Štátny pedgogický ústv, Pluhová 8, 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B Brtislv 004
ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh, Požidvky n vedomosti zručnosti Príkldy. Text v jednotlivých čstich vytlčený obyčjnou kurzívou predstvuje odvolávky, vysvetlivky komentáre. V kždej kpitole sú v odseku Obsh (rozdelenom sprvidl n menšie čsti s názvmi Pojmy Vlstnosti vzťhy) vymenovné termíny vzťhy (vzorce, postupy, tvrdeni), ktoré má žik ovládť. Toto ovládnie v prípde pojmov znmená, že žik - rozumie zdnim úloh, v ktorých s tieto pojmy vyskytujú, - vie ich správne použiť pri formuláciách svojich odpovedí, - vie ich stručne opísť (definovť). V prípde vlstností vzťhov ovládním rozumieme žikovu schopnosť vybviť si tieto vzťhy v mysli (bez toho, by mu bolo potrebné pripomínť konkrétnu podobu uvedeného vzťhu, postupu či tvrdeni) použiť ich pri riešení dnej úlohy (pričom spôsob tohto použiti špecifikuje čsť Požidvky n vedomosti zručnosti, o ktorej hovoríme nižšie). Kvôli prehľdnosti neuvádzme úplné znenie jednotlivých vzťhov so všetkými predpokldmi podmienkmi, le len tkú ich podobu, z ktorej je jsné, ké tvrdenie máme n mysli. Pokiľ s v zdnich úloh lebo otázok, ktoré má žik riešiť lebo zodpovedť, vyskytnú pojmy, ktoré nie sú uvedené v čsti Obsh, bude potrebné ich v texte zdni vysvetliť. Rovnko tk v prípde, že zdnie vyžduje použitie postupu lebo vzťhu, ktorý nie je zhrnutý do čsti Obsh, musí byť žikovi k dispozícii opis poždovného postupu lebo vzťhu (tento opis všk nemusí byť súčsťou zdni, môže byť npríkld uvedený vo vzorčekovníku, ktorý bude priložený k celému súboru zdní). Výnimku z tohto prvidl predstvuje situáci, keď riešením úlohy má byť objvenie lebo odvodenie tkého vzťhu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlstnosti vzťhy. Čsť opisuje v kždej kpitole činnosti, ktoré má byť žik schopný správne relizovť. V texte používnú formuláciu žik vie... pritom chápeme v zmysle žik má vedieť... ; podobne formuláci... pokiľ (k) žik vie... znmená... k je v týchto cieľových požidvkách uvedené, že žik má vedieť.... Ted npríkld text žik vie nájsť všetky riešeni nerovnice f ( x), pokiľ vie riešiť rovnicu f ( x) = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f (ktorý čitteľ nájde v kpitole 1.4) treb chápť tk, že n inom mieste týchto cieľových požidviek je špecifikovné, grfy ktorých funkcií f má žik vedieť nčrtnúť, pre ktoré funkcie f má žik vedieť riešiť rovnicu f ( x) =. Podobnú úlohu plní odvolávk pozri... ; npríkld v texte žik vie nájsť definičný obor dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy) táto odvolávk upozorňuje, že stupeň náročnosti, n ktorom má žik zvládnuť určovnie definičného oboru funkcie, je dný náročnosťou rovníc nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísná v čsti 1.4. Odvolávk pozri tiež... upozorňuje čitteľ, že uvedený pojem lebo činnosť s vyskytuje j n inom mieste tohto textu. Žik by ml byť schopný riešiť úlohy komplexného chrkteru, ted úlohy, ktorých riešenie vyžduje spojenie neveľkého počtu činností opísných v týchto cieľových požidvkách (pritom nevylučujeme spájnie činností opísných v rôznych kpitolách); npr. pri riešení klsickej slovnej úlohy by ml žik zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči mtemtiky, jeho vyriešenie prístupnými mtemtickými prostriedkmi formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zdni. Jednotlivé činnosti uvedené v čsti predstvujú ted len kési tehličky či zákldné stvebné kmene, pričom riešenie jedného konkrétneho zdni môže vyždovť i použitie spojenie vicerých tkýchto tehličiek. V snhe o ucelenosť jednotlivých kpitol uvádzme tie pojmy zručnosti, ktoré súvisi s vicerými kpitolmi, v kždej z nich. Z toho istého dôvodu sú do textu zrdené i niektoré pojmy, vzťhy činnosti, ktoré sú obshom učiv zákldnej školy. Úlohy, uvedené v čsti Príkldy, nemjú predstvovť reprezenttívnu zbierku typov foriem úloh, s ktorými s bude žik n mturite z mtemtiky stretávť; prvordou funkciou týchto príkldov
