Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 30: Σηματα και Συστηματα ΙΙ Κεφάλαιο 6: Μετασχηματισμοί!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eng.ucy.ac.cy/chadcha/ Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (009). Τροποποιήθηκαν από τον επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (00).
Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός στα σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου είναι αντίστοιχος του Laplace στα σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου. Οπως θα δούμε στη συνέχεια τα κίνητρα για το μετασχηματισμό καθώς και οι ιδιότητες του είναι παρόμοια με αυτά των μετασχηματισμών Laplace, με τις βασικές διαφορες φυσικά μεταξύ των συνεχών και διακριτών σημάτων και συστημάτων. Στόχοι αυτού του κεφαλαίου: Να κατανοήσουμε ότι ο μετασχηματισμός είναι μια μέθοδος ανάλυσης σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου γενικότερη από το μετασχηματισμό Fourier που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Να δούμε πως ο μετασχηματισμός προκύπτει ως γενικοποίηση του μετασχηματισμού Fourier. Να δούμε ότι ο μετασχηματισμός είναι αποτέλεσμα συνέλιξης ενός συστήματος διακριτού χρόνου με σήμα εισόδου την ιδιοσυνάρτηση του. Να μελετήσουμε τις ιδιότητες του μετασχηματισμού που μας βοηθούν να βρίσκουμε τον μετασχηματισμό για πρακτικά σήματα διακριτού χρόνου. Να λύσουμε εξισώσεις διαφοράς με το μετασχηματισμό. Προέλευση και ορισμός του μετασχηματισμού Ο μετασχηματισμός Laplace γενικοποιεί το μετασχηματισμό Fourier για συνεχή σήματα, αλλάζοντας μιγαδικούς εκθέτες της μορφής e jωt σε μιγαδικούς εκθέτες της μορφής e st, όπου s σ jω και παίρνουμε ένα επιπλέον βαθμό ελευθερίας με την επιπλέον μεταβλητή σ. Αν ακολουθήσουμε το ίδιο για σήματα διακριτού χρόνου, τότε ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier γίνεται X(e s ) Θέτοντας z e s, τότε x[n]e sn X(z) x[n]e (σjω)n x[n]z n ( x[n]e σn ) e jωn όπου το z μπορεί να πάρει όποιαδήποτε τιμή στο μιγαδικό επίπεδο, σε αντίθεση με το e jω που περιορίζεται σε ένα κύκλο με ακτίνα μήκους μονάδα. Επομένως, ο επιπλέον βαθμός ελευθερίας μας δίνει έναν παράγοντα στο σήμα εισόδου που όπως θα δούμε στη συνέχεια μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε και συστήματα που δεν συγκλίνουν απαραίτητα. Συνεπώς, ο μετασχηματισμός ενός διακριτού σήματος ορίζεται ως η δυναμοσειρά X(z) {x[n]} x[n]z n. Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Μιγαδικούς Εκθέτες Οταν σε ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου έχουμε ένα σήμα εισόδου με μιγαδικό εκθέτη, τότε το σήμα εξόδου μπορεί να βρεθεί με συνέλιξη. Εστω x[n] cz n, c, z C ce sn, z e s, s C
. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier από H(z) : x[n] h[n] y[n] LTI x[n] cz n y[n] y[n] k k h[k]cz n k k h[k]z k }{{} ιδιοδιανυσμα h[k]z k cz n H(z)cz n } {{ } H(z) }{{} cz n ιδιοσυναρτηση H(z) k h[k]z k (.) H(z) λέγεται η Συνάρτηση Μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος και είναι ο μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρουσης h[ ] x[n] h[n] y[n] LTI Επειδή όποιοδήποτε σήμα διακριτού χρόνου (ΣΔΧ) μπορεί να γραφτεί σαν μια γραμμική συνάρτηση από σήματα με μιγαδικόυς εκθέτες, τότε η απόκριση μπορεί να βρεθεί με το να πολλαπλασιάσουμε τον μετασχηματισμό της κρουστικής απόκρισης με το μετασχηματισμό του σήματος εισόδου: Εστω x[n] k α k z n k τότε y[n] k α k H(z k )z n k. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier από H(z) : Ο επιπλέον παράγοντας e σn μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται με το n, ανάλογα με το αν το σ είναι θετικό ή αρνητικό αντίστοιχα. Στην περίπτωση που σ 0, τότε ο Μ μετατρέπεται στο μετασχηματισμό Fourier. Επομένως, {z e jω έτσι ώστε x[n] ce jωn } {H(z) ze jω k h[k]e jωk } } {{ } ΔΜΦ Ο μετασχηματισμός όπως ορίζεται εδώ συνήθως αναφέρεται ως ο αμφίδρομος μετασχηματισμός, σε αντίθεση με τον μονόπλευρο που θα δούμε στη συνέχεια.
