Digitalni sistemi automatskog upravljanja

Digitalni sistemi automatskog upravljanja Upotreba digitalnih računara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenije naglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti, te drastičnog pada cena. Blok dijagram digitalnog sistema automatskog upravljanja sa jednostrukom povratnom spregom je prikazan na slici. Digitalni računar u ovoj konfiguraciji prima signal greške u digitalnom obliku, vrši njegovu obradu i na svom izlazu daje digitalni signal potreban za upravljanje procesom. Računar se može programirati tako da njegov izlazni signal obezbeđuje regulaciju pri kojoj će proces imati baš (ili skoro) željene karakteristike (i performanse). Većina računara je sposobna da prima i obrađuje više različitih ulaznih signala, tako da su digitalni SAU veoma često multivarijabilni. Digitalni računar prima i obrađuje signale u digitalnoj (numeričkoj) formi, za razliku od kontinualnih sistema gde su svi signali analogni. Digitalni sistem automatskog upravljanja (DSAU) koristi digitalne signale i digitalni računar u cilju upravljanja procesom (i njegovom regulacijom). Rezultati merenja se iz analognog oblika konvertuju u digitalni primenom analogno/digitalnog (A/D) konvertora (slika ). Nakon procesiranja, računar na svom izlazu daje digitalni signal. Digitalni signal se zatim konvertuje u analogni oblik primenom digitalno/analognog (D/A) konvertora (slika ). Referentni ulaz (digitalni signal) Digitalni računar Digitalni signal Digitalnoanalogni konvertor Analogni signal Aktuator Proces Odziv-izlaz (analogni signal) Digitalni signal Analogno -digitalni konvertor Analogni signal Slika. Senzor (merenje) Sistemi sa mešovitim (analognim i diskretnim) komponentama - "sampled-data systems" Računar je u sistemu automatskog upravljanja povezan sa aktuatorom i procesom preko konvertora signala. Izlaz iz računara se procesira D/A konvertorom. Smatra se da svi ulazni i izlazni signali računara dolaze i odlaze u jednakim, fiksiranim vremenskim intervalima T. Veličina T se naziva perioda odabiranja (semplovanja). Ovo je prikazano na slici 2, gde sekvenca (niz) diskretnih (semplovanih) vrednosti ulaznog signala r(kt) ulazi u digitalni računar. Na istoj slici su prikazani još i diskretni signali u(kt) i m(kt), te analogni signali, m(t) i y(t) koji su kontinualne funkcije vremena. Podaci o vrednosti neke promenljive x(t) dobijeni u diskretnim vremenskim intervalima se označavaju sa x(kt) i nazivaju semplovani podaci odnosno diskretni (diskretizovani) signal. str. od 2

r(kt) Referentni ulaz Digitalni računar u(kt) Digitalnoanalogni konvertor Aktuator i proces y(t) Odziv-izlaz m(kt) Analogno -digitalni konvertor Slika 2. m(t) Odabirač se u osnovi može predstaviti kao prekidač koji se zatvara na beskonačno kratko vreme svakih T sekundi. Idealni odabirač je prikazan na slici 3. Ulazni signal je,a izlazni r*(t). Perioda (vreme) odabiranja (semplovanja) je nt, tako da je tekuća vrednost signala r*(t) signal r(nt). Na osnovu ovoga se može napisati r*(t)=r(nt)δ(t-nt), gde je δ(t-nt) jedinična impulsna funkcija (Dirakov impuls). Odabirač "Sempler" Kontinualni signal Slika 3. r*(t) Diskretni signal Neka se sada vrši semplovanje signala i na taj način dobija signal r*(t), kako je prikazano na slici 3. Signal r*(t) se predstavlja nizom (povorkom) impulsa koji počinje u trenutku t=0. Međusobni razmak između impulsa je T a njihova amplituda r(kt). Na slici 4a je prikazan ulazni signal, dok je odgovarajuća povorka impulsa r*(t) = r(kt)δ(t-kt) k=0 prikazana vertikalnim strelicama na slici 4b. r(2t) r(3t) r(kt) r(t) r(4t) 0 T 2T 3T 4T t 0 T 2T 3T 4T t a) b) Slika 4. str. 2 od 2

Digitilano-analogni (D/A) konvertor je uređaj čija je uloga da diskretni signal r*(t) pretvori u kontinualni signal. D/A konvertor se obično predstavlja kolom zadrške nultog reda, prikazanom na slici 5. Odabirač Zadrška nultog reda r*(t) G 0 (s) Slika 5. Kolo zadrške nultog reda uzima vrednost signala r(kt) i drži je konstantnom u vremenskom intervalu kt t (k+)t, kako je prikazano na slici 6. za k=0. Na ovaj način se zadržava vrednost signala r(kt) tokom cele periode odabiranja. 0 T Vreme Slika 6. Odabirač i kolo zadrške nultog reda mogu veoma tačno da prate ulazni signal ako je perioda odabiranja T mala u odnosu na tranzijentne promene signala. Na slici 7 je prikazan odziv kola zadrške nultog reda na jediničnu nagibnu pobudu i periodu odabiranja T=sec. 7 6 5 i 4 3 2 0 0 2 3 4 5 6 7 Vreme [s] Slika 7. str. 3 od 2

Na slici 8 i 9 su prikazani odzivi odabirača i kola zadrške nultog reda na eksponencijalno opadajući ulazni signal =e -t i periodu odabiranja T=0.5s i T=0.2s, respektivno. Izlazni signal će biti bliži ulaznom što je T bliže nuli, odnosno što se češće vrši odabiranje. 0.8 T=0.5s i 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 Vreme [s] Slika 8. 0.8 i 0.6 0.4 T=0.2s 0.2 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 Vreme [s] Slika 9. Na slici 6 je prikazan impulsni odziv kola zadrške nultog reda, i on se analitički može napisati u obliku = h(t) - h(t-t). () Pošto Laplasova transformacija impulsnog odziva predstavlja funkciju prenosa sistema, to se nakon primene transformacije na izraz () dobija funkcija prenosa kola zadrške nultog reda G 0 (s) = s - s e-st = - e-st s (2) str. 4 od 2

Preciznost digitalnog računara i odgovarajućih konvertora signala je ograničena (slika 2). Preciznost se definiše kao stepen tačnosti sa kojim je registrovana vrednost (amplituda, kvantitet) signala. Preciznost računara je ograničena konačnom dužinom reči koju on koristi. Preciznost A/D konvertora je ograničena njegovom sposobnošću da vrednost izlaznog signala čuva u digitalnoj logičkoj jedinici koja sadrži konačan broj binarnih cifara. Za konvertovani signal, m(kt), se tada kaže da sadrži grešku amplitudne kvantizacije. Kada je greška kvantizacije i greška usled konačne dužine reči računara mala u odnosu na amplitudu signala, sistem je dovoljno precizan i navedena ograničenja se mogu zanemariti. Z transformacija Izlaz idealnog odabirača, r*(t) je serija (povorka) impulsa vrednosti r(kt), predstavljena izrazom r*(t) = r(kt)δ(t-kt), (3) k=0 za t>0. Nakon primene Laplasove transformacije na izraz (3) sledi L{r*(t)} = r(kt)e -kst. (4) k=0 Izraz (4) predstavlja beskonačni red koji sadrži činioce oblika e st, i njegove stepene. Sada se može definisati z = e st. (5) Izraz (5) definiše preslikavanje iz kompleksne s-ravni u z-ravan. Na ovaj način se definiše nova, z-transformacija. Sada se može pisati Z{} = Z{r*(t)} = r(kt)z -k. (6) k=0 U opštem slučaju se z-transformacija funkcije f(t) određuje prema izrazu Z{f(t)} = F{z} = f(kt)z -k. (7) k=0 Primer. Odrediti z-transformaciju jediničnog odskočnog signala. Rešenje. h(t)=, t 0 h(kt)=, k 0. Prema izrazu (7) se može napisati Z{h(t)} = H{z} = h(kt)z -k = z -k. (.) k=0 k=0 Sumiranjem reda iz prethodnog izraza sledi H(z) = - z - = z z - (.2) Primer 2. Odrediti z-transformaciju eksponencijalnog signala f(t)=e -at, t 0. str. 5 od 2

