Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t Dobili smo traženu funkciju f() = Vježba 00 Odredi realnu funkciju f() ako je f( ) = Rezultat: f() = Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi inverznu funkciju f () ako je f ( ) = Rješenje 00 Napišimo zadanu funkciju tako da umjesto f() pišemo : = Sada u funkciji zamijenimo slova i :, = Iz dobivene funkcije trebamo izračunati nepoznanicu Prvo ćemo cijelu jednadžbu pomnožiti zajedničkim nazivnikom : / ( ) ( ) = = [ množi cijelu zagradu] = [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu ] = [izlučimo ] ( ) = / : ( ) = [jednadžbu logaritmiramo logaritmom po bazi ]
n = / log log = log log b a = n log b a, log b b = log = log = log = log Na kraju ponovno umjesto napišemo f () pa rješenje glasi: f ( ) = log Vježba 00 Odredi inverznu funkciju f () ako je Rezultat: f ( ) = log Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije 5 Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = sin : f ( ) = 5 f() = sin( π) Period funkcije sinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su 0, π, π, π,, tj kπ, k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u i iznosi Minimum funkcije je u i iznosi π π Zadana funkcija f() = sin( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije sinus: 0, π, π π π = 0 = π / : =, π = π = π π = π / : = π, π π = π = π π = π / : = Nultočke naše funkcije su: π π, π,
Funkcija sinus imala je maksimum u točki Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s pa je π π π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima maksimum u koji iznosi Analogno je za minimum: 5 5 π π π π π = = π = / : = Dakle, funkcija f() = sin( π) ima minimum u koji iznosi π 5π Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: f() = sin( π) Zadatak 00 (Mira, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije Rješenje 00 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : f() = cos( π) Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi
Zadana funkcija f() = cos( π) ima amplitudu što znači da će maksimum biti, a minimum Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta π izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: π π i π π π π π = = π = /: =, 5 5 π π π π π = = π = /: = π 5 π i Funkcija kosinus imala je maksimum u točkama 0 i π Sada argument π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: π π = 0 = π /: =, π π = π = π π = π /: = Dakle, funkcija f() = cos( π) ima maksimume u π π i koji iznose Analogno je za minimum: π = π = π π = π /: = π Dakle, funkcija f() = cos( π) ima minimum u π koji iznosi Vježba 00 Nacrtaj graf funkcije : f() = cos( π) Rezultat:
Zadatak 005 (Petra, gimnazija) Odredi temeljni period funkcije: f() = sin sin Rješenje 005 Funkcija f je periodička s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka, P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi f( P) = f() Broj P zove se period funkcije f Najmanji pozitivni period funkcije f (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f Ako je P period zadane funkcije, onda mora vrijediti: sin ( P) sin ( P) = sin sin Ova jednakost vrijedi za svaki pa specijalno za = 0 dobivamo: Zato pišemo: sin (0 P) sin (0 P) = sin 0 sin ( 0), [sin 0 = 0] sin P sin P = 0 Produkt dva broja jednak je nuli ako je barem jedan od brojeva jednak nuli sin P = 0, sin P = 0 Jednadžba sin P = 0 daje rješenja P = kπ Jednadžba sin P = 0 daje rješenja k π P = Broj k je prirodan broj Provjeravanjem za π π P= i P= vidimo da nisu periodi Temeljni period zadane funkcije je P = π Vježba 005 Odredi temeljni period funkcije: f() = cos Rezultat: P = π Zadatak 006 (Martina, gimnazija) Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rješenje 006 Crtanje grafa funkcije pokazat ćemo kroz sve faze I DOMENA FUNKCIJE Moramo naći vrijednosti za koje funkcija f() nije definirana i njih izbaciti iz skupa R Budući da je to racionalna funkcija nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Domena je skup R, osim brojeva i Pišemo: D( f ) = R \{,} II PARNOST FUNKCIJE Provjerimo je li zadana funkcija parna, neparna ili nije ni jedno, ni drugo Za parne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene 5
Za neparne funkcije vrijedi: f( ) = f(), gdje su i iz domene Računamo: ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) Funkcija f() je parna, a to znači da je njezin graf simetričan s obzirom na -os ili ordinatu III INTERVALI MONOTONOSTI FUNKCIJE Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() > 0 za a < < b, tada je f() monotono rastuća (uzlazna) Ako je funkcija f() neprekinuta na segmentu [a,b] i f '() < 0 za a < < b, tada je f() monotono padajuća (silazna) Tražimo prvu derivaciju zadane funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 8 6 f '( ) = = = = 6 Ako je f '( ) > 0, slijedi > 0 ( ) Razlomak je pozitivan ako su brojnik i nazivnik oba pozitivni ili oba negativni U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da i brojnik mora biti pozitivan: 6 > 0 => > 0 Prema tome, za > 0 funkcija je monotono rastuća 6 Ako je f '( ) < 0, slijedi < 0 ( ) Razlomak je negativan ako je brojnik negativan, a nazivnik pozitivan ili ako je brojnik pozitivan, a nazivnik negativan U našem slučaju nazivnik je na kvadrat pa je to uvijek pozitivno Znači da brojnik mora biti negativan: 6 < 0 => < 0 Prema tome, za < 0 funkcija je monotono padajuća IV NULTOČKE FUNKCIJE Nultočke funkcije jesu točke u kojima graf funkcije siječe -os ili apscisu Budući da je to racionalna funkcija brojnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: 0 /, = = = = ± =, = Funkcija ima dvije nultočke N (, 0) i N (, 0) V EKSTREMI FUNKCIJE Ekstremi funkcije mogu biti maksimum ili minimum ili oboje Moramo najprije naći prvu derivaciju: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ' ' f '( ) = = = = Sada prvu derivaciju izjednačimo s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu 6 ( ) [ ] = 0 razlomak je jednak nuli, ako je brojnik jednak nuli 6 = 0 = 0 Rješenje je = 0 Ta se točka zove stacionarna točka Hoće li u njoj biti maksimum ili minimum, znat ćemo ako nađemo drugu derivaciju U drugu derivaciju uvrstimo = 0 Ako je druga derivacija pozitivna, funkcija ima minimum, ako je pak druga derivacija negativna, funkcija ima maksimum 6
( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ' 6 ' 6 6 6 6 f ''( ) = = = = Uvrstimo = 0: ( ) ( 0 ) 6 0 0 6 f ''(0) = = = 6 0 Dakle, druga derivacija je pozitivna pa funkcija u točki = 0 ima minimum Vrijednost minimuma dobit ćemo tako da = 0 uvrstimo u zadanu funkciju: Minimum će biti u točki M(0, ) VI VERTIKALNE ASIMPTOTE Ako postoji takav broj a da je onda je pravac = a asimptota (vertikalna asimptota) Budući da je to racionalna funkcija: 0 0 f (0) = = = lim f ( ) =, a f ( ) = nazivnik ćemo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu: = 0 = = /, = ± =, = Vertikalne asimptote su pravci: = i = VII KOSE ASIMPTOTE Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, f ( ) k = lim, [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (desna kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to desna horizontalna asimptota Ako postoje limesi gdje je k koeficijent smjera i gdje je l odsječak na -osi, k = lim f ( ), [ ] l = lim f ( ) k, tada je pravac = k l asimptota (lijeva kosa asimptota) Ako je k = 0, onda je to lijeva horizontalna asimptota Graf funkcije = f() (pretpostavljamo da je funkcija jednoznačna) ne može imati više od jedne desne (kose ili horizontalne) niti više od jedne lijeve (kose ili horizontalne)asimptote Tražimo koeficijent smjera k
