ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.:. είξτε ότι η οσότητα συνθ + συν ( θ + a) +... + συν ( θ + na) θ,n ισούται µε ( ) ηµ (( n+ ) a/ ) συν ( θ + na /). (β) ηµ ( a /) ηµ ( na /) (γ) ηµ ( θ + na /). (δ) ηµ ( a /) συν (( n+ ) a/ ) ηµ ( θ + na /). συν ( a /) συν ( na /) συν ( θ + na /). συν ( a /). Εστω ότι τα σηµεία z,..., z n βρίσκονται στο ηµιείεδο Im z < 0, b {} 0, z. Τότε b τα σηµεία (β) τα σηµεία (γ) τα σηµεία,..., z z n,..., z z n,..., z z n z βρίσκονται στο ηµιείεδο Im < 0. b z βρίσκονται στο ηµιείεδο Im > 0. b z βρίσκονται στο ηµιείεδο Im = 0. b 3. Υολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Λύση. z + 3z + iim( z) 4= 0.
4. Ολες οι ρίζες της εξίσωσης συν z+ iηµ z = i είναι (γ) z = + k + i n3, η, k, λ (β) z = + λ z = + k i n3, η, k, λ (δ) z = + λ z = + k + i n3, η, k, λ z = + λ z = + k i n3, η, k, λ z = + λ 5. Αν Α, Β, τότε ο γεωµετρικός τόος των σηµείων του µιγαδικού ειέδου ου ικανοοιούν την εξίσωση z ( z) είναι + Re Α +Β= 0 κύκλος αν και µόνον αν (β) κύκλος αν και µόνον αν Α 4Β. Α 4Β. (γ) κύκλος ή σηµείο αν και µόνον αν Α 4Β.
(δ) κύκλος ή σηµείο αν και µόνον αν Α 4Β. ( + 3i ) 6. Ο µιγαδικός αριθµός ( i) 60 0 ισούται µε +i 3 0 + i 3 + i 3 (β) (γ) i 3 (δ) 0 7. Εστω z είναι η ρωτεύουσα τιµή της τετραγωνικής ρίζας. Τότε το z 0 :Im z 0 αεικονίζεται µέσω της αεικόνισης { } ηµιείεδο { } ( ) f ( z) = Log( z) στο χωρίο { x+ iy: / x 0}. (β) { x iy: / y 0} +. (γ) { x+ iy:0 x /}. (δ) { x iy:0 y /} 8. Αν w f ( z) ( x y ) i, ( x 0) +. y = = + +, όου w= u+ iv Ν Ο οι x εικόνες των ευθειών u = c, v= c, (c,c σταθερές) τέµνονται κάθετα. Λύση. 3
9. Ο µετασχηµατισµός Mobius ου αεικονίζει τα σηµεία z0 = 0, z =, z = στα σηµεία w0 =, w =, w = i αντιστοίχως είναι iz + + i. (β) z+ i iz + i. (γ) z i/ iz + i. (δ) z+ i iz + + i. z i 0. Το ηµ z lim z 0 z z ισούται µε 4 e. (β) 3 e. (γ) e. (δ) 6 e.. Το n k + i lim n, n k ισούται µε δεν υάρχει. (β). (γ). (δ) 0.. Το εδίο όου η συνάρτηση tanh( z) ( Arg ( z) < ) είναι το + z = log z είναι αναλυτική { x+ iy: x, y= 0}. (β) { x+ iy: x, y= 0}. (γ) { x+ iy: y, x= 0}. (δ) { x+ iy: y, x= 0} 3. Αν, Λύση. x y υολογίστε το lim ηµ ( ) y ±. x iy e y +. 4
4. Η συνάρτηση f ( z) συν ( z) = είναι αραγωγίσιµη και µη αναλυτική στα σηµεία z = k, k. (β) αναλυτική στα σηµεία z = k, k. (γ) αραγωγίσιµη και µη αναλυτική στα σηµεία z = k +, k. (δ) αναλυτική στα σηµεία z = k +, k. 5. Η συνάρτηση ( ) z, z 0 f z = z 0, z = 0 είναι συνεχής στο z = 0 αλλά µη αραγωγίσιµη στο z = 0. (β) αραγωγίσιµη στο z = 0. (γ) αναλυτική στο z = 0. (δ) ασυνεχής στο z = 0. 5
6. Η συνάρτηση ( ) ( i) Im( z ) + f z z, z 0 = = 0, z 0 ικανοοιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann για z = 0 και είναι αραγωγίσιµη στο z = 0. (β) ικανοοιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann για z = 0 αλλά δεν είναι αραγωγίσιµη στο z = 0. (γ) δεν ικανοοιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann για z = 0 και δεν είναι αραγωγίσιµη στο z = 0. (δ) δεν ικανοοιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann για z = 0 και είναι αραγωγίσιµη στο z = 0. 7. Το ευθύγραµµο τµήµα x =, 0 y στο είεδο των xy αεικονίζεται (στο είεδο uv ) µέσω της w= f ( z) =, ( w= u+ iv) z + σε τόξο κύκλου u + ( v /) = (β) σε τόξο κύκλου ( ) u+ + v = (γ) σε τόξο κύκλου ( ) u / + v = /4 (δ) σε τόξο κύκλου ( ) u v + = 8. Το συν zdz, όου γ είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο γ + i και έρας το σηµείο + i ισούται µε cos h() isinh(). (β) sin h() + icosh(). (γ) cos h() + isinh(). (δ) sinh() icosh(). 9. Υολογίστε το 4 dz, όου γ είναι ο κύκλος z = και 4 z είναι ο γ z κλάδος για τον οοίο ισχύει 4 = i. Θεωρήστε ότι η ολοκλήρωση ξεκινά αό το σηµείο z = i της καµύλης γ. Λύση. 6
0. είξτε ότι το e 3z συν z dz, όου z ( i) γ ( + z ) ηµ z γ : + = ισούται µε. Tο. (β) 0. (γ). (δ) /. iz e dz γ +, όου a είναι ένας θετικός αριθµός και ( z a )( z i) γ είναι ορθογώνιο µε κορυφές τα σηµεία αρνητικά ροσανατολισµένο ισούται µε z = ± και z ( ) = ± + + a i και a + ae a ea 3 ( ) a ( ) (β) a + ae a ea 3 ( ) a ( ) (γ) a ae a ea 3 ( ) a ( ) (δ) a ae a ea 3 ( ) a ( ). 7
cosh z dz, όου γ είναι ο κύκλος z = R. γ z. είξτε ότι cosh( R ) 3. Aνατύξτε σε σειρά Τaylor τη συνάρτηση f ( z) = σηµείο z = i. z z γύρω α το 8
4. Το ολοκληρωτικό υόλοιο της συνάρτησης είναι / z e f( z) = στο z=0 z. (β) e. (γ). (δ) e +. 5. Το σηµείο z = είναι για τη συνάρτηση f( z) = ( z) ηµ z e z όλος ης τάξης. (γ) όλος 3 ης τάξης. (β) όλος ης τάξης. (δ) ααλείψιµη ανωµαλία. 6. Το dθ 0 3 ισούται µε ( + συνθ ) / 5. (β) 5. (γ) 3 /(5 5). (δ) 3 5. 7. Το + xdx, a > 0 ισούται µε 0 ( x + a ). (β). (γ) 8 a. (δ) 4 a. 4a 8a 9
8. Το x ηµ xdx 3 + ισούται µε ( x + ) e. (β). (γ). (δ). e 9. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης z + z+ 8 ισούται µε 3 z + 4z ( ) cosh t +. (β) ( t) sinh +. (γ) ( t) sin +. (δ) ( t) cos +. 30. Αν u x x y = 3 + 3 + 4 να βρεθεί η συζυγής αρµονική της u και στη συνέχεια η αναλυτική συνάρτηση ( ) Λύση: f z = u+ iv. 0
ΙΕΥΚΡΙΝΗΣΕΙΣ Το φυλλάδιο είναι ροαιρετικό. Το φυλλάδιο θα εκτυωθεί αό εσάς, θα συµληρωθεί και θα αραδοθεί συραµµένο την τελευταία εβδοµάδα του µαθήµατος την ώρα του µαθήµατος (ή στο γραφείο µου). Oι ερωτήσεις 8, 3, 9, και 3 βαθµολογούνται µε 5 όντους και οι υόλοιες µε όντο. Συνολικά 50 όντοι ου είναι το άριστα και αντιστοιχεί σε µονάδα bonus. Το bonus αυτό θα αθροισθεί στο βαθµό της γρατής εξέτασης το Φλεβάρη ως εξής: bonus Τελική βαθµολογία=(βαθµός εξεταστικής) + 0 (0 bonus ).