.3 H(z) από ομοιόμορφη δειγματοληψία της x(t) 3.3 H(z) από ομοιόμορφη δειγματοληψία της x(t) x(t) X x * ( t) x (t) p(t) p(t) x(kt s )δ(t kt s ) k k δ(t kt s ) x(t) p(t) x * ( t) X (s)............ T T L{x (t)} X (s) k k k 0 0 s t x (t)e st dt x(kt s )δ(t kt s )e st dt x(kt s )δ(t kt s )e st dt x(kt s )e ktss s t Θέτω z e sts X (s) ze sts X(z) X (s) x(kt s )z k k ze sts x(kt s )z k k 3 Ορισμός Αμφίπλευρου Μετασχηματισμού Ορισμός Αμφίπλευρου Μετασχηματισμού : {x[n] είναι διακριτό σήμα} {x[n]} X(z) x[n]z n, για όλα τα z ROC x C ROC (gion of Convergence) είναι η περιοχή σύγκλισης του αμφίπλευρου μετασχ/μού του x[n]. Υπενθύμιση: { Αν το x[n] έχει μετασχηματισμό Fourier τότε F{x[n]} X(e jω ) } {X(e jω ) x[n]e jωn }
ΗΜΥ 30 4 z Μιγαδική Μεταβλητή Πολική μορφή z re jω X(z) X(re jω ) x[n](re jω ) n (x[n]r n )e jωn X(z) F{x[n]r n } ΣΗΜΕΙΩΣΗ: X(z) μπορεί να υπάρχει ενώ η F{x[n]} όχι. Π.χ. x[n] α n u[n] δεν έχει F{x[n]} για a. X(z) X(e jω ) F{x[n]} [ε.γ. r ] -Μιγαδικό επίπεδο z ze jω z re jω r ω z-plane unit-circle jω z e ω Παράδειγμα 3.. (α) Βηματική Συνάρτηση: u[n] Πεπερασμένη μόνο αν z < U(z) {, n 0 0, n < 0 z k (z ) k lim N (z ) N lim N z (z ) k (z ) N U(z) lim N z, gia z < U(z), gia z > z
ΗΜΥ 30 5 Περιοχή Σύγκλισης της U(z): ROC u {z C z > } 0 RC u π.χ. Υποθέστε ότι z ROC u, δηλαδή, z. Τότε U(z) () n {, n 0 (β) Βηματική Συνάρτηση u[ n] 0, n > 0 U(z) U(z) n0 z n lim N u[ n]z n 0 z n z N, πεπερασμένη για z < z, for z < z ROC u {z C z < } RC u (ς) Δεξί Πλευρικό Εκθετικό Σήμα: x[n] α n u[n], α R X(z) X(z) α n u[n]z n α n z n (αz ) n n0 n0 αz, ROC x {z C; αz < } z z α, ROC x {z C; z > α } α ROC x Ειδική περίπτωση:α {u[n]} z z, ROC u {z C; z > }, F{u[n]} δεν συγκλίνει γιατί z δεν αποτελεί μέρος της ROC u
ΗΜΥ 30 6 (δ) Άριστερό Πλευρικό Εκθετικό Σήμα: x[n] α n u[ n ], α R X(z) n α n u[ n ]z n α n z n (α z) n n0 α n z n α, ROC x {z C; α z < } z z X(z), ROC x {z C, z < α } z α Αν 0 < α <, τότε X(e jω ) δεν υπάρχει. α 0 ROC x Σημείωση: (ς) και (δ) έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό { }. Ξεχωρίζουν μόνο από την Περιοχή Σύγκλισης. (ε) Συνδυασμός των (ς) και (δ) (Δεξιός και Αριστερός): x[n] α n u[n] β n u[ n ] x [n] x [n] {x[n]} z z α z z β ROC x {z C; z > α } ROC x {z C; z < β } ROC x α β ROC x α, β ονομάζονται οι πόλοι του {x[n]}. Για να συγκλίνει το {x[n]} στο z πρέπει το z να ανήκει στη ROC x και στη ROC x ROC x ROC x ROCx {z C ; z < β, z > α } {z C ; α < z < β }
3. Κανόνες Καθορισμού της ROC του αμφίπλευρου μετασχ/μού 7 3. Κανόνες Καθορισμού της ROC του αμφίπλευρου μετασχ/μού. Η ROC του X(z) αποτελείται από ένα δακτύλιο στο επίπεδο ζ με κέντρο περίπου την αρχή των αξόνων. Η ROC αποτελείται από τιμές του z re jω για τις οποίες η F{x[n]r n } υπάρχει Η ROC αποτελείται από τα z τα οποία ικανοποιούν x[n] r n < Η σύγκλιση εξαρτάται από το r z, κι όχι από το ω Αν z ROC τότε όλες οι τιμές του z στον ίδιο κύκλο ROC. Η ROC αποτελείται από ομόκεντρους δακτύλιους. Η ROC δεν έχει πόλους. Π.χ. η X(z) είναι άπειρη στο z z p (πόλοι) 3. Αν x[n] έχει άπειρη διάρκεια, τότε η ROC περιλαμβάνει όλο το επίπεδο z εκτός πιθανόν το z 0 ή/και το z π.