Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 09/0/06 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται «-» σε ένα σύνολο Α; Απάντηση: Μια συνάρτηση f : λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Aν, τότε f ( ) f ( )» A. Αν c 0, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το cd ; a Απάντηση: Το cd εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β α και ύψος c. Α. Αν οι συναρτήσεις f, συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να αποδείξετε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει f g 0 f ( 0) g ( 0) Απόδειξη: Για 0, ισχύει : Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0, έχουμε :
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Δηλαδή: f g f ( ) g ( ) 0 0 0 Α4. Σωστό/Λάθος α) Η εικόνα f ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Σωστό β) Αν η f είναι συνεχής στο a, με f 0 και υπάρχει, f ( ) 0, τότε κατ ανάγκη f 0. Λάθος ώστε γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR. και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll. Σωστό δ) Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο A είναι συνεχής στο A και f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του A, τότε η f είναι πάντα σταθερή σε όλο το σύνολο A. Λάθος ε) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ a, ], τότε ισχύει: Σωστό a f ( ) d f ( ) d 0 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με: f ln Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της. Β4. Να βρείτε τα όρια: lim f και lim f ΛΥΣΗ Β. Για το πεδίο ορισμού D f της f έχουμε: Επομένως D f, 0 0 0 Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f, συναρτήσεων αφού οι επόμενες συναρτήσεις: D ως πράξεις και σύνθεση συνεχών g( ) h( ) ln g( ) ( ) ln g( ) είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού της. Β. Έστω, D f, με f f f f. Θα αποδείξουμε ότι. Έχουμε: ln ln ln ln Άρα η f αντιστέφεται. Για την αντίστροφή της έχουμε: Πρέπει: y y y f y ln ln y ln y y y y y y y y y
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 y y y y y Df y y y y y Οι τελευταίες σχέσεις είναι αληθείς για κάθε. Επομένως: Η f f, είναι συνεχής στο ως πηλίκο και σύνθεση των επόμενων συνεχών συναρήσεων f f Β4. Έχουμε: lim f lim ln lim(u ) u, lim u Επίσης: lim f lim ln lim ln u u, lim 0 u0 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: f, αν 0, ln, 0, αν 0 Γ. Να βρείτε το όριο f να είναι συνεχής στο g f ln, 0 lim f 0 ( ) καθώς και την τιμή του, ώστε η συνάρτηση. Γ. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία της. 4
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 ii) Να αποδείξετε ότι: και, αν Γ. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τα κοίλα της στο διάστημα 0, και να βρείτε τα σημεία καμπής της., αν 0 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στα σημεία A, g () και, () B g αντίστοιχα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: 4 7, για κάθε, για κάθε, και, ΛΥΣΗ Γ. Η συνάρτηση f γίνεται: Για το lim f ( ) έχουμε: 0 f, αν 0 ln, 0 ln, 0, αν 0 5
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 lim f ( ) lim 0, ln 0 0 αφού lim lim lim 0 0 0 f 0 0 ln lim ( ) lim 0, αφού lim lim lim 0 0 0 Επομένως είναι lim f ( ) lim f ( ) 0 και άρα lim f ( ) 0. 0 0 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, f είναι συνεχής στο 0 0 0 και lim ln 0 και lim ln 0. ώς πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης η, αφού lim f ( ) 0 f 0 0 όλο το πρέπει να είναι συνεχής και στο. Έχουμε, σύμφωνα με τον κανόνα του d L Hospital:. Τέλος για να είναι η f συνεχής σε 0 0 lim f ( ) lim lim lim ln Επομένως lim f ( ) f. f ln, 0 Γ. i) Η συνάρτηση g γίνεται διαδοχικά: Για g g ln 0 έχουμε f ln ln ln ln ln ln ln Επομένως θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης g, 0. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: Επειδή g, 0 0, για 0, το πρόσημο της g εξαρτάται από το πρόσημο του τριωνύμου 6
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Ο πίνακας προσήμου της g είναι ο επόμενος: 0 g g + Επομένως η συνάρτηση g είναι: Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και ii) Σύμφωνα με τον πίνακα προσήμου της ελάχιστο (ολικό) στο σημείο Επομένως για κάθε 0 έχουμε: Άρα: g του ερωτήματος (i) η συνάρτηση g έχει, το g g g Για 0 έχουμε: Για 0 00 έχουμε: Γ. i) Η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε 0 (ή αλλιώς η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε 0 ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: g 4 4 4 4, 0. 7
