1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων) β = γ δ δ β = γ (ενλλγή των άκρων) β = γ δ β = γ δ ±β β β± = β = γ δ = = κ λ = γ±δ δ γ δ±γ (πρόσθεση των πρνοµστών στους ριθµητές) (πρόσθεση των ριθµητών στους πρνοµστές) +γ+ +κ β+δ+ λ = β (πρόσθεση ριθµητών, πρόσθεση πρνοµστών) 3. Πρόβληµ Σηµείο Μ διιρεί εσωτερικά τµήµ = σε λόγο λ. Ν υπολογιστούν τ τµήµτ Μ, Μ. πάντηση Μ Μ = λ 1 Μ Μ+Μ = λ λ+ 1 Μ = λ λ+ 1 Μ = λ λ+ 1 M
2 4. Πρόβληµ Σηµείο Μ διιρεί εξωτερικά τµήµ = σε λόγο λ > 1. Ν υπολογιστούν τ τµήµτ Μ, Μ. πάντηση Μ Μ = λ 1 Μ Μ Μ = λ λ 1 Μ = λ λ 1 Μ = λ λ 1 M 5. Πρόβληµ Σηµείο Μ διιρεί εξωτερικά τµήµ = σε λόγο λ < 1. Ν υπολογιστούν τ τµήµτ Μ, Μ. πάντηση Μ Μ = λ 1 Μ Μ Μ = λ 1 λ Μ = λ 1 λ Μ = λ 1 λ Μ 6. Θεώρηµ Θλή A 1 A 2 1 1 1 2 // 1 2 // 1 2 = 1 1 2 2 2 2 B 1 B 2 ντίστροφο (ς πούµε) 1 1 1 2 // 1 2 κι = 1 1 2 2 2 2 1 2 // 1 2 1 2
3 7. φρµογή του Θ.Θ στο τρίγωνο // = 8. Θεώρηµ // τ τρίγων έχουν νάλογες πλευρές 9. ρµονική τετράδ ύο σηµεί, που διιρούν εσωτερικά κι εξωτερικά τµήµ στον ίδιο λόγο, λέγοντι συζυγή ρµονικά των,. ΣΚΗΣΙΣ 1. Σηµείο Μ χωρίζει εσωτερικά τµήµ σε λόγο 5 2. Ν υπολογιστούν οι λόγοι MB MA, AM AB, AB MB M MB = 5 2 MB MA = 2 5 Μ M MB = 5 2 M M + MB = 5 5 + 2 AM AB = 5 7 M MB = 5 2 M + MB MB = 5 + 2 2 AB MB = 7 2
4 2. Ν διιρεθεί έν ευθύγρµµο τµήµ ) εσωτερικά κι β) εξωτερικά σε δύο τµήµτ µε λόγο 3 2 πό το φέρω ηµιευθεί Χ, στην οποί πίρνω τµήµ Η = 3. πό το φέρνω την Ψ // Χ κι πάνω σ υτή πίρνω τµήµτ = = 2 Οι Η, Η τέµνουν την ευθεί σε σηµεί,, τ οποί είνι τ ζητούµεν, διότι : Η// // Η EA EB = AH B = 3 2 ZA ZB = AH B = 3 2 3 Η Χ 2 2 Ψ 3. πό το κέντρο βάρους Θ ενός τριγώνου φέρουµε πράλληλη στην η οποί τέµνει την στο κι την στο. Ν υπολογίσετε τους λόγους,, + AE AB + A Θ Θ κέντρο βάρους ΘΜ = 2 Θ // Μ = Θ ΘΜ = 2 Θ // Μ // Όµως = Μ ΘΜ = Μ 1 Μ 3 = = Θ Μ = = = + + = 3 AE, άρ A 2 3 Μ Μ = 2 3 + + AE = 2 A 3 Θ M
5 4. Έστω το τετράπλευρο κι, τ κέντρ βάρους των τριγώνων, ντίστοιχ. είξτε ότι // Έστω Η το µέσο της. βρύκεντρο του Η βρύκεντρο του Άρ Η Η = Η Η Η Η = 1 3 Η Η = 1 3 // (πό το τρίγωνο Η) Η 5. πό δύο σηµεί, της πλευράς τριγώνου φέρνουµε τις, Η πράλληλες προς την κι τις Θ, Κ πράλληλες προς την. Ν ποδείξετε ότι = ΚΘ Η Θ // Κ // ΚΘ = (1) Κ Η // // Η = (2) Η Θ πό τις (1) κι (2) έχουµε ότι ΚΘ = Η = ΚΘ Η
