zove parametrizacija krivulje. Neka je vektorska funkcija r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b] definirana i neprekinuta na intervalu [a, b]. Graf ove vektorske funkcije je krivulja c = {x(t), y(t), z(t) R 3 : t [a, b]}. Uredeni par vektorske funkcije r(t) i intervala [a, b] naziva se parametrizacija krivulje c. Drugim riječima, ako je krivulja u prostoru zadana u pravokutnim koordinatama (x, y, z), parametriziramo je tako da je zapišemo kao vektorsku funkciju jedne varijable t. Potrebno je napomenuti da jedna krivulja ima više načina parametrizacije. Pokažimo sada postupak parametrizacije na nekoliko primjera. Primjer. Napišite parametrizaciju krivulje c odredene kao presjek ploha x = z i z = y. Jednu parametrizaciju ove presječnice ploha c možemo dobiti ako stavimo da je y = y(t) = t, iz čega slijedi da je z = z(t) = y (t) = t, odnosno x = x(t) = z (t) = t 4. Kako bi parametrizacija bila potpuna, potrebno je odrediti interval varijable t. Krivulja c nema nikakvih ograničenja, što znači da varijabla t [, ]. Na kraju je parametrizacija krivulje c: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = t 4 i + t j + t k, t (, ). Primjer. Napišite parametrizaciju kružnice x + y = 4. Ako se prisjetimo dvostrukih i trostrukih integrala, gdje smo uvodili polarne (cilindrične) i sferene koordinate, tada se na sličan način mogu parametrizirati kružnice i sfere. Kod polarnih koordinata smo uzimali x = r cos ϕ y = r sin ϕ. Kod parametrizacije ćemo se poslužiti ovim polarnim koordinatama, gdje ćemo umjesto kuta ϕ uzimati varijablu t, a umjesto polumjera r ćemo uvrstiti vrijednost polumjera zadane kružnice, u našem slučaju. Prema tome, zapisujemo x = x(t) = cos t y = y(t) = sin t. Preostaje nam naći interval na kojem je definirana ova kružnica, odnosno varijabla t. Kako je kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i bez 34

ograničenja, tada je varijabla t [, π] i parametrizaciju zapisujemo na sljedeći način r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = cos t i + sin t j, t [, π]. Ovu kružnicu smo mogli parametrizirati i na način da varijablu x zapišemo kao x = x(t) = t iz čega slijedi da je y = ± 4 t. Prema tome dobili smo dvije vektorske funkcije r (t) = t i + 4 t j r (t) = t i 4 t j Kako je kod ove kružnice x [, ], tako je i t [, ]. Ako je bitan smjer kojim je kružnica opisana, odnosno orijentacija krivulje, npr. u smjeru kazaljke na satu, tada je za r (t) t [, ], dok je za r (t) t [, ]. Primjer 3. Napišite parametrizaciju krivulje, dobivene presjekom ravnine x + z = i elipse (x ) + y 4 =, za koju je y. Slično kao i u prethodnom primjeru, opći oblik elipse možemo zapisati u polarnim koordinatama (x x S ) + (y y S) = R a b x x S = ar cos ϕ y y S = br sin ϕ Prema tome, uvrstimo li vrijednosti kao i u prethodnom primjeru, jedna od parametrizacija naše elipse je: x = x(t) = cos t y = y(t) = sin t Iz uvjeta y, slijedi da je t [, π], jer imamo samo gornju stranu elipse. Ako sada ovu parametrizaciju primjenimo i na pohu x + z = z = x, konačno dobivamo: x(t) = cos t + y(t) = sin t z(t) = x(t) = cos t t [, π] Sada smo upoznali postupak parametrizacije krivulje, koji nam je neophodan prilikom računanja krivuljnih integrala. 35

Krivuljni integrali prve vrste Neka funkcija (skalarno polje) f(x, y, z) predstavlja linearnu gustoću neke tvari razmazane po krivulji c, te neka je krivulja c zadana svojom parametrizacijom Tada se integral f(x, y, z)ds = c c... r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b]. b a f[x(t), y(t), z(t)] [x (t)] + [y (t)] + [z (t)] dt, t [a, b] naziva krivuljni integral prve vrste i definira masu krivulje c. U navedenom integralu diferencijal ds elementa luka krivulje ds = r (t) dt = [x (t)] + [y (t)] + [z (t)] dt = d r(t), nastao je od aproksimacije duljine luka krivulje. Ako uzmemo da je f(x, y, z) =,tada integral b ds = [x (t)] + [y (t)] + [z (t)] dt, t [a, b] c a predstavlja duljinu luka krivulje c na intervalu [a, b]. Krivuljni integrali prve vrste ne ovise o smjeru integracije, odnosno o orijentaciji krivule, tj. isto je ako integriramo od toče a do točke b i obrnuto od točke b do točke a. Primjer. Izračunajte integral y + z ds, gdje je krivulja c presjek sfere x + y + z = a i ravnine y = x. c Iz zadanog integrala zapisujemo da je f(x, y, z) = y + z. Presječnicu sfere i ravnine dobit ćemo jednostavnim uvrštavanjem, odnosno x + y + z = a y = x x + x + z = a : x + z = a Ovime smo dobili elipsu u XZ ravnini za koju lako nalazimo parametrizaciju. x(t) = a cos t z(t) = a sin t t [, π] 36

Kako krivulja nema nikakvih ograničenja, tako je varijabla t [, π]. Iz jednadžbe y = x slijedi da je y(t) = x(t) = a cos t, odnosno f[x(t), y(t), z(t)] = a cos t + a sin t = a. Sada treba naći naći derivacije x (t), y (t) i z (t), kako bismo izračunali diferencijal ds: x (t) = a sin t y (t) = a sin t z (t) = a cos t ds = a sin t [x (t)] + [y (t)] + [z (t)] dt = + a sin t + a cos tdt = adt Sada napokon možemo izračunati krivuljni integral π y + z ds = a dt = πa. c Ovaj zadatak smo mogli riješiti i na drugi način, odnosno projekcijom presječnice u XY ravninu x + z = a x + z = a x = a z = x = ± a x [ a, ] a Ako prilikom parametrizacije uzmemo da je x = x(t) = t, odnosno t tada slijedi da je y(t) = x(t) = t, dok iz jednadžbe sfere slijedi x + y + z = a z = a x y z = ± a x y [ a, a ], z = ± a t 37

Sada smo zapravo dobili dvije krivulje c... x(t) = t y(t) = t z(t) = [ a t t a, c... x(t) = t y(t) = t z(t) = [ a t t a, čije su derivacije i diferencijali c... x (t) = y (t) = z t (t) = ds = a t c... x (t) = y (t) = z (t) = t a t ds = ] a ] a a a t dt a a t dt Uvrstimo li u funkciju f(x, y, z) = y + z, parametrizacije krivulja c i c, slijedi f[x(t), y(t), z(t)] = t + a t = a. Rješenje krivuljnog integrala je y + z ds = y + z ds + y + z ds = c c c = a a dt a a t + a dt a t = = a a a a a dt = izračun za vježbu = πa a t Primjer. Izračunajte integral c xyds, gdje je krivulja c presjek ploha y = x +, y + z = 3, x, z. Ovaj primjer možemo riješiti na sljedeći način. Projekcijom plohe y + z = 3 u XY ravninu slijedi da je y = 3. Nadalje, ako y = 3 uvrstimo u jednadžbu plohe y = x +, slijedi da je x = ±. Iz uvjeta x, slijedi da je x [, ]. Uzmimo sada da je parametrizacija krivulje presječnice c... x(t) = t y(t) = x (t) + = t + z(t) = 3 y(t) = 3 t + Pronadimo derivacije i diferencijal x (t) = y (t) = ds = t [, ]. t t + z t (t) = t + + t t + + t t + dt = 3t + t + dt. 38

U zadanu funkciju f(x, y, z) = xy uvrstimo parametrizaciju, te slijedi c f[x(t), y(t), z(t)] = t t +. Rješenje krivuljnog integrala je xyds = t 3t + t + t + dt Primjer 3. = Izračunajte integral t 3t + dt = izračun za vježbu = 4 9 c x yzds, gdje je krivulja c presjek ploha 5z = x + 5(y ) i y + z =. Kako obje plohe sadrže varijablu z, presječnicu možemo dobiti na sljedeći način y + z = z = y 5z = x + 5(y ) 5( y) = x + 5(y )... x 5 + y =. Ovime smo dobili elipsu te je jedna od parametrizacija krivulje presječnice c c... x(t) = 5 cos t y(t) = sin t z(t) = y(t) = sin t t [, π]. Nadimo derivacije i diferencijal x (t) = 5 sin t y (t) = cos t z (t) = cos t ds = 5 sin t + cos t + 4 cos tdt = 5dt. U zadanu funkciju f(x, y, z) = x yz uvrstimo parametrizaciju, te slijedi f[x(t), y(t), z(t)] = 5 cos t sin t( sin t). Rješenje krivuljnog integrala je x yzds = π 5 5 cos t sin t( sin t)dt c = ( π ) π 5 sin t cos tdt sin t cos tdt = = izračun za vježbu = 5 5π 39