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Επειδή 4 0 0, το πρόσημο της ( ) 4. Ο πίνακας του προσήμου της g είναι ο επόμενος: g εξαρτάται από το πρόσημο του 0 g g Επομένως η συνάρτηση g : Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα 0, Είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο διάστημα, Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα, + Τα σημεία καμπής της είναι το και το A, g ή το και το B, g ή το B, A, ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο A, g () είναι: y g g y 6 y 6 4 Επειδή η g είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα, για κάθε, θα είναι: 6 4 7 7 y g 4,. 8
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Επίσης, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο B, g () είναι: y g g y Επειδή η g είναι κυρτή (στέφει τα κοίλα άνω) στο διάστημα,, θα είναι: y g, για κάθε, αφού 0. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, 0, με σύνολο τιμών f τέτοια, ώστε: f () f () f () Δ. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f - της f. A Για τα ερωτήματα Δ και Δ δίνεται ότι: f (), Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f - ως προς την κυρτότητα. Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f -, την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f - στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y, και την ευθεία =. Δ. Για κάθε θεωρούμε τα σημεία A,f (), Bf (), των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο με. β) Να βρείτε για ποια τιμή του η απόσταση των σημείων Α, Β γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους. 9
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 ΛΥΣΗ Δ. Αφού η f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο (0, ), το ο μέλος της δοθείσας σχέσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων), όπως προφανώς παραγωγίσιμη είναι η συνάρτηση του ου μέλους. Παραγωγίζοντας λοιπόν τα μέλη της δοθείσας σχέσης έχουμε διαδοχικά (όχι ισοδύναμα): f ( ) ( f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) f f f f f f ( )[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( )] f ( ) f f f f f f f f [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] f ( ) f ( ) f f f f f [ ( ) ( ) ( )] ( )( ( ) ) f ( ) f ( ) 0, (0, ) H f ί ί ύ (0, ) ά " " ά έ f ( ) Για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης θέτουμε: f ( ) y f ( y) με A (0, ) και y f ( A). Άρα, θα έχουμε από την δοθείσα σχέση: f ( ) ( ),. y ( y y ) f ( y), y ή Δ. Η συνάρτηση f ( ) ( ), είναι παραγωγίσιμη στο (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με f ( ) ( ) ( ) ( ), Η συνάρτηση f συναρτήσεων) με: ( ) είναι επίσης παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων f ( ) ( ) ( ),, δηλαδή f ( ) 0, που σημαίνει ότι η f ( ) είνα κυρτή στο (στρέφει τα κοίλα άνω στο ). Η συνάρτηση f ( ) τέμνει τον άξονα όταν 0 f (0) δηλαδή στο σημείο A (0,). Αν θέσουμε g( ) f ( ), τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι : y g (0)( 0) y.( g (0) ( f ) (0) ) Μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς την παραγωγισιμότητα της f με ιδιότητες της ισότητας. 0
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E f ( ) ( ) d [ ( ) ] [ ] 0 d d d 0 0 0 0 0 [ ] 0 4.. (χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η f είναι κυρτή δηλαδή ότι f ( ), ). Δ. i) Έχουμε: Άρα : f ( ) f ( ) f ( ), (0, ) και f ( ) ( ), f f ( ( ) f ( f ( )) [ f ( f ( ))] f ( f ( )) [ f ( )] ( ) ii) Η απόσταση των σημείων Α και Β είναι : ( ) ( ( )), f ( ) ( ), f ( ) ( ( ) ), f (Χρησιμοποιήσαμε f f ( ), ( ) 0 ). Αν θέσουμε : θα έχουμε ότι η h( ) είναι h( ) ( f ( ) ) [ ( ) ], παραγωγίσμη (ως πράξεις παραγωγίσμων) με h ( ) [ ( ) ],. Έχουμε: h ( ) 0 0 μοναδικό, διότι η συνάρτηση ( ) ( ), είναι συνάρτηση «-» αφού η ( ) ( ) 0 για κάθε και άρα γνησίως αύξουσα στο. Τώρα έχουμε: 0 ( ) (0) ( ) 0 ( ) 0 [ ( ) ] 0 h( ) ί ί φθίνουσα (,0] 0 ( ) (0) ( ) 0 ( ) 0 [ ( ) ] 0 h( ) ί ί αύξουσα [0, ) Αυτό το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα αφού : f ( f ( )), D f και παραγωγίζοντας τα μέλη της έχουμε f ( f ( )) [ f ( )]. Επίσης τα σημεία συμμετρικά ως προς την y. A f (, ( )) και B f ( ( ), ) είναι
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 και άρα η συνάρτηση h( ) (μπορεί να φανεί πιο καθαρά από τον πίνακα προσήμου της h ( ) ) έχει ελάχιστο στο 0 0, το h (0) ( f (0)), δηλαδή ( AB) min. Επιμέλεια λύσεων Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών