ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε σε όλα τα 5 Θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες επιλογής ερωτημάτων Θέμα Θα απαντήσετε στο α) και σε ένα μόνο από τα β), γ) α) (4 μονάδες) Αφού γράψετε τον πίνακα αναπαράστασης Α του γραμμικού μετασχηματισμού f ( y, ) (+ y, ) ως προς την συνήθη βάση του R, βρείτε τις ιδιοτιμές και αντίστοιχα βασικά ιδιοδιανύσματα του f Επίσης να βρεθεί ο Α, ο τύπος της f και ο Α για κάθε φυσικό αριθμό β) (6 μονάδες) Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί β, γ ώστε τα v (,, ), v (, β, γ ) και v (,,) να είναι ιδιοδιανύσματα πραγματικού συμμετρικού πίνακα με τρείς διαφορετικές ιδιοτιμές Στη συνέχεια να δοθεί ένας τέτοιος πίνακας όταν οι ιδιοτιμές είναι,, / αντίστοιχα γ) (6 μονάδες) Βρείτε τις ιδιοτιμές και βάσεις από ιδιοδιανύσματα για κάθε ιδιοχώρο του πίνακα A και εξετάσετε αν ο πίνακας αυτός διαγωνοποιείται α) Συνήθης βάση Β{(,),(,)}Υπολογίζουμε [ f (, ) ] [(,) B ] B, [ (,)] [(,)] f B B και έχουμε A λ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο dt ( λ )( λ ) λ λ ( λ )( λ+ ) λ Για την ιδιοτιμή λ: A Ι, βάση ιδιοχώρου Για λ : A ( )Ι ( ), βάση ιδιοχώρου ( ) y A, οπότε f (, y) ( y, ) dt A Για τις δυνάμεις Α καθώς A PDP με P, P, D, A PD P 4 ( ) 4 + + ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) + ( ) β) Επειδή ιδιοδιανύσματα πραγματικού συμμετρικού πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετα μεταξύ τους, το εσωτερικό γινόμενο ανά δύο πρέπει να είναι Επομένως έχουμε: v v + β β v v γ v v γ Άρα τα τρία διανύσματα είναι: v (,, ), v (,, ) και v (,,) τα οποία καθώς είναι μη μηδενικά και ορθογώνια μεταξύ τους αποτελούν βάση του R Ένας πίνακας με τα παραπάνω ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές,,/, είναι ο A P D P με / / P και D, οπότε υπολογίζοντας τον P / / /, έχουμε ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

/ / / / / / A / / / / / / / / / γ) Βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α: λ λ dt(a-λ I) λ ( λ) λ ( λ) λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( λ) (( λ)( λ) ( ) ) ( λ) λ λ+ ( λ)( λ ) λ ( λ ) λ Ιδιοτιμές: λ διπλή, λ απλή Βρίσκουμε βάσεις των ιδιοχώρων για κάθε ιδιοτιμή λ υπολογίζοντας την Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή (ΑΚΜ) του Α-λΙ: Για λ: A I, 4 Βάση ιδιοχώρου, δηλαδή η ιδιοτιμή λ έχει γεωμ πολλαπλότητα ενώ η αλγεβρική της πολλαπλότητα είναι Ήδη μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α δεν διαγωνοποιείται / Για λ: A-I / /, Βάση ιδιοχώρου / / Θέμα Θα απαντήσετε στο α) και σε ένα μόνο από τα β), γ) Όπου αναφέρεται ορθογωνιότητα θεωρούμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον R α) (4 μονάδες) Έστω U {(, y, z) R + y z } Δείξτε ότι U είναι υπόχωρος του R και βρείτε μια βάση και τη διάσταση αυτού Βρείτε μια ορθοκανονική βάση του U Για το τυχόν διάνυσμα ( bc,, ) του R, να βρεθούν u U και u U με ( bc,, ) u+ u, όπου U είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του U (δηλαδή u U και u U είναι οι (ορθές) προβολές του ( bc,, ) στον U και U αντίστοιχα) β) (6 μονάδες) Για δεδομένο R, θεωρούμε τους υποχώρους V y z y z {(,, ) R + } και W sp{(,, ), (,, )} Βρείτε βάση και διάσταση για κάθε ένα από αυτούς και προσδιορίστε για ποιές τιμές του oι υπόχωροι αυτοί είναι ίσοι, δηλαδή W V v,,, v,,, v,,, γ) (6 μονάδες) Προσδιορίστε όλες τις τιμές του για τις οποίες τα διανύσματα ( ) ( ) ( ) αποτελούν βάση του χώρου R και γράψτε το διάνυσμα (,,) v, v, τιμές του v ως γραμμικό συνδυασμό των v γι αυτές τις α) Από τον ορισμό του U έχουμε (, yz, ) U + y z z + y, οπότε u U αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί, y ώστε u (, y, + y) (,,) + y(,,) Δηλαδή τα διανύσματα u (,,), u (,, ) παράγουν τον U Επειδή η γραμμική θήκη κάθε υποσυνόλου του R είναι υπόχωρος του R, είναι φανερό ότι και ο U είναι υπόχωρος του R Από τον προηγούμενο γραμμικό συνδυασμό άμεσα φαίνεται ότι τα u, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα ( πράγματι (,,) + y(,,) (,,) ( y,, + y) (,,) y ) Συνεπώς μια βάση του U είναι το σύνολο { u, u } Στην βάση { u, u } εφαρμόζουμε τη μέθοδο Grm-Schmidt (τυπολόγιο) και βρίσκουμε μία ορθογώνια βάση: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

v, u v u (,,), v u u (,,) (,,),, και διαιρώντας με τα μέτρα u v v b (,,), b (,, ) v v, έχουμε μία ορθοκανονική βάση του U : Β{b, b } Για την διάσπαση ( bc,, ) u+ u, καθώς έχουμε βρει ήδη μία ορθοκανονική βάση του U, η ορθή προβολή u του w ( bc,, ) επί του U υπολογίζεται ως το άθροισμα των προβολών του στα διανύσματα της βάσης Β: + c + b+ c + c + b+ c u < w, b > b+ < w, b > b (,,) + (,,) (,,) + (,,) ( 6b+ c, 6+ 4b+ 6 c, + 6b+ c) ( b+ c, + b+ c, + b+ c), οπότε + b c u ( bc,, ) u ( + b c, + 9b c, b+ c) (,, ) Σημείωση: Εναλλακτικά, παρατηρούμε ότι U sp{(,, )} και υπολογίζουμε την προβολή u και έπειτα το u β) Από τον ορισμό του V έχουμε (, yz, ) V + y z y+ z, οπότε v V αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί, y ώστε v ( y+ z, y, z) y(,,) + z(,,) Δηλαδή τα διανύσματα v (,,), v (,,) παράγουν τον V Αυτά είναι και γραμμικά ανεξάρτητα (όπως πριν αν ο παραπάνω γραμμικός συνδυασμός είναι το μηδέν διάνυσμα τότε και οι δύο συντελεστές είναι μηδέν) συνεπώς μια βάση του V είναι το σύνολο { v, v } Αρα dim V Το σύνολο {(,,),(,, )} αποτελεί βάση του W καθώς τον παράγει και τα στοιχεία του είναι γραμμικά ανεξάρτητα (πχ 5 ή υπολογίζοντας την υποορίζουσα: 5 ) Άρα dim W Ο W είναι υπόχωρος του V αν και μόνο αν η παραπάνω βάση του W περιέχεται στον V : το (,,) ανήκει στον υπόχωρο V επειδή + Το στοιχείο (,, ) ανήκει στον V αν και μόνο αν δηλαδή Άρα μόνο για ο W είναι υπόχωρος του V και επειδή οι διαστάσεις τους είναι ίσες έχουμε και την ισότητα W V γ) Μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα υπολογίζοντας την ΑΚΜ του επόμενου