Primjer 4. Izračunajte integral c xyds, gdje je krivulja c pravokutnik omeden pravcima x =, y =, x = 4, y =. Krivuljni integral sa oznakom, označava da se radi o integraciji po zatvorenoj krivulji. U ovom primjeru krivulja prati zadani (zatvoreni) pravokutnik. Nacrtamo li pravokutnik, vidjet ćemo da je omeden točkama A(, ), B(4, ), C(4, ) i D(, ). Prema tome, naša tražena krivulja se sastoji od četiri spojnice (krivulje), odnosno pravaca xyds = xyds + xyds + xyds + xyds c AB Njihove parametrizacije možemo zapisati na sljedeći način BC AB... y(t) = x(t) = t t [, 4] f[x(t), y(t)] = ds = dt BC... x(t) = 4 y(t) = t t [, ] f[x(t), y(t)] = 4t ds = dt CD... y(t) = x(t) = t t [, 4] f[x(t), y(t)] = t ds = dt AD... x(t) = y(t) = t t [, ] f[x(t), y(t)] = ds = dt Rješenje krivuljnog integrala je xyds = xyds + c AB = + 4 tdt + xyds + BC 4 CD CD xyds + tdt + =... = 4. AD AD xyds U ovom primjeru se vidi da krivuljni integrali prve vrste ne ovise o orijentaciji krivulje, tj. kod pravaca CD i AD nismo uzimali obrnute intervale t [4, ], odnosno t [, ]. Krivuljni integrali druge vrste Ako za funkciju uzmemo vektorsko polje umjesto skalarnog, tj. f(x, y, z) = f (x, y, z) i + f (x, y, z) j + f 3 (x, y, z) k i integriramo ga po parametriziranoj krivulji c na intervalu [a, b], dobit ćemo krivuljni integral druge vrste definiran na sljedeći način: f(x, y, z)d r = f (x, y, z)dx + f (x, y, z)dy + f 3 (x, y, z)dz = c b = a t [a, b] c [ f ( x(t), y(t), z(t) ) x (t) + f ( x(t), y(t), z(t) ) y (t) + f 3 ( x(t), y(t), z(t) ) z (t) ] dt 4

Za razliku od krivuljnih integrala prve vrste, krivuljni integrali druge vrste ovise o smjeru integracije, odnosno o orijentaciji krivulje, tj. nije isto ako integriramo od točke A do točke B i obrnuto od točke B do točke A. Vrijedi fd r = fd r Primjer 5. ÂB Izračunajte integral c BA xdx + ydy zdz, gdje je krivulja c zadana parametarski x(t) = t, y(t) = t, z(t) =, od točke t A(4,, ) do točke B(,, ). Iz integrala možemo zapisati da je vektorsko polje f(x, y, z) = x i + y j z k. Krivulja je već zadana parametarski, medutim točke su zadane u pravokutnim koordinatama. Izjednačavanjem parametarski zadanih varijabli i koordinata točaka A i B slijedi ( Za točku A 4,, ) 4 = x(t) = t, = y(t) = t, t = z(t) = t = a = Derivacije su Za točku B(,, ) = x(t) = t, = y(t) = t, a skalarne komponente zadanog vektora t = z(t) = t = b = x (t) = t y (t) = z (t) = t, f (x(t), y(t), z(t)) = x(t) = t f (x(t), y(t), z(t)) = y(t) = t f 3 (x(t), y(t), z(t)) = z(t) = t. Napokon, rješenje krivuljnog integrala je [ xdx + ydy zdz = f (x(t), y(t), z(t))x (t) + f (x(t), y(t), z(t))y (t)+ c ] [ + f 3 (x(t), y(t), z(t))z (t) dt = t (t) + t ( t )] dt = t = izračun za vježbu = 75 8 U ovom primjeru smo vidjeli da krivuljni integrali druge vrste ovise o orijentaciji krivulje, tj. interval je bio t [, ]. 4

Primjer 6. Izračunajte integral (y )dx, c gdje je c dio krivulje x + y = x + y koji se nalazi u prvom kvadrantu, obiden u pozitivnom smjeru (obrnuto od kazaljke na satu). Zadano vektorsko polje je f(x, y, z) = (y ) i, odnosno ima jednu skalarnu komponentu. Nadalje, ako zadanu krivulju nadopunimo do potpunog kvadrata x + y = x + y x x + y y = (x ) + (y ) = (x ) + (y ) = dobit ćemo kanonski oblik kružnice (x ) + (y ) =. Jedna od parametrizacija te krivulje je čije su derivacije x(t) = cos t + y(t) = sin t + x (t) = sin t y (t) = cos t Iz uvjeta da se krivulja nalazi u prvom kvadrantu, odnosno x(t) i y(t), slijedi sin t +, cos t + sin t, cos t [ t π 4, 3π ]. 4 Ako uvrstimo parametrizaciju u skalarnu komponentu vektorskog polja, slijedi a rješenje krivuljnog integrala je (y )dx = c = f (x(t), y(t), z(t)) = sin t, 3π 4 π 4 3π 4 π 4 f (x(t), y(t), z(t))x (t)dt = 3π 4 sin t( sin t)dt = = izračun za vježbu = π π 4 sin tdt = 4