Rešenje. Prema izrazu (7) se može napisati ( ) Z{e -at } = F{z} = e -akt z -k = ze at -k. (2.) k=0 k=0 Sumiranjem reda iz prethodnog izraza sledi z F(z) = = at - z - e -at (2.2) - ( ze ) Primer 3. Odrediti z-transformaciju sinusnog signala f(t)=sin(ωt), t 0. Rešenje. Sinusna funkcija se može napisati u obliku sin(ωt) = ejωt - e -jωt 2j, odnosno {sin(ωt)} = e jωt 2j - e-jωt 2j. (3.) Sada je F(z) = 2j z z - e jωt - z z - e -jωt = 2j z( e jωt - e -jωt ) z sin(ωt) z 2 - z( e jωt - e -jωt = ) + z 2-2z cos(ωt) + (3.2) U tabeli je dat pregled z-transformacija nekih, najčešće susretanih funkcija, dok su u tabeli 2 date najvažnije osobine z-transformacije. Tabela. Z-transformacija funkcija x(t) X(z) x(t) X(z) δ(t) - e -at ( - e -at ) z (z - )( z - e -at ) δ(t-kt) z -k sin(ωt) z sin(ωt) z 2-2z cos(ωt) + h(t) z cos(ωt) z( z - cos(ωt) ) z - t e -at z 2-2z cos(ωt) + Tz (z - ) 2 e -at sin(ωt) ze -at sin(ωt) z 2-2z e -at cos(ωt) + e -2aT z z - e -at e -at cos(ωt) z( z - e -at cos(ωt) ) z 2-2z e -at cos(ωt) + e -2aT str. 6 od 2

Tabela 2. Osobine z-transformacije x(t) X(z) x(t) X(z) ze at kx(t) kx(z) e -at x(t) X( ) x (t) + x 2 (t) X (z) + X 2 (z) x(t+t) tx(t) zx(z) - zx(0) -Tz dx(z) dz x(0), početna vrednost x(), krajnja vrednost lim X(z) z lim(z-)x(z). Limes postoji ako je z sistem stabilan, odnosno ako svi polovi funkcije (z-)x(z) leže unutar jediničnog kruga z =, u z- ravni. Diskretna funkcija prenosa sistema automatskog upravljanja Posmatra se sistem prikazan na slici 0, gde je izvršena diskretizacija ulaznog (R(z)) i izlaznog signala (). Funkcija prenosa ovog sistema u z-domenu je G(z) = R(z). (8) Pretpostavlja se da oba odabirača imaju istu periodu odabiranja i da je njihov rad sinhronizovan. Sada se može napisati = G(z)R(z) (9) R(z) G(z) Slika 0. Izraz (9) se može predstaviti blok dijagramom prikazanom na slici. R(z) G(z) Slika. Primer 4. Posmatra se digitalni sistem automatskog upravljanja prikazan na slici 4.. Odrediti funkciju prenosa u z-domenu za periodu odabiranja T=s i jedinični impulsni odziv sistema. Odabirač Zadrška nultog reda Proces T= r*(t) G 0 (s) Gp(s) = s(s + ) y(t) Slika 4.. str. 7 od 2