επαυξημένου πίνακα του οποίου οι πρώτες στήλες είναι οι στήλες συντεταγμένων των v, v, v και η τελευταία οι συντεταγμένες του (,,): Γ Γ Γ Γ Γ Γ Β() Αν τότε Β() και θεωρώντας τις τρείς πρώτες στήλες συμπεραίνουμε οτι τα δοθέντα διανύσματα δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα (αυτό είναι προφανές καθώς για τα τρία διανύσματα είναι ίσα) Αν, τότε συνεχίζοντας τις γραμμοπράξεις 4 Β() 4 4 4 4 Άρα, για : (,,) v + v + v 4 4 Θέμα Θα απαντήσετε στα α), β) και σε ένα μόνο από τα γ), δ) α) (6 μονάδες) Υπολογίστε τα όρια των επόμενων ακολουθιών : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

(i) si( ), (ii) + β) (8 μονάδες) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών: b + 5 +, (iii) c + (i), (ii) + + ( ), (iii) + + 5 + 6+ γ) (6 μονάδες) Να βρεθούν όλες οι τιμές του R για τις οποίες η σειρά ( ) δ) (6 μονάδες) Χρησιμοποιώντας κατάλληλη σειρά Tylor, εκφράστε το ολοκλήρωμα συγκλίνει si( ) d Δώστε άνω φράγμα του σφάλματος της προσέγγισης που έχουμε με το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς α) i) Καθώς si, si < + + τείνει στο επειδή ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της του Άρα και η ως άθροισμα σειράς Η τελευταία ακολουθία γενικού όρου είναι θετικών όρων και + + / τείνει στο / που είναι θετικός μικρότερος + τείνει στο μηδέν, οπότε και για την ισχύει lim Σημείωση: Μπορεί επίσης να υπολογιστεί το όριο της αντίστοιχης συνάρτησης: lim, καθώς lim (ii) Γράφουμε διαδοχικά τον γενικό όρο της ακολουθίας ως ακολούθως: 5/ 5/ 5/ ( 5 )/( ) + + + b / ( )/( ) / + + / + Σημείωση: από το τυπολόγιο lim + με εφαρμογή του κανόνα L Hôpitl για το όριο της iii) Για την ακολουθία c έχουμε: το όριο στον αριθμητή είναι (τυπολόγιο) και του παρονομαστή άρα + για την ακολουθία c ισχύει lim c β) i) Η σειρά είναι θετικών όρων Με το κριτήριο λόγου (d Almbrt): για την ακολουθία + υπολογίζουμε το όριο τον λόγο διαδοχικών όρων : ( + ) ( ) + + + + ( ) lim lim + + lim lim lim + + + συγκλίνει, επειδή ο λόγος είναι μικρότερος της μονάδος Σημείωση : Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο ρίζας + < Συνεπώς, η σειρά + ii) Η ( ) συγκλίνει απόλυτα καθώς + Σημείωση: με κριτήριο Libitz επίσης ως εναλλάσουσα + ( ) < + + και συγκλίνει ως p-σειρά με p> ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

(iii) Η σειρά / / / + 5 + 5/ + 5/ + 5 είναι θετικών όρων με γενικό όρο + 6+ Εφαρμόζοντας το γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης και 5/ + 6+ + 6/ + / + 6/ + / χρησιμοποιώντας την ακολουθία b έχουμε: / 5/ lim c > Επειδή η σειρά b b συγκλίνει ως p-σειρά με p>, συγκλίνει και η σειρά 5/ γ) Για τη σύγκλιση της σειράς ( ), εφαρμόζοντας το κριτήριο λόγου (d Almbrt) έχουμε για το όριο του λόγου διαδοχικών όρων: ( ) lim lim lim + ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) Σύμφωνα με το κριτήριο λόγου, η σειρά συγκλίνει αν < που ισοδυναμεί με < δηλαδή < < και τελικά η σειρά συγκλίνει για (, 5) Η σειρά για (, ) (5, ) αποκλίνει Επίσης εξετάζουμε τη σύγκλιση στα άκρα του διαστήματος Αντικαθιστώντας η σειρά γράφεται ( ) ( ), η οποία απολύτως συγκλίνει καθώς συγκλίνει Παρόμοια για 5 η σειρά (5 ) γράφεται, η οποία συγκλίνει Τελικά, η σειρά συγκλίνει για κάθε [, 5] και αποκλίνει παντού εκτός του διαστήματος αυτού δ) Από το τυπολόγιο έχουμε + ( ) ( ) si!!, οπότε ( + ) ( + ) si ( ) και\! ( + ) ολοκληρώνοντας όρο προς όρο έχουμε + si ( ) ( ) ( ) d d ( )! ( ) + +! + ( + )!+ Η τελευταία σειρά είναι εναλλάσσουσα συγκλίνουσα και ένα φράγμα του σφάλματος προσέγγισης του αθροίσματός της με το άθροισμα των τριών πρώτων όρων είναι ο απολύτως πρώτος παραλειπόμενος όρος δηλαδή ( )! 7!7 ( + ) + Θέμα 4 Θα απαντήσετε στο 4α) και σε ένα μόνο από τα 4β), 4γ) 4α) (4 μονάδες) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ) + + 9 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ α β ορισμένη στο διάστημα [, + ) για την οποία γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για και σημείο καμπής για Υπολογίστε τις παραγώγους ης, ης και ης τάξης της f και αφού προσδιορίσετε τις τιμές των (σταθερών) παραμέτρων α, β, i) βρείτε τα διαστήματα του [, + ) στα οποία η f : είναι αύξουσα, είναι φθίνουσα, στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, ii) βρείτε όλα τα σημεία: μηδενισμού, ακροτάτων τιμών (τοπικών, ολικών), καμπής της f, iii) βρείτε το όριο της f καθώς, ασύμπτωτες αν υπάρχουν και το σύνολο τιμών αυτής

iv) υπολογίστε το εμβαδόν του κλειστού (φραγμένου) χωρίου που βρίσκεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων της f και της ευθείας με εξίσωση y 4 4β) (6 μονάδες) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( ) ( ), I d R, (χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση) Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει I ( ) Με την γνωστή ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος ως εμβαδόν, πώς εξηγείτε τον μηδενισμό του I ( ) για αυτές τις τιμές; d 4γ) (6 μονάδες) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα και εξετάστε αν το γενικευμένο ολοκλήρωμα ( + ) d συγκλίνει (Yπόδειξη: για το αόριστο ολοκλήρωμα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση ( + ) u και στη συνέχεια διάσπαση σε απλά κλάσματα) 4α) f ( ) α + β + 9, f ( ) 6α + β, f ( ) 6α Αναγκαίες συνθήκες f () και f () που α+ β + 9 α ισοδυναμούν με το σύστημα το οποίο ισοδυναμεί με Άρα f ( ) 6 + 9 στο α+ β β 6 διάστημα [, + ) Παρακάτω θα επαληθεύσουμε αν, τελικά, υπάρχει τέτοια f ελέγχοντας αν όντως στο έχουμε τοπικό ακρότατο και στο σημείο καμπής i) Εχουμε f ( ) + 9 ( 4+ ) ( )( ), f ( ) 6 6( ) Έτσι για το πρόσημο της ης παραγώγου συμπεραίνουμε ότι f '( ) < για < < και f '( ) > για < και < Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,) και (,) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,) Από την εναλλαγή της μονοτονίας