Projektivna geometrija Milivoje Luki

odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su taqke,, i kolinearne. vorazmera parova taqaka, i, je R(, ;, ) = :. (1) Neka su a, b, c, d qetiri prave koje pripadaju jednom pramenu. Za date prave p 1 i p 2 oznaqimo i = a p i, i = b p i, i = c p i, i = d p i, za i = 1, 2. Tada je R( 1, 1 ; 1, 1 ) = R( 2, 2 ; 2, 2 ). (2) Zato je korektno definisati dvorazmeru parova pravih jednog pramena kao R(a, b; c, d) = R( 1, 1 ; 1, 1 ). (3) Neka su O 1, O 2,,,, kocikliqne taqke. Tada je R(O 1, O 1 ; O 1, O 1 ) = R(O 2, O 2 ; O 2, O 2 ). (4) Zato je korektno definisati dvorazmeru parova taqaka za kocikliqne taqke, kao R(, ;, ) = R(O 1, O 1 ; O 1, O 1 ). (5) Neka su,,, kolinearne ili kocikliqne taqke, i neka inverzija sa centrom u O preslikava taqke,,, u taqke,,,. Tada je R(, ;, ) = R(, ;, ). (6) 2 2 2 1 1 1 1 efinicija: Neka su taqke,, i kolinearne ili kocikliqne. Parovi taqaka O, i, su harmonijski spregnuti ako je R(, ;, ) = 1, xto se oznaqava i sa H(, ;, ). S efinicija: Perspektivitet u odnosu na taqku S, u oznaci =, je svako preslikavanje prave ili kruga l 1 na pravu ili krug l 2, takvo da ukoliko je l 1 ili l 2 krug onda sadrжi taqku S, pri kome se svaka taqka 1 l 1 slika u taqku 2 = O 1 l 2. Prema prethodnim stavovima, perspektivitet quva dvorazmeru, a samim tim i harmonijsku spregnutost. efinicija: Projektivitet je svako preslikavanje prave ili kruga l 1 na pravu ili krug l 2 koje se moжe predstaviti kao kompozicija perspektiviteta. Teorema: Neka su taqke,,, 1 i 2 kolinearne ili kocikliqne. ko je R(, ;, 1 ) = R(, ;, 2 ), onda je 1 = 2. rugim reqima, projektivitet sa tri fiksne taqke je identitet. O 1 O 2 O 2 1

Teorema: ko su taqke,,, međusobno razliqite, i R(, ;, ) = R(, ;, ) onda je H(, ;, ). 2. ezargova teorema Trouglovi 1 1 1 i 2 2 2 su perspektivni u odnosu na centar ako prave 1 2, 1 2 i 1 2 pripadaju jednom pramenu, a perspektivni u odnosu na osu ako su taqke K = 1 1 2 2, L = 1 1 2 2, M = 1 1 2 2 kolinearne. ezargova teorema: va trougla su perspektivna u odnosu na centar ako i samo ako su perspektivni u odnosu na osu. 3. Papasova i Paskalova teorema Papasova teorema: Neka se taqke 1, 2, 3 nalaze na pravoj a, a taqke 1, 2, 3 na pravoj b. Neka je 1 2 2 1 = 3, 1 3 3 1 = 2, 2 3 3 2 = 1. Tada su 1, 2, 3 kolinearne. okaz: Oznaqimo 2 = 1 3 3 1, = 1 2 3 1, E = 2 1 3 2, F = a b. Nax cilj je da dokaжemo da su taqke 2 i 2 identiqne. Uoqimo niz projektiviteta 3 1 2 = 1 F 1 2 3 = 2 3 E 2 1 = 3 3 1 2. Na taj naqin smo dobili projektivno preslikavanje prave 3 1 pri kom su fiksne taqke 3, 1,, a taqka 2 se preslikava u taqku 2. Kako je projektivno preslikavanje sa tri fiksne taqke identiqko preslikavanje, sledi da je 2 = 2. 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 2 1 1 1 2 3 F 2 3 Paskalova teorema: Neka su 1, 2, 3, 1, 2, 3 kocikliqne taqke. Taqke dobijene u presecima 1 2 sa 2 1, 1 3 sa 3 1, 2 3 sa 3 2 leжe na jednoj pravoj. okaz: Taqke 2, i E se definixu kao u dokazu Papasove teoreme. Zatim uoqimo sliqan niz projektiviteta 3 1 2 = 1 3 1 2 3 = 2 3 E 2 1 = 3 3 1 2, i na isti naqin zakljuqujemo da je 2 = 2. 4. Pol. Polara. rijanxonova i rokarova teorema efinicija: Neka je dat krug k(o, r). Neka je taqka slika taqke O pri inverziji u odnosu na krug k. Prava a koja sadrжi taqku i normalna je na O naziva se polara taqke u odnosu na krug k. Obratno, taqka se naziva pol prave a u odnosu na krug k. Teorema: Neka je dat krug k(o, r). Neka su prave a i b polare taqaka i u odnosu na k. Taqka pripada pravoj b ako i samo ako taqka pripada pravoj a. okaz: b ako i samo ako O = 90. nalogno, a ako i samo ako O = 90, pa ostaje jox da se primeti da iz osnovnih svojstava inverzije sledi O = O. efinicija: Taqke i nazivamo konjugovanim u odnosu na krug k ako jedna od njih leжi na polari druge. Teorema: ko prava određena dvema konjugovanim taqkama i seqe krug k(o, r) u taqkama i, onda je H(, ;, ). Obratno, ako vaжi H(, ;, ), pri qemu i leжe na krugu k, onda su i konjugovane u odnosu na krug k. okaz: Neka su 1, 1 preseqne taqke O sa krugom k. Kako inverzija quva dvorazmeru, vaжi R( 1, 1 ;, ) = R( 1, 1 ;, ), pa je H( 1, 1 ;, ). (7) 2

Neka je sada p prava koja sadrжi taqku i seqe krug k u taqkama i. Neka je E = 1 1, F = 1 1. Kako je 1 1 preqnik kruga k, vaжi 1 F 1 E i 1 F 1 E, pa je F ortocentar trougla 1 1 E. Neka je = EF i Ā = EF 1 1. Zbog 1 1 Ā = E = F 1 1 Ā je H( 1, 1 ;, Ā ) i H(, ;, ). Odavde, zbog (7), zakljuqujemo dve stvari: Prvo, iz H( 1, 1 ;, Ā ) i H( 1, 1 ;, ) sledi = Ā, pa je EF, a kako je i EF 1 1, prava EF = a je polara taqke. rugo, za taqku koja, kako smo upravo videli, pripada polari taqke vaжi H(, ;, ). Ovim je teorema dokazana. rijanxonova teorema: Neka je xestougao 1 2 3 4 5 6 opisan oko kruga k. Prave 1 4, 2 5 i 3 6 se seku u jednoj taqki. okaz: Koristi emo konvenciju po kojoj taqku i pravu koji su u odnosu pol-polara oznaqavamo istim malim i velikim slovom abecede. Oznaqimo sa M i, i = 1, 2,...,6, taqku dodira strane i i+1 sa krugom k. Kako je m i = i i+1, vaжi i M i a i, M i a i+1, pa je a i = M i 1 M i. Neka je b j = j j+3, j = 1, 2, 3. Tada je j = a j a j+3 = M j 1 M j M j+3 M j+4. Treba dokazati da postoji taqka P takva da P b 1, b 2, b 3, ili analogno, da postoji prava p takva da 1, 2, 3 p. rugim reqima, treba dokazati da su 1, 2, 3 kolinearne. Međutim, to sledi neposredno iz Paskalove teoreme, ako je primenimo na tetivni xestougao M 1 M 3 M 5 M 4 M 6 M 2. Rezimiraju i upravo izloжeni dokaz, moжemo re i da se rijanxonova teorema dobija iz Paskalove teoreme zamenom svih taqaka njihovim polarama i svih pravih njihovim polovima. rokarova teorema: at je tetivni qetvorougao, upisan u krug k sa sredixtem O. Neka je E =, F =, G =. Tada je O ortocentar trougla EFG. okaz: okaza emo da je prava EG polara E taqke F. Oznaqimo X = EG i Y = EG. Tada je Y F = E G XF = Y F, odakle dobijamo H(, ; Y, F) i H(, ; X, F). Prema jednoj od karakterizacija polare navedenih ranije u tekstu, taqke X i Y leжe na polari taqke F, odakle sledi da je prava EG polara taqke F. Kako je EG polara taqke F, vaжi EG OF. nalogno je i FG OE, pa je O ortocentar trougla EF G. 5. Zadaci 1. at je qetvorougao. Neka je P =, Q =, R = PQ, S = PQ. okazati da je H(P, Q; R, S). 2. at je trougao i taqka M na stranici. Neka je N taqka prave takva da je MN = 90. okazati da je H(, ; M, N) ako i samo ako je M simetrala ugla. 3. ate su dve taqke i i na pravoj tre a taqka. Konstruisati samo lenjirom taqku prave takvu da je H(, ;, ). 4. Neka su,, dijagonalne taqke qetvorougla PQRS, odnosno = PQ RS, = QR SP, = PR QS. ko je dato,,, S, rekonstruisati samo lenjirom taqke P, Q, R. 5. Neka upisani krug u trougao dodiruje stranice, i u taqkama, E i F. Neka je taqka M takva da krug k 1, upisan u trougao M, dodiruje stranicu u taqki, a stranice M i M u taqkama P i Q. okazati da su prave EF, PQ, konkurentne. 6. at je trougao i na stranici taqke, E tako da je = E = E. Prava p seqe duжi,, E, u taqkama K, L, M, N, redom. okazati da je KN 3LM. O Y G X F 3

7. Na strani qetvorougla uzeta je taqka M 1. Neka je M 2 projekcija M 1 na pravu iz, M 3 projekcija M 2 na iz, M 4 projekcija M 3 na iz, M 5 projekcija M 4 na iz itd. okazati da je M 13 = M 1. 8. (teorema o leptiru) Na krugu k se nalaze taqke M i N. ko je P sredixte tetive M N, a i ( i su sa iste strane MN) proizvoljne dve tetive kruga k koje sadrжe taqku P, tada duжi i tetivu MN seku u taqkama koje se nalaze na jednakim rastojanjima od P. 9. Neka je trougao, i, E taqke na stranicama i redom tako da je E paralelno sa. Neka je P taqka unutar trougla E, i prave P i P seku E u taqkama F i G, redom. Krugovi opisani oko trouglova PG i PFE seku se u taqkama P i Q. okazati da su taqke, P i Q kolinearne. 10. (IMO1997.predlog) Neka je 1 2 3 nejednakokraki trougao sa centrom upisanog kruga u I. Neka je i, i = 1, 2, 3, manji krug kroz I tangentan na i i+1 i i i+2 (sabiranje indeksa se vrxi po modulu 3). Neka je i, i = 1, 2, 3, druga taqka preseka i+1 i i+2. okazati da su centri opisanih krugova trouglova 1 1 I, 2 2 I, 3 3 I kolinearni. 11. at je trougao i taqka T. Neka su P i Q podnoжja normala iz T na prave i, redom, i neka su R i S podnoжja normala iz na prave T i T, redom. okazati da taqka preseka pravih PR i QS leжi na pravoj. 12. at je trougao i taqka M. Prava koja prolazi kroz M seqe prave, i u taqkama 1, 1 i 1, respektivno. Prave M, M i M seku opisani krug oko trougla redom u taqkama 2, 2 i 2. okazati da se prave 1 2, 1 2 i 1 2 seku u jednoj taqki koja se nalazi na krugu opisanom oko trougla. 13. Neka su P i Q izogonalno spregnute taqke i neka su njihovi pedalni trouglovi P 1 P 2 P 3 i Q 1 Q 2 Q 3. Neka je X 1 = P 2 Q 3 P 3 Q 2, X 2 = P 1 Q 3 P 3 Q 1, X 3 = P 1 Q 2 P 2 Q 1. Tada taqke X 1, X 2, X 3 leжe na pravoj PQ. okazati. 14. okazati: ako su taqke i M konjugovane u odnosu na krug k, onda je krug nad preqnikom M ortogonalan na krug k. 15. Na krug k su iz taqke (koja se nalazi u spoljaxnjosti datog kruga) konstruisane dve tangente M i N i seqica koja seqe krug u taqkama K i L. Neka je l proizvoljna prava paralelna sa M. Neka KM i LM seku pravu l u taqkama P i Q, redom. okazati da MN polovi duж PQ. 16. Taqka izogonalno spregnuta teжixtu naziva se Lemuanova taqka. Prave koje spajaju temena trougla sa Lemuanovom taqkom nazivaju se simedijane. Neka se tangente na opisani krug Γ trougla u taqkama i seku u taqki P. okazati da je prava P simedijana trougla. 17. at je trougao. Neka upisani krug tog trougla dodiruje stranice,, u taqkama M, N, P, redom. okazati da se M, N i P seku u jednoj taqki. 18. Neka je tangentan qetvorougao i neka stranice,,, dodiruju krug upisan u u taqkama M, N, P, Q. okazati da se prave,, MP i NQ seku u jednoj taqki. 19. Neka je tetivan qetvorougao, kome se dijagonale i seku u O, produжeci stranica i u taqki E, tangente na opisani krug u taqkama i u K, a tangente u taqkama i u taqki L. okazati da se taqke E, K, O i L kolinearne. 20. at je tetivni qetvorougao. Prave i se seku u taqki E, a dijagonale i u taqki F. Opisani krugovi oko trouglova F i F se seku ponovo u taqki H. okazati da je EHF = 90. 4

6. Rexenja 1. Oznaqimo T =. Uoqimo niz perspektiviteta PQRS = TS = QPRS. Kako perspektiviteti quvaju dvorazmeru, vaжi R(P, Q; R, S) = R(Q, P; R, S), odakle sledi H(P, Q; R, S). 2. Oznaqimo α =, β =, γ = i ϕ = M. Primenom sinusne teoreme na trouglove M i M dobijamo M M = M M M M = sin ϕ sin β sin γ sin(α ϕ). Sliqno, primenom sinusne teoreme na trouglove N i N dobijamo N N = N N N N = sin(90 ϕ) sin(180 β) Kombinuju i prethodne dve jednaqine, dobijamo M M : N N = tanϕ tan(α ϕ). sin γ sin(90 + α ϕ). akle, R(, ; M, N) = 1 je ekvivalentno sa tan ϕ = tan(α ϕ), odnosno sa ϕ = α/2. Kako je i M N, R(, ; M, N) = 1 je ekvivalentno sa R(, ; M, N) = 1, pa je ovim tvrđenje zadatka dokazano. 3. Kao motivacija za konstrukciju posluжi e nam zadatak 1. Odaberimo taqku K van prave i taqku L na pravoj K, razliqitu od i K. Neka je M = L K i N = K M. Zatim konstruixemo taqku kao = LN. Iz zadatka 1 sledi da je zaista H(, ;, ). 4. Oznaqimo = S. Prema zadatku 1 sledi da je H(R, S;, ). Sa ovim na umu moжemo pristupiti konstrukciji: Konstruiximo taqku = S. Sada imamo taqke, i S, pa prema prethodnom zadatku moжemo konstruisati taqku R takvu da je H(, ; S, R). Sada konstruixemo P = S R i Q = S R, qime je konstrukcija zavrxena. 5. Poznato je (i lako se dokazuje Qevinom teoremom) da se prave, E i F seku u tzv Жergonovoj taqki trougla, koju oznaqavamo sa G. Oznaqimo X = EF. Kao u zadatku 1, vaжi H(, ;, X). ko oznaqimo X = PQ, analogno vaжi i H(, ;, X ), pa je X = X. 6. Oznaqimo x = KL, y = LM, z = MN. Treba dokazati da je x+y+z 3y, odnosno x+z 2y. Kako je R(K, N; L, M) = R(, ;, E), vaжi odakle je 4xz = (x + y)(y + z). x y + z : x + y = z Kada bi bilo y > (x + z)/2, bilo bi KL LN : KM MN = : E E = 1 2 : 1 2, x + y > 3 2 x + 1 2 z = 21 4 (x + x + x + z) 2 4 xxxz, i analogno y + z > 2 4 xzzz, pa i (x + y)(y + z) > 4xz, u suprotnosti sa ranijim zakljuqkom. akle, pretpostavka y > (x + z)/2 je bila pogrexna, odnosno vaжi y (x + z)/2. Ispitajmo jox kada vaжi jednakost: ako je y = (x+z)/2, onda je 4xz = (x+y)(x+z) = (3x+z)(x+3z)/4, xto je ekvivalentno sa (x z) 2 = 0. akle, jednakost vaжi ako je x = y = z. Ostavljamo qitaocu da dokaжe da je x = y = z ispunjeno ako i samo ako je p. 5

7. Neka je E =, F =. Uoqimo niz perspektiviteta EM 1 = FM 2 = EM 3 = FM 4 = EM 5. Prema uslovima zadatka, ovaj niz perspektiviteta treba primeniti jox dvaput da bi se doxlo do taqke M 13. Uoqimo da je navedeni niz perspektiviteta preslikao taqku u E, E u, a u. I bez ispisivanja svih perspektiviteta, jasno je da e trostruka primena ovog niza perspektiviteta ostavljati fiksnim taqke, i E, dok e taqku M 1 slikati u taqku M 13. Stoga, mora biti M 1 = M 13. 8. Neka je X taqka simetriqna taqki Y u odnosu na P. Uoqimo da je R(M, N; X, P) = R(M, N; P, Y ) (iz MNXP = MN = MNPY ) = R(N, M; P, X ) (jer centralna simetrija sa centrom u P, kao i sve = Sledi da je X = X. izometrije, quva razmeru, a samim tim i dvorazmeru) 1 R(N, M; X, P) = R(M, N; X, P) (iz opxtih svojstava dvorazmere) 9. Oznaqimo J = Q P, K = EQ P. Ukoliko dokaжemo da je JK E, odatle e slediti da su trouglovi J i EK perspektivni u odnosu na centar, pa e prema ezargovoj teoremi biti i perspektivni u odnosu na osu, xto upravo znaqi da su taqke, P, Q kolinearne (ohrabrujemo qitaoca da proveri ove tvrdnje). Pristupimo sada dokazivanju paralelnosti pravih JK i E. Oznaqimo T = E P Q. Primenom Menelajeve teoreme na trougao TQ i pravu PF dobijamo J QP TF JQ PT F = 1. nalogno je iz trougla ETQ i prave PG EK KQ QP PT TG GE = 1. eljenjem prethodne dve jednakosti, uz korix enje relacije T TG = FT TE (xto vaжi jer je taqka T na radikalnoj osi krugova opisanih oko PG i FPE), dobijamo J JQ = EK KQ. Odavde je JK E, pa je i tvrđenje zadatka u potpunosti dokazano. 10. Primenimo inverziju sa centrom u I. Ostavljamo qitaocu da konstruixe inverzivnu sliku. Primetimo samo da se uslov da je I centar upisanog kruga transformixe u uslov da su krugovi i i+1i istih polupreqnika (Zaxto? Ukoliko je rastojanje taqke I od prave XY jednako r, a polupreqnik inverzije je R, onda je preqnik kruga IX Y jednak R 2 /r). Sada iskoristimo slede e jednostavno tvrđenje, koje qitalac moжe sam dokazati: ko su k 1, k 2, k 3 tri kruga koji sadrжe istu taqku I, takvi da se nikoja dva od njih ne dodiruju, onda su njihovi centri kolinearni ako i samo ako postoji jox jedna zajedniqka taqka J I preseka ova tri kruga. U inverzivnoj slici, ovo znaqi da je nax zadatak da dokaжemo da se prave 11, 22, 33 seku u jednoj taqki. a bi ovo vaжilo, dovoljno je da odgovaraju e stranice trouglova 1 2 3 i 1 2 3 budu paralelne, jer su tada ovi trouglovi perspektivni u odnosu na osu (pri qemu je ta osa beskonaqno daleka prava), a zatim su prema ezargovoj teoremi perspektivni i u odnosu na centar. Oznaqimo sa P i stranicu P i+1 P i+2 centar kruga i+1 i+2 I, a sa Q i podnoжje normale iz I na. Lako se dokazuje da 1 2 = 2 Q 1 Q 2 = P1 P 2. Takođe, poxto su krugovi i i+1 I istih polupreqnika, P 1 P 2 1 2, pa i 1 2 1 2. 6

11. okaza emo da preseqna taqka X pravih PR i QS leжi na pravoj. Primetimo da se taqke P, Q, R, S nalaze na krugu nad preqnikom T. Uoqimo zato xest kocikliqnih taqaka, S, R, T, P, Q. Primenom Paskalove teoreme na ovih xest taqaka prema shemi T P Q X S R dobijamo da su taqke, i X = PR QS kolinearne, xto je trebalo dokazati. 12. Prvo rexenje, korix enjem projektivnih preslikavanja: Neka je 3 = M i 3 = M. Neka je X druga preseqna taqka prave 1 2 sa opisanim krugom k trougla. Neka je X druga preseqna taqka prave 1 2 sa krugom k. Uoqimo niz perspektiviteta X = 2 3 1 = M 3 1 = 2 X koji ima tri fiksne taqke,,, pa je prema tome identiqko preslikavanje, te je i X = X. nalogno i prava 1 2 sadrжi taqku X, pa je tvrđenje zadatka u potpunosti dokazano. rugo rexenje, korix enjem Paskalove teoreme: Neka prava 1 2 seqe opisani krug trougla u taqkama 2 i X. Neka je X 2 = 1. Primenimo Paskalovu teoremu na kocikliqne taqke,,, 2, 2, X po shemi 2 2 M 1 1 X Sledi da su taqke 1, 1, M kolinearne. akle, 1 1M. li po definiciji taqke 1 vaжi 1, pa je 1 = 1 M = 1. Zakljuqujemo da su taqke X, 1, 2 kolinearne. nalogno se dokazuje i da su taqke X, 1, 2 kolinearne, pa se prave 1 2, 1 2, 1 2 zaista seku u taqki X koja pripada opisanom krugu trougla. 13. Poznato je tvrđenje (pogledati materijal na temu pedalnih trouglova) po kome pedalni trouglovi koji odgovaraju izogonalno spregnutim taqkama imaju zajedniqki opisani krug, tzv pedalni krug taqaka P i Q. entar tog kruga, koji je istovremeno i sredixte duжi PQ, oznaqimo sa R. Oznaqimo jox taqke P 1 = PP 1 Q 1 R i P 2 = PP 2 Q 2 R (taqke P 1 i P 2 pripadaju pedalnom krugu taqke P, kao taqke dijametralno suprotne taqkama Q 1 i Q 2 ). Primenom Paskalove teoreme na kocikliqne taqke Q 1, P 2, P 2, Q 2, P 1, P 1 prema shemi P 2 P 1 Q 2 P X 3 R P 1 P 2 Q 1 dobijamo da su taqke P, R, X 1 kolinearne, odnosno X 1 PQ. nalogno i taqke X 2, X 3 pripadaju pravoj P Q. 14. Podsetimo qitaoca na tvrđenje prema kome krug l ostaje fiksiran pri inverziji u odnosu na krug k ako i samo ako je l = k ili l k. Poxto taqka M pripada polari taqke u odnosu na krug k, vaжi M = 90, gde je = ψ l (). Zato l, gde je l krug nad preqnikom M. nalogno M l. Međutim, iz l sledi l, iz l sledi l (podse amo qitaoca da je inverzija involucija, odnosno da je samoj sebi inverzno preslikavanje, pa je ψ l ( ) = ), i analogno zakljuqujemo da M l i M l. Sada prime ujemo da krugovi l i l imaju qetiri zajedniqke taqke,, M, M. Kako ve tri taqke jednoznaqno određuju krug, zbog toga je l = l, pa prema prethodno pomenutom tvrđenju l = k ili l k. Sluqaj l = k se moжe lako eliminisati, jer je krug l krug nad preqnikom M, pa bi M bilo preqnik i kruga k. Međutim, takve taqke i M ne bi bile međusobno konjugovane. Zbog toga preostaje jedino sluqaj l k, xto je trebalo dokazati. 7

15. Neka je J = KL MN, R = l MN, X = l M. Kako je MN polara taqke, iz J MN M sledi H(K, L; J, ). Kako je KLJ = PQRX, vaжi i H(P, Q; R, X ). Odavde sledi da je R sredixte duжi P Q. 16. Oznaqimo sa Q presek pravih P i i sa Q taqku prave takvu da je poluprava Q izogonalno spregnuta polupravoj Q u trouglu. Prema definiciji izogonalno spregnutih polupravih, Q = Q i Q = Q. Za proizvoljnu taqku X na duжi, primenom sinusne teoreme na trouglove X i X dobijamo X X = X X X X sin X sin X = sin X sin X sin X sin X = sin X sin X = sin X sin X. Primenom ove formule na taqke X = Q i X = Q i mnoжenjem dobijamo Q Q Q Q = sin Q sin Q sin Q sin Q = 2 2. ( ) akle, ukoliko dokaжemo da je Q/Q = 2 / 2, odatle e slediti da je Q /Q = 1, odnosno da je Q sredixte a poluprava Q izogonalno spregnuta teжixnoj liniji, qime e tvrđenje zadatka biti dokazano. Kako taqka P pripada polarama taqaka i, to taqke i pripadaju polari taqke P, pa zakljuqujemo da je polara taqke P upravo prava. Uoqimo taqku koja se dobija u preseku prave sa tangentom na opisani krug u taqki. Kako taqka po definiciji pripada polarama taqaka i P, to je polara taqke prava P. Odatle sledi H(, ;, Q). Odredimo sada odnos /: kako su trouglovi i sliqni, vaжi / = / = /. Odavde je / = (/)(/) = 2 / 2. Zbog harmonijske spregnutosti H(, ;, Q) vaжi i Q/Q = / = 2 / 2, qime je dokazano tvrđenje zadatka. 17. Tvrđenje zadatka sledi iz rijanxonove teoreme primenjene na xestougao PMN. 18. Primenom rijanxonove teoreme na xestougao M P dobijamo da prava M P sadrжi preseqnu taqku pravih i. nalogno, primenom rijanxonove teoreme na xestougao NQ dobijamo da i prava NQ sadrжi istu taqku. 19. rokarova teorema tvrdi da je polara taqke F = prava f = EO. Kako je polara taqke na krugu tangenta na krug u toj taqki, znamo da je K = a d, gde su a i d polare taqaka i. Samim tim je i k =. Kako je F = k, vaжi i K f. nalogno se dokazuje i da L f, pa taqke E, O, K, L sve leжe na pravoj f. 20. Oznaqimo G =. Oznaqimo krug opisan oko qetvorougla sa k, a krugove opisane oko trouglova F i F sa k 1 i k 2, respektivno. Primetimo da je radikalna osa krugova k i k 1 prava, krugova k i k 2 prava, krugova k 1 i k 2 prava FH. Prema poznatoj teoremi, ove tri radikalne ose se seku u jednoj taqki, koja je upravo taqka G. rugim reqima, dokazali smo da su taqke F, G, H kolinearne. ez umanjenja opxtosti, pretpostavimo da je raspored taqaka (G, F, H) (alternativno, mogu se u daljem dokazu koristiti orijentisani uglovi). Koriste i tetivne qetvorouglove FH i FH, dobijamo HF = F = i FH = F =, pa je H = HF + FH = + = 2 = O. Zato su taqke,, H i O kocikliqne. Sliqno se dokazuje i da su taqke,, H, O kocikliqne. Oznaqimo sa k 3 i k 4 krugove opisane oko qetvorouglova HO i HO, respektivno. Primetimo da je radikalna osa krugova k i k 3 prava, krugova k i k 2 prava, krugova k 3 i k 4 prava OH. Radikalne ose ova tri kruga se seku u jednoj taqki, koja je upravo taqka E. Ovim smo dokazali da su taqke O, H, E kolinearne. Prema rokarovoj teoremi je FH OE, xto zbog FH = GH i OE = HE povlaqi da je GH HE, xto je trebalo dokazati. 8