f ( ) k = lim = lim ± ± 0 0 0 lim lim k lim lim lim = = = = = = = = 0 ± ± ± ± ± 0 Računamo odsječak na -osi l 0 l lim [ f ( ) k ] lim 0 lim lim lim = = = = = = = = ± ± ± ± ± 0 Asimptota je pravac = Vježba 006 Nacrtaj graf funkcije f ( ) = Rezultat: Zadatak 007 (Darjan, medicinska škola) Nacrtaj graf funkcije 5π f ( ) = cos( ) Rješenje 007 Podsjetimo se svojstava funkcije f() = cos : Period funkcije kosinus je π Nultočke (točke u kojima graf siječe -os ili apscisu) su π π π,,, tj ( k ), k je cijeli broj Mi ćemo samo promatrati dio grafa na segmentu [0, π] Maksimum funkcije je u 0 i π i iznosi Minimum funkcije je u π i iznosi 8
Zadana funkcija ima amplitudu što znači da će maksimum biti a minimum 5π f ( ) = cos( ), Nultočke funkcije nađemo tako da vrijednost argumenta izjednačimo s nultočkama funkcije kosinus: Nultočke naše funkcije su: 5π π π i 5π π π 5π π = = = = π, 5 5 π = π = π π = π = π π, π Funkcija kosinus je imala maksimum u točkama 0 i π (to će sada biti minimum zbog negativne amplitude) Sada argument 5π zadane funkcije izjednačimo s 0 i π: 5π 5π = 0 =, 5π 5π π = π = π = Dakle, funkcija 5π f ( ) = cos( ) ima minimum u 5π π i koji iznosi 9
Analogno je za maksimum: Dakle, funkcija ima maksimum u koji iznosi 5π 5π π = π = π = π Vježba 007 Nacrtaj graf funkcije: f ( ) = cos( ) Rezultat: Zadatak 008 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije f ( ) = 6 Rješenje 008 Domenu razlomljene linearne funkcije čine svi realni brojevi za koje je nazivnik različit od nule Zato ćemo polinom u nazivniku izjednačiti s nulom, riješiti jednadžbu i rješenje ''izbaciti'' iz skupa R: Vježba 008 Odredi domenu funkcije Rezultat: D f = R { } ( ) \ 6 = 0 => = 6 / : => = ( ) { } D( f ) = R \ f ( ) = 5 5 Zadatak 009 (Ivana, gimnazija) Prevedi u eksplicitni oblik: 5 = 0 Rješenje 009 Ako se funkcija može napisati u obliku = f() kažemo da ima eksplicitni oblik Iz zadane jednadžbe izračunamo : 5 = 0 => = 5 / ( ) => = 5 => 0
=> ( ) = 5 / : ( ) => 5 => = Vježba 009 Prevedi u eksplicitni oblik: 5 7 = 0 5 Rezultat: = 7 Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Odredi domenu funkcije: log ( ) f ( ) = Rješenje 00 Domena logaritamske funkcije = log skup je svih pozitivnih realnih brojeva: D(log ) = 0, Budući da je u brojniku logaritamska funkcija, bit će: > 0, > / : > Znači da je domena funkcije log ( ) interval:, U nazivniku je polinom drugog stupnja Nazivnik ne smije biti jednak nuli ni za koji (jer se s nulom ne može dijeliti) Zato izraz u nazivniku izjednačimo s nulom, riješimo jednadžbu i rezultate ''izbacimo'' iz skupa R: Domena zadane funkcije je: ili Vježba 00 Odredi domenu funkcije: Rezultat:, \{ 7 } = 0 => ( ) = 0 => => [a b = 0 a = 0 ili b = 0 ili a = b = 0] => => = 0, = 0 => = 0, = ( 0, ) D( f ) =, \ { } D( f ) =,, log ( 6) f ( ) = 7 Zadatak 0 (Tonka, ekonomska škola) Za funkcije f() = 5 i g() = odredite f g Rješenje 0 Funkcija f zadana je analitičkim izrazom pa vrijedi: f() = 5,