συμπεραίνουμε ότι η f έχει τοπικό μέγιστο στο ίσο με f() 4, και τοπικό ελάχιστο στο ίσο με f() Για το πρόσημο της ης παραγώγου συμπεραίνουμε ότι f ( ) < για < και f ( ) > για > Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή (στρέφει κοίλα άνω) στο διάστημα (, ) και κοίλη στο διάστημα [,) ii) Τοπικό μέγιστο για με τιμή f() 4, τοπικό και ολικό ελάχιστο για με τιμή f(), σημείο καμπής για με τιμή f() Η συνάρτηση μηδενίζεται για και για (διπλή ρίζα) iii) Το όριο της f καθώς είναι Δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη ούτε κατακόρυφη και από τη συνέχεια και τη μονοτονία συμπεραίνουμε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο [, ) 5 5 4 5 iv) Καθώς f( ) 4 6 + 5 ( )( 5) έχουμε ότι το εμβαδό του χωρίου ισούται προς 5 5 ( ) 4 ( ( ) 4 ) ( 4 ( )) E f d f d + f d 4 4β) Επειδή (με παραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) και d + c, έχουμε ότι ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ d d d d ( ) d ( α + β + γ ) + c που ισοδυναμεί διαδοχικά με ( ) ( ) ( α + β+ γ) + α + β+ γ α + β + α + β+ γ α + ( β + α) + γ + β, για κάθε πραγματικό από όπου έχουμε α και β + και γ + β δηλαδή α, β, γ και

( ) d ( ) + c Σημείωση: το ολοκλήρωμα υπολογίζεται και απ ευθείας με χρήση παραγοντικής ολοκλήρωσης (δύο φορές) Για το γενικευμένο ολοκλήρωμα έχουμε: I ( ) ( ) d lim ( ) ( ) m m ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ lim m m ( m m ) ( ), ( m m ) αφού, με χρήση κανόνα L Hôpitl, limm m (Ο λόγος των πρώτων, ως προς m, παραγώγων είναι (m ) επίσης απροσδιόριστη μορφή και των δεύτερων τείνει στο καθώς m m m ) I ( ) ή + Με την γνωστή ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος ως εμβαδόν, ο μηδενισμός του I ( ) εξηγείται με την αλλαγή πρόσημου της συνάρτησης ( ) 4γ) Για το αόριστο ολοκλήρωμα με την αντικατάσταση της κυβικής ρίζας u, d u du έχουμε d u du du + ( Στο τελευταίο ολοκλήρωμα κάνουμε ανάλυση σε απλά κλάσματα + ) ( u ) u ( u + ) u A B + Au ( + ) + Bu ( A+ Bu ) + A ( A και A+ B ) A και B uu ( + ) u u+ du du du u και έχουμε u u + + C + C u + u u (l l ) l ( ) u + u + d Λαμβάνοντας υπόψη ότι u u παίρνουμε τελικά l + C ( + ) + Για το γενικευμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας το προηγούμενο αποτέλεσμα έχουμε M M d M M l (l l ) Αλλά το όριο lim M lim M ( + ) + M + M + + M υπάρχει, άρα το γενικευμένο ολοκλήρωμα d l συγκλίνει (και η τιμή του είναι ) ( + ) Θέμα 5 Θα απαντήσετε στα 5α) και 5β) 5α) (8 μονάδες) Δύο τμήματα Τ και Τ, συναρμολογούν το 7% και %, αντίστοιχα, του συνόλου των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ) μιας εταιρείας Είναι γνωστό ότι το ποσοστό των ελαττωματικά συναρμολογημένων Η/Υ από το σύνολο των Η/Υ της εταιρείας είναι,4% ενώ από το τμήμα Τ το 4% των Η/Υ εξέρχονται ελαττωματικά συναρμολογημένοι i) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν υπολογιστή που έχει συναρμολογηθεί στο τμήμα