Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci
Numerička integracija O problemima integriranja Ako je f : [a, b] R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se Riemannov integral na segmentu [a, b] može izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I = b a f (x) dx = G(b) G(a). U praksi se najčešće pojavljuju situacije gdje nije moguće primjeniti ovu formulu. Može se dogoditi da: primitivnu funkciju G nije moguće dobiti elementarnim metodama podintegralna funkcija je poznata u samo nekoliko točaka
Numerička integracija O problemima integriranja Ako je f : [a, b] R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se Riemannov integral na segmentu [a, b] može izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I = b a f (x) dx = G(b) G(a). U praksi se najčešće pojavljuju situacije gdje nije moguće primjeniti ovu formulu. Može se dogoditi da: primitivnu funkciju G nije moguće dobiti elementarnim metodama podintegralna funkcija je poznata u samo nekoliko točaka
Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.
Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.
Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.
Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2
Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2
Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2
Trapezna formula Trapezna formula Geometrijski, I predstavlja površinu trapeza sa stranicama f (a) i f (b) i visinom h = b a. Apsolutna greška predstavlja površinu izmedu pravca L 1 i grafa funkcije f.
Trapezna formula Trapezna formula Teorem Neka je f C[a,b] 3. Tada postoji c a, b takav da je I = b a f (x) dx = b a 2 (b a)3 (f (a) + f (b)) f (c). 12
Trapezna formula Produljena trapezna formula Ako je segment integracije [a, b] relativno velik, greška E će biti velika. U cilju postizanja bolje aproksimacije I integrala I, segment [a, b] podijelit ćemo na podsegmente i na svakom od njih primjeniti trapeznu formulu. Pretpostavimo da funkciju f poznajemo u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b], ali je pri tome ispunjeno: x 1 x 0 = = x n x n 1 = h, x 0 = a, x n = b.
Trapezna formula Produljena trapezna formula
Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.
Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.
Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.
Trapezna formula Produljena trapezna formula Cijeli integral I postaje: b I = f (x) dx = a n i=1 xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y 0 + 2y 1 + + 2y n 1 + y n) h3 12 n f (c i ). i=1 Na ovaj način dobivamo produljenu (generaliziranu) trapeznu formulu: I = I + E n, gdje je I = h 2 (y 0 + 2y 1 + + 2y n 1 + y n ), E n = b a 12 h2 f (c).
Trapezna formula Greška produljene trapezne formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 2 = max x [a,b] f (x), onda je apsolutna greška I b a 12 h2 M 2 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je M 2 n > (b a) ε b a 12.
Trapezna formula Greška produljene trapezne formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 2 = max x [a,b] f (x), onda je apsolutna greška I b a 12 h2 M 2 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je M 2 n > (b a) ε b a 12.
Trapezna formula Zadatak 1. Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala uz korak h = 0.2. Rješenje. 4 3 x ln x dx
Trapezna formula Zadatak 2. (vježba) Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala 6 4.8 2 x sin x dx uz korak h = 0.3. Rješenje. 6 4.8 2 x sin x dx 34.748.
Trapezna formula Zadatak 3. Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost broja π računajući površinu jediničnog kruga pomoću odredenog integrala za korak h = 0.1. Rješenje.
Trapezna formula Zadatak 4. (vježba) Neka je zadano 2 0 dx 1 + x 2. Koristimo li produljenu trapeznu formulu za izračunavanje aproksimacije vrijednosti zadanog integrala, koliki bi trebao biti n ako je uvjet da je greška aproksimacije E n 5 10 6? Rješenje. n 517.
Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Newton - Cotesova formula reda n + 1 za aproksimaciju odredenog integrala b f (x) dx a dobiva se tako da se funkcija f zamijeni Lagrangeovim interpolacijskim polinomom stupnja n koji interpolira vrijednosti funkcije f u n + 1 ekvidistantnih točaka. Ukoliko su krajnje točke segmenta [a, b] ujedno i interpolacijske točke, onda govorimo o zatvorenoj Newton - Cotesovoj formuli, a u protivnom o otvorenoj.
Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Promotrimo zatvorenu Newton - Cotesovu formulu reda n + 1. Interpolacijske točke su x i = a + h i, h = b a, i = 0, 1, 2,... n. n Lagrangeov interpolacijski polinom je oblika L n (x) = n f (x i )L i (x), i=0 gdje je L i (x) = j=0,j i (x x j) j=0,j i (x i x j ).
Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Lako dolazimo do formule: b a f (x) dx n i=0 b f (x i ) L i (x) dx. a U ovoj formuli integrale na desnoj strani uvijek možemo egzaktno izračunati pa nakon zamjene varijabli x = a + th dobivamo: b a n L i (x) dx = h 0 j=0,j i t j i j dt = hλ n,i, što nam daje eksplicitnu ovisnost koeficijenata formule o parametru h.
Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Konačno, Newton - Cotesova formula reda n + 1 ima oblik: b a f (x) dx h n f (x i )λ n,i, gdje koeficijenti λ n,i ne ovise o a, b. Newton - Cotesova formula reda n + 1 točna je na polinomima stupnja manjeg ili jednakog n. Greška n + 1-ve Newton - Cotesove formule dana je formulom gdje je E n+1 (f ) = b a i=0 f [x 0, x 1,... x n, x]w n (x) dx, w n (x) = n (x x j ). j=0
Newton - Cotesove formule Simpsonova formula Ako koristeći Newton - Cotesove formule funkciju aproksimiramo kvadratnim polinomom kroz točke ( ( )) a + b a + b (a, f (a)), 2, f, (b, f (b)) 2 dobivamo specijalan slučaj Newton-Cotesove formule kojeg nazivamo Simpsonova formula. Vrijedi I b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b 2 ) ) + f (b).
Newton - Cotesove formule Simpsonova formula Za grešku Simpsonove formule vrijedi E 3 = I I = (b a)5 f (4) (c), 90 c a, b.
Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula Ako je segment integracije [a, b] relativno velik, i greška E će biti velika. U cilju postizanja bolje aproksimacije I integrala I segment [a, b] podijelit ćemo na paran broj (n = 2m) podsegmenata duljine h = b a n u čvorovima x i = a + ih, i = 0, 1,..., n. Uz oznaku y i = f (x i ), i = 0, 1,..., n redom, na po dva podsegmenta primjenjujemo Simpsonovo pravilo Na ovaj način dobivamo produljeno (generalizirano) Simpsonovo pravilo
Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula
Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula Vrijedi: I = I + E n, I = h 3 ((y 0 + y 2m + 4(y 1 + + y 2m 1 ) + 2(y 2 + + y 2m 2 )), E n = b a 180 h4 f (4) (c), c a, b.
Newton - Cotesove formule Greška produljene Simpsonove formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 4 = max x [a,b] f (4) (x), onda je apsolutna greška I b a 180 h4 M 4 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je n > (b a) 4 M 4 ε b a 180.
Newton - Cotesove formule Zadatak 1. Produljenom Simpsonovom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala uz korak h = 0.25. Rješenje. 2 1 x 2 arctan x dx
Newton - Cotesove formule Zadatak 2. Produljenom Simpsonovom formulom izračunati približnu vrijednost broja ln 2 računajući ga pomoću odredenog integrala za korak h = 0.1. Rješenje. ln 2 0.693.
Newton - Cotesove formule Zadatak 3. Neka je zadano 2 0 dx 1 + x 2. Koristimo li produljenu Simpsonovu formulu za izračunavanje aproksimacije vrijednosti zadanog integrala, koliki bi trebao biti n ako je uvjet da je greška aproksimacije E n 5 10 6? Rješenje. n 31.
Newton - Cotesove formule Simpsonova formula 3/8 Simpsonova formula 3/8 je još jednan način aproksimativne integracije izveden iz Newton - Cotesovih formula (za n = 4) koji se oslanja na aproksimaciju kubičnim polinomom na zadanom segmentu b a f (x) dx b a 8 ( f (a) + 3f Greška ove metode je ( 2a + b 3 ) + 3f E 4 = (b a)5 6480 f (4) (ζ), ζ a, b. ( ) ) a + 2b + f (b), b a = 3h. 3
Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula 3/8 Za h = b a n, x i = a + ih, i = 0, 1,... n 1 definiramo Produljenu Simpsonovu formulu 3/8: b f (x) dx 3 8 (f (x 0) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + 2f (x 3 ) + 3f (x 4 ) + 3f (x 5 ) + 2f (x 6 ) + + f (x n)). a Greška koja se dogada pri aproksimaciji vrijednosti integrala ovim pravilom je E n = 1 80 (b a)4 f (4) (ζ), ζ a, b.
