OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom i frekventnom domenu. Kvazistacionarni odziv linearnog sistema na sinusnu promenu ulaza određuje frekventne karakteristike sistema. Svaki sistem je definisan sa dve funkcije frekvencije: amplitudnom i faznom karakteristikom. Frekventne karakteristike lineranih sistema se mogu dobiti ukoliko se u prenosnoj funkciji sistema Laplace-ova kompleksna promenjiva s zameni sa jω. Na taj način se dobija kompleksna funkcija čiji je moduo identičan sa amplitudnom Ar(, a argument sa faznom karakteristikom sistema φ(. j Re( j), Im( j) Ar + ( j (Re( j)) (Im( jω Im( j) φ( arg( j) arctan Re( j) ))) () () Frekventne karakteristike složenih sistema koji se sastoje od redno vezanih elemenata se dobijaju: AR φ u ( Ar ( Ar (... Arn ( u ( + φ( + φ ( +... φn ( (3) (4) U analizi linearnih sistema se često primenjuje grafičko prikazivanje frekventnih karakteristika. Najčešće korišćeni grafički prikazi su: Bode-ovi dijagrami, Nyquist-ov dijagram i Nichols-ov dijagram. II Bode-ovi dijagrami Bode-ovi dijagrami predstavljaju grafički prikaz amplitudne i fazne karakteristike u funkciji frekvencije. U MATLABu se dobijaju korišćenjem naredbe bode. Na primer: >> bode([3],[]) kreira Bode-ove dijagrame proporcionalnog elementa K3.
! U MATLABu amplitudna karakteristika je po defaultu data u db (0log(AR)) a fazna u stepenima. Bode-ovi dijagrami kapacitivnog elementa (/ se dobijaju: >> bode([],[ 0]) Fazna karakteristika kapacitivnog elementa ima vrednost -π/, a amplitudna opada za sve vrednosti frekvencije. >> bode([.5],[5 ]) kreira Bode-ove dijagrame sistema prvog reda čija je prenosna funkcija:.5 5 s. Asimptota niskih frekvancija amplitudne karakteristike ima vrednost K.5 (0log(.5)). Presek asimptota niskih i visokih frekvencija određuje prelomnu frekvenciju ω/τ/50.. Nagib asimptote visokih frekvencija u log-log koordinatnom sistemu je - (jednak redu sistema). Međutim, ako je AR u decibelima (po defaultu u Matlabu), nagib neće biti -. Fazna karakteristika je u opsegu od 0 do - π/. K Amplitudna karakteristika sistem drugog reda ima maksimum τ s + τξs u Bode-ovom dijagramu kada je koeficijent prigušenja ξ<0.707. Na primer: >> bode([],[4 ]) kreira Bode-ove dijagrame sistema drugog reda gde je τ, a ξ0.5. Ukoliko je ξ>0.707 amplitudna karakteristika nema maksimum. Na primer: >> bode([],[.8 ]) Fazna karakteristika u oba slučaja je u opsegu od 0 do -π, a nagib asimptote visokih frekvencija (amplitudne karakter.) je -. U Bode-ovim dijagramima diferencijalnog elementa τ s, nagib asimptote visokih frekvencija (amplitude) je +, a fazna karakteristika je u opsegu od 0 do π/. Na primer: >> bode([5 ],[]) kreira Bode-ove dijagrame diferencijalnog elementa 5s.? Kreirati Bode-ove dijagrame sistema: a) ( s + 0.)( s + 5)( s + 40)
0.s b) (6s )(3s ) i faznu katarakteristiku. c) 0.05s s( s + 0.5s ) i prokomentarisati amplitudnu III Nyquist-ov dijagram Nyquist-ov dijagram se dobija crtanjem kompleksne funkcije j u pravougaonom Decart-ovom koordinatnom sistemu u kome se na apscisi nanosi Re(j) a na ordinati Im(j). Nyquist-ov dijagram se crta za vrednosti frekvencije od 0 do, te svakoj frekvenciji odgovara jedna tačka u dijagramu. U MATLABu se Nyquist-ov dijagram dobija primenom naredbe nyquist. Na primer: >> nyquist([],[ 0]) kreira Nyquist-ov dijagram kapacitivnog elementa (/. Realni deo j ima vrednost 0. >> nyquist ([.5],[5 ]) kreira Nyquist-ov dijagram sistema prvog reda čija je prenosna funkcija:.5 5 s. Hodograf vektora j je simetričan u odnosu na apscisu, nalazi se u četvrtom kvadrantu i ima oblik polukruga sa prečnikom.5. Nyquist-ov dijagram sistema drugog reda 4s + s naredbe: se kreira pomoću >> nyquist ([],[4 ]) >> hold on; U istom dijagramu je predstavljen Nyquist-ov dijagram sistema drugog reda sa različitom vremenskom konstantom (τ) i koeficijentom prigušenja (ξ0.9) >> nyquist ([],[.8 ]) >> hold off; >> nyquist ([5 ],[]) kreira Nyquist-ov dijagram diferencijalnog elementa ima vrednost +. 5s. Realni deo j