Τ, ποιά είναι η πιθανότητα αυτός να είναι ελαττωματικός; ii) Δεδομένου ότι θεωρούμε όλους τους ελαττωματικά συναρμολογημένους Η/Υ, ποιά είναι η πιθανότητα ένας από αυτούς να προέρχεται από το τμήμα Τ ; Για το επόμενο δίνονται Φ (,5 ) 9 και Φ ( 84 ) 8 5β) ( μονάδες) Ο χρόνος που απαιτείται να απαντηθεί ένα γραπτό τεστ είναι τυχαία μεταβλητή X που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ λεπτά (της ώρας) και τυπική απόκλιση σ 8 λεπτά i) Να υπολογισθεί το ποσοστό των υποψηφίων με χρόνο απάντησης του τεστ μεταξύ 8 λ και 4 λ ii) Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος απάντησης του τεστ να μην υπερβαίνει τα 8 λ; iii) Να βρεθεί ο χρόνος για τον οποίο το 8% των υποψηφίων θα προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ iv) Ποιά είναι η πιθανότητα σε υποψήφιους τουλάχιστον οι να απαντήσουν το τεστ σε χρόνο που δεν θα υπερβαίνει τα 8 λ; 5α) Η πιθανότητα ο Η/Υ να είναι ελαττωματικός είναι (από το θεώρημα ολικής πιθανότητας) Ρ(Ε) Ρ(Ε Τ ) Ρ(Τ ) + Ρ(Ε Τ ) Ρ(Τ ) οπότε,4,4,7 + Ρ(Ε Τ ),, συνεπώς i) λύνοντας ως προς Ρ(Ε Τ ) έχουμε Ρ(Ε Τ ) (,4 -,4,7) /,,6 /,, και

από τον τύπο του Bys έχουμε ότι PE ( Τ) P( Τ ),(,) ii) Ρ(Τ Ε),8 PE ( ), 4 7 X 5β) Έστω Χ ο χρόνος απάντησης του τεστ Τότε η Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή και 8 επομένως με τυποποίηση έχουμε: i) 8 X 4 8 X 4 Z,5 Z,5 και 8 8 8 8 8 P(8 X 4) P(, 5 Z, 5) P( Z, 5) P( Z <, 5) Φ(, 5) Φ(, 5) Φ(, 5) ( Φ (, 5)) Φ(,5) (,9),8664 Άρα το ποσοστό των υποψηφίων με χρόνο απάντησης του τεστ μεταξύ 8 και 4 λ είναι 86,64 % ii) Ζητάμε P( 8) Χ Όπως πριν έχουμε: PX ( 8) PZ (, 5) Φ(, 5) Φ (, 5), 9, 668 iii) Έστω ο χρόνος διάρκειας του τεστ ώστε το 8% των υποψηφίων να προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ P X <,8 () Θέλουμε να βρούμε το ωστε ( ) X Τυποποιούμε την συνθήκη X < ως εξής: X < < Z < και επομένως 8 8 8 η () ισοδυναμεί με PZ <,8 δηλαδή Φ,8 και αφού δίδεται Φ (84 ) 8 8 8 έχουμε,84 και λύνοντας + 6,7 6,7 Άρα ο ζητούμενος χρόνος είναι α 6,7 λ 8 ώστε το 8% των υποψηφίων να προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ iv)αν Y είναι ο αριθμός των υποψηφίων (από τους ) οι οποίοι θα ολοκληρώσουν το τεστ σε χρόνο που δεν θα υπερβαίνει τα 8 λ, τότε η τυχαία μεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με δοκιμές (υποψήφιοι) και πιθανότητα επιτυχίας (να ολοκληρώσουν το τεστ σε χρόνο το πολύ 8 λ) p P( X 8), 668 (ερώτημα ii) Δηλαδή Y ~ B(, p) B(,668) και πιθανότητα αποτυχίας q p Έτσι, για k,,, k k k k PY ( k) pq p ( p) k k k k k k, 668 (, 668), 668,9 k k Ζητάμε την πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον επιτυχίες σε δοκιμές (τουλάχιστον υποψήφιους από τους ) Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα PY ( ) είναι: PY ( ) PY ( < ) [ PY ( ) + PY ( )] PY ( ) PY ( ) 9 p ( p) p ( p),59,585,8594,46 ---------ΤΕΛΟΣ-------- ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