6 6. υθεί (ε) διέρχετι πό το µέσο Μ της πλευράς τριγώνου κι τέµνει τις, στ, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι = Φέρνω την Κ // Μ. Τότε = Μ ΚΜ κι = Μ ΚΜ (1) (2) πειδή Μ = Μ, τ δεύτερ µέλη των (1), (2) είνι ίσ, άρ θ είνι κι = = Κ Μ 7. υθεί (ε) διέρχετι πό το κέντρο βάρους Θ τριγώνου κι τέµνει την στο Λ κι την στο Μ. Ν δείξετε ότι Μ + Λ = 3Λ Μ ιιρούµε τ δύο µέλη της ποδεικτές µε Λ Μ. Οπότε ρκεί ν ποδείξουµε ότι Λ + Μ = 3 Φέρουµε // ΛΘ, οπότε Φέρουµε Η // ΘΜ, οπότε Λ = Θ (1) Μ =Η Θ (2) Προσθέτουµε κτά µέλη τις (1), (2) : τρ. = τρ. Η = Η. ίνι + Η = + + Η = 2 Οπότε η (3) γίνετι Λ Θ Λ + Μ = +Η Θ Λ + Μ = 2 Θ = 2 Θ = 2 3 2 = 3 Η M (3) (ε)
7 8. Έστω τρίγωνο κι τ σηµεί, των, ντίστοιχ, έτσι ώστε ν ισχύει =. Ν ποδείξετε ότι η ευθεί που ενώνει τ µέσ Μ, Ν των, διέρχετι πό το µέσο του. Έστω Κ το σηµείο τοµής των ΜΝ,. Φέρουµε // ΜΝ //. Τότε = κι λόγω της υπόθεσης = + = = + = (1) πειδή όµως το Ν είνι µέσο του, λόγω της (1), θ είνι µέσο κι του Τότε, στο τρίγωνο, το Ν είνι µέσο του κι ΝΚ //, άρ το Κ θ είνι µέσο του Μ Κ Ν
8 9. Στις προεκτάσεις της πλευράς τριγώνου θεωρούµε τ σηµεί,, έτσι ώστε = = κι πό τ, φέρνουµε ευθείες πράλληλες προς τις, ντίστοιχ. ν είνι το σηµείο τοµής υτών των πρλλήλων, ν ποδείξετε ότι το είνι το κέντρο βάρους του τριγώνου. Φέρνω τη κι έστω Μ το σηµείο τοµής της µε την. Μ // = Μ (1) Μ // = Μ (2) M (1) κι (2) Μ =Μ Κι επειδή =, θ είνι Μ = Μ, δηλδή το Μ είνι µέσο της. ίνι Μ = = 2 2 Η (1) γίνετι 2 = Μ 1 2 = Μ άρ το είνι κ.βάρους του τριγώνου 10. πό τις κορυφές κι τρπεζίου ( //) φέρνουµε πράλληλες προς την. ν οι πράλληλες υτές τέµνουν τις ευθείες, στ Μ, Ν ντίστοιχ, ν δείξετε ότι 2 = Μ Ν Ν ρκεί ν δείξουµε ότι = Μ Έστω Ο το σηµείο τοµή των διγωνίων του τρπεζίου Ν // Ν = Ο (1) Ο // Μ Μ = Ο (2) Ο Ο // Ο = Ο (3) Ο Ν πό τις (1), (2), (3) έχοµε ότι = Μ O N M
9 11. υθεί (ε) διέρχετι πό την κορυφή πρλληλόγρµµου κι τέµνει τις ευθείες, στ σηµεί, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι i) ν η (ε) δεν τέµνει το πρλληλόγρµµο, τότε + = 1 ii) ν η (ε) τέµνει το πρλληλόγρµµο, τότε i) // // (1) + (2) = (1) = (2) + = + + = + = = 1 ii) ) Το εσωτερικό σηµείο του τµήµτος (1) (2) = = = = 1 = 1 β) Το εσωτερικό σηµείο του τµήµτος (2) (1) = = = = 1 B
10 12. Έστω πρλληλόγρµµο κι σηµείο που διιρεί εσωτερικά την διγώνιο σε λόγο 1 3. ν η ευθεί τέµνει την στο κι την προέκτση της στο Η, ν ποδείξετε ότι i) = 1 4 ii) Η = 3 4 Η i) πό υπόθεση είνι = 1 3 // = = 1 3 + = 1 1+ 3 = 1 4 Η = 1 4 ii) // Η = Η = 1 3 Η = 1 3 +Η Η Η Η = 4 3 = 1 + 3 3 Η = 3 4 Η