Rešenje. Funkcija prenosa kola zadrške nultog reda je: G 0 (s) = - e-st s, tako da je funkcija prenosa Y(s) R*(s) određena izrazom Izraz (4.) se može napisati u obliku G(s) = ( ) Y(s) R*(s) = G 0 (s)g - e-st p (s) = G(s) = s 2 (s + ) (4.) - e -st s 2 - s + s +. (4.2) Primenom z-transformacije na prethodni izraz dobija se - z - Tz (z - ) 2 - z z - + z (z - )( z - e -T ). (4.3) Pošto je T=, izraz (4.3) postaje G(z) = ze- + - 2e - 0.3678z + 0.2644 = (z - )( z - e - (z - )(z - 0.3678) ) 0.3678z + 0.2644 z 2 -.3678z + 0.3678. (4.4) G(z) = ( ) ze-t - z + Tz + ( - e -T - Te -T ) z + e -T = ( ) Za jediničnu impulsnu pobudu važi =δ(t) R(z)=. Odziv sistema je =G(z)R(z)=G(z), i on se određuje na osnovu izraza (4.4) jednostavnim deljenjem brojioca imeniocem =(0.3678z+0.2644):(z 2 -.3678z+0.3678)=0.3678z - +0.7675z -2 +0.945z -3 +0.9686z -4 +... (4.5) Sabirci na desnoj strani izraza (4.5) predstavljaju vrednosti odziva u trenucima odabiranja i pri određivanju izraza (4.5) je moguće odrediti proizvoljan broj ovih sabiraka. Prema izrazu (6) = y(kt)z -k. (4.6) k=0 se vidi da je y(0)=0, y(t)=0.3678, y(2t)=0.7675, y(3t)=0.945, y(4t)=0.9686, gde y(kt) predstavljaju vrednosti odziva y(t) u trenucima odabiranja kt. Diskretna funkcija prenosa sistema automatskog upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom Na slici 2 je prikazan digitalni sistem automatskog upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom. U povratnoj sprezi se vrši diskretizacija (semplovanje) izlaznog signala y(t), tako da u diskriminator dolazi njegova diskretna vrednost. Smatra se da svi odabirači u sistemu imaju istu periodu odabiranja i da je njihov rad sinhronizovan. Na slici 3. je prikazan blok dijagram istog sistema u kome su svi signali diskretni. Diskretna funkcija prenosa direktne grane G(z) je dobijena primenom z-transformacije na funkciju prenosa G(s)=G 0 (s)g p (s) koja se sastoji od redne veze procesa (G p (s)) i kola zadrške nultog reda (G 0 (s)). str. 8 od 2

R(z) + - E(z) G(z) Slika 2. Primenom algebre funkcije prenosa, na osnovu slike se može odrediti funkcija prenosa sistema (funkcija spregnutog prenosa) kao R(z) = T(z) = G(z) + G(z). (0) R(z) + - E(z) G(z) Slika 3. Na slici 4 je prikazan prethodni sistem automatskog upravljanja sa dodatim digitalnim kontrolerom. Na slici 5 je prikazan blok dijagram sistema nakon primene z-transformacije na sve signale. Funkcija spregnutog prenosa sistema u z-domenu je R(z) = T(z) = G(z)D(z) + G(z)D(z). () R(z) + - D(z) G(z) R(z) + - E(z) Slika 4 D(z) G(z) Slika 5 Primer 5. Posmatra se digitalni sistem automatskog upravljanja prikazan na slici 5.. Odrediti funkciju prenosa u z-domenu za periodu odabiranja T=s i jedinični odskočni odziv sistema. + - e(t) T= e*(t) Zadrška nultog reda G 0 (s) G p (s) s(s + ) y(t) Slika 5. str. 9 od 2

Rešenje. Funkcija prenosa u direktnoj grani G(z) za periodu odabiranja T=s je određena u primeru 4 0.3678z + 0.2644 G(z) = z 2 -.3678z + 0.3678. (5.) Funkcija spregnutog prenosa je: R(z) = Pošto je pobuda jedinična odskočna odziv sistema je = R(z) = G(z) 0.3678z + 0.2644 + G(z) = z 2 - z + 0.6322. (5.2) z z -, (5.3) z(0.3678z + 0.2644) 0.3678z 2 + 0.2644z (z - )( z 2 = - z + 0.6322) z 3-2z 2 +.6322z - 0.6322. (5.4) Nakon deljenja brojioca imeniocem u izrazu (5.4) dobija se povorka impulsa odziva = 0.3678z - + z -2 +.4z -3 +.4z -4 +.47z -5... (5.5) Na slici 5.2 je izlomljenom (plavom) linijom predstavljen odziv, dok je odziv istog sistema, ali bez diskretizacije (T=0, kontinualan sistem) predstavljen krivom (crvenom) linijom. Na slici se vidi da je preskok digitalnog sistema skoro tri puta veći od kontuinualnog, te da je vreme smirenja za digitalni sistem dva puta veće nego za kontinualni. Šta je uzrok ovako "lošeg" odziva digitalnog sistema? Da li se i kako to može popraviti?.6 Step Response From: U().4.2 Amplitude To: Y() 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 0 5 20 25 Time (sec.) Slika 4.2 str. 0 od 2

Analiza stabilnosti u z-ravni Uvod u digitalne sisteme automatskog upravljanja Linearni kontinualni sistem automatskog upravljanja je stabilan ako se svi polovi funkcije spregnutog prenosa nalaze u levoj poluravni kompleksne s-ravni. Relacija koja povezuje z- ravan i s-ravan je z = e st = e (σ+jω)t (2) Prethodni izraz se može napisati u obliku z = e σt Arg{z} = ωt. (3) U levoj poluravni kompleksne s-ravni je σ<0, tako da se moduo kompleksne promenljive z nalazi između 0 i. Na taj način je uspostavljena veza između imaginarne ose u s-ravni i jediničnog kruga u z-ravni. Leva poluravan s-ravni odgovara unutrašnjosti jediničnog kruga u z-ravni. Sada je moguće definisati stabilnost sistema u z-domenu. Digitalni sistem automatskog upravljanja je stabilan ako svi polovi funkcije spregnutog prenosa leže unutar jediničnog kruga u z-ravni. Primer 6. Posmatra se digitalni sistem automatskog upravljanja prikazan na slici 6.. Analizirati stabilnost sistema u zavisnosti od vrednosti promenljivog pojačanja K. Funkcija prenosa procesa je G p (s) = s(s + ). + e(t) - e*(t) Zadrška nultog reda KG p (s) Y(s) Slika 6. Rešenje. Funkcija prenosa otvorenog kola u z-domenu je K(0.3678z + 0.2644) G(z) = z 2 -.3678z + 0.3678 (6.) Nakon zatvaranja povratne sprege, karakteristična jednačina [+G(z)]=0 se svodi na z 2 + (0.3678K -.3678)z + 0.2644K + 0.3678 = 0 (6.2) K= z 2 - z + 0.6322 = 0 (z - 0.5 + j0.682)(z - 0.5 - j0.682) = 0 (6.3) Pošto oba pola sistema z i z 2 leže unutar jediničnog kruga, sistem je za vrednost pojačanja K= stabilan. K=0 z 2-2.30z + 3.02 = 0 (z -.55 + j.295)(z -.55 - j.295) = 0 (6.4) Pošto oba pola sistema z i z 2 leže van jediničnog kruga, sistem je za vrednost pojačanja K=0 nestabilan. K=2.39 z 2-0.50z + = 0 (z - 0.25 + j0.9682)(z - 0.25 - j0.9682) = 0 (6.4) z = z 2 = 0.25 2 + 0.9682 2 = (6.5) Pošto oba pola sistema z i z 2 leže na jediničnom krugu, sistem je za vrednost pojačanja K=2.39 granično stabilan. str. od 2

Realizacija PID regulatora u digitalnoj tehnici Funkcija prenosa PID regulatora se može napisati u obliku G PID (s) = U(s) E(s) = K + K 2 s + K 3s (4) U digitalnom obliku funkcija prenosa PID-a se može predstaviti primenom diskretnih aproksimacija izvoda i integrala. Za izvod po vremenu se može primeniti pravilo razlike u nazad de u(kt) = dt t=kt = T [ e(kt) - e((k-)t) ]. (5) Z-transformacija prethodnog izraza je U(z) = - z- T E(z) = z - Tz E(z). (6) Integral promenljive e(t) se može aproksimirati primenom pravila za pravougaonu integraciju u napred, u trenutku t=kt u(kt) = u[(k-)t] + Te(kT), (7) gde je u(kt) izlaz iz integratora u trenutku t=kt. Z-transformacija prethodnog izraza je U(z) = U(z) U(z) z + TE(z) E(z) = Tz z - (8) Na osnovu izraza (4), (6) i (8) može se napisati funkcija prenosa PID regulatora u z- domenu G PID (z) = U(z) E(z) = K + K Tz 2 z - + K z - 3 Tz. (9) Na osnovu prethodnog izraza se može napisati izraz za diskretizovani izlazni signal PID-a, odnosno upravljanje koje on generiše (uvedena je oznaka x(kt)=x(k)) odnosno u(k) = K e(k) + K 2 [u(k - ) + T e(k)] + K 3 T [e(k) - e(k - )], (20) u(k) = K + K 2 T + K 3 T e(k) + K 3 T e(k - ) + K 2 u(k - ). (2) Izrazi (20) i (2) se mogu realizovati primenom digitalnog računara ili mikroprocesora. Naravno, postavljanjem određenih koeficijenata na nulu PID algoritam se može modifikovati u P, PI ili PD upravljački algoritam. str. 2 od 2