χ., X(z) N nn x[n]z n Αν z 0, κάθε όρος είναι πεπερασμένος x(z) συγκλίνει Αν N < 0, N > 0 X(z) περιλαμβάνει z θετικό, z αρνητικό z 0, z αρνητικό, z, z θετικό Η ROC δεν περιλαμβάνει το z 0, z. Αν N 0 z ROC Αν N 0 z 0 ROC Παράδειγμα 3.. (αʹ) x[n] δ[n] X(z), ROC x {z C} (βʹ) x[n] δ[n ] X(z) z, ROC x {z C; z 0} (γʹ) x[n] δ[n ] X(z) z, ROC x {z C; z } 4. Αν x[n] είναι δεξιά πλευρική ακολουθία και ο κύκλος z r 0 ROC τότε όλες οι πεπερασμένες τιμές της z > r 0 ROC π.χ. x(z) z r 0 ROC x[n]r n 0 απόλυτα αθροίσιμη nn x[n]z n z r > r 0 x[n]r n φθίνει πολύ πιο γρήγορα από x[n]r n 0, για n > 0 x[n]r n α- πόλυτα αθροίσιμη Αν N 0 z ROC Αν N < 0 z / ROC 5. Αν x[n] είναι αριστερή πλευρική ακολουθία και ο κύκλος z r 0 ROC τότε όλες οι τιμές της z για τις οποίες 0 < z < r 0 ROC π.χ. X(z) Αν N < 0 z 0 ROC Αν N 0 z 0 / ROC N x[n]z n, N 0 ή N < 0 6. Αν x[n] είναι αμφίπλευρη, και ο κύκλος z r 0 ROC τότε η ROC θα αποτελείται από ένα δακτύλιο στο επίπεδο z που περιλαμβάνει τον κύκλο z r 0 π.χ., x[n] x [n] x [n] ROC x ROC x ROCx
3. Κανόνες Καθορισμού της ROC του αμφίπλευρου μετασχ/μού 8 ROC x possibly z ROC x possibly z 0 Παράδειγμα 3.3. { α n, 0 n N, α > 0 (α) x[n] 0, διαφορετικά X(z) N n0 N α n z n n0 (αz ) n X(z) z N z N α N z α, ROC x {z C; z 0} μηδέν: z N α N z k αe j π N k, k 0,,, N πόλοι: z 0 (N )-τάξης, z α z 0 α και z α άκυρο z k αe j π N k, k,,, N X(z) z N (z z )(z z ) (z z N ), ROC x {z C; z 0} (z) unit circle 0 < α < (z) (N-)st order cancel pole and zero (β) Άθροισμα δύο δεξιών πλευρ. εκθετικών: x[n] 7( 3 )n u[n] 6( )n u[n] X(z) 7 6 3 z z(z 3 ) z (z 3 )(z ) ROC {z C; 3 z < } ROC {z C; z < } Για σύγκλιση του X(z),το z πρέπει να ανήκει στην ROC και την ROC ROC x ROC ROC {z C; z > }
3. Κανόνες Καθορισμού της ROC του αμφίπλευρου μετασχ/μού 9 ROC x (z) 3 (z) 3 (γ) Αμφίπλευρη άπειρη ακολουθία: x[n] b n, b > 0 x [ n] b n...... 0<b< n... b>... n x[n] b n u[n] b n u[ n ] x [n] b n u[n] x [n] b n u[ n ] bz, z > b (επειδή bz < )) b z, z < b (επειδή b z > ) unit circle unit circle b> b b ROC x unit circle ROC x b 0<b< b ROC x ROC x unit circle b b ROC x 7. Αν ο μετασχηματισμός του X(z) είναι ρητός, τότε η ROC είναι φραγμένη από τους πόλους ή εκτείνεται στο άπειρο.
3. Κανόνες Καθορισμού της ROC του αμφίπλευρου μετασχ/μού 0 8. Αν ο μετασχηματισμός είναι ρητός και αν x[n] δεξιός πλευρικός, τότε η ROC είναι η περιοχή στο επίπεδο z έξω από τον εξώτατο πόλο. Επιπλέον, αν το x[n] είναι αιτιατό (π.χ. δεξιός πλευρικός και x[n] 0, n < 0), τότε η ROC περιλαμβάνει το z. causal extends to z z z z 3 9. Αν ο μετασχηματισμός του x[n] είναι ρητός, και αν x[n] είναι αριστερός πλευρικός, τότε η ROC είναι η περιοχή στο επίπεδο z εσωτερικά του εσώτατου πόλου και εκτείνεται εσωτερικά και πιθανόν να περιλαμβάνει το z 0. Αν το x[n] δεν είναι αιτιατό (π.χ. αριστερός πλευρικός και x[n] 0, n 0), τότε η ROC περιλαμβάνει το z 0 if anticausal z z z 3 Παράδειγμα 3.4. X(z) ( 3 z )( z ) X(z) z (z 3 )(z ) unit circle 3 double zero Πιθανές περιοχές Σύγκλισης:. X(z) z (z x[n] Δεξιός πλευρικός 3 )(z ) ROC x 3. X(z) z (z x[n] Αριστερός πλευρικός 3 )(z )
3. Δεξιός πλευρικός μετασχηματισμός ROC 3 3. X(z) z (z 3 )(z ) x[n] x [n] x [n] ROC 3 3. Δεξιός πλευρικός μετασχηματισμός Χρήσιμος στη ανάλυση εξισώσεων διαφοράς με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες x[n] διακριτό σήμα {x[n]} Παράδειγμα 3.5. x[n]z n {x[n]} {x[n]u[n]} n0. x[n] α n, α > 0 ({x[n]} δεν υπάρχει). x[n] α n u[n ] {x[n]} {α n u[n]} {x[n]}, αz z > α {x[n]} z n α n z n [ń n ] (αz )ń z αz, ń0 ROC x {z C; αz < and z } z αz, ROC x {z C; z > α, z } Μη αιτιατό {x[n]} α n z n α (αz ) n n0 n0 α, z > α, αιτιατό αz
