ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = µε R και p.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = ln. β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει f '( ) = g '( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο χ του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει f ( ) = g( ) + c για κάθε. γ) Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό του εαχίστου της συνάρτησης f στο του Α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακοουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α έχει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και f ( ) f, τότε f ( ) f για τις τιµές του χ κοντά στο. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε υπάρχει ( α, β ) τέτοιο ώστε να ισχύει f '( ) f. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο και φορές παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει f ''( ) f για κάθε. ε) Αν f συνεχής στο [α,β] µε f ( ) και ισχύει f ( ) df, τότε υπάρχει [ α, β ] τέτοιος ώστε f ( ) f. στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε το µηδέν στο [α,β] και β ισχύει f ( ) d= τότε η f παίρνει τουάχιστον ετερόσηµες τιµές. ΘΕΜΑ Β β α ίνεται η συνάρτηση f ( ) ln =, f
Α. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό α ώστε η συνάρτηση f ''( ) + f '( ) g( ) =, (,) (, + ) να είναι σταθερή. f ( ) Β. Για την τιµή του α που βρήκατε στο α ερώτηµα να υποογίσετε το εµβαδόν Ε() του χωρίου που περικείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και g( ) µεταξύ των ευθειών : χ=, χ= µε f Γ. Να υποογίσετε το Ε( ) lim. ΘΕΜΑ Γ Α. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f ( ) f (3 ) + 6 < f ( ) f (9 ), () για κάθε R.. Να αποδείξετε ότι f ( ) >, για κάθε R.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f ( + 997) f ( + 99) f ( + ) + + = 3 Έχει τουάχιστον δύο µη ακέραιες πραγµατικές ρίζες. Β. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση h : R Rµε h () =, για την οποία ισχύουν: lim h( ) =+, lim h( ) =, h ( ) =, για κάθε R + h( ) +. Να ύσετε την εξίσωση h( ) =.. Να αποδείξετε ότι h( ) h( ) + = f ( ), για κάθε R. 3. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της h. ΘΕΜΑ ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις f, g : R Rµε f () = για τις οποίες ισχύει: f ( ) g( ) = f ( ) g ( ) =, για κάθε R.. Να βρείτε τους τύπους των f και g.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(α, f ( α ) ), α> 3. Να υποογίσετε το εµβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικείεται από την Cf, την y. = και τον άξονα y y
4. Αν το σηµείο Μ αποµακρύνεται από τον άξονα µε ταχύτητα u= µονάδες µήκους/sc, να βρείτε τον ρυθµό µεταβοής του Ε(α) τη χρονική στιγµή κατά την οποία η εφαπτοµένη (ε) τέµνει τον στο σηµείο Κ(,). 5. Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) = g( ), R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό (,) τέτοιο ώστε = h d. h( ) ( ) ΘΕΜΑ Β Α. για p p... f ( ) = για f... f ( ) = για =...f() = ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ Στο (,) g( ) =... = + Στο (, + ) g( ) =... = 6 Οπότε η g σταθερή για = και τότε g( ) = 4, (,) (, + ) Β. για f ( ) g( ) =... = 4 7 Οπότε E( ) = (4 ) d=... = (4 + ) τ. µ. Ε( ) 7 Γ. = 4+ Ε( ) Άρα lim = 4. + ΘΕΜΑ Γ Α). Έστω ότι υπάρχει t R τέτοιο ώστε f ( t ) =. Για = t στην () έχουµε f ( t ) f (3 t ) + 6 < f ( t ) f (9 t ) 6< άτοπο. Άρα f ( ) για κάθε R και f συνεχής στο R οπότε διατηρεί σταθερό πρόσηµο για f f 3 f ( f ) = : () + 6 > ()... () () > 6, άρα f () > (γιατί;) Οπότε f ( ) >, για κάθε R.
. Για, και 3γίνεται ισοδύναµα Θεωρούµε g( ) το πρώτο µέος και εφαρµόζουµε Θεώρηµα Bolzno στα [, ] και [,3 ]. Β). Για = : h () =... h() = h() + οπότε = ύση της h( ) = και h ( ) = > h( ) + ύση. άρα h είναι γνησίως αύξουσα οπότε = µοναδική h. ( ( ) h ) ( ) h ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( h + = h + h = h + ) ) = ( ) h( )... h( ) f ( ) + = 3. y= + ασύµπτωτη της h C στο ( ). ΘΕΜΑ. Έχουµε ( ) ( ) f g = ( f ( ) g( ) ) = ( ) f g + f g = Όµως ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) = και f ( ) g ( ) = άρα f ( ) f ( ) + f ( ) = [ f ( ) ] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + = ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) = c για = προκύπτει c= άρα f ( ) = οπότε. ε: y= ( ) : g( ) =. 3. f ( ) = = = Το ζητούµενο εµβαδόν είναι: E( ) = ( ) d=... = + τετρ. Μονάδες 4. Τη χρονική στιγµή t, που η εφαπτοµένη τέµνει τον στο σηµείο Α(,) ( ) ( ) έχουµε: t t = ( ( t ) )... ( t ) = 5. ( t ) Επίσης έχουµε y ( t) = ( t u ) = µ. µήκους/sc ( t) ( t) ( t) ( t) Άρα E ( t) = ( t) + ( t)( ) ( t) = ( t) ( t) Οπότε την t= t έχουµε E ( t) = = 4 µ. µήκους/sc. h( ) = g( ) = h( ) =
d =... = Οπότε αρκεί ν.δ.ο. υπάρχει µοναδ. (,) τέτοιο ώστε + = ϕ ( ) = +,, Έστω [ ] φ συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχων ϕ () = + < ϕ () = > ϕ() ϕ() < Ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος Bolzno οπότε υπάρχει τουάχιστον (,) τέτοιο ώστε ϕ ( ) = = Επίσης ( ) ϕ = + > για κάθε (,) οπότε η φ είναι γνησίως αύξουσα για κάθε [,]. Συνεπώς υπάρχει µοναδικό (,) τέτοιο ώστε = h d. h( ) ( ) Επιµέεια: Λιόιος Αντώνης, Γεωργιάδης Γιώργος, Τριανταφυίδου Εένη, Σαµαρτσίδου Αίκη, Μπούσµπουρα Σίσυ