je dokumentovť tie formulácie, u ktorých podľ nášho názoru príkld pomáh objsniť text, lebo špecifikovť stupeň poždovnej náročnosti. Dosttočne bohtú zbierku príkldov úloh, s ktorými s žik stretne n externej čsti mturitnej skúšky z mtemtiky, predstvujú úlohy Monitorov z rokov 1999 003. 1. ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1 Logik množiny Obsh Pojmy: výrok, xióm, definíci, úsudok, hypotéz, tvrdenie, prvdivostná hodnot, logické spojky, negáci, konjunkci, disjunkci, implikáci, ekvivlenci, vyplýv, je ekvivlentné, kvntifikátor (existenčný, všeobecný, spoň, njvic, práve), primy neprimy dôkz, dôkz sporom, množin, prvky množiny, podmnožin, ndmnožin, prienik, zjednotenie rozdiel množín, Vennove digrmy, disjunktné množiny, prázdn množin, doplnok množiny, konečná nekonečná množin. Vlstnosti vzťhy: Implikáci (výrok) A B je ekvivlentná s implikáciou (výrokom) B A (výrok z A vyplýv B pltí práve vtedy, keď pltí výrok, z negácie B vyplýv negáci A), výroky A, B sú ekvivlentné, k plti obe implikácie A B, B A, negáci konjunkcie (disjunkcie) je disjunkci (konjunkci) negácií, implikáci b je neprvdivá práve vtedy, keď je prvdivý výrok neprvdivý výrok b, prvdivosť zložených výrokov negácie ( tbuľk prvdivostných hodnôt ), negáci výroku x M pltí V(x) je x M, pre ktoré nepltí V(x), negáci výroku x M, pre ktoré pltí V(x) je x M nepltí V(x), A = B práve vtedy, keď súčsne pltí A B, B A, pre počty prvkov zjednoteni dvoch množín pltí A B = A + B A B, ( A B) = A B, ( A B) = A B. Žik vie: rozlíšiť používnie logických spojok kvntifikátorov vo vyjdrovní s v bežnom živote n jednej strne v rovine zákonov, nridení, zmlúv, návodov, mtemtiky n strne druhej, zistiť prvdivostnú hodnotu zloženého výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivlencie) z prvdivostných hodnôt jednotlivých zložiek (ted npísť pre dnú situáciu príslušný ridok tbuľky prvdivostných hodnôt ), v jednoduchých prípdoch rozhodnúť, či je výrok negáciou dného výroku, vytvoriť negáciu zloženého výroku (nie len pomocou nie je prvd, že, pozri príkld 1), v jednoduchých prípdoch zpísť určiť množinu vymenovním jej prvkov lebo chrkteristickou vlstnosťou, v jednoduchých prípdoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti dnej množiny (pozri príkld ), opísť zákldné druhy dôkzov (primy, neprimy, sporom) dokumentovť ich príkldmi, určiť zjednotenie, prienik rozdiel množín i doplnok množiny A (k A je podmnožinou B) vzhľdom n množinu B (intervly pozri v 1. Čísl, premenné výrzy), 3
použiť vzorec pre počet prvkov zjednoteni množín pri hľdní počtu prvkov týchto množín, resp. ich prieniku lebo zjednoteni, pri riešení úloh o množinách použiť ko pomôcku Vennove digrmy (pre 4 množiny). Príkldy 1. Sú nsledujúce výroky jeden druhému negáciou? Existujú spoň dvj speváci populárnej hudby, ktorých mjú všetci rdi. Kždého spevák populárnej hudby niekto nemá rád.. Zistite, či je množin všetkých dvojíc prirodzených čísel (x, y), ktoré sú riešením rovnice 5x + 3y = 100 000 konečná lebo nekonečná. 3. Koľko štvorciferných čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom 4 lebo 19? 1. Čísl, premenné výrzy Obsh Pojmy: konštnt, premenná, výrz, obor definície výrzu, rovnosť výrzov, hodnot výrzu, mnohočlen, stupeň mnohočlen, doplnenie do štvorc (pre kvdrtický mnohočlen), člen mnohočlen, vynímnie pred zátvorku, úprv n súčin, krátenie výrzu, prirodzené (N), celé (Z), nezápor-né ( N 0 ), záporné ( Z ), rcionálne (Q), ircionálne (I), reálne (R) čísl, n ciferné číslo, zlomky (čitteľ, menov- teľ, spoločný menovteľ, zákldný tvr zlomku, zložený zlomok, hlvná zlomková čir), destinný rozvoj (konečný, nekonečný periodický), číslo π, nekonečno, číselná os, znázorňovnie čísel, komuttívny, socitívny distributívny zákon, odmocnin (druhá), n-tá odmocnin, mocnin (s prirodzeným, celočíselným exponentom), exponent zákld mocniny, zákld logritmu, bsolútn hodnot čísl, úmer (prim neprim), pomer, percento, promile, zákld (pre počítnie s percentmi), fktoriál, kombinčné číslo, desitková dvojková sústv, dekdický dvojkový zápis, intervl (uzvretý, otvorený, ohrničený, neohrničený). Vlstnosti vzťhy: x y = ( x y ).( x + y ), x ± xy + y = ( x ± y), x bx + c = x x ).( x x ), kde x, x 1 sú + ( 1 korene rovnice x + bx + c = 0 ( 0 ), x+ y x y x y xy x 1 x x x =., ( ) =, =, ( b ) = b, c 0 = 1,, b 0, x c > 0, x, y Z, m n nm = m n n m n x = x, ( x ) = x, x. n y = n xy, pre x, y 0,, x je vzdilenosť obrzov čísel x n číselnej osi, m,n N, π π sin α + cos α = 1, cos α = sin α, sin α = cosα, sin( α ) = sin α, cos( α) = cosα, sin( π α) = sinα, cos( π α) = cosα, sin α = sinα. cosα, cosα = cos α sin α, sinα tn α =, cos α x log = b x = log b, x = x pre > 0, 1, x > 0 ; 4
x log x + log y = log ( xy), log x log y = log pre > 0, 1, x, y > 0 ; y y log ( x ) = y log x pre > 0, 1, x > 0 ; n!=1..3.....n, pre prirodzené čísl n, 0!=1, n n! = pre prirodzené čísl n nezáporné celé čísl k nie väčšie ko n, k k!( n k )! práve rcionálne čísl mjú destinný periodický rozvoj, R = Q I, Q I = {}, Z N Z {0}, N Z Q R. = Žik vie: (čísl) zokrúhľovť čísl, n uprviť reálne číslo n tvr ±. 10, kde n je celé číslo číslo z intervlu 1, 10), vypočítť bsolútnu hodnotu reálneho čísl, zpísť vzdilenosť n číselnej osi pomocou bsolútnej hodnoty, znázorňovť čísl n číselnú os, porovnávť čísl n číselnej osi, odčítť čísl z číselnej osi, pre konkrétne n všeobecne zpísť n ciferné číslo, n približný výpočet číselných výrzov hodnôt funkcií (vrátne log ) používť klkulčku, pričom vie - uprvovť číselné výrzy n tvr vhodný pre výpočet n klkulčke, - zvoliť vhodný postup, by mu vyšiel čo njpresnejší výsledok (npr. pri približnom výpočte 0! ), 10! 10! pomocou klkulčky zistiť ostrý uhol, ktorý má dnú goniometrickú hodnotu, porovnť dve reálne čísl n úrovni presnosti klkulčky, vyjdriť zjednotenie, prienik rozdiel konečného počtu intervlov pomocou njmenšieho počtu nvzájom disjunktných intervlov, jednoprvkových množín prázdnej množiny, (výrzy) určiť hodnotu výrzu (dosdiť) ručne lebo pomocou klkulčky, určiť obor definície výrzu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), odstrániť bsolútnu hodnotu rozlišovním vhodných prípdov (t.j. V ( x) = V ( x) pre x, pre ktoré V ( x) 0 V ( x) = V ( x) pre x, pre ktoré V ( x) 0 ), doplniť kvdrtický trojčlen do štvorc (pozri tiež. Lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť), uprvovť mnohočlen n súčin vynímním pred zátvorku použitím vzťhov pre rozkldy výrzov x y, x ± xy + y, x + bx + c (pozri príkld 1), použiť pri úprvách výrzov (číselných lebo výrzov s premennými) rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy, roznásobovnie, vynímnie pred zátvorku, krátenie, úprvu zloženého zlomku n jednoduchý (pozri príkldy, 3), (prác s premennou) používť percentá úmeru (pozri príkld 4), nhrdiť premennú vo výrze novým výrzom (substitúci, pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), 5