ΗΜΥ 30 4 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Υποθέστε: {x [n]} X (z), ROC x {x [n]} X (z), ROC x και υπάρχει για x [.], x [.] {x [n]} X (z), ROC x {x [n]} X (z), ROC x 4. Γραμμικότητα ( Ιδιο για και ) {α R, b R} {{αx [n] βx [n]} αx (z) βx (z)} με περιοχή σύγκλισης για το συνδυασμένο σήμα ROC ROC x ROC x : περιέχει τουλάχιστο την και των δύο. Θα μπορούσε να ήταν μεγαλύτερο. π.χ. x[n] α n u[n] α n u[n ] X(z) αz }{{ α n z n } n }{{} X (z) n0 (αz ) n z z α z z α, X(z), 4. Χρονική Μετατόπιση ROC x {z C; z > α} ROC x {z C; z > α} ROC x {z C} ROC x ROC x {z C; z > α} {x[n] X(z), ROC x R} {x[n n 0 ] z n0 X(z), ROC R} εκτός την πιθανή πρόσθεση ή αφαίρεση της αρχής των συντεταγμένων ή του άπειρου. Απόδειξη {x[n n 0 ]} n z n0 x[n n 0 ]z n x[n ]z n n 0 [n n n 0 ] n x[n ]z n, } {{ } X(z) ROC ROC x ROC {z C ; πιθανό εκτός από z 0 η z }
4.3 Συνέλιξη 3 Αν n 0 > 0 z 0 είναι πόλος που ενδέχεται να ακυρώνει μηδενικά του X(z) στο z 0 z 0 ενδέχεται να είναι πόλος του z n0 X(z) ενώ ενδέχεται να μην είναι πόλος του X(z). ROC ROC x αφαίρεση z 0 Αν n 0 < 0 z 0 είναι μηδενικό που ενδέχεται να ακυρώνει πόλους του X(z) στο z 0 z 0 ενδέχεται να είναι μηδενικό του z n0 X(z) ενώ ενδέχεται να μην είναι πόλος του X(z). z είναι πόλος του z n0 X(z) ROC ROC x αφαίρεση z 4.3 Συνέλιξη {x [n] X (z), ROC x } ανδ {x [n] X (z), ROC x } { } x [n] x [n] X (z)x (z), ROC ROC x ROC x Για : {x [n]u[n] x [n]u[n]} X (z)x (z), ROC ROC x ROC x π.χ. x[n] LTI y[n]h[n]*x[n] h[n] [n]- [n-] h[n] h[n] z, y[n] z X(z) z ROC y ROC h ROC x ROC h {z C/z 0}ανx[n] X(z), ROC x πιθανή αφαίρεση από ROC x του z 0 και η πρόσθεση του z. 4.4 Αντιστροφή Χρόνου ( Ιδιο για, ) { x[n] X(z), ROC x {z C; R < z < R } } { x [n] x[ n] X(z ), ROC x {z C; R < z < R } } ROCx R R ROC x R R
4.5 Μετατόπιση στο χώρο ( Ιδιο για, ) 4 Απόδειξη {x[ n]} x[ n]z n x[n]z n x[n](z ) n X(z ), ROC x {z C; R < z < R } {z C; R < z < R } π.χ. αν z 0 ROC x z 0 ROC x 4.5 Μετατόπιση στο χώρο ( Ιδιο για, ) x[n] x [n] z n 0 x[n] X(z), ROC x {z C; R < z < R } X( z z 0 ), ROC x {z C; R z 0 < z < R z 0 } Αν z 0 e jω0 e jω0n x[n] X(e jω0 z), ROC x ROC x (Εναλλαγή πόλου-μηδενικού δεξιόστροφα από ω 0 ) π.χ ο παράγοντας αz αe jω0 z Πόλος στο z α γίνεται πόλος στο z αe jω0 Rotation by _0 r 0 (α) Τύπος πόλου-μηδενικού του x[n] (β) Τύπος πόλου-μηδενικού του e jω0n x[n] Σημείωση: Αν z 0 e jω0 εναλλαγή και κλιμάκωση Απόδειξη {z 0 n x[n]} z 0 n x[n]z n x[n]( z z 0 ) n X( z z 0 ), ROC x {z C; R < z z 0 < R } π.χ α k x[n] X(α z)
4.6 Συζυγής ( Ιδιο για, ) 5 4.6 Συζυγής ( Ιδιο για, ) {x[n] X(z), ROC x } {x [n] X (z ), ROC x } Απόδειξη {x [n]} x [n]z n ( x[n](z ) n ) X (z ), ROC x {z C/z ROC x ROC x } 4.7 Παραγώγιση στο χώρο ( Ιδιο για, ) {x[n] X(z), ROC x } {nx[n] z d dz X(z), ROC x με πιθανή εξαίρεση το z 0} Απόδειξη z d dz X(z) z d dz z x[n]z n nx[n]z n nx[n]z n } {{ } {nx[n]} π.χ X(z) log( αz ), z > α nx[n] z d αz X(z) z dz αz 4.8 Χρονική επέκταση Ορίζω:, z > α αz αz x (k) [n] { x[n/k] αν n πολλαπλάσιο του k 0 αν n μη πολλαπλάσιο του k { { x[n] X(z), ROC x {z C; R < z < R } x (k) [n] X(z k ), ROC {z C; R < z k < R } } } Σημείωση: Αν X(z) έχει πόλο στο z α X(z k ) έχει πόλο στο z α /k.
4.9 Χρονική Μετατόπιση: Μονόπλευρη: n 0 > 0 6 4.9 Χρονική Μετατόπιση: Μονόπλευρη: n 0 > 0 (α) {x[n n 0 ]} z n0 X(z), ROC x except z (έχει ήδη αποδειχθεί) (β) {x[n n 0 ]} z n0 {X (z) n 0 m0 x[m]z m }, ROC x except z (ς) {x[n n 0 ]} z n0 ]{X (z) m n 0 x[m]z m }, ROC x except z 0 Απόδειξη (β) (ς) {x[n n 0 ]} {x[n n 0 ]} x[n n 0 ]z n n0 mn 0 x[m]z (m n0), [m n n 0 ] z n0 x[m]z m mn 0 n 0 z n0 [ x[m]z m x[m]z m ] m0 m0 n 0 z n0 [X(z) x[m]z m ] m0 x[n n 0 ]z n n0 x[m]z (mn0), [m n n 0 ] m n 0 z n0 [ x[m]z m x[m]z m ] m n 0 m0 Παράδειγμα 4.. y[n] y[n ] δ[n], y[ ] 3 Y (z) z [Y (z) y( )z] Y (z) 5 z z /, ROC Y {z ; z > } {Y (z)} 5 ( )n u[n] 4.0 Ιδιότητα Αρχικής Τιμής: ( ) { Εστω η αιτιατή ακολ.: x[n]: (ε.γ. x[n] 0, n < 0)} {x[0] lim z X(z)}
4. Ιδιότητα Τελικής Τιμής: (Μόνο για ) 7 Απόδειξη X(z) n0 Παράδειγμα 4.. x[n]z n x[0] x[] z... x[m] z m... lim X(z) x[0] z Για x[n] 7( 3 )n u[n] 6( )n u[n] X(z) ROC x {z C; z > } Σημείωση: x[0] Επιπλέον lim X(z) x[0] z z(z 3/) (z /3)(z /), 4. Ιδιότητα Τελικής Τιμής: (Μόνο για ) { Εστω x[.] μια φραγμένη ακολουθία n kai {x[n]} X (z) Απόδειξη } { lim n x[n] lim z (z )X (z) } {x[n ] x[n]} zx (z) zx(0) X (z) ή (z )X (z) zx(0) [x[k ] x[k]]z k [x[n ] x[n]]z n (z )X (z) zx(0) lim z (z )X (z) x(0) (x[] x[0])... (x[k ] x[k])... lim k x[k] Παράδειγμα 4.3. (α) n0 { 0, n < 0 x[n] α n, n 0 X (z) z, z > α, α < z α lim x[n] lim (z )X z (z) lim(z ) n z z z α 0 σύμφωνο με lim x[n] α < 0 n (β) x[n] n u[n] X (z) lim z z z, z > z (z ) 0 (πραγματικό όριο) z 4. Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός (Για ) X(z) zre jω F{x[n]r n }, για r τετοιο ωστε z ROC x[n]r n F {X(re jω )} (Εφαρμογή Αντίστροφου Μ.Φ) x[n] r n X(re jω )e jωn dω π <π> x[n] X(re jω )(re jω ) n dω π <π>
4. Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός (Για ) 8 (Επαναφορά του x[n] από Μετασχηματισμό που αποτιμάται στο περίγραμμα του z re jω ROC) n σταθερο, ω [0, π] z re jω dz jre jω dω jzdω dω j z dz z στο z r ω στο π διάστημα για ω x[n] πj X(z)z n dz (ολοκλήρωμα επιπέδου z) (Δεξιόστροφη Ολοκλήρωση γύρω από το περίγραμμα με κέντρο την αρχή των συνταταγμένων και ακτίνα r, τέτοια ώστε το X(z) να συγκλίνει.) π.χ. z r ROC contour ROC {X(z)} πj X(z)z n dz (Το ολοκλήρωμα χρειάζεται τη χρήση της ολοκλήρωσης του περιγράμματος στο επίπεδο z) {X (z)} πj X (z)z n dz Σημείωση:, συνήθως υπολογίζονται με μερικό ανάπτυγμα κλασμάτων και πίνακες μετασχηματισμών. Παράδειγμα 4.4. (α) X(z) 0.5z 0.3z ( 0.5z )( 0.z, z > 0.5 ) Μερικό ανάπτυγμα κλάσματος: X(z) A ( 0.5z ) B Cz ( 0.z ) ( ) A X(z).( 0.5z ) z
4. Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός (Για ) 9 Χρησιμοποίησε ( ) στο κοινό: A( 0.z ) (B cz )( 0.5z ) 0.5z 0.3z Συντελεστής: z 0 : A B B A Συντελεστής: z : A( 0.4) 0.5B C 0.5 C 0.5 0.8 0.5 C 0.8 X(z) 0.8z 0.5z ( 0.z ) 0.5z 0.z 0.6z ( 0.z ) X ( z) z z 0.5 z z 0. ( z 0.6 z 0.) ROC x { z / z 0.5} ROCx ROC x ROC x 3 x 0. x 0.5 x 0.5 x 0. 0. x Correspond to Right-sided ROC ROC ROC x x x3 double x[n] (0.5) n u[n] (0.) n u[n] 3n(0.) n u[n] (β) X(z) 0.5z 0.3z ( 0.5z )( 0.z, z < 0. ) Μερικό ανάπτυγμα κλάσματος από (α): X ( z) z z 0.5 z z 0. ( z 0.6 z 0.) ROCx x ROC ROCx ROC x 3 x x 0. 0.5 Corresponds to left-sided x L.S. L.S. L.S. x ROC x {z C; z < 0.} ROC x ROC x ROC x3 x[n] (0.5) n u[ n ] (0.) n u[ n ] 3n(0.) n u[ n ]