? Kreirati Nyquist-ove dijagrame sistema: a) ( s + 0.)( s + 5)( s + 40) 0.s b) (6s )(3s ) c) 0.05s s( s + 0.5s ) IV Nichols-ov dijagram Nichols-ov dijagram daje zavisnost amplitudne od fazne karakteristike u pravougaonom Decart-ovom koordinatnom sistemu. Na apscisi se nanosi φ(, u lineranoj podeli, a na ordinati AR( u logaritamskoj podeli ili decibelima. Nichols-ov dijagram se takođe crta za vrednosti frekvencije od 0 do, te svakoj frekvenciji odgovara jedna tačka u dijagramu. U MATLABu se Nichols-ov dijagram dobija primnom naredbe nichols. Na primer: >> nichols([],[ 0]) kreira Nichols-ov dijagram kapacitivnog elementa (/. Fazna karakteristika ima vrednost -π/.! U MATLABu amplitudna karakteristika je predstavljena u db. >> nichols([],[5 ]) kreira Nichols-ov dijagram sistema prvog reda čija je prenosna funkcija: 5 s. Fazna karakteristika ima asimptotu u -π/ kada ω, a amplitudna pojačanju sistema (0log()) kada ω 0. Nichols-ov dijagram sistema drugog reda 4s + s naredbe: se kreira pomoću >> nichols ([],[4 ]) >> hold on; U istom dijagramu je predstavljen Nichols-ov dijagram sistema drugog reda sa različitom vremenskom konstantom (τ) i koeficijentom prigušenja (ξ0.9) >> nichols ([],[.8 ]) >> hold off;
U oba slučaja fazna karakteristika teži -π kada ω, a amplitudna pojačanju sistema kada ω 0. Prvi sistem ima maksimum amplitudne katrakteristike (ξ0.5). >> nichols ([5 ],[]) kreira Nichols-ov dijagram diferencijalnog elementa 5s. Fazna karakteristika ima asimptotu u +π/ kada ω, a amplitudna teži vrednosti 0 kada ω 0.? Kreirati Nichols-ove dijagrame sistema: a) ( s + 0.)( s + 5)( s + 40) 0.s b) (6s )(3s ) c) 0.05s s( s + 0.5s ) Rezultat naredbi Bode, Nyquist i Nichols, može biti i storniran u matrici, odnosno vektorima, umesto da bude grafički prikazan. Na primer: >> [AR Fi w] bode([], [.8 ]) >> [Re Im w] nyquist([], [.8 ]) >> [AR Fi w] nichols([], [.8 ]) Daje vektore AR, φ, Re, Im za odgovarajuće frekvencije za sistem definisan prenosnom funkcijom: G (, primenom naredbi Bode, Nyquist i s.8s Nichols. ###. Kreirati Bode-ove dijagrame, Niquist-ov i Nichols-ov dijagram sledećih sistema: 3s a) (s )(0.5s ) b) 5( s + 0.05) s ( s + ) s G( 3 G ( c) paralelne veze tri elementa: s(3s ), s + 0. 5, 4 G3 ( s + s
. Povratna reakcija prvog reda B se odigrava u izotermnom protočnom A k k reaktoru sa idealnim mešanjem. U reaktor ulazi razblaženi rastvor komponente A, čija koncentracija u stacionarnom stanju je C Ai,s 0.5 kmol/m 3. Zapremina reaktora je konstantna i jednaka V m 3. Protok je promenjiv i u stacionarnom stanju je F s m 3 /s. Brzina hemijske reakcije k.5 s -, a brzina povratne reakcije je k s -. a) Definisati ulazne promenjive, izlazne promenjive i promenjive stanja. b) Sastaviti dinamički model sistema. c) Dobijeni model linerizovati. d) Odrediti vrednosti koncentracija komponenti A i B u stacionarnom stanju: C As i C Bs (rešavanjem sistema algebarskih linearnih jednačina u MATLABu). e) Odrediti sve prenosne funkcije koje se mogu definisati za ovaj reaktor u obliku količnika dva polinoma i zadati ih u MATLABu. f) Transformisati sve prenosne funkcije iz oblika količnika polinoma u faktorizovan oblik. g) Naći analitički izraz za vremensku promenu koncentracije C A na stepenastu, impulsnu i sinusnu promenu ulazne koncentracije C A,i h) Kreirati grafički prikaz vremenskog odziva svih prenosnih funkcija na stepenastu i impulsnu promenu ulaza. i) Kreirati Bode-ve, Nyqust-ove i Nichols-ove dijagrame svih prenosnih funkcija koje se mogu izvesti za dati reaktor.