Newton - Cotesove formule Boolova formula Boolova formula je način aproksimativne integracije izveden iz Newton - Cotesovih formula za n = 5. x5 x 1 f (x) dx 2h 45 (7f (x 1) + 32f (x 2 ) + 12f (x 3 ) + 32f (x 4 ) + 7f (x 5 )), b a = 4h. Greška ove metode je E 5 = 8 945 h7 f (6) (c), ζ x 1, x 5
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Sve metode koje smo do sad upoznali za aproksimativno izračunavanje vrijednosti odredenog integrala b a f (x) dx n ω j f (x j ), j=0 gdje su x j, j = 0,..., n imale su svojstvo da su zadani čvorovi bili ekvidistantni. Možemo li drugačije rasporediti te čvorove kako bi smanjili grešku integracije? Cilj je rasporediti čvorove tako da minimiziramo grešku
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Početni problem ostaje isti b a f (x) dx n ω j f (x j ), j=0 gdje su nepoznanice ω j, x j, j = 0, 1,..., n. Promatramo n + 1 nepoznatu točku x j [a, b], a x 0 < x 1 <... x n 1 < x n b i n + 1 realan koeficijent ω j što znači da u ovom slučaju postoje 2n + 2 nepoznanice U slučaju trapezne formule postoje dvije nepoznanice U slučaju Simpsonove formule postoje tri nepoznanice U slučaju Newton - Cotesovih formula, općenito, postoji n + 1 nepoznanica
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Promatramo slučaj za n = 1 (2 točke) i [a, b] = [ 1, 1] radi jednostavnosti Znamo da je trapezna formula u ovom slučaju primjenjiva i interesira nas kako konstruirati što točniju formulu 1 1 f (x) dx ω 0 f (x 0 ) + ω 1 f (x 1 ).
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Cilj je pronaći ω 0, ω 1, x 0, x 1 tako da je aproksimacija 1 f (x) dx ω 0 f (x 0 ) + ω 1 f (x 1 ) 1 bude točna za polinome do trećeg stupnja - ovako dobivamo još jednu metodu za aproksimaciju integracije koju nazivamo Gauss - Legendreova kvadratura Definiramo Dobivamo: 1 1 f (x) dx = f (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3. 1 1 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) dx = = ω 0 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) + ω 1 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ).
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Jednostavnim računom dobivamo: Vrijedi: ω 0 + ω 1 = ω 0 x 0 + ω 1 x 1 = ω 0 x 2 0 + ω 1 x 2 1 = 1 1 1 1 1 1 dx = 2, x dx = 0, x 2 dx = 2 3, 1 ω 0 x0 3 + ω 1x1 3 = x 3 dx = 0. 1 ω 0 = 1, ω 1 = 1, x 0 = 3 3 3, x 1 = 3.
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Dobivamo: 1 1 ( ) ( ) 3 3 f (x) dx f + f. 3 3 Jednostavnim transformacijama možemo doći i do izraza za integraciju na općenitom segmentu [a, b] b a f (x) dx = 1 1 ( ) (b a)t + b + a b a f dt. 2 2
Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Potrebno je poopćiti ovu formulu, odnosno odrediti čvorove u slučaju da ih je više unutar zadanog segmenta Formula koja bi odgovarala jednom čvoru na segmentu [ 1, 1] koristila bi čvor x = 0 što je korijen od Brojevi ± 1 3 su korijeni od Koji je opći izraz za Φ(x)? Φ(x) = x. Φ(x) = 3x 2 1.
Gaussova kvadratura Legendreovi polinomi Radi se o Legendreovim polinomima Φ 0 (x) = 1, Općenito, Φ 1 (x) = x, Φ 2 (x) = 3x 2 1, 2 Φ 3 (x) = 5x 3 3x,.... 2 Φ n (x) = 2n 1 n xφ n 1 (x) n 1 n Φ n 2(x).
Gaussova kvadratura Legendreovi polinomi n x i ω i 2 ±0.57735 = ± 1 3 3 1.0000 3 0 0.88889 = 8 9 ±0.774597 = ± 1 5 15 0.55556 = 5 9 4 ±0.339981 = ± (3 2 6/5)/7 0.652145 = 18+ 30 36 ±0.861136 = ± (3 + 2 6/5)/7 0.347855 = 18 30 36 5 0 0.568889 = 128/225 ±0.538469 = ± 1 3 5 2 10/7 0.478629 = 322+13 70 900 ±0.90618 ± 1 3 5 + 2 10/7 0.236927 = 322 13 70 900
Gaussova kvadratura Zadatak 1. Aproksimirati 1.5 1 x 2 ln x dx koristeći Gaussovu kvadraturu s n = 1.
Gaussova kvadratura Zadatak 2. Aproksimirati 1 0 x 2 e x dx koristeći Gaussovu kvadraturu s n = 1.