Obyčajné diferenciálne rovnice

(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013

Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú účinný a spoľahlivý nástroj na modelovanie dejov, javov, zákonov v rôznych oblastiach vedy, techniky a ľudského konania. Teória DR sa začala rozvíjať v druhej polovici 17. storočia so vznikom newtonovskej mechaniky, diferenciálneho a integrálneho počtu. My už vieme, že zavedenie pojmu derivácie funkcie umožnilo matematicky zachytiť pohyb, zmenu. Dôsledkom čoho mnohé deje, zákony popisujúce zmenu je možné popísať, modelovať pomocou diferenciálnych rovníc. V nasledujúcom si uvedieme niekoľko konkrétnych príkladov. a) Model pre pohyb telesa zaveseného na pružine Tento pohyb je možné popísať DR tvaru m s (t) = k s(t) + m g, kde m je hmotnosť telesa, s(t) je výchylka, odchýlka telesa z rovnovážnej polohy v okamihu t, g je gravitačné zrýchlenie a k je koeficient daný vlastnosťami pružiny. Na teleso pôsobí sila zemskej

Úvod príťažlivosti m g a taktiež odpor pružiny, ktorý je priamoúmerný výchylke z rovnovážnej polohy. Celková sila pôsobiaca na teleso v okamihu t je potom rovná m g k s(t). Podľa Newtonovho pohybového zákona pre silu f pôsobiacu (v smere priamky) na teleso v okamihu t platí f(t) = m s (t). Následne dostávame horeuvedenú DR. b) Model pre rozpad rádioaktívneho materiálu Množstvo rádioaktívnej látky y(t) v čase t, za predpokladu, že rýchlosť rozpadu látky v ktoromkoľvek časovom okamihu t je priamoúmerná množstvu látky ešte zostávajúcej v tomto časovom okamihu, môžeme popísať DR v tvare y (t) = k y(t), kde k je vhodná kladná konštanta (vypočítame ju na základe polčasu rozpadu danej rádioaktívnej látky). c) Model pre zmiešavanie roztokov Daná je nádoba obsahujúca M litrov slanej vody. Zhora do nádoby priteká čistá voda rýchlosťou m litrov za minútu. Roztok sa v Matematická nádobe "okamžite analýza 2 pre informatikov poriadne" a fyzikov premieša Obyčajnéa potom diferenciálne cezrovnice otvor na dne

Úvod nádoby vyteká rýchlosťou tiež m litrov za minútu. Množstvo soli y(t) v roztoku v čase t v kilogramoch môžeme popísať DR tvaru y (t) = m y(t) M. Zdalo by sa, že DR sú univerzálny prostriedok na skúmanie stačí uvedený jav popísať DR, následne ju vyriešiť a "poznanie sveta" je hotové. Bohužiaľ, nie je niekedy jednoduché presne popísať skúmaný dej pomocou DR a následne ju vyriešiť. Napr. v príklade c) získaná DR popisuje uvedený dej, avšak veľmi ideálny (roztok sa nepremieša okamžite je tam nejaký časový posun!). V súčastnosti nám riešenie DR vedia uľahčiť počítače, ale aj pri ich použití musíme niečo vedieť z teórie DR.

Základné pojmy V ďalšom budeme potrebovať nasledujúce pojmy z teórie funkcie viac premenných. Množinu všetkých usporiadaných n tíc reálnych čísel budeme označovať R n, t.j. R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ); x i R, i = 1, 2,..., n}. Nech Ω R n. Reálnou funkciou n reálnych premenných budeme nazývať priradenie, ktoré každému x Ω priradí práve jedno reálne číslo, množinu Ω nazývame definičný obor funkcie. Označujeme ho y = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ), x Ω, resp. f : Ω R. Tieto aj mnohé ďalšie pojmy si presnejšie definujeme neskôr. V nasledujúcom sa oboznámime so základnými pojmami teórie obyčajných DR, ako sú napr. pojem diferenciálna rovnica, jej rád a riešenie.

Základné pojmy Čo budeme rozumieť pod pojmom obyčajná DR? Je to rovnica s jednou neznámou funkciou jednej nezávislej premennej a s istým konečným počtom jej derivácií. Môžeme to formálne zapísať takto: F (t, y, y,..., y (n) ) = 0, (1) kde F je daná funkcia n + 2 premenných definovaná na nejakej množine G = I Ω, I R, Ω R n+1, y je neznáma funkcia nezávislej premennej t a y, y,..., y (n) sú jej derivácie až do n tého rádu, n N. Rád najvyššej derivácie, ktorá sa vyskytuje v danej rovnici sa nazýva rádom obyčajnej DR. Napr. rovnica y y y = 2t je rovnicou tretieho rádu. Poznámka: DR n-tého rádu musí vždy obsahovať y (n), ostatné premenné t, y, y,..., y (n 1) sa v nej vyskytovať nemusia. Ak je možné z rovnice (1) vyjadriť y (n) ako funkciu f premenných t, y, y,..., y (n 1), tak rovnicu (1) zapisujeme v tvare

Základné pojmy y (n) = f(t, y, y,..., y (n 1) ). (2) O DR (1) hovoríme, že je vyjadrená v implicitnom tvare (alebo že je nerozriešená vzhľadom na najvyššiu deriváciu) a o DR (2) hovoríme, že je vyjadrená v explicitnom tvare (alebo že je rozriešená vzhľadom na najvyššiu deriváciu). Čo je riešením DR? Keďže neznámou v DR je funkcia, tak riešením je funkcia (množina funkcií?!), ktorá musí spĺňať tieto požiadavky: a) musí sa dať dosadiť do rovnice, t.j. musia existovať všetky jej derivácie vyskytujúce sa v rovnici, b) môže nadobúdať (aj jej derivácie) len také hodnoty, ktoré patria do definičného oboru F, c) po jej dosadení (aj jej derivácií) do funkcie F musí byť F identicky rovná nule. Presnejšie si tento pojem definujme nasledovne: Funkciu ϕ n krát spojite diferencovateľnú na intervale I nazývame riešením (integrálom) DR (1) na intervale I, ak pre každé t I

Základné pojmy platí, že (t, ϕ(t), ϕ (t),..., ϕ (n) (t)) G a F (t, ϕ(t), ϕ (t),..., ϕ (n) (t)) = 0. Poznámky: V zmysle predchádzajúcej definície je potrebné (ak to budeme schopní urobiť) určiť interval I, na ktorom je funkcia y = ϕ(t) riešením danej DR. V mnohých prípadoch je interval I totožný s definičným oborom funkcie y = ϕ(t). Graf riešenia DR (1) nazývame integrálnou krivkou tejto rovnice. Riešiť DR znamená nájsť všetky jej riešenia. Nie vždy sa nám podarí nájsť riešenie DR v tvare y = ϕ(t), t.j. v explicitnom tvare. Riešenie DR môže byť vyjadrené aj v implicitnom tvare, t.j. rovnicou Φ(t, y) = 0. Príklad: Riešte DR y = 2t 2 na celom R. Všetky riešenia danej DR predstavujú množinu funkcií {y C 1 (R); y(t) = t 2 2t + c, t R, c R}. Je ich nekonečne veľa! Otázka: Existuje riešenie danej DR prechádzajúce bodom (2, 1)?

Základné pojmy y(2) = 1 1 = 4 4 + c c = 1 a teda funkcia y(t) = t 2 2t + 1 je riešením DR, ktoré prechádza bodom (2, 1). Aj z dôvodu, aby sme rozlíšili riešenie a riešenie prechádzajúce bodom, uvedieme nasledujúce tri typy riešení: a) všeobecné riešenie Množinu všetkých riešení danej DR n tého rádu s výnimkou singulárnych riešení nazývame všeobecné riešenie. Toto riešenie má tvar y = ϕ(t, c 1, c 2,..., c n ), resp. Φ(t, y, c 1, c 2,..., c n ) = 0, kde c 1, c 2,..., c n sú ľubovoľné reálne čísla. Je dôležité si uvedomiť, že všeobecné riešenie obsahuje taký počet konštánt c 1, c 2,..., c n akého rádu je skúmaná DR. b) partikulárne riešenie Partikulárnym riešením danej DR (1) nazývame také jej riešenie, ktoré dostaneme zo všeobecného riešenia vhodnou voľbou konkrétnych konštánt c 1, c 2,..., c n. Partikulárne riešenie je vlastne jedno konkrétne riešenie uvažovanej DR.

Základné pojmy K partikulárnemu riešeniu vedie úloha nájdenia takého riešenia DR (1), ktoré vyhovuje daným začiatočným podmienkam. Táto úloha sa nazýva Cauchyho úloha. Jej presná formulácia je nasledovná: Nájdite riešenie DR (1), ktoré vyhovuje podmienkam y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1, y (t 0 ) = y 2,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1, kde t 0 I a y 0, y 1, y 2,..., y n 1 sú dané reálne čísla. Tieto podmienky nazývame Cauchyovské počiatočné podmienky. O riešení vyhovujúcom týmto podmienkam budeme tiež hovoriť, že prechádza bodom (t 0, y 0, y 1,..., y n 1 ). Poznámka: Cez daný bod môže prechádzať jedno, ale aj viac riešení. Napr. uvažujme DR y = y 2 3. Funkcia ϕ 1 (t) = 1 27 t3, t R je riešením tejto DR, { ktoré prechádza bodom ( 3, 1) a tiež funkcia 1 ϕ 2 (t) = 27 t3, t (, 0) je riešením, ktoré prechádza bodom 0, t 0, + ) ( 3, 1).

Základné pojmy c) singulárne riešenie Singulárnym riešením danej DR (1) nazývame také jej riešenie, ktoré nevznikne zo všeobecného riešenia žiadnou voľbou konštánt c 1, c 2,..., c n. Určíme ho (ak existuje) nezávisle od všeobecného riešenia počas riešenia danej DR. Otázkami, či existuje riešenie Cauchyho úlohy, resp. či je jediné sa nebudeme zaoberať. V ďalšom sa sústredíme len na metódy riešenia niektorých typov DR prvého a druhého rádu. Ešte predtým sa pozrieme na spôsoby nájdenia približného riešenia (v niektorých prípadoch aj presného riešenia) rovníc prvého rádu v explicitnom tvare y (t) = f(t, y) na množine G = I Ω R R, kde je funkcia f definovaná. My už vieme, že množina bodov (t, y) v rovine, ktorá predstavuje graf riešenia tejto DR sa nazýva integrálna krivka. Ukážeme si ako ju môžeme približne nájsť. Budeme vlastne hovoriť o geometrickej interpretácii riešenia DR prvého rádu.

Geometrická interpretácia riešenia DR Každému bodu (t, y) G je priradená hodnota funkcie f a podľa vzťahu y (t) = f(t, y) je táto hodnota rovná derivácii neznámej funkcie y v bode t. Ak vezmeme do úvahy geometrický význam derivácie v bode (y (t) predstavuje smernicu dotyčnice k integrálnej krivke v bode (t, y(t))), môžeme povedať, že každému bodu (t, y) G je vzťahom y (t) = f(t, y) priradená smernica dotyčnice k integrálnej krivke v bode (t, y(t)) alebo je priradený istý smer. Množinu G, ktorej každému bodu je uvedeným spôsobom priradený nejaký smer, budeme nazývať smerové pole DR y (t) = f(t, y). Integrálna krivka je taká krivka, ktorej dotyčnica v každom jej bode (t, y) má smer totožný s nejakým smerom smerového poľa. To umožňuje hľadať riešenie DR integrálnu krivku graficky pomocou smerového poľa. Konštruovať smerové pole je výhodné pomocou izoklín. Izoklína je krivka, ktorej každému bodu je priradený ten istý smer. Rovnicu k = f(t, y), kde k je dané reálne číslo, budeme nazývať rovnicou izoklíny. Pre rôzne čísla k máme rôzne izoklíny. Teda, rovnice izoklín dostaneme z rovnice y (t) = f(t, y), ak položíme deriváciu neznámej funkcie y rovnú konštante k R.

Picardova postupnosť postupných aproximácii Uvedieme si ešte jeden spôsob nájdenia približného riešenia (v niektorých prípadoch aj presného) Cauchyho úlohy. Ide o tzv. metódu Picardových postupných aproximácii. Uvažujme Cauchyho úlohu y (t) = f(t, y), y(t 0 ) = y 0, pričom funkcia f je definovaná na množine G = I Ω R R, t 0 I a y 0 Ω. Začiatočnú (nulovú) aproximáciu si definujme ϕ 0 (t) = y 0 a následne ďalšie aproximácie takto: t ϕ 1 (t) = y 0 + f(s, ϕ 0 (s))ds, t 0 t ϕ 2 (t) = y 0 + f(s, ϕ 1 (s))ds, t 0. t ϕ n (t) = y 0 + f(s, ϕ n 1 (s))ds, n = 1, 2,... a t O(t 0 ). t 0 Výsledná postupnosť funkcií ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ n,... definovaná na nejakom okolí bodu t 0 sa nazýva Picardova postupnosť postupných

Picardova postupnosť postupných aproximácii aproximácii. Dá sa ukázať, že za určitých predpokladov táto postupnosť konverguje k riešeniu danej Cauchyho úlohy. Poznámka: Nájsť presné riešenie Cauchyho úlohy pomocou Picardových postupných aproximácii je väčšinou úloha veľmi ťažká, lebo je problém nájsť Picardove aproximácie vyšších rádov a hlavne následne určiť limitu tejto postupnosti Picardových aproximácii. Preto túto metódu používame predovšetkým na hľadanie približného riešenia Cauchyho úlohy. Každá z Picardových aproximácii je už nejakým približným riešením uvažovanej Cauchyho úlohy na nejakom okolí bodu t 0.

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Cieľom tejto časti je oboznámiť sa s metódami hľadania všeobecného riešenia niektorých typov DR prvého rádu. A) DR "neobsahujúca" neznámu funkciu DR neobsahujúcou neznámu funkciu nazývame rovnicu typu y = f(t), kde funkcia f je spojitá na intervale I R. Túto rovnicu vyriešime jednoduchým integrovaním. Keďže funkcia f je spojitá na intervale I, tak existuje k nej primitívna funkcia F, resp. nekonečne veľa primitívnych funkcií, ktoré predstavujú všeobecné riešenie tejto DR na intervale I, t.j. všeobecným riešením je funkcia y(t) = F (t) + c, kde c R, t I. B) DR so separovanými premennými Diferenciálna rovnica tvaru g(y)y = p(t), (SP) kde funkcia p je spojitá na intervale I t R a funkcia g je spojitá na intervale J y R, sa nazýva DR so separovanými premennými.

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Spôsob riešenia tejto DR sa nachádza v nasledujúcej vete. Veta Nech funkcia p je spojitá na intervale I t R a funkcia g je spojitá na intervale J y R. Potom každá spojite diferencovateľná funkcia ϕ na intervale I 1 I t je riešením rovnice (SP) na intervale I 1 I t vtedy a len vtedy, keď vyhovuje na intervale I 1 I t (funkcionálnej) rovnici G(y) = P (t) + c, kde c R (funkcia G je primitívna funkcia k funkcii g na intervale J y a funkcia P je primitívna funkcia k funkcii p na intervale I t ). Poznámka: Funkcionálna rovnica uvedená v tvrdení vety (všetky funkcie vyhovujúce tejto rovnici) predstavuje všeobecné riešenie rovnice (SP) v implicitnom tvare. Pokiaľ existuje inverzná funkcia G 1 k funkcii G na intervale I c G(J y ) (interval I c závisí od konštanty c, to znamená, že interval I c bude iný pre každú Cauchyho úlohu, t.j. závisí od počiatočnej podmienky, od bodu ktorým riešenie má

Základné metódy riešenia DR prvého rádu prechádzať), tak vzťahom y(t) = G 1 (P (t) + c), c R je určené všeobecné riešenie rovnice (SP) v explicitnom tvare. Riešiť rovnicu (SP) vlastne znamená nájsť uvedenú funkcionálnu rovnicu (označme si ju ako (FR)). Formálny prechod od (SP) ku (FR) je nasledovný: g(y)y = p(t) (SP) g(y) dy dt = p(t) g(y)dy = p(t)dt g(y)dy = p(t)dt G(y) = P (t) + c, c R (FR)

Základné metódy riešenia DR prvého rádu C) Separovateľná DR Uvažujme teraz diferenciálnu rovnicu tvaru p 1 (t)p 2 (y) + q 1 (t)q 2 (y)y = 0, (S) kde funkcie p 1, q 1 sú spojité na intervale I t R a funkcie p 2, q 2 sú spojité na intervale J y R. Takúto DR nazývame separovateľná diferenciálna rovnica. Za predpokladu, že q 1 (t)p 2 (y) 0 na množine M = I t J y sa dá 1 rovnica (S), prenásobením q 1 (t)p 2 (y) a následnou jednoduchou úpravou, previesť na rovnicu q 2 (y) p 2 (y) y = p 1(t) q 1 (t), (SP1) čo už je rovnica so separovanými premennými. Rovnice (S) a (SP1) sú za daného predpokladu ekvivalentné, t.j. majú tú istú množinu riešení. Vo všeobecnosti, predpoklad, že q 1 (t)p 2 (y) 0 na celom M nemusí byť samozrejme splnený. Nech rovnica q 1 (t) = 0 má reálne riešenia t = a 1, t = a 2,..., t = a k, k N a rovnica p 2 (y) = 0 má reálne

Základné metódy riešenia DR prvého rádu riešenia y = b 1, y = b 2,..., y = b l, l N. Potom priamky t = a i, i = 1, 2,..., k a y = b i, i = 1, 2,..., l nám rozdelia množinu M = I t J y na "čiastočné" množiny, na ktorých už bude splnené, že q 1 (t)p 2 (y) 0 a teda na nich sú rovnice (S) a (SP1) ekvivalentné. Následne rovnicu (SP1) vyriešime na príslušných "čiastočných" množinách a potom sa pokúsime (ak je to možmé) všeobecné riešenie rovnice (SP1) na "čiastočných" množinách napísať pomocou jednej formuly, vzťahu (ukážeme si to na konkrétnych príkladoch!). POZOR! Funkcie y = b i, i = 1, 2,..., l, kde b i sú reálne riešenia rovnice p 2 (y) = 0 sú tiež riešeniami rovnice (S). Tieto riešenia sa môžu pri delení rovnice (S) výrazom p 2 (y) stratiť! Záver: Riešeniami DR (S) sú funkcie tvaru y(t) = b i, i = 1, 2,..., l, kde b i sú reálne riešenia rovnice p 2 (y) = 0 a všetky riešenia rovnice (SP1).

Základné metódy riešenia DR prvého rádu D) Homogénna DR Najprv si povedzme, kedy nejakú funkciu dvoch premenných ϕ(t, y) nazývame homogénnou. Funkciu ϕ(t, y) nazývame homogénnou stupňa k, k N {0} na množine Ω R 2, ak pre každé c R, c 0 a pre každý bod (t, y) Ω platí, že ϕ(ct, cy) = c k ϕ(t, y). Napr. funkcia ϕ(t, y) = t 2 + y 2 2ty je homogénna stupňa 2 na celom R 2 a funkcia ϕ(t, y) = t 2 y nie je homogénna žiadneho stupňa na R 2. Diferenciálnu rovnicu tvaru P (t, y) + Q(t, y)y = 0, (H) kde P, Q sú homogénne funkcie rovnakého stupňa na nejakej množine M R 2, nazývame homogénnou diferenciálnou rovnicou prvého rádu. Danú DR budeme riešiť tak, že ju pomocou substitúcie y(t) = t u(t), t 0 prevedieme na separovateľnú DR tvaru P (1, u) + Q(1, u)u + tq(1, u)u = 0 (označme si ju ako (S )),

Základné metódy riešenia DR prvého rádu ktorú už vieme riešiť. Vyriešením tejto DR a použitím uvedenej substitúcie dostaneme všetky riešenia pôvodnej homogénnej DR. Korektnosť tejto úvahy musíme podložiť dôkazmi nasledujúcich tvrdení (musíme ukázať, že rovnice (H) a (S ) sú ekvivalentné): a) Ak funkcia u je riešením (S ), potom funkcia y = t u, t 0 je riešením rovnice (H). b) Ak funkcia y je riešením (H), potom funkcia u = y t, t 0 je riešením rovnice (S ).

Základné metódy riešenia DR prvého rádu E) Lineárna DR Lineárnou DR prvého rádu nazývame rovnicu tvaru y + a(t)y = b(t), (L1) kde funkcie a, b sú spojité na nejakom intervale I R. Ak b(t) 0 na intervale I, tak dostávame rovnicu tvaru y + a(t)y = 0, čo je separovateľná DR (vieme už ju riešiť) a tento špeciálny prípad rovnice (L1) nazývame lineárnou homogénnou DR prvého rádu alebo lineárnou DR bez pravej strany. Je zrejmé, že táto DR má vždy riešenie y(t) = 0, t I, t.j. tzv. triviálne riešenie. Inak, t.j. ak b(t) 0 na intervale I, rovnicu (L1) nazývame lineárnou nehomogénnou DR prvého rádu alebo lineárnou DR s pravou stranou. Pozrime sa na spôsob hľadania riešenia (všeobecnejšej) lineárnej nehomogénnej DR. Existuje viacero spôsobov, my si uvedieme tzv. metódu integračného faktora.

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Myšlienka: Vynásobením rovnice (L1) vhodnou funkciou dostaneme rovnicu so separovanmi premennými, ktorú už jednoducho vieme vyriešiť. Pozrime sa na túto metódu detailne. Nech funkcia ϕ je spojite diferencovateľná na I a taká, že pre každé t I je ϕ(t) 0. Každá funkcia, ktorá je riešením rovnice (L1) na intervale I 1 I je zároveň riešením na tomto intervale rovnice ϕ(t)y + ϕ(t)a(t)y = ϕ(t)b(t). Ak ľavá strana tejto rovnice sa bude dať napísať ako derivácia súčinu ϕ y, tak máme rovnicu tvaru (ϕ(t)y) = ϕ(t)b(t), (SP1) čo už je DR so separovanými premennými, ktorej všeobecné riešenie dostaneme integrovaním a jednoduchou úpravou, je to funkcia y(t) = 1 ϕ(t) ϕ(t)b(t) dt, t I1. Ostáva zodpovedať na otázku: Existuje taká funkcia ϕ? Aký má tvar?

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Pre funkciu ϕ chceme, aby platilo: t I 1 (ϕ(t) y) = ϕ(t)y + ϕ(t)a(t)y ϕ (t)y + ϕ(t)y = ϕ(t)y + ϕ(t)a(t)y ϕ (t) = ϕ(t)a(t) 1 ϕ(t) dϕ(t) = a(t)dt ln ϕ(t) = a(t)dt ϕ(t) = e a(t)dt, t I 1 Pre funkciu ϕ musí teda platiť, že ϕ(t) = e a(t)dt. Treba si uvedomiť, že takýchto funkcií je nekonečne veľa, nám stačí však poznať len jednu a preto naša dohoda bude, že ϕ(t) = e a(t)dt, t I 1 (pričom si vyberieme jednu z primitívnych funkcií k funkcii a). Túto funkciu ϕ nazývame integračným faktorom rovnice (L1). Predchádzajúcu úvahu sformulujme do nasledujúcej vety.

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Veta Nech funkcie a, b sú spojité na nejakom intervale I R, b(t) 0 na intervale I a nech ϕ(t) = e a(t)dt. Potom každá funkcia je riešením rovnice (L1) na intervale I 1 I vtedy a len vtedy, keď je riešením rovnice (SP1) na intervale I 1 I. Poznámky: Na základe horeuvedeného my už vieme, že všeobecným riešením rovnice (SP1) a teda aj rovnice (L1) na intervale I 1 I je funkcia y(t) = e a(t)dt b(t)e a(t)dt dt, t I 1. V prípade, keď b(t) 0 na intervale I, t.j. ak uvažujeme lineárnu homogénnu DR, všetko ostáva v platnosti a všeobecným riešením tejto rovnice je funkcia y(t) = e a(t)dt c, t I 1, c R. Jednoduchým príkladom lineárnej homogénnej DR prvého rádu je Malthusov populačný model. Malthus ho v roku 1798 uviedol ako základný model pre rast populácie, v ktorom predpokladal, že rýchlosť rastu populácie v čase t je priamoúmerná jej veľkosti

Základné metódy riešenia DR prvého rádu v čase t, t.j. veľkosť populácie p v čase t vyhovuje DR tvaru p (t) = k p(t), kde k R, k > 0. Konštanta k je určená z rozdielu pôrodnosti a úmrtnosti členov skúmanej populácie. Tento model (DR) dáva exponenciálny rast populácie v tvare p(t) = p 0 e k(t t 0) pre t t 0, pričom p 0 je veľkosť populácie v čase t 0. Keďže tento model ukazuje neobmedzený rast populácie, je vhodný na skúmanie veľkosti populácie iba na krátkom časovom intervale. Táto skutočnosť viedla Malthusa k myšlienke, že jediným riešením zastaviť populačné explózie, rasty sú vojny, hladomor a iné rôzne katastrófy. F) Bernoulliho DR Je to diferenciálna rovnica tvaru y + a(t)y = b(t)y α, (B) kde funkcie a, b sú spojité na nejakom intervale I R, b(t) 0 na intervale I a α R {0, 1}.

Základné metódy riešenia DR prvého rádu Poznámky: Ak α = 0, tak vlastne máme rovnicu (L1), ak α = 1, tak vlastne máme rovnicu typu (S), resp. typu (L1), avšak bez pravej strany. Ak α > 0, tak daná rovnica (B) má vždy triviálne riešenie y(t) = 0, t I. Ako túto DR tvaru (B) budeme riešiť? Vhodnou substitúciou ju prevedieme na lineárnu DR (L1) (alebo niekedy aj na niečo ešte jednoduchšie) a tú už vyriešiť vieme. Pozrime sa na to detailnejšie. Predeľme rovnicu (B) výrazom y α (triviálne riešenie y(t) = 0 buď je alebo nie je riešením tejto rovnice, závisí to od hodnoty α) a dostaneme, že y α y + a(t)y 1 α = b(t) a odtiaľ vynásobením číslom 1 α 0 (lebo α 1) máme (1 α)y α y + (1 α)a(t)y 1 α = (1 α)b(t). Zaveďme substitúciu y 1 α (t) = z(t), odtiaľ (1 α)y α y = z a potom získame rovnicu z + (1 α)a(t)z = (1 α)b(t), čo už je rovnica typu (L1), ktorú už vieme riešiť.

Lineárna DR druhého rádu V nasledujúcom budeme skúmať vlastnosti lineárnej DR druhého rádu tvaru y + a(t)y + b(t)y = f(t), (LP) kde funkcie a, b, f sú spojité na nejakom intervale I R, f(t) 0 na intervale I. Presnejšie, táto DR sa nazýva lineárna nehomogénna DR druhého rádu alebo lineárna DR druhého rádu s pravou stranou. Čo sa týka existencie a jednoznačnosti riešenia Cauchyho úlohy pre rovnicu (LP) dá sa dokázať nasledujúca veta, ktorú využijeme v našich ďalších úvahách. Veta (O existencii a jednoznačnosti riešenia C.Ú. pre rovnicu (LP)) Nech funkcie a, b, f sú spojité na nejakom intervale I. Potom ľubovoľnou trojicou čísel (t 0, c 1, c 2 ), kde t 0 I a c 1, c 2 R je určené práve jedno riešenie ϕ rovnice (LP) na celom intervale I, ktoré vyhovuje počiatočným podmienkam ϕ(t 0 ) = c 1, ϕ (t 0 ) = c 2.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Našim hlavným cieľom v ďalšom bude nájsť všeobecné riešenie rovnice (LP), resp. spoznať jeho štruktúru. K tomu (ako uvidíme neskôr) potrebujeme poznať všeobecné riešenie, resp. jeho štruktúru rovnice (LP) bez pravej strany (f(t) 0 na intervale I), t.j. lineárnej homogénnej DR druhého rádu y + a(t)y + b(t)y = 0. (L) Venujme sa preto najpr homogénnej DR druhého rádu (L) na intervale I. Je zrejmé, že rovnica (L) má vždy nulové alebo triviálne riešenie y(t) = 0, t I. Z lineárnosti derivácie vyplýva nasledujúca veta. Veta Nech y 1, y 2 sú riešenia rovnice (L) na intervale I a c 1, c 2 R. Potom každá ich lineárna kombinácia y = c 1 y 1 + c 2 y 2 je tiež riešením rovnice (L) na intervale I.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Z vety o existencii a jednoznačnosti riešenia Cauchyho úlohy pre rovnicu (LP) okamžite dostaneme tvrdenie: Veta Nech y je riešením rovnice (L) na intervale I také, že y(t 0 ) = 0, y (t 0 ) = 0, kde t 0 I. Potom y(t) = 0, t I. Našim prvoradým cieľom je postupnými krokmi sa dopracovať k výsledku, ktorý povie, že k tomu, aby sme našli všeobecné riešenie rovnice (L) potrebujeme nájsť jej dve riešenia a ich lineárna kombinácia bude predstavovať toto hľadané všeobecné riešenie rovnice (L). Otázkou ostáva: Aké majú byť tie dve riešenia? Ľubovoľné? Asi nie! K odpovedi na túto otázku potrebujeme zaviesť pojem lineárnej závislosti, nezávislosti funkcií.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Definícia Hovoríme, že funkcie f 1, f 2,..., f k, k N definované na I sú lineárne závislé na I, ak existujú reálne čísla c 1, c 2,..., c k nie všetky rovné nule také, že pre každé t I platí c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) + + c k f k (t) = 0. ( ) Funkcie f 1, f 2,..., f k nazývame lineárne nezávislé na intervale I, ak nie sú lineárne závislé na I. Poznámka: Z definície okamžite vyplýva, že ak funkcie f 1, f 2,..., f k sú lineárne nezávislé na I, rovnosť ( ) platí pre každé t I vtedy a len vtedy, keď c 1 = c 2 = = c k = 0. Jednoducho (pomocou definície) sa dá dokázať nasledujúca veta. Veta Funkcie f 1, f 2,..., f k, k N definované na I sú lineárne závislé na I vtedy a len vtedy, keď niektorá z nich je lineárnou kombináciou ostatných na intervale I.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Pri určovaní linernej závislosti, linernej nezávislosti funkcií na I nám pomôže tzv. Wronskián (Wronského determinant) funkcií. Definícia Nech funkcie f 1, f 2,..., f k, k N sú (k 1) krát spojite diferencovateľné na I. Potom determinat f 1 (t) f 2 (t) f k (t) f 1 W (f 1, f 2,..., f k )(t) = (t) f 2 (t) f k (t)... f (k 1) 1 (t) f (k 1) 2 (t) f (k 1) k (t) nazývame Wronského determinat (Wronskián) funkcií f 1, f 2,..., f k. Pre lineárnu závislosť, nezávislosť riešení rovnice (L) platia nasledujúce nutné a postačujúce podmienky.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Veta (Nutná a postačujúca podmienka pre LZ riešení rovnice (L)) Riešenia y 1, y 2 rovnice (L) sú lineárne závislé na intervale I vtedy a len vtedy, keď existuje τ I také, že W (y 1, y 2 )(τ) = 0. Veta (Nutná a postačujúca podmienka pre LN riešení rovnice (L)) Riešenia y 1, y 2 rovnice (L) sú lineárne nezávislé na intervale I vtedy a len vtedy, keď existuje τ I také, že W (y 1, y 2 )(τ) 0. Z týchto dvoch tvrdení okamžite máme tento zaujímavý dôsledok. Dôsledok Ak y 1, y 2 sú riešenia rovnice (L) na intervale I, tak buď pre každé t I je W (y 1, y 2 )(t) = 0 alebo pre každé t I je W (y 1, y 2 )(t) 0.

Lineárna homogénna DR druhého rádu V nasledujúcom si ukážeme, že rovnica (L) má dve lineárne nezávislé riešenia na I a každých k riešení rovnice (L), k > 2 je už lineárne závislých na intervale I. Platia vety. Veta Existujú dve lineárne nezávislé riešenia rovnice (L) na intervale I. Veta Nech y 1, y 2,..., y k sú riešenia rovnice (L) na intervale I, pričom k N, k > 2. Potom tieto riešenia y 1, y 2,..., y k sú lineárne závislé na intervale I. Teraz si definujme pojem, ktorý hrá zásadnú úlohu pri konštrukcii všeobecného riešenia rovnice (L). Definícia Dve lineárne nezávislé riešenia rovnice (L) na intervale I nazývame fundamentálnym systémom riešení alebo bázou riešení rovnice (L) na intervale I.

Lineárna homogénna DR druhého rádu Dostávame sa k výsledku, ktorý nám zaručí, že na nájdenie každého riešenia rovnice (L), resp. jej všeobecného riešenia stačí poznať fundamentálny systém riešení tejto rovnice (L). Veta Nech funkcie y 1, y 2 tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L) na intervale I. Potom každé riešenie y rovnice (L) na intervale I sa dá vyjadriť ako vhodná lineárna kombinácia riešení y 1, y 2 fundamentálneho systému riešení rovnice (L), t.j. y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), t I, pričom c 1, c 2 sú vhodne zvolené reálne konštanty. Poznámky: Na základe tohto výsledku môžeme funkciu y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), t I, kde c 1, c 2 R a funkcie y 1, y 2 tvoria FSR rovnice (L) na intervale I, nazvať všeobecným riešením rovnice (L) na intervale I. Nájsť všeobecné riešenie rovnice (L) na I vlastne znamená nájsť jej fundamentálny systém riešení na intervale I.

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Aj keď má rovnica (L) pomerne jednoduchý tvar, nepoznáme univerzálnu (všeobecnú) metódu, pomocou ktorej by sme vedeli vždy nájsť jej fundamentálny systém riešení. Avšak, pre niektoré špeciálne typy rovnice (L) takúto metódu poznáme, sú to lineárne homogénne DR druhého rádu s konštantnými koeficientami. Sú to DR tvaru y + ay + by = 0, kde a, b R. (L ) Poznámky: Keďže koeficienty rovnice (L ) sú reálne čísla (spojité na celom R), tak každé riešenie (L ) existuje na celom R. Pri rovnici (L ) budeme vždy pracovať na intervale I = R. Všetko čo platilo pre rovnicu (L) samozrejme platí aj pre (L ). Našim cieľom je vyriešiť akúkoľvek rovnicu tvaru (L ), t.j. nájsť jej všeobecné riešenie, resp. jej fundamentálny systém riešení. Naše úsilie začnime vetou, ktorá hovorí o tvare riešenia rovnice (L ).

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Veta Funkcia e rt (r R alebo r C) je riešením rovnice (L ) vtedy a len vtedy, keď r je koreňom algebraickej rovnice λ 2 + aλ + b = 0. (CH) Algebraickú rovnicu (CH) nazývame charakteristickou rovnicou rovnice (L ) a jej korene nazývame charakteristickými koreňmi rovnice (L ). Podľa uvedenej vety vieme určiť toľko riešení rovnice (L ), koľko rôznych koreňov má algebraická rovnica (CH), rovnica druhého stupňa (CH) môže mať: a) dva rôzne reálne korene; b) jeden dvojnásobný reálny koreň; c) dva komplexne združené korene. Pozrime sa na fundamentálny systém riešení rovnice (L ), resp. jej všeobecné riešenie v uvedených troch prípadoch.

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. a) prípad dvoch rôznych reálnych koreňov Platí nasledujúce tvrdenie, ktoré hovorí o fundamentálnom systéme riešení rovnice (L ) v tomto prípade. Veta Nech charakteristická rovnica (CH) rovnice (L ) má dva rôzne reálne korene r 1, r 2. Potom funkcie e r 1t, e r 2t tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L ). V tomto prípade všeobecné riešenie rovnice (L ) má tvar y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t, c 1, c 2 R. b) prípad dvojnásobného reálneho koreňa Veta Nech charakteristická rovnica (CH) rovnice (L ) má jeden dvojnásobný reálny koreň r. Potom funkcie e rt, t e rt tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L ).

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. V tomto prípade všeobecné riešenie rovnice (L ) má tvar y(t) = c 1 e rt + c 2 t e rt, c 1, c 2 R. c) prípad dvoch komplexne združených koreňov Ak charakteristická rovnica (CH) rovnice (L ) má komplexný koreň r, tak k nemu odpovedajúcim riešením je funkcia e rt, t R. Táto funkcia však nie je reálna funkcia reálnej premennej, ide o komplexnú funkciu reálnej premennej (o komplexné riešenie). Nám však treba do FSR rovnice (L ) reálne riešenia (reálne funkcie reálnej premennej), lebo chceme, aby všeobecným riešením bola reálna funkcia reálnej premennej. Otázka: Ako nájdeme z komplexného riešenia rovnice (L ) reálne riešenie (riešenia?!) tejto rovnice (L )? Odpoveď sa ukrýva v nasledujúcej vete.

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Veta Komplexná funkcia reálnej premennej z(t) = u(t) + i v(t) je riešením rovnice (L ) práve vtedy, keď reálne funkcie reálnej premennej u(t) = Re z(t) a v(t) = Im z(t) sú riešeniami (L ). Poznámky: Z komplexného riešenia rovnice (L ) získame reálne riešenia (L ) tak, že zoberieme jeho reálnu a imaginárnu zložku. Táto veta ostáva v platnosti aj v prípade, keď uvažujeme rovnicu (L), t.j. rovnicu s nekonštantnými koeficientami. Ako vyzerá FSR (reálnych riešení!) v tomto prípade? Nech charakteristická rovnica (CH) rovnice (L ) má dva komplexne združené korene r 1 = p + i q, r 2 = p i q, kde p, q R, q 0. K týmto koreňom odpovedajú komplexné riešenia rovnice (L ) z 1 (t) = e (p+i q)t, z 2 (t) = e (p i q)t, t R. Využitím Eulerovho vzťahu e i t = cos t + i sin t, t R dostaneme, že

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. z 1 (t) = e (p+i q)t = e pt (cos qt + i sin qt) = e pt cos qt + ie pt sin qt, z 2 (t) = e (p i q)t = e pt (cos( qt) + i sin( qt)) = e pt cos qt + i( e pt sin qt). Podľa horeuvedenej vety, reálnymi riešeniami rovnice (L ) sú funkcie u 1 (t) = e pt cos qt, v 1 (t) = e pt sin qt, u 2 (t) = e pt cos qt a v 2 (t) = e pt sin qt. Je evidentné, že z týchto 4 reálnych riešení rovnice (L ) vieme vybrať iba dve lineárne nezávislé reálne riešenia rovnice (L ). Sú to funkcie u 1 a v 1. Sú naozaj lineárne nezávislé? (dôkaz!) Záver: K dvojici komplexne združených charakteristických koreňov rovnice (L ) vieme nájsť dve lineárne nezávislé reálne riešenia rovnice (L ). Preto pri riešení úloh z tejto dvojice koreňov vždy zoberieme len jeden koreň, dohodnime sa, že nech to je koreň r 1 = p + i q, kde p, q R, q 0. K nemu nájdeme príslušné komplexné riešenie (L ) a následne z neho získame dve lineárne nezávislé reálne riešenia rovnice (L ). Teda budeme poznať FSR rovnice (L ) v tomto prípade.

Lineárna homogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Môžeme teda vysloviť nasledujúcu vetu, ktorú sme práve úspešne dokázali. Veta Nech charakteristická rovnica (CH) rovnice (L ) má komplexný koreň r = p + i q, kde p, q R, q 0. Potom funkcie e pt sin qt, e pt cos qt tvoria fundamentálny systém riešení (L ). V tomto prípade všeobecné riešenie rovnice (L ) má tvar y(t) = c 1 e pt sin qt + c 2 e pt cos qt, c 1, c 2 R.

Lineárna nehomogénna DR druhého rádu Vráťme sa k lineárnej nehomogénnej DR druhého rádu, t.j. k rovnici tvaru y + a(t)y + b(t)y = f(t), (LP) kde funkcie a, b, f sú spojité na nejakom intervale I R, f(t) 0 na intervale I. V nasledujúcom už môžeme hneď vysloviť výsledok, ktorý nám dáva informáciu o štruktúre všeobecného riešenia rovnice (LP), resp. "návod" ako toto všeobecné riešenie nájsť. Veta Nech funkcie y 1, y 2 tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L) na intervale I a nech funkcia ϕ je partikulárne (jedno konkrétne) riešenie rovnice (LP) na I. Potom každé riešenie y rovnice (LP) na intervale I vieme vyjadriť v tvare y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + ϕ(t), t I, kde c 1, c 2 sú vhodne zvolené reálne konštanty.

Lineárna nehomogénna DR druhého rádu Poznámka: Na základe tohto výsledku môžeme funkciu y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + ϕ(t), t I, kde c 1, c 2 R, funkcie y 1, y 2 tvoria FSR rovnice (L) na intervale I a funkcia ϕ je partikulárne riešenie rovnice (LP) na intervale I, nazvať všeobecným riešením rovnice (LP) na intervale I. Vidíme, že k tomu, aby sme našli všeobecné riešenie rovnice (LP) potrebujeme nájsť všeobecné riešenie, resp. FSR rovnice (L) (to už v prípade rovnice (L ) vieme!) a jedno partikulárne (konkrétne) riešenie rovnice (LP). Postup ako nájsť jedno partikulárne riešenie rovnice (LP) na intervale I dáva tzv. Lagrangeova metóda variácie konštánt. Táto metóda je založená na tom, že ak poznáme FSR, resp. všeobecné riešenie rovnice (L), potom pomocou neho vieme nájsť jedno konkrétne riešenie (LP). Teda je zrejmé, že ak poznáme všeobecné riešenie, resp. FSR rovnice (L), potom budeme vedieť nájsť aj všeobecné riešenie rovnice (LP). V prípade lineárnych nehomogénnych DR druhého rádu s konštantnými koeficientami budeme vždy vedieť nájsť ich všeobecné riešenie, resp. ich riešiť.

Lineárna nehomogénna DR druhého rádu Pozrime sa na uvedenú metódu detailne.... Na základe predchádzajúceho môžeme vysloviť vetu, ktorú sme práve úspešne dokázali. Veta (Lagrangeova metóda variácie konštánt) Nech funkcie y 1, y 2 tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L) na intervale I. Potom funkcia ϕ(t) = y 1 (t) W 1 (t) W (t) dt + y 2(t) W 2 (t) W (t) dt je partikulárnym riešením rovnice (LP) na intervale I, pričom W (t) je Wronskián riešení y 1, y 2 a W i (t), i = 1, 2 je determinant získaný z Wronskiánu nahradením jeho i teho stĺpca stĺpcom (0, f(t)) T.

Lineárna nehomogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Poznáme aj iné metódy na hľadanie partikulárneho riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice. V prípade, keď budeme uvažovať lineárnu nehomogénnu DR s konštatnými koeficientami, t.j. rovnicu tvaru y + ay + by = f(t), (LP ) kde a, b R, funkcia f je spojitá na nejakom intervale I R, f(t) 0 na intervale I, môžeme použiť tzv. metódu neurčitých koeficientov. Táto metóda je založená na tom, že podľa tvaru pravej strany rovnice (LP ), t.j. podľa tvaru funkcie f vieme určiť, "uhádnuť" tvar partikulárneho riešenia tejto DR (LP ) až na nejaké neznáme koeficienty, ktoré dopočítame, určíme dosadením predpokladaného partikulárneho riešenia do rovnice (LP ), t.j. na základe toho, že táto funkcia má byť riešením rovnice (LP ). POZOR! Túto metódu môžeme použiť len pre lineárne nehomogénne DR s konštatnými koeficientami a so špeciálnym tvarom pravej strany!!!

Lineárna nehomogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Uvažujme tieto situácie: a) Nech f(t) = P k (t)e αt, kde α R a P k je polynóm stupňa k. Potom rovnica (LP ) má partikulárne riešenie v tvare ϕ(t) = Q k (t)e αt t m, pričom Q k je polynóm tiež stupňa k a α je m násobný (m {0, 1, 2}) reálny koreň charakteristickej rovnice (CH) rovnice (L ). Našou úlohou je potom vlastne nájsť, určiť, dopočítať neznáme koeficienty polynómu Q k. Pozor na α = 0. V tomto prípade f(t) = P k (t) a teda hľadané partikulárne riešenie má tvar ϕ(t) = Q k (t)t m, pričom 0 je m násobný (m {0, 1, 2}) koreň charakteristickej rovnice (CH). b) Nech f(t) = P k (t)e αt cos βt, resp. f(t) = P k (t)e αt sin βt, kde α, β R, β 0 a P k je polynóm stupňa k. Potom (LP ) má partikulárne riešenie v tvare ϕ(t) = t m e αt (Q k cos βt + Z k sin βt), pričom Q k, Z k sú polynómy tiež stupňa k a α + iβ je m násobný (m {0, 1}) komplexný koreň charakteristickej rovnice (CH) rovnice (L ). Našou úlohou je potom vlastne nájsť, určiť, dopočítať neznáme koeficienty polynómov Q k, Z k.

Lineárna nehomogénna DR 2. rádu s konštantnými koef. Pozrime sa ešte na situáciu, keď pravá strana rovnice (LP ) je súčtom viacerých funkcií. Otázka: Ako nájdeme nejaké partikulárne riešenie takejto DR? Okrem Lagrangeovej metódy variácie konštánt (v tejto situácii je jej použitie pomerne komplikované) vieme nájsť jedno partikulárne riešenie pomocou tzv. princípu superpozície. Sformulujeme ho v nasledujúcej vete. Veta (Princíp superpozície) Nech funkcie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k, k N sú odpovedajúco partikulárnymi riešeniami rovníc y + ay + by = f i (t), i = 1, 2,..., k, t I. Potom funkcia ϕ(t) = ϕ 1 (t) + ϕ 2 (t) + + ϕ k (t) je partikulárnym riešením y + ay + by = f 1 (t) + f 2 (t) + + f k (t), t I. Poznámka: Toto tvrdenie platí aj pre lineárne nehomogénne DR s nekonštantnými koeficientami, t.j. pre rovnice typu (LP).