f(a) = a 5a, f( b) = ( b) 5 ( b), f(a b) = (a b) 5 (a b), Slično je i za funkciju g: f(ab c) = (ab c) 5 (ab c), a a a f = 5, b b b g() =, g(a) = a, g( b) = ( b), g(a b) = (a b), g(ab c) = (ab c), g a a = b b Kompozicija funkcija f g tada je jednaka: (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 5 ( ) = 6 8 0 5 = 6 Možemo računati i ovako: (f g)() = f(g()) = [g()] 5 g() = [ ] 5 ( ) = 6 8 0 5 = = 6 Vježba 0 Za funkcije f() = i g() = odredite f g Rezultat: Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Koliki je zbroj nultočaka funkcije f ( ) =? Rješenje 0 Budući da je to polinom četvrtog stupnja, bit će četiri nultočke Najjednostavnije do rješenja dođemo uporabom Vièteovih formula: Neka je f() = n a n- a n- a n- a n- a n- a n polinom, a,,,, n njegove nultočke Tada vrijede Vièteove formule: n = a n n- n = a n- n- n = a n = ( ) n a n Ako polinom f() nije normiran, tj ako mu je najstariji koeficijent a 0, onda na desnim stranama umjesto a i a i treba pisati Za polinom četvrtog stupnja a0 f() = a a a a Vièteove formule glase: = a = a U našem zadatku koeficijenti su = a = a f ( ) =
pa je a =, a =, a =, a = = a = = Zbroj nultočaka jednak je Vježba 0 Koliki je zbroj nultočaka funkcije: f ( ) = 6 5 8? Rezultat: 6 Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Ako je = nultočka polinoma f() = 5 8, odredi njezinu kratnost Rješenje 0 Uvjerimo se da je = nultočka zadanog polinoma f(): f() = 5 8, f() = 5 8 = 8 0 6 = = 0 Dobili smo f() = 0, što znači da je = nultočka polinoma f() Polinom f() = 5 8 može se napisati kao f() = ( ) ( ) ( ), gdje su,, nultočke zadanog polinoma Pišemo: 5 8 = ( ) ( ) ( ) Sada polinom f() = 5 8 podijelimo polinomom [Kako se dijele polinomi pogledajte [Zadatak 00 i Zadatak 00] 5 8 : = ( ) ( ) ± 8 ± 6 ± 0 Do polinoma možemo doći i na sljedeći način [uporabom teorema o jednakosti dva polinoma: Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] Napišimo: 5 8 = ( ) ( a b), 5 8 = a b a b, 5 8 = (a ) (b a) b,
Dakle polinom glasi Nađimo nultočke polinoma f() = a = 5 a = b a = 8 b = b = a b = = 0, b ± b ac ± 9 8 ±, = = = = =, = = a Ponovno je broj nultočka Dakle, = je nultočka kratnosti Vježba 0 Ako je = nultočka polinoma f() =, odredi njezinu kratnost Rezultat: Zadatak 0 (Matea, gimnazija) Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano: h( ) =, f ( ) =, g( ) = Rješenje 0 Teorija: Za zadane funkcije f i g i realne brojeve A i B funkcija h = A f B g, zove se linearna kombinacija funkcija f i g Realne brojeve A i B odredit ćemo metodom neodređenih koeficijenata Prema uvjetu zadatka treba odrediti realne brojeve A i B takve da vrijedi h() = A f() B g(), A B = Pomnožimo ovu jednakost izrazom : A B = / ( ) = A ( ) B ( ) Sređivanjem desne strane jednakosti dobije se: = A A B B, Prema stavku o jednakosti polinoma = (A B) (A B) [Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki] mora vrijediti: A B = = ( A B) ( A B) 0 = ( A B) ( A B) A= A= B= A B = 0 Traženi rastav glasi: =, tj h = f g Vježba 0 Racionalnu funkciju h prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f i g ako je zadano:
Rezultat: h( ) =, f ( ) =, g( ) = h = f g Zadatak 05 (Ines, gimnazija) Odredite područje definicije realne funkcije 0 f ( ) = Rješenje 05 Ponovimo! Područje definicije funkcije f ( ) = je 0 ili 0, jjmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Zato je: Uz zamjenu t = slijedi: 0 0 0 t 0 t 0 0 t t t ( t ) Dobivenu nejednadžbu riješimo pomoću tablice Najprije provedemo diskusiju Pitamo se za koje t je nazivnik jednak nuli: t t = 0 t = 0 i t = ( ) Te rezultate moramo izbaciti iz skupa rješenja Sada rješavamo nejednadžbu: ( t) t ( t ) 0 0 Nađemo karakteristične točke tako da svaki faktor izjednačimo s nulom: 0 t = 0, t = 0, t = 0 => t = 0, t = 0, t = Karakteristične točke su: 0, i 0 Napravimo tablicu! - 0 0 0 - t - t - t - - - Produkt - - Rješenje nejednadžbe je: ili napisano pomoću znakova nejednakosti: Zbog supstitucije t = slijedi: t, 0, 0 ] t < 0 i < t 0 < 0, nema smisla, 5
,5,5 0,5 - - 5-0,5 - -,5 - < 0 < 0 / < 00 Područje definicije je:, 00 ] Vježba 05 Odredite područje definicije realne funkcije f ( ) = 0 Rezultat: 00, Zadatak 06 (Ines, gimnazija) Odredite kodomenu funkcije f() = Rješenje 06 Graf kvadratne funkcije f() = a b c je parabola s tjemenom u točki T = ( 0, 0 ), gdje su: b ac b 0 =, 0 = a a U točki 0 funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, a najveću vrijednost ako je a < 0 Graf kvadratne funkcije f() = je parabola =, pri čemu je: Koordinate tjemena su: a =, b =, c = 0 9 0 = = 075, 0 = = 5 8-5 T(075, -5) Skup vrijednosti funkcije (kodomena) je projekcija grafa funkcije na os ordinata Kodomena zadane funkcije je: 5, Vježba 06 Odredite kodomenu funkcije f() = Rezultat: 0, Zadatak 07 (Ines, Petra, gimnazija) Odredite inverznu funkciju funkcije Rješenje 07 inačica f ( ) = log(00 ) 6 = log(00 ) = log(00 ) / 6 6 6 6 6 = log( 00 ) log a c b c b = = a 66 66 0 0 00 0 66 0 = 00 /:00 = = = = 00 00 66 66 0 0 6
Vježba 07 Rezultat: 6 6 86 = 0 = 0 / = 0 f ( ) = 0 inačica = log(00 ) = log(00 ) / 6 6 6 = log(00 ) 6 6 log( ) = log log, log n = n log 6 6 = log00 log 6 6 = log log = 6 6 log = 8 6 /: log = = 0 f ( ) = 0 Odredite inverznu funkciju funkcije f ( ) = 0 f ( ) = log(00 ) 6 Zadatak 08 (A, hotelijerska škola) Za koju vrijednost argumenta (varijable) funkcija prikazana na slici prima vrijednost =? Rješenje 08 = - O = A Kroz točku (0, ) na osi povučemo usporednicu (paralelu) s apscisom ( osi) Sjecište usporednice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na apscisu i pročitamo apscisu = Dakle, funkcija prikazana na slici prima vrijednost = za = Vježba 08 Kolika je vrijednost funkcije prikazane na slici za =? Rezultat: = O = - A Kroz točku (, 0) na osi povučemo okomicu na apscisu Sjecište okomice i zadanog pravca je tražena točka A Iz nje konstruiramo okomicu na ordinatnu os i pročitamo ordinatu = Dakle, funkcija prikazana na slici za = ima vrijednost = 7
Zadatak 09 (Marinko, tehnička škola) Provjeri je li funkcija f ( ) = log injekcija Rješenje 09 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): logaritamska funkcija je injektivna ( ) ( ) log log f = f = = log = log = Vježba 09 Rezultat: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) pomnožimo ukriž = = = = = /: = Provjeri je li funkcija f ( ) log ( 6) Funkcija je injekcija Zadatak 00 (Anastazija, gimnazija) Provjeri je li funkcija = injekcija f ( ) 6 = injekcija Rješenje 00 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi f ( ) f ( ) Dakle, funkcija je injekcija ako različitim brojevima pridružuje različite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivalentno ovome je: f ( ) = f ( ) = Dakle, funkcija je injekcija ako iz jednakosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednakost argumenata Pretpostavimo da je f() = f(): f ( ) = f ( ) 6 = 6 / 6 = 6 = Odavde ne slijedi nužno da je =, jer može biti i = Zaista, za = i = vrijedi: ( ) 6 ( ) f = = 7 f () = 6 = 7 Prema tome, pronašli smo točke za koje vrijedi f() = f() pa funkcija nije injektivna Vježba 00 Rezultat: Provjeri je li funkcija f ( ) Funkcija nije injekcija = injekcija 8