5. Aproksimacija i interpolacija
|
|
|
- Παντελεήμων Μήτζου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X R, na osnovu tih informacija želimo f zamijeniti nekom drugom funkcijom ϕ na skupu X, tako da su f i ϕ bliske u nekom smislu. Skup X je najčešće interval oblika [a, b] (može i neograničen), ili diskretni skup točaka. Problem aproksimacije javlja se u dvije bitno različite formulacije. (a) Poznata je funkcija f (npr. analitički), ali je njena forma prekomplicirana za računanje. U tom slučaju odabiremo neke informacije o f i po nekom kriteriju odredimo aproksimacijsku funkciju ϕ. U tom slučaju možemo birati informacije o f koje ćemo koristiti. Jednako tako, možemo ocijeniti grešku dobivene aproksimacije, obzirom na pravu vrijednost funkcije f. (b) Funkcija f nije poznata, ali su poznate samo neke informacije o njoj, na primjer, vrijednosti na nekom skupu točaka. Zamjenska funkcija ϕ odreduje se iz raspoloživih informacija, koje, osim samih podataka, uključuju i očekivani oblik ponašanja podataka, tj. funkcije ϕ. U ovom se slučaju ne može napraviti ocjena pogreške bez dodatnih informacija o nepoznatoj funkciji f. Varijanta (b) je puno češća u praksi. Najčešće se javlja kod mjerenja raznih veličina, jer, osim izmjerenih podataka, pokušavamo aproksimirati i podatke koji se nalaze izmedu izmjerenih točaka. Primijetimo da se kod mjerenja javljaju i pogreške mjerenja, pa postoje posebne tehnike za ublažavanje tako nastalih grešaka. Funkcija ϕ bira se prema prirodi modela, ali tako da bude relativno jednostavna za računanje. Ona obično ovisi o parametrima a k, k = 0,...,m, koje treba odrediti po nekom kriteriju, ϕ() = ϕ(; a 0, a,...,a m ). Kad smo funkciju ϕ zapisali u ovom obliku, kao funkciju koja ovisi o parametrima a k, onda kažemo da smo odabrali opći oblik aproksimacijske funkcije. Oblike aproksimacijskih funkcija možemo (grubo) podijeliti na:
2 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 57 (a) linearne aproksimacijske funkcije, (b) nelinearne aproksimacijske funkcije. Bitne razlike izmedu ove dvije grupe aproksimacijskih funkcija opisujemo u nastavku Linearne aproksimacijske funkcije Opći oblik linearne aproksimacijske funkcije je ϕ() = a 0 ϕ 0 () + a ϕ () + + a m ϕ m (), gdje su ϕ 0,...,ϕ m poznate funkcije koje znamo računati. Primijetite da se linearnost ne odnosi na oblik funkcije ϕ, već na njenu ovisnost o parametrima a k koje treba odrediti. Prednost ovog oblika aproksimacijske funkcije je da odredivanje parametara a k obično vodi na sustave linearnih jednadžbi. Navedimo najčešće korištene oblike linearnih aproksimacijskih funkcija.. Algebarski polinomi, ϕ k () = k, k = 0,..., m, tj. ϕ() = a 0 + a + + a m m. Funkciju ϕ() ne moramo nužno zapisati u standardnoj bazi običnih potencija {,,..., m }. Vrlo često je neka druga baza bitno pogodnija, na primjer, tzv. ortogonalnih polinoma ili baza {, ( 0 ), ( 0 ) ( ),... }, gdje su 0,,... zadane točke. 2. Trigonometrijski polinomi, pogodni za aproksimaciju periodičkih funkcija, recimo, u modeliranju signala. Za funkcije ϕ k uzima se m + funkcija iz skupa {, cos, sin, cos 2, sin 2,... }. Katkad se koristi i faktor u argumentu sinusa i kosinusa koji služi za kontrolu perioda, a ponekad se biraju samo parne ili samo neparne funkcije iz ovog skupa. 3. Po dijelovima polinomi, tzv. splajn funkcije. Ako su zadane točke 0,..., n, onda se splajn funkcija na svakom podintervalu svodi na polinom odredenog fiksnog (niskog) stupnja, tj. ϕ = p [k k, k =, 2,..., n,, k ] a p k su polinomi najčešće stupnjeva, 2, 3 ili 5. U točkama i obično se zahtijeva da funkcija ϕ zadovoljava još i tzv. uvjete ljepljenja vrijednosti funkcije i nekih njenih derivacija ili nekih aproksimacija tih derivacija. Splajnovi se danas često koriste zbog dobrih svojstava obzirom na grešku aproksimacije i kontrolu oblika aproksimacijske funkcije.
3 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Nelinearne aproksimacijske funkcije Navedimo najčešće korištene oblike nelinearnih aproksimacijskih funkcija. 4. Eksponencijalne aproksimacije ϕ() = c 0 e b 0 + c e b + + c r e br, koje imaju n = 2r + 2 nezavisna parametra, a opisuju, na primjer, procese rasta i odumiranja u raznim populacijama, s primjenom u biologiji, ekonomiji i medicini; 5. Racionalne aproksimacije ϕ() = b 0 + b + + b r r c 0 + c + + c s s, koje imaju n = r+s+ nezavisni parametar, a ne r+s+2, kako formalno piše. Naime, razlomci se mogu proširivati (ili skalirati), pa ako su b i, c i parametri, onda su to i tb i, tc i, za t 0. Zbog toga se uvijek fiksira jedan od koeficijenata b i ili c i, a koji je to obično slijedi iz prirode modela. Ovako definirane racionalne funkcije imaju mnogo bolja svojstva aproksimacije nego polinomi, a pripadna teorija je relativno nova Kriteriji aproksimacije Aproksimacijske funkcije biraju se tako da najbolje zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih. Najčešći su zahtjevi da graf aproksimacijske funkcije prolazi odredenim točkama tj. da interpolira funkciju u tim točkama ili da je odstupanje aproksimacijske od polazne funkcije u nekom smislu minimalno, tj. tada se minimizira pogreška. Interpolacija Interpolacija je zahtjev da se vrijednosti funkcija f i ϕ podudaraju na nekom konačnom skupu argumenata (ili kraće točaka). Te točke obično nazivamo čvorovima interpolacije. Ovom zahtjevu se može, ali i ne mora dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija. Drugim riječima, u najjednostavnijem obliku interpolacije, kad tražimo samo podudaranje funkcijskih vrijednosti, od podataka o funkciji f koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od (n + ) točaka, tj. podaci oblika ( k, f k ), gdje je f k = f( k ), za k = 0,...,n.
4 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 59 Parametri a 0,...,a n (kojih mora biti točno onoliko koliko i podataka!) odreduju se iz uvjeta ϕ( k ; a 0, a,...,a n ) = f k, k = 0,..., n, što je, općenito, nelinearni sustav jednadžbi. Ako je aproksimacijska funkcija ϕ linearna, onda za parametre a k dobivamo sustav linearnih jednadžbi koji ima točno n + jednadžbi i n + nepoznanica. Matrica tog sustava je kvadratna, što bitno olakšava analizu egzistencije i jedinstvenosti rješenja za parametre interpolacije. Minimizacija pogreške Prije opisa što znači minimizacija pogreške, definirajmo što je to norma vektora. Neka je vektor iz C n s komponentama i, i =,..., n, u oznaci = (,..., n ) T, ili, skraćeno = [ i ]. U numeričkoj linearnoj algebri najčešće se koriste sljedeće tri norme:. -norma ili l norma, u engleskom govornom području poznatija kao Manhattan ili tai-cab norma = i, i= 2. 2-norma ili l 2 norma ili euklidska norma 2 = ( ) /2 = n i 2, i= 3. -norma ili l norma = ma i=,...,n i. Minimizacija pogreške je drugi kriterij odredivanja parametara aproksimacije. Funkcija ϕ bira se tako da se minimizira neka odabrana norma pogreške e() = f() ϕ() u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija definiranih na nekoj domeni X. Ove aproksimacije, često zvane i najbolje aproksimacije po normi, dijele se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome minimizira li se norma pogreške e na diskretnom ili kontinuiranom skupu podataka X. Standardno se kao norme pogreške koriste 2-norma i -norma.