4.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός μακράς διαίρεσης 0 (ς) X(z) 0.5z 0.3z ( 0.5z )( 0.z, 0. < z < 0.5 ) X ( z) z z 0.5 z z 0. ( z 0.6 z 0.) ROC x ROCx x ROC ROC x 3 xx x 0. 0.5 x 0.5 x 0. x 0. Combination of left and right sided signals Left-Sided Signal Right-Sided Signal Right-Sided Signal ROC x {z C; 0. < z < 0.5} ROC x ROC x ROC x3 x[n] (0.5) n u[ n ] (0.) n u[n] 3n(0.) n u[n] (δ) X (z) z z 0.5 z z 0. 0.6z (z 0.) Περιλαμβάνει μόνο δεξιούς πλευρικούς σημάτων ROC x {z C; z > 0.5} 4.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός μακράς διαίρεσης Εστω X(z) 0.5z 0.3z 0.9z 0.4z, z > 0.5 0.z 3 0.5z 0.3z ( 0.5z )( 0.z ).4z 0.7z 0.34z 3 0.46z 4... x[0], x[].4, x[] 0.7, x[3] 0.34,... (συμφωνεί με το παράδειγμα (α) ) Εστω X(z), z > α αz αz αz α z... (συγκλίνει, αφού αz < ) x[0], x[] α, x[] α x[n] α n u[n]
ΗΜΥ 30 5 Ανάλυση Συνελικτικών Συστημάτων χρησιμοποιώντας Μετασχηματισμούς Συνελικτικό Σύστημα: x[n] h[n] y[ n] x[ k ] h[ n k ] ( x * h)[ n] k LTI Υποθέστε {x[n]} υπάρχει στη ROC x και {h[n]} στη ROC h {y[n]} {x[n]}{h[n]} Y (z) X(z) H(z) {y[n]} (υπάρχει στη ROC y ROC x ROC h ) {x[n]} (Συνάρτηση Μεταφοράς Απόκρισης Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστήματος) {h[n]} Y (z) X(z)H(z) Εστω x[n] z n y[n] k z n k h[k] z n k h[k]z k y[n] H(z)z n } {{ } H(z) Συμπέρασμα: Η συμπεριφορά εισόδου-εξόδου συνελικτικού συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση, h[n] έχει μετασχηματισμό H(z) {h[n]}, καθορίζεται από την συνάρτηση μεταφοράς H(z) και την περιοχή σύγκλισης της. Παράδειγμα 5.. (α) Παράλληλη Σύνδεση h [-] H,ROC x [n] h [-] - y [n] X (z) Y (z) H,ROC x [n] y [n] X (z) H (z)h (z) Y (z) h [n]h [n] ROC ROC ROC
5. ΓΧΑ Συστήματα που χαρακτηρίζονται από Εξισώσεις Διαφοράς (β) Εν σειρά σύνδεση x [n] h [n] h [n] y [n] X (z) H ROC H ROC Y (z) x [n] y [n] H (z) H (z) (h * h ) [n] X (z) Y (z) ROC ROC ROC 5. ΓΧΑ Συστήματα που χαρακτηρίζονται από Εξισώσεις Διαφοράς 5.. Υπολογισμός Κρουστικής Απόκρισης M α k y[n k] β k x[n k] (Μηδενικές Αρχικές Συνθήκες) (α) x [n] z n h [ ] y [n] H(z) z n LTI M α k z k Y (z) β k z k X(z) H(z) Y (z) X(z) M β k z k α k z k Δεν καθορίζεται περιοχή σύγκλισης (χρειάζεται πληροφορία για αιτιατότητα και ευστάθεια) M (β) { a k y[n k]} { b k x[n k]} M a k z k Y (z) b k z k X(z) Αφού y[n] x[n] h[n] Y (z) H(z)X(z) H(z) Y (z) X(z) M β k z k α k z k
5. ΓΧΑ Συστήματα που χαρακτηρίζονται από Εξισώσεις Διαφοράς 3 Παραγοντική Μορφή: H(z) β M α N M (z σ i i ) N (z λ i i ) β M α N (z σ i ) M i N (z λ i ) i σ i μηδενικά συστήματος λ i πόλοι συστήματος { Εστω ότι η H(z) υπάρχει στη ROC h } {Y (z) υπάρχει στη ROC y ROC h ROC x } Κρουστική Απόκριση: h[n] {H(z)} Βηματική Απόκριση: y[n] s[n] {H(z)U(z)}, όταν U(z) {u[n]} 5.. Αιτιατά Συστήματα (ΓΧΑ) με x[n] 0, n < 0 h[n] Αιτιατό h[n] 0, n < 0 x h y LTI H(z) {h[n]} {h[n]u[n]} {h[n]} H (z) X(z) {x[n]} {x[n]u[n]} {x[n]} X (z) Τότε y[n] h[n] x[n] h[n]u[n] x[n]u[n] h[k]u[k]x[n k]u[n k] y[n] k h[k]x[n k]u[n k] n h[k]x[n k] y[n] 0, n < 0 {, n k u[n k] 0, otherwise k > 0 y[n] 0, n < 0 Y (z) {y[n]} {y[n]u[n]} [y[n] 0, n < 0] {y[n]} Y (z) Y (z) Y (z) {h[n]u[n] x[n]u[n]} H (z)x (z)
5. ΓΧΑ Συστήματα που χαρακτηρίζονται από Εξισώσεις Διαφοράς 4 Συμπέρασμα: Αν το ΓΧΑ είναι αιτιατό και x[n] 0, n < 0 τότε { } είναι αρκετό για την ανάλυση του συστήματος. Αν x(n) 0, n < n o, n o < 0 Ορίζουμε x(n) x(n n o ) 0, n < 0 και το ỹ(n) είναι συμπληρωμένο. Τελικά y(n) ỹ(n n o ) n o 0 n 5..3 Σχέση μεταξύ Αιτιότητας και Σταθερότητας ΓΧΑ Συστημάτων Διαφοράς και της περιοχής σύγκλισης του H(z) x [ ] h [ ] y [ ] LTI Ι. Υποθέστε ότι το ΓΧΑ είναι αιτιατό h[n] 0, n < 0 H(z) είναι δεξιά πλευρική ROC h {z C; z > max i,...,n πόλος z i } x 0 x z i x H(z) h[n]z n ROC περιλαμβάνει το z [για αιτιατά συστήματα] n0 M Υποθέστε: a k y[n k] β k x[n k] H(z) b 0 b z b M z M a 0 a z a N z N ROC h είναι δεξιός πλευρικός και βρίσκεται στα δεξιά του εξώτατου πόλου.
5. ΓΧΑ Συστήματα που χαρακτηρίζονται από Εξισώσεις Διαφοράς 5 Θεώρημα 5.. Ενα διακριτό σύστημα είναι αιτιατό αν και μόνο αν η ROC της συνάρτησης του συστήματος είναι ο εξωτερικός χώρος ενός κύκλου, που περιλαμβάνει και το άπειρο. Αιτιολόγηση: ( ) Εστω Αιτιατό. Τότε h[n] 0, n < 0 H(z) δεξιά πλευρική. Αφού H(z) h[n]z n τότε η ROC περιλαμβάνει z (μη θετική). n0 ( ) Υποθέστε ότι η ROC είναι ο εξωτερικός χώρος ενός κύκλου. Τότε h[n] 0, n n o, n o < 0 π.χ {δ[n]} ROC{z C}, {δ[n ]} ROC{z C z } H(z) h[n]z n, n o < 0 περιλαμβάνει zθετική δύναμη nn o Αν z ΡΟ τότε z θετική δύναμη δεν περιλαμβάνονται H(z) h[n]z n 0, n < n o Αιτιατό n o h[n]z n για κάποιο n o 0 Θεώρημα 5.3. Το Διακριτό ΓΧΑ σύστημα με ρητή συνάρτηση H(z) είναι αιτιατό αν και μόνο αν: (ι) Η ROC είναι ο εξωτερικός χώρος ενός κύκλου έξω από τον εξώτατο πόλο (ιι) Η H(z) εκφράζεται σαν ο λόγος πολυωνήμων στο z, η τάξη του αριθμητή δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την τάξη του παρονομαστή. ΙΙ. Υποθέστε ότι το ΓΧΑ σύστημα είναι ευσταθές h < F{h[n]} υπάρχει H(e jω ) F{h[n]} υπάρχει ROC h πρέπει να περιλαμβάνει το z z-plan unit circle included in ROC Συμπέρασμα: Ενα ΓΧΑ σύστημα είναι Φραγμένης Εισόδου-Φραγμένης Εξόδου (Φ.Ε.Φ.Ε) Ευσταθές αν και μόνο αν η περιοχή της συνάρτησης του συστήματος H(z) περιλαμβάνει το μοναδιαίο κύκλο z. ( ) Εστω z / ROC, τότε F{h(n)} ( ) H(e jω ) h(n)e jωn h(n) π.χ. h όμως το σύστημα δεν είναι Φ.Ε.Φ.Ε ευσταθές Συμπέρασμα: { Ενα Αιτιατό ΓΧΑ σύστημα με ρητή H(z) είναι ευσταθές } { αν και μόνον αν όλοι οι πόλοι της H(z) ικανοποιούν z i <, i,..., N }
5. Επίλυση Εξισώσεων Διαφοράς με μετασχηματισμό 6 Παράδειγμα 5.4. (α) H(z) z(z )(z ) (z 0.5)(z 0.8) Μη Αιτιατό [Τάξη Αριθμητή μεγαλύτερη από τάξη Παρονομαστή] z / ROC ROC - zero x (β) H(z) (0.5) n u[n] H(z) [Αιτιατό και Ευσταθές] z z 0.5, ROC h {z C; z > 0.5} x 0.5 unit circle (ς) h[n] (0.5) n u[n ] h[n] h[n] n n, h[n] (0.5) n u[n] Ομως h[n] z z 0.5, ROC h {z C z > 0.5} h[n] z H(z) z z z 0.5, ROC h {z C z > 0.5, εκτός από z } Μη Αιτιατό 5. Επίλυση Εξισώσεων Διαφοράς με μετασχηματισμό M a k y[n k] b k x[n k], y[ ], y[ ],..., y[ N] : Δοθέν [μη μηδενικές Αρχικές Συνθήκες] M { a k y[n k]} { b k x[n k]} Y (z) Y (z) a k z k a k z k m k M Y (z) a k z k X (z) b k z k b k z k b k z k X (z) a k z k } {{ } H (z) M m k M M y[m]z m X (z) b k z k b k z k m k b k z k x[m]z m a k z k x[m]z m m k a k z k a k z k y[m]z m m k m k x[m]z m y[m]z m
5. Επίλυση Εξισώσεων Διαφοράς με μετασχηματισμό 7 Υπενθύμιση: {x(n n o )} z no {X (z) x(m)z m } m n o M b k z k X (z) b k z k x[m]z m a k z k y[m]z m Y (z) a k z k m k a k z k m k Y (z) Επαλληλία μηδενικής εισόδου και απόκριση μηδενικής κατάστασης b k z k X (z) M Y (z) απόκριση μηδενικής κατάστασης. a k z k m k b k z k x[m]z m a k z k m k a k z k y[m]z m Παράδειγμα 5.5. z 0.5 H (z) (z 0.)(z 0.4), z > 0.4, X (z) z z, z > z(z 0.5) H (z)x (z) Y (z) (z 0.)(z 0.4)(z ), z > Y (z).5z z 0..8 z 5 z 0.4 8 z z απόκριση μηδενικής εισόδου. Φυσική Απόκριση: [ { } των όρων που προέρχονται από τους πόλους της Συνάρτησης Μεταφοράς (ΣΜ)] y h [n].8 ( 0.4)n.5( 0.) n, n 0 Εξαναγκαστική Απόκριση: [ { } των όρων που προέρχονται από εξαναγκαστική συνάρτηση εισόδου] y p 5 8, n 0 Πλήρης Απόκριση: y[n].8 ( 0.4)n.5( 0.) n 5 8, n 0 Σημείωση: Από H (z) y[n ] 0.6y[n ] 0.08y[n] x[n ] 0.5x[n] Το σύστημα αρχικά είναι σε ηρεμία, π.χ, y[n] 0, n < 0 πριν να εφαρμοστεί είσοδος διότι z ROC h. Οταν x[n] u[n] y[0] 0, y[] (επιτρέποντας n, ) που συμφωνεί με την παραπάνω απάντηση. Παράδειγμα 5.6. Εστω το παράδειγμα 5.5, με είσοδο x(n) ( 0.4) n, n 0 X (z) z z 0.4, ROC x {z C; z > 0.4 } Y (z) z 0.5 H (z)x (z) (z 0.)(z 0.4) z z 0.4 7.5z z 0. 7.5z z 0.4 0.5z (z 0.4) }{{} Απόκριση απο x(n)
5. Επίλυση Εξισώσεων Διαφοράς με μετασχηματισμό 8 y(n) (7.5)( 0.) n 7.5( 0.4) n }{{}.5n( 0.4) n }{{} Φυσική Απόκριση Αποτέλεσμα εισόδου που διεγείρει τη φυσική ιδιοσυχνότητα (-0.4) Σημειώσεις:, n 0 Ο πόλος z 0.4 Τ.Φ διεγείρεται από την συνάρτηση εισόδου, με αποτέλεσμα ένα διπλό πόλο που οδηγεί στο παράγοντα n( 0.4) n. Απευθείας υπολογισμός της εξίσωσης διαφοράς καταλήγει στην ίδια απάντηση. π.χ., y(n ) 0.6y(n ) 0.08y(n) x(n ) 0.5x(n), με x(n) ( 0.4) n u(n), ανδ y(n) 0, n < 0. Παράδειγμα 5.7. Εστω y(n ) 0.6y(n ) 0.08y(n) x(n ) x(n) Y (z)(z 0.6z 0.08) y(0)z y()z 0.6y(0)z (z 0.5)X (z) x(0)z Y (z) z 0.5 (z 0.)(z 0.4) X (z) }{{} Εκπροσωπεί το μέρος της εξόδου που οφείλεται στις μηδενικές Αρχικές Συνθήκες Ολες αποκρίσεις μηδενικής κατάστασης y(0)z y()z 0.6y(0)z x(0)z (z 0.)(z 0.4) }{{} Εκπροσωπεί το μέρος της εξόδου που οφείλεται στις μη μηδενικές Αρχικές Συνθήκες Ολες οι αποκρίσεις μηδενικής εισόδου Άρα η Y (z) αποτελείται από τρεις συνιστώσες: (α) Τη φυσική απόκριση που προέρχεται από μηδενικές Αρχικές Συνθήκες (β) Τη φυσική απόκριση που προέρχεται από Αρχικές Συνθήκες μόνο (γ) Την εξαναγκαστική απόκριση (α),(γ) Την απόκριση μηδενικής κατάστασης Εστω y(0) 0, y().5, x(n) u(n) }{{} Δεν αντιστοιχούν σε αρχική ηρεμία Τότε Y (z) (z 0.5)z (z 0.)(z 0.4)(z ).5z z (z 0.)(z 0.4) Η Φυσική Απόκριση με μηδενικές Αρχικές Συνθήκες είναι.8 ( 0.4)n.5( 0.) n, n 0, [Παράδειγμα 5.5] Η εξαναγκαστική απόκριση είναι 5, n 0 [Παράδειγμα 5.5] 8
5.3 Αριθμητικές Λύσεις Εξισώσεων Διαφοράς 9 Η φυσική απόκριση εξαιτίας των αρχικών συνθηκών μόνο είναι.5z z (z 0.)(z 0.4).5z z 0..5z z 0.4.5( 0.)n.5( 0.4) n, n 0 Η πλήρης φυσική απόκριση είναι y h (n).8 ( 0.4)n.5( 0.) n.5( 0.) n.5( 0.4) n, n 0 (.5)( 0.) n 5 7 ( 0.4)n, n 0 Η πλήρης απόκριση είναι y(n) y h (n) 5 8, n 0 Σημείωση: y(0) 0 y().5 } όπως αναμενόταν Κάτω από μηδενικές αρχικές συνθήκες, η φυσική απόκριση είναι y() όπως το παράδειγμα 5.5. Αρα, η συνησφορά των μη μηδενικών αρχικών συνθηκών στη φυσική απόκριση στο ν είναι.5 0.5. Αυτό συμφωνεί με την τιμή που βρέθηκε από την φυσική απόκριση εξαιτίας των αρχικών συνθηκών μόνο, η οποία είναι.5( 0.).5( 0.4) 0.5 5.3 Αριθμητικές Λύσεις Εξισώσεων Διαφοράς Εστω y(t) συνεχής στο t kt s, k I Εστω y(k) y(kt s ) y (t) T s (k-) T s k t
5.3 Αριθμητικές Λύσεις Εξισώσεων Διαφοράς 30 Διαφορά προς τα πίσω: (α) (β) d dt y(t) tkt s y(kt s) y([k ]T s ) T s y(k) y(k ) T s d dt y(t) tkt s d dt [ d dt y(t)] tkt s d dt y(t) tkt s d dt y(t) t(k )T s T s [y(k) y(k )]/T s [y(k ) y(k )]/T s T s [y(k) y(k ) y(k )] T s (ς) d n dt n y(t) tkt s n T s n i0 ( ) i ( n i ) y(k i) (δ) d dt y(t) t0 dy(0) dt y(0) y( ) T s y( ) y(0) T s dy(0) dt Παράδειγμα 5.8. 3 6 x (t) F -.5V F 0-0V y (t) 0-8 - Τότε d dt y(t) 3 d dt y(t) y(t) x(t) y(0) 0, d dt y(0) 3 Χρησιμοποιόντας την προσέγγιστικά πεδία της Διαφοράς προς τα πίσω ( T s 3 T s )y(n) ( T s 3 T s )y(n ) T s y(n ) x(n), n 0 y(0) 0, y( ) 3T s } ( ) τ Ακριβής Λύση (Προσέγγιση) Τ0.05 (Προσέγγιση) Τ0. 0.0 0 0 0 0.4.777.7438.785.0.097.0796.065.5.36.68.096.0.0987.0979.9065
5.3 Αριθμητικές Λύσεις Εξισώσεων Διαφοράς 3 Χαρακτηριστικές ρίζες της (*): r T s, r T s Βηματική Απόκριση: ( ) y(n) c r n c r n, n 0 n ) n y(n) (, n 0 T s T s Ακριβής βηματική λύση: c, c y e (t) e t e t, t 0 y e (n) e nts e nts ( e )n ( Ts e )n Ts ( ) n ( ) n T s T s