pri primo závislých veličinách vie vyjdriť jednu pomocou druhej (pozri príkld 5, pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti), vyjdriť neznámu zo vzorc (pozri.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti), zpísť slovný text lgebricky (mtemtizáci), - zpísť vzťhy (v jednoduchom texte) pomocou premenných, čísel, rovností nerovností - zpísť, vyjdriť bežné závislosti v geometrii, riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim nerovnicim (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy) interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni (pozri príkld 7). Príkldy 3 1. Rozložte mnohočlen 6x 13x + 7x n súčin lineárnych činiteľov.. Vyjdrite 3 log x log x x 1 ko jeden logritmus, 3. Pre ktoré čísl, b s výrz x x x rovná výrzu b +? x + 1 x 4. Zpíšte pomocou premenných, čísel rovností ) Peter má o x % vic... ko Jno. (P=(1+x/100 J) b) Adm Boris si rozdelili penize v pomere : 3. (A = x, B = 3x) 5. Kváder so štvorcovou podstvou má povrch 100 cm. Vyjdrite jeho objem pomocou jeho výšky. 6. Zpíšte pomocou premenných, čísel, rovností nerovností: 0 < A 8 Polovic A má dĺžku njvic 4. ( ) 7. Jno riešil úlohu Súčet A+B je o 80 % väčší ko rozdiel A B. O koľko % je číslo A väčšie ko číslo B?. Jnovi vyšiel správny vzťh A = 3,5B. Určte vzťh medzi A, B pomocou percent! 1.3 Teóri čísel Obsh Pojmy: deliteľ, násobok, deliteľnosť, njväčší spoločný deliteľ (NSD), njmenší spoločný násobok (NSN), prvočíslo, zložené číslo, nesúdeliteľné čísl, zvyšok, prvočíselný rozkld, prvočiniteľ. Vlstnosti vzťhy: Znky deliteľnosti: - posledná cifr:, 5, 10, - posledné dve cifry: 4, 5, 50, - posledné tri cifry: 8, - súčet všetkých cifier: 3, 9. Prvočísel je nekonečne veľ. Žik vie: zistiť bez deleni, či je dné číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znkoch deliteľnosti, 6
nájsť NSN, NSD dných čísel, nájsť celočíselné riešeni úloh, v ktorých možno jednoduchou úvhou určiť vhodnú konečnú množinu, ktorá hľdné riešeni musí obshovť (riešeni úlohy potom nájde preverením jednotlivých prvkov získnej konečnej množiny, pozri príkldy 1,, 4), pri riešení jednoduchých úloh využiť prvidelnosť rozloženi násobkov celých čísel n číselnej osi (pozri príkld 3). Príkldy 1. Pre ktoré čísl pltí NSN ( 6, ) = 4?. Pre ktoré čísl A, B je číslo s dekdickým zápisom 34A57B deliteľné 1? 3. Koľko štvorciferných čísel je deliteľných 3? (kždé 3. číslo je deliteľné 3) 4 4. Nájdite všetky celé čísl x, y, pre ktoré pltí x + y = 981 (bsolútn hodnot y nie je väčši ko 5) 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy Obsh Pojmy: rovnic, nerovnic, sústv rovníc, sústv nerovníc ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminnt, doplnenie do štvorc, úprv n súčin, substitúci, kontrol (skúšk) riešeni, (ekvivlentné neekvivlentné) úprvy rovnice nerovnice. Vlstnosti vzťhy: diskriminnt kvdrtickej rovnice x + bx + c = 0 D = b 4c, b ± D riešením kvdrtickej rovnice x + bx + c = 0 sú x1, =, vzťh medzi diskriminntom počtom (nvzájom rôznych) koreňov kvdrtickej rovnice, x + bx + c = ( x x1).( x x), kde x, x 1 sú korene rovnice x + bx + c = 0 ( 0), vzťh medzi znmienkom súčinu dvoch výrzov znmienkom jednotlivých činiteľov. Žik vie: (rovnice) nájsť všetky riešeni lineárnej rovnice x + b = 0 kvdrtickej rovnice x + bx + c = 0, pričom pozná vzťh medzi koreňmi kvdrtickej rovnice koreňovými činiteľmi, počtom riešení (pozri príkld 1), nájsť všetky riešeni, resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I (k s nedá presne, tk približne s pomocou klkulčