ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ κι ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4 ρ. Α. Μγουλάς Νοέµριος 5
) Ν υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο που δηµιουργί µι τέλι γώγιµη κοίλη σφίρ κτίνς, φορτισµένη µ φορτίο, κτνµηµένο οµοιόµορφ στην πιφάνι της σφίρς. Λύση: Έχουµ τη διάτξη ( ) ( ) σ Είνι προφνές ότι, λόγω της οµοιόµορφης κτνοµής του φορτίου, το πδίο θ προυσιάζι πλήρη σφιρική συµµτρί, όπως κριώς το πδίο νός σηµικού φορτίου. Μπορούµ ν γράψουµ γι την πιφνική πυκνότητ σ του φορτίου στην πιφάνι της σφίρς: σ 4π - Στο ξωτρικό της σφίρς ( > ) Επιλέγουµ µι σφιρική πιφάνι µ κτίν > κι φρµόζουµ το νόµο του Gauss: σωτ S άρ 4π ( ) ( ) ˆ 4π πρτηρούµ ότι η έκφρση υτή ίνι κριώς η ίδι µ την έκφρση που δίνι το ηλκτρικό πδίο νός σηµικού φορτίου. Άρ το ηλκτρικό πδίο στ σηµί της πιφάνις µις σφίρς κτίνς > ίνι κριώς το ίδιο µ το πδίο νός σηµικού φορτίου τοποθτηµένου στο κέντρο της σφίρς. - Στο σωτρικό της σφίρς ( < ) Επιλέγουµ κι πάλι µι σφιρική πιφάνι µ κτίν < κι φρµόζουµ το νόµο του Gauss: σωτ κι λόγω της συµµτρίς ύκολ φίντι ότι D σφίρς S άρ κι στο σωτρικό της
Εποµένως το ηλ. πδίο θ ίνι < ( ) 4π > ( ) ˆ 4π Θ πληθύσουµ πρκάτω υτό το ποτέλσµ... Έχουµ την πιφάνι της σφίρς κι πιλέγουµ έν µικρό στοιχίο µδού S Προκύπτι ότι γι (πιφάνι σφίρς) έχουµ: ( ) ˆ ˆ D σ s D Στο στοιχίο S προφνώς θ υπάρχι φορτίο σ S Θωρούµ έν µικρό κύλινδρο µ µδόν άσης S κι πιροστά µικρό ύψος. Ο κύλινδρος ίνι τοποθτηµένος κάθτ στην σφιρική πιφάνι, κι ο µισός ρίσκτι στο σωτρικό της σφίρς, ο άλλος µισός στο ξωτρικό. Προφνώς το διάνυσµ D θ ίνι κάθτο στην πιφάνι της σφίρς, άρ κάθτο κι στις άσις του. Εφρµόζουµ το νόµο του Gauss στον όγκο του σ s πιφν. λλά ύκολ φίντι ότι στο ολοκλήρωµ σωτ πιφν. ( ηλκτρική ροή ) έχουµ συµολή του D µόνο στην άνω άση του, διότι στην κάτω άση (σωτρικό σφίρς) ισχύι D κι πίσης το D ίνι πράλληλο µ την πράπλυρη πιφάνι του, άρ δν υπάρχι συµολή πό την πράπλυρη πιφάνι. Συνπώς µπορούµ ν γράψουµ D ( ) s σ s άρ D ( ) σ πιφν. D ( ) σ Εποµένως ( ) ηλ. η ίδι σχέση που ρήκµ κι πριν. ˆ
) Ν υπολογιστί η χωρητικότητ νός σφιρικού πυκνωτή. Ο πυκνωτής ποτλίτι πό δύο οµόκντρς σφίρς µ κτίνς κι. ( ) Υποθέτουµ ότι η σωτρική σφίρ, κτίνς, φέρι φορτίο, κι η ξωτρική σφίρ κτίνς, φέρι φορτίο. Το ηλκτρικό πδίο µτξύ των δύο σφιρών θ έχι προφνώς σφιρική συµµτρί κι σ µί πόστση πό το κέντρο των σφιρών, όπου < <, θ δίντι πό την έκφρση ( σύµφων µ την προηγούµνη άσκηση) 4π ( ) ˆ < < Υπολογίζουµ τη διφορά δυνµικού δύο οπλισµών του πυκνωτή. ( ) d µτξύ των δύο οµοκέντρων σφιρών δηλ. των d d άρ Εποµένως η χωρητικότητ C θ ίνι: C
3) υο οµόκντρ σφιρικά τέλι γώγιµ κλύφη µ κτίνς κι διχωρίζοντι µ γώγιµο υλικό µ ιδική γωγιµότητ γ. Έστω ότι η διφορά δυνµικού µτξύ των δύο κλυφών ίνι στθ. Ζητίτι ν υπολογίστ: ) Την έντση του ρύµτος i που ρέι πό το έν κέλυφος στο άλλο ) Την ωµική ντίστση R µτξύ των δύο κλυφών γ J ( ) Λόγω της σφιρικής συµµτρίς κι της σχέσως J γ το διάνυσµ J της χωρικής πυκνότητς ρύµτος, θ έχι κριώς την ίδι «κτνοµή» στο χώρο µ το. Σ µι σφίρ κτίνς, όπου < <, το J θ γράφτι: i J ( ) ˆ < < 4π όπου i η έντση του ρύµτος που διέρχτι πό την σφιρική πιφάνι i κι πιδή ( ) J ( ) ˆ γ 4π γ µπορούµ ν γράψουµ γι την τάση : i i d i ( ) d d 4πγ 4πγ 4πγ άρ i 4 πγ συνπώς i 4π γ κι R i πγ 4