ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξτάσων Φβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδς Κμπύλη ezier δημιουργίτι πό σημί λέγχου που κτά σιρά ίνι τ: 5. Βρίτ τις συνττγμένς του σημίου της κμπύλης υτής που ίνι πλησιέστρ στο σημίο. Μη-γρμμικές ξισώσις πρέπι ν λυθούν μ μέθοδο ewon-rphson. β μι ρώτηση ; Απντήστ τ ρωτήμτ μην ντιγράφτ τη θωρί πό το βιβλίο σς! Δν βθμολογίτι! ΘΕΜΑ μονάδς.5.5 Μι οριζόντι δοκός μήκους που θωρίτι βρής δέχτι έν φορτίο Β στο έν άκρο κι στηρίζτι μ άρθρωση στο άλλο άκρο της κθώς κι μ έν κλώδιο μήκους σ πόστση πό το άκρο υτό όπως στο σχήμ. Η τάση του κλωδίου δίντι πό τη σχέση: Ν βρίτ το σχτικό σφάλμ κτίμησης της τάσης του κλωδίου κι το ύρος δικύμνσης της τιμής της λμβάνοντς υπόψη ότι το σχτικό σφάλμ μέτρησης των μηκών κι ίνι ±% του φορτίου Β ±5% νώ του μήκους ίνι. β Χρησιμοποιώντς ριθμητική πργώγιση κι το σχήμ πρόσω-πργώγισης μ σφάλμ πρώτης τάξης ν κτιμήστ μ προσέγγιση ± cm την πόστση πρόσδσης του κλωδίου γι την οποί λχιστοποιίτι η τάση του. Προσέξτ ότι το μήκος του κλωδίου πρμένι στθρό. Επληθύστ το ποτέλσμ υτό μ τη χρήση νός κριβέστρου σχήμτος ριθμητικής πργώγισης όποιου θέλτ. Δδομέν: m m 5 κι γι το πρώτο ρώτημ: m. ΠΡΟΣΟΧΗ: o Πρέπι ν έχτ μζί σς πίσημο έγγρφο πιββίωσης της τυτότητάς σς όχι φοιτητική τυτότητ. o Επιτρέπτι μόνο το γκκριμένο βιβλίο του μθήμτος. Απγορύοντι σημιώσις κι άλλ βιβλί. o ο όνομά σς πρέπι ν νγράφτι σ κάθ φύλλο που υπάρχι στην πιφάνι ργσίς σς. o Απγορύτι υστηρά η μφάνιση κι η χρήση κινητού τηλφώνου. o Διάρκι ξέτσης ώρς & 5 λπτά. Αποχώρηση μτά την η ώρ. Υποχρωτική πράδοση του φύλλου υτού. ΕΚΠΑΙΔΕΥΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΙΘΕΑΙ ΣΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΩΝ ΑΠΟ ΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΗΝ ΚΑΛΥΕΡΗ ΠΡΟΕΟΙΜΑΣΙΑ ΟΥΣ ΓΙΑ ΙΣ ΕΞΕΑΣΕΙΣ -- ΕΙΝΑΙ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΕΛΕΗ ΚΑΙ ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΑΙ ΣΑ ΕΠΙΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΑ ΗΝ ΩΡΑ ΗΣ ΕΞΕΑΣΗΣ --
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΙΘΕΑΙ ΣΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΩΝ ΑΠΟ ΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΗΝ ΚΑΛΥΕΡΗ ΠΡΟΕΟΙΜΑΣΙΑ ΟΥΣ ΓΙΑ ΙΣ ΕΞΕΑΣΕΙΣ -- ΕΙΝΑΙ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΕΛΕΗ ΚΑΙ ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΑΙ ΣΑ ΕΠΙΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΑ ΗΝ ΩΡΑ ΗΣ ΕΞΕΑΣΗΣ -- Λύση Θέμτος : Η πρμτρική ξίσωση της κμπύλης ezier μ άρ Ν σημί λέγχου ίνι η i i X i κι i i Y i μ κι... Y X Y X τ δοσμέν σημί λέγχου. Είνι άρ 5 ο ττράγωνο της πόστσης D κάθ σημίου υτής της κμπύλης κθοριζόμνου πό μι τιμή της πρμέτρου μ πό το σημίο ίνι [ ] [ ] D Ανζητίτι η τιμή της πρμέτρου που θ λχιστοποιήσι την πρπάνω πόστση στο ττράγωνο γι λόγους πιο ύκολων πράξων! ή που θ ικνοποιήσι την [ ] [ ] d d d d d dd μ έν πλό σκίτσο μπορί ν φνί ότι το σημίο της μικρότρης πόστσης πό το ίνι στο σωτρικό της κμπύλης κι όχι έν πό τ δύο κρί της σημί - τι διφορτικό θ ίσχυ τότ;;; - ννοίτι ότι πρέπι ν λγχθί κι η δύτρη πράγωγος υτό όμως δώ πρλίπτι όπου d d d d Μ ριθμητική ντικτάστση κι προφνίς πλοιφές προκύπτι ότι πρέπι ν λυθί η 75 85 7 88 7 5 F η οποί πρέπι ν λυθί μ τη μέθοδο ewon-rphson ως ξής:
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ new F F' Μ ρχική τιμή την πνληπτικά πίρνουμ:...899...77.. κοκ Γι την τλική λύση. προκύπτι ότι το πλησιέστρο σημίο της κμπύλης ezier στο σημίο έχι συνττγμένς....... ΕΚΠΑΙΔΕΥΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΙΘΕΑΙ ΣΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΩΝ ΑΠΟ ΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΗΝ ΚΑΛΥΕΡΗ ΠΡΟΕΟΙΜΑΣΙΑ ΟΥΣ ΓΙΑ ΙΣ ΕΞΕΑΣΕΙΣ -- ΕΙΝΑΙ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΕΛΕΗ ΚΑΙ ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΑΙ ΣΑ ΕΠΙΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΑ ΗΝ ΩΡΑ ΗΣ ΕΞΕΑΣΗΣ --
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΙΘΕΑΙ ΣΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΩΝ ΑΠΟ ΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΗΝ ΚΑΛΥΕΡΗ ΠΡΟΕΟΙΜΑΣΙΑ ΟΥΣ ΓΙΑ ΙΣ ΕΞΕΑΣΕΙΣ -- ΕΙΝΑΙ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΕΛΕΗ ΚΑΙ ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΑΙ ΣΑ ΕΠΙΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΑ ΗΝ ΩΡΑ ΗΣ ΕΞΕΑΣΗΣ -- Λύση Θέμτος : Γι τ δδομέν του προβλήμτος προκύπτι η κτιμώμνη τιμή της τάσης 89. 5 ο σχτικό σφάλμ της τάσης του κλωδίου κτιμάτι πό τη σχέση στην οποί δν πριλμβάντι η μρική πράγωγος ως προς το μήκος πιδή το ντίστοιχο σφάλμ ίνι μηδέν. Βρίσκουμ νλυτικά τους πρπάνω όρους:. Β κι ομοίως:.. Επομένως:.9....5. Κι το ύρος δικύμνσης της τιμής της τάσης θ ίνι 95. 5. 89.9 89.9 β Επίλυση γι τ ξής δδομέν: m 5 m πιθυμητή προσέγγιση ± cm.
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Βρίσκουμ την τιμή της τάσης σ διάφορ σημί κτά μήκος της δοκού νά cm δ. ρχίζοντς πό το λύθρο άκρο της. Πράλληλ υπολογίζουμ την τιμή της πρώτης πργώγου της συνάρτησης χρησιμοποιώντς το σχήμ προσω-πργώγισης ης τάξης: ι ι δ...... 7. 75.. 5...8 8. 8. Η θέση στην οποί λχιστοποιίτι η πόλυτη τιμής της πρώτης πργώγου ίνι η. m. Γι πλήθυση χρησιμοποιούμ το σχήμ κντρικών διφορών που έχι κρίβι ης τάξης: ι ι δ. 8. Στη θέση. το σχήμ υτό δίνι: 8..8. 5. νώ στη θέση. δίνι: 99..8 Επομένως η τάση του κλωδίου θ ίνι μικρότρη στη θέση. κι όχι στην. που βρήκμ μ το σχήμ ης τάξης. ΕΚΠΑΙΔΕΥΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΙΘΕΑΙ ΣΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΩΝ ΑΠΟ ΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΗΝ ΚΑΛΥΕΡΗ ΠΡΟΕΟΙΜΑΣΙΑ ΟΥΣ ΓΙΑ ΙΣ ΕΞΕΑΣΕΙΣ -- ΕΙΝΑΙ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΕΛΕΗ ΚΑΙ ΔΕΝ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΑΙ ΣΑ ΕΠΙΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΑ ΗΝ ΩΡΑ ΗΣ ΕΞΕΑΣΗΣ --