5 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 60 Za 2-normu pripadna se aproksimacija zove srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje zove se metoda najmanjih kvadrata. Funkcija ϕ, odnosno njeni parametri, se traže tako da bude e 2 minimalna na X. U diskretnom slučaju je X = { 0,..., n }, pa je zathjev minimalnosti dok je u kontinuiranom slučaju n (f( k ) ϕ( k )) 2 min, b (f() ϕ()) 2 d min. a Preciznije, minimizira se samo ono pod korijenom. Tako se dobiva jednako rješenje kao da se minimizira korijen tog izraza, jer je drugi korijen rastuća funkcija. Zašto se baš minimiziraju kvadrati grešaka? To ima veze sa statistikom, jer se izmjereni podaci obično ponašaju kao normalna slučajna varijabla, s očekivanjem koje je točna vrijednost podatka. Odgovarajući kvadrati su varijanca i nju treba minimizirati. U slučaju -norme pripadna se aproksimacija zove minimaks aproksimacija, a parametri se biraju tako da e bude minimalna. U diskretnom slučaju problem se svodi na ma,...,n f( k) ϕ( k ) min, a u kontinuiranom ma f() ϕ() min. [a,b] U nekim problemima ovaj je tip aproksimacija poželjniji od srednjekvadratnih, jer se traži da maksimalna greška bude minimalna, tj. najmanja moguća, ali ih je općenito mnogo teže izračunati (na primjer, dobivamo problem minimizacije nederivabilne funkcije) Interpolacija polinomima Pretpostavimo da imamo funkciju f zadanu na diskretnom skupu različitih točaka k, k = 0,...,n, tj. i j za i j. Poznate funkcijske vrijednosti u tim točkama skraćeno označavamo s f k = f( k ). Primijetite da pretpostavka o različitosti točaka nije bitno ograničenje. Naime, kad bismo dozvolili da je i = j uz i j, ili f ne bi bila funkcija (ako je f i f j ) ili bismo imali redundantan podatak (ako je f i = f j ), koji možemo ispustiti.
6 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 6 Ako je [a, b] segment na kojem koristimo interpolaciju (i promatramo grešku), u praksi su točke obično numerirane tako da vrijedi a 0 < < < n b Egzistencija i jedinstvenost interpolacijskog polinoma Za polinomnu interpolaciju vrijedi sljedeći teorem, čiji dokaz koristi činjenicu da linearni sustav s regularnom matricom ima jedinstveno rješenje. U iskazu teorema koristi se oznaka N 0 za skup cijelih nenegativnih brojeva. Teorem Neka je n N 0. Za zadane točke ( k, f k ), k = 0,...,n, gdje je i j za i j, postoji jedinstveni (interpolacijski) polinom stupnja najviše n ϕ() := p n () = a 0 + a + + a n n za koji vrijedi p n ( k ) = f k, k = 0,...,n. Dokaz: Neka je p n = a 0 + a + + a n n polinom stupnja najviše n. Uvjete interpolacije možemo napisati u obliku p n ( 0 ) = a 0 + a a n n 0 = f 0 p n ( ) = a 0 + a + + a n n = f p n ( n ) = a 0 + a n + + a n n n = f n. Drugim riječima, treba provjeriti ima li ovaj sustav od (n + )-e linearne jednadžbe s (n + )-om nepoznanicom a 0,..., a n jedinstveno rješenje. Za to je dovoljno provjeriti je li kvadratna matrica tog linearnog sustava regularna. To možemo napraviti računanjem vrijednosti determinante te matrice. Ta determinanta je tzv. Vandermondeova determinanta D n = n 0 2 n... n 2 n n n n 2 n n n, za koju se zna da vrijedi D n = ( i j ). 0 j<i n
7 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 62 (Kako se nalazi D n pogledajte u Osnovnom udžbeniku.) Budući da je i j za i j, onda je D n 0, tj. matrica linearnog sustava je regularna, pa postoji jedinstveno rješenje a 0,...,a n za koeficijente polinoma p n, odnosno jedinstven interpolacijski polinom. Ovaj teorem u potpunosti rješava prvo ključno pitanje egzistencije i jedinstvenosti rješenja problema polinomne interpolacije u njegovom najjednostavnijem obliku kad su zadane funkcijske vrijednosti u medusobno različitim točkama Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma Da bismo našli koeficijente interpolacijskog polinoma, nije nužno rješavati linearni sustav za koeficijente. Interpolacijski polinom p n možemo odmah napisati korištenjem tzv. Lagrangeove baze {l k, k = 0,..., n} prostora polinoma P n pri čemu je p n () = f k l k (), (5.2.) l k () = ( 0) ( k ) ( k+ ) ( n ) ( k 0 ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) n = i=0 i k i := ω k() k i ω k ( k ), k = 0,..., n. (5.2.2) Polinomi l k su stupnja n, pa je p n polinom stupnja najviše n. Osim toga, vrijedi l k ( i ) = { 0, za i k,, za i = k. Uvrstimo li to u (5.2.), odmah slijedi da se suma u (5.2.) svodi na jedan jedini član za i = k, tj. da vrijedi p n ( k ) = f k. Oblik (5.2.) (5.2.2) zove se Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma. Taj polinom možemo napisati u još jednom, zgodnijem obliku. Definiramo n ω() = ( k ), (5.2.3) pa je l k () = ω() ( k ) ω k ( k ).
8 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 63 Uvrštavanjem u (5.2.) dobivamo da je Uočimo da je pa (5.2.4) možemo pisati kao p n () = ω() p n () = ω() ω k ( k ) = ω ( k ), f k ( k ) ω k ( k ). (5.2.4) f k ( k ) ω ( k ). (5.2.5) Ova se forma može koristiti za računanje vrijednosti polinoma u točki k, k = 0,...,n. Prednost je što se za svaki novi računa samo ω() i ( k ), dok se ω k ( k ) = ω ( k ) izračuna samo jednom za svaki k i čuva u tablici, jer ne ovisi o. Ukupan broj operacija je proporcionalan s n 2, a za računanje u svakoj novoj točki, trebamo još reda veličine n operacija. Ipak, u praksi se ne koristi ovaj oblik interpolacijskog polinoma, već nešto bolji Newtonov oblik. Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma uglavnom se koristi u teoretske svrhe (za dokaze) Ocjena greške interpolacijskog polinoma Ako znamo još neke informacije o funkciji f, možemo napraviti i ocjenu greške interpolacijskog polinoma. Dokaz teorema možete naći u Osnovnom udžbeniku. Teorem Pretpostavimo da funkcija f ima (n + )-u derivaciju na segmentu [a, b] za neki n N 0. Neka su k [a, b], k = 0,..., n, medusobno različiti čvorovi interpolacije, tj. i j za i j, i neka je p n interpolacijski polinom za funkciju f u tim čvorovima. Za bilo koju točku [a, b] postoji točka ξ iz otvorenog intervala min := min{ 0,..., n, } < ξ < ma{ 0,..., n, } =: ma takva da za grešku interpolacijskog polinoma vrijedi e() := f() p n () = pri čemu je ω() definirana relacijom (5.2.3). ω() (n + )! f(n+) (ξ), (5.2.6) Ako je f (n+) ograničena na [a, b] ili, jače, ako je f C n+ [a, b], onda se iz prethodnog teorema može dobiti sljedeća ocjena greške interpolacijskog polinoma za funkciju f u točki [a, b] f() p n () ω() (n + )! M n+, M n+ := ma [a,b] f(n+) (). Ova ocjena direktno slijedi iz (5.2.6), a korisna je ako relativno jednostavno možemo izračunati ili odozgo ocijeniti M n+.
9 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Newtonov oblik interpolacijskog polinoma Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma nije pogodan kad želimo povećati stupanj interpolacijskog polinoma da bismo eventualno poboljšali aproksimaciju i smanjili grešku, zbog toga što interpolacijski polinom moramo računati od početka. Postoji forma interpolacijskog polinoma kod koje je mnogo lakše dodavati točke interpolacije, tj. povećavati stupanj interpolacijskog polinoma. Neka je p n interpolacijski polinom koji interpolira funkciju f u točkama k, k = 0,...,n. Neka je p n interpolacijski polinom koji interpolira funkciju f još i u točki n. Polinom p n tada možemo napisati u obliku p n () = p n () + c(), (5.2.7) gdje je c korekcija, polinom stupnja n. Takoder, mora vrijediti c( k ) = p n ( k ) p n ( k ) = f( k ) f( k ) = 0, k = 0,..., n. Vidimo da su k nultočke od c, pa ga možemo napisati u obliku c() = a n ( 0 ) ( n ). Nadalje, iz zadnjeg uvjeta interpolacije p n ( n ) = f( n ), dobivamo f( n ) = p n ( n ) = p n ( n ) + c( n ) = p n ( n ) + a n ( n 0 ) ( n n ), odakle lako izračunavamo vodeći koeficijent a n polinoma c a n = f( n ) p n ( n ) ( n 0 ) ( n n ) = f( n) p n ( n ). ω( n ) Korištenjem relacije (5.2.7), sada imamo sve elemente za računanje p n () u bilo kojoj točki. Koeficijent a n, očito je funkcija čvorova 0,..., n i zvat ćemo ga n-ta podijeljena razlika. Formalno ćemo to označiti s a n = f[ 0,,..., n ], (5.2.8) pa će odmah slijediti rekurzivna formula za dobivanje interpolacijskog polinoma za stupanj većeg od prethodnog p n () = p n () + ( 0 ) ( n )f[ 0,..., n ]. (5.2.9) Želimo koeficijent a n izračunavati na neki jednostavan i stabilan način. Da bismo to postigli, vratimo se na Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma (to je isti interpolacijski polinom!). Primijetimo da je a n koeficijent uz vodeću potenciju
10 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 65 n u p n. Stoga iskoristimo relaciju (5.2.5), tj. nadimo koeficijent uz n na desnoj strani te relacije. Dobivamo f[ 0,,..., n ] = f( k ) ω ( k ). (5.2.0) Iz formule (5.2.0) slijede neka svojstva podijeljenih razlika. Primijetimo da poredak čvorova nije bitan, tj. podijeljena razlika neosjetljiva je na poredak čvorova. Druga korisna formula je formula za rekurzivno računanje podijeljenih razlika Izvedimo tu formulu. Vrijedi f[,..., n ] = f[ 0,..., n ] = f[,..., n ] f[ 0,..., n ] n 0. = f[ 0,..., n ] = = Oduzimanjem dobivamo k= n k= + n n k= f[,..., n ] f[ 0,..., n ] = n k= f( k ) ( k ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) f( k )( k 0 ) ( k 0 ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) f( n )( n 0 ) ( n 0 ) ( n n ) f( k ) ( k 0 ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) f( k )( k n ) ( k 0 ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) f( 0 )( n 0 ) ( 0 ) ( 0 n ). f( k )( n 0 ) ( k 0 ) ( k k ) ( k k+ ) ( k n ) f( n )( n 0 ) + ( n 0 ) ( n n ) + f( 0 )( n 0 ) ( 0 ) ( 0 n ) f( k ) = ( n 0 ) ω ( k ) = ( n 0 ) f[ 0,..., n ], čime je dokazana tražena formula. Neki autori baš tu rekurzivnu formulu koriste kao definiciju podijeljenih razlika.
11 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 66 Ostaje još vidjeti što je početak rekurzije za podijeljenje razlike. Ako znamo da je konstanta koja prolazi točkom ( 0, f( 0 )), interpolacijski polinom stupnja 0, onda je a 0 = f[ 0 ] = f( 0 ). Jednako tako vrijedi f[ k ] = f( k ), pa tablicu podijeljenih razlika lako sastavljamo: k f[ k ] f[ k, k+ ] f[ k, k+, k+2 ] f[ 0,..., n ] 0 f[ 0 ] f[ 0, ] f[ ] f[ 0,, 2 ] f[, 2 ].... f[ 0,..., n ] f[ n 2, n ]... n f[ n ] f[ n 2, n, n ] f[ n, n ] n f[ n ] Dakle, kad uvažimo rekurziju i oblik polinoma c u (5.2.9), dobivamo da je oblik Newtonovog interpolacijskog polinoma p n () = f[ 0 ] + ( 0 )f[ 0, ] + ( 0 ) ( )f[ 0,, 2 ] ( 0 ) ( n )f[ 0,,..., n ]. Primijetite da nam od tablica podijeljenih razlika za računanje interpolacijskog polinoma treba samo gornji rub Koliko je dobar interpolacijski polinom? U praksi se obično koriste interpolacijski polinomi niskih stupnjeva, najčešće do 5. Zašto? Kod nekih funkcija za neki izbor točaka interpolacije, povećavanje stupnja interpolacijskog polinoma može dovesti do povećanja grešaka. Zbog toga se umjesto visokog stupnja interpolacijskog polinoma u praksi koristi po dijelovima polinomna interpolacija. Njemački matematičar Runge prvi je uočio probleme koji nastupaju kod interpolacije na ekvidistantnoj mreži čvorova. On je konstruirao funkciju (poznatu kao Rungeova funkcija), koja ima svojstvo da niz Newtonovih interpolacijskih polinoma na ekvidistantnoj mreži ne konvergira (po točkama) prema toj funkciji kad se broj čvorova povećava.
12 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 67 Primjer (Runge, 90.) Promotrimo (Rungeovu) funkciju f() = + 2, [ 5, 5]. Odaberimo stupanj interpolacijskog polinoma n i ekvidistantne čvorove interpolacije k, k = 0,...,n k = 5 + kh, h = 0, k = 0,...,n. n Zanima nas ponašanje grešaka koje nastaju povećavanjem stupnja n interpolacijskog polinoma. Zanimljivo je da, ako umjesto ekvidistantnih točaka interpolacije u primjeru Runge uzmemo neekvidistantne, točnije tzv. Čebiševljeve točke na intervalu [a, b], k = 2 ( a + b + (a b) cos 2k + ), k = 0,..., n. 2n + 2 onda će porastom stupnja niz interpolacijskih polinoma konvergirati prema funkciji f. Pogledajmo kako izgledaju interpolacije polinomima u ekvidistantnim i Čebiševljevim točkama za stupnjeve 6, 8, 0, 2, 4, 6 (parnost funkcije!). Prva grupa slika su redom funkcija (crno) i interpolacijski polinom (crveno) za ekvidistantnu mrežu, te pripadna greška, a zatim to isto za Čebiševljevu mrežu. Primijetite i ponašanje grešaka izvan intervala interpolacije greška vrlo brzo raste. Zbog toga interpolacijski polinomi nisu prikladni (čak i onda kad konvergiraju) za aproksimiranje vrijednosti funkcija za -ee koji su izvan intervala [ 0, n ]. Nadalje uočite da interpolacijski polinom najbolje aproksimira funkciju u sredini područja interpolacije, a greška raste prema rubovima.
13 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja.
14 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
15 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 3.
16 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
17 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 5.
18 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 6.
19 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 8.
20 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 0.
21 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
22 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
23 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 6.
24 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja.
25 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
26 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 3.
27 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
28 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 5.
29 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 6.
30 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 8.
31 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 0.
32 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
33 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
34 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 6. Primjer Promotrimo grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva 6 koji interpoliraju funkciju f() = log() za [0., 0] na ekvidistantnoj i Čebiševljevoj mreži.
35 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 90 Primijetit ćete da je greška interpolacije najveća na prvom podintervalu bez obzira na stupanj interpolacijskog polinoma. Razlog leži u činjenici da funkcija log() ima singularitet u 0, a početna točka interpolacije je blizu. Prva grupa slika su redom funkcija (crno) i interpolacijski polinom (crveno) za ekvidistantnu mrežu, te pripadna greška, a zatim to isto za Čebiševljevu mrežu Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja.
36 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
37 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 3.
38 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
39 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 5.
40 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Ekvidistantna mreža, interpolacijski polinom stupnja Ekvidistantna mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 6.
41 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja.
42 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 2.
43 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 3.
44 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 4.
45 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja 5.
46 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA Čebiševljeva mreža, interpolacijski polinom stupnja Čebiševljeva mreža, greška interpolacijskog polinoma stupnja Diskretna metoda najmanjih kvadrata Neka je funkcija f zadana na diskretnom skupu točaka 0,..., n kojih je mnogo više nego nepoznatih parametara aproksimacijske funkcije ϕ(, a 0,...,a m ).
47 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 02 Funkcija ϕ odreduje se iz uvjeta da euklidska norma (norma 2) vektora pogrešaka u čvorovima aproksimacije bude najmanja moguća, tj. tako da minimiziramo S, S = (f( k ) ϕ( k )) 2 min. Ovu funkciju S (kvadrat euklidske norme vektora greške) interpretiramo kao funkciju nepoznatih parametara S = S(a 0,...,a m ). Očito je uvijek S 0, bez obzira kakvi su parametri. Dakle, zadatak je minimizirati funkciju S kao funkciju više varijabli a 0,...,a m. Ako je S dovoljno glatka funkcija, a naša je (jer je funkcija u parametrima a k ), nužni uvjet ekstrema je S a k = 0, k = 0,...,m. Takav pristup vodi na tzv. sustav normalnih jednadžbi Linearni problemi i linearizacija Ilustrirajmo to na najjednostavnijem primjeru, kad je aproksimacijska funkcija pravac. Primjer Zadane su točke ( 0, f 0 ),...,( n, f n ), koje po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata aproksimiramo pravcem ϕ() = a 0 + a. Greška aproksimacije u čvorovima koju minimiziramo je S = S(a 0, a ) = (f k ϕ( k )) 2 = (f k a 0 a k ) 2 min. Nadimo parcijalne derivacije po parametrima a 0 i a : 0 = S = 2 (f k a 0 a k ), a 0 0 = S = 2 a (f k a 0 a k ) k. Dijeljenjem s 2 i sredivanjem po nepoznanicama a 0, a, dobivamo linearni sustav n a 0 (n + ) + a k = a 0 n k + a n 2 k = f k f k k.
48 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 03 Uvedemo li standardne skraćene oznake s l = l k, t l = f k l k, l 0, linearni sustav možemo pisati kao s 0 a 0 + s a = t 0 s a 0 + s 2 a = t. (5.3.) Nije teško pokazati da je matrica sustava regularna, jer je njena determinanta različita od nule. Dakle, postoji jedinstveno rješenje sustava. Samo rješenje dobiva se rješavanjem linearnog sustava (5.3.). Ostaje još pitanje da li smo dobili minimum, ali to nije teško pokazati, korištenjem drugih parcijalnih derivacija (dovoljan uvjet minimuma je pozitivna definitnost Hesseove matrice). Ipak, provjera da se radi o minimumu, može i puno lakše. Budući da se radi o zbroju kvadrata, S predstavlja paraboloid s otvorom prema gore u varijablama a 0, a, pa je jasno da takvi paraboloidi imaju minimum. Zbog toga se nikad ni ne provjerava da li je dobiveno rješenje minimum za S. Za funkciju ϕ mogli bismo uzeti i polinom višeg stupnja, ϕ() = a 0 + a + + a m m, ali postoji opasnost da je za malo veće m (m 0) dobiveni sustav vrlo loše uvjetovan (matrica sustava vrlo blizu singularne matrice), pa dobiveni rezultati mogu biti jako pogrešni. Zbog toga se za nikad ne koristi prikaz polinoma u bazi potencija. Ako se uopće koriste aproksimacije polinomima viših stupnjeva, onda se to radi korištenjem ortogonalnih polinoma. Linearni model diskretnih najmanjih kvadrata je potpuno primjenjiv na opću linearnu funkciju ϕ() = a 0 ϕ 0 () + + a m ϕ m (), gdje su ϕ 0,...,ϕ m poznate (zadane) funkcije. Ilustrirajmo to ponovno na općoj linearnoj funkciji s 2 parametra. Primjer Zadane su točke ( 0, f 0 ),...,( n, f n ), koje po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata aproksimiramo funkcijom oblika ϕ() = a 0 ϕ 0 () + a ϕ (). Postupak je potpuno isti kao u prošlom primjeru. Opet minimiziramo kvadrat euklidske norme vektora pogrešaka aproksimacije u čvorovima S = S(a 0, a ) = (f k ϕ( k )) 2 = (f k a 0 ϕ 0 ( k ) a ϕ 0 ( k )) 2 min.
49 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 04 Sredivanjem parcijalnih derivacija 0 = S = 2 (f k a 0 ϕ 0 ( k ) a ϕ ( k )) ϕ 0 ( k ), a 0 0 = S = 2 (f k a 0 ϕ 0 ( k ) a ϕ ( k )) ϕ ( k ), a po varijablama a 0, a, uz dogovor da je s 0 = ϕ 2 0 ( k), t 0 = f k ϕ 0 ( k ), s = ϕ 0 ( k )ϕ ( k ), t = f k ϕ ( k ), s 2 = ϕ 2 ( k), dobivamo potpuno isti oblik linearnog sustava s 0 a 0 + s a = t 0 s a 0 + s 2 a = t. Ovaj sustav ima ista svojstva kao i u prethodnom primjeru. Pokažite to! Što ako ϕ nelinearno ovisi o parametrima? Dobili bismo nelinearni sustav jednadžbi, koji se relativno teško rješava. Uglavnom, problem postaje ozbiljan optimizacijski problem, koji se, recimo, može rješavati metodama pretraživanja ili nekim drugim optimizacijskim metodama, posebno prilagodenim upravo za rješavanje nelinearnog problema najmanjih kvadrata (na primjer, Levenberg Marquardt metoda). Postoji i drugi pristup. Katkad se jednostavnim transformacijama problem može transformirati u linearni problem najmanjih kvadrata. Nažalost, rješenja lineariziranog problema najmanjih kvadrata i rješenja originalnog nelinearnog problema, u principu, nisu jednaka. Problem je u različitim mjerama za udaljenost točaka, odnosno mjerama za grešku. Ilustrirajmo, ponovno, nelinearni problem najmanjih kvadrata na jednom jednostavnom primjeru. Primjer Zadane su točke ( 0, f 0 ),...,( n, f n ), koje po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata aproksimiramo funkcijom oblika ϕ() = a 0 e a. Greška aproksimacije u čvorovima (koju minimiziramo) je S = S(a 0, a ) = (f k ϕ( k )) 2 = (f k a 0 e a k ) 2 min.
50 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 05 Parcijalnim deriviranjem po varijablama a 0 i a dobivamo 0 = S = 2 (f k a 0 e a k ) e a k, a 0 0 = S = 2 (f k a 0 e a k )a 0 k e a k, a što je nelinearan sustav jednadžbi. S druge strane, ako logaritmiramo relaciju ϕ() = a 0 e a, dobivamo lnϕ() = ln(a 0 ) + a. Moramo logaritmirati još i vrijednosti funkcije f u točkama k, pa uz supstitucije h() = ln f(), h k = h( k ) = ln f k, k = 0,...,n, i ψ() = ln ϕ() = b 0 + b, gdje je b 0 = ln a 0, b = a, dobivamo linearni problem najmanjih kvadrata S = S(b 0, b ) = (h k ψ( k )) 2 = (h k b 0 b k ) 2 min. Na kraju, iz rješenja b 0 i b ovog problema, lako očitamo a 0 i a a 0 = e b 0, a = b. Uočite da ovako dobiveno rješenje uvijek daje pozitivan a 0, tj. linearizacijom dobivena funkcija ϕ() će uvijek biti veća od 0. Jasno da to nije pravo rješenje za sve početne podatke ( k, f k ). No, možemo li na ovako opisani način linearizirati sve početne podatke? Očito je ne, jer mora biti f k > 0 da bismo mogli logaritmirati. Ipak, i kad su neki f k 0, nije teško, korištenjem translacije svih podataka dobiti f k + translacija > 0, pa onda nastaviti postupak linearizacije. Pokušajte korektno formulirati linearizaciju. Na kraju odjeljka dajemo i nekoliko funkcija koje su često u upotrebi i njihovih standardnih linearizacija u problemu najmanjih kvadrata.
51 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 06 (a) Funkcija linearizira se logaritmiranjem ϕ() = a 0 a ψ() = log ϕ() = log(a 0 ) + a log, h k = log f k, k = 0,..., n. Drugim riječima, dobili smo linearni problem najmanjih kvadrata gdje je S = S(b 0, b ) = (h k b 0 b log( k )) 2 min, b 0 = log(a 0 ), b = a. U ovom slučaju, da bismo mogli provesti linearizaciju, moraju biti i k > 0 i f k > 0. (b) Funkcija linearizira se na sljedeći način ϕ() = a 0 + a ψ() = ϕ() = a 0 + a, h k = f k, k = 0,..., n. Pripadni linearni problem najmanjih kvadrata je S = S(a 0, a ) = (h k a 0 a k ) 2 min. (c) Funkciju ϕ() = a 0 + a možemo linearizirati na više načina. Prvo, možemo staviti ψ() = ϕ() = a 0 + a, h k =, k = 0,..., n. f k Pripadni linearni problem najmanjih kvadrata je S = S(a 0, a ) = (h k a 0 a ) 2 min. k Može se koristiti i sljedeći način ψ() = ϕ() = a 0 + a, h k = k f k, k = 0,...,n.
52 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 07 Pripadni linearni problem najmanjih kvadrata je S = S(a 0, a ) = (h k a 0 a k ) 2 min. (d) Funkcija linearizira se stavljanjem ϕ() = a 0 + a e ψ() = ϕ() = a 0 + a e, h k = f k, k = 0,..., n. Pripadni linearni problem najmanjih kvadrata je S = S(a 0, a ) = (h k a 0 a e k ) 2 min Primjeri Pokažimo još neke primjere za metodu najmanjih kvadarata. Prvo pitanje koje si postavljamo je jesmo li dobro izabrali oblik aproksimacijske funkcije. Kad nademo aproksimaciju, to ćemo relativno lako utvrditi gledanjem grafa pogreške. Ako on jednoliko oscilira oko = 0, onda je aproksimacijska funkcija dobro odabrana. Nadalje, metoda najmanjih kvadrata može ukloniti i slučajne greške (recimo mjerenja). Pokažimo to na sljedećem primjeru. Primjer Eksperimentalni podaci uzeti su tako da se koordinate pravca () = za = 0,,..., 00 slučajno (uniformno) perturbiraju za maksimalno i dobiju se podaci f k = 4 k slučajna perturbacija manja ili jednaka, k = 0,...,00.
53 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 08 Tada prvih nekoliko podataka izgleda ovako: k ( k ) f k Aproksimacijska funkcija je pravac ϕ() = a + b. Kad se metodom najmnajih kvadrata izračunaju parametri, oni su a = , b = Pogledajmo što su aproksimacije vrijednosti f k za prvih nekoliko podataka: k ( k ) ϕ( k ) Uočite da su greške ϕ( k ) obzirom na ( k ) znatno manje nego greške f k obzirom na ( k ).
54 5. APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 09 Pogledajmo kako se ponaša greška f k ϕ( k ). Greška pokazuje ponašanje slučajne (uniformne) funkcije izmedu i, pa smo metodom najmanjih kvadrata uklonili slučajnu grešku.
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Potpuno pivotiranje. Faktorizacija Choleskog
Potpuno pivotiranje Potpuno pivotiranje kao pivota odabire po modulu najveći element iz cijele podmatrice dolje desno Osim zamjene redaka, ovdje je dozvoljena i zamjena stupaca (preimenovanje tj mijenjanje
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1
Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Nenad Ujević Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanost i odgojnih područja. January 30, 2004
UVOD U NUMERIČKU MATEMATIKU Nenad Ujević Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanost i odgojnih područja Sveučilište u Splitu January 30, 004 1 Contents 1 Aproksimacija funkcija 5 1.1 Hornerov algoritam........................
Numerička matematika 4. predavanje
Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2011, 4. predavanje p.1/95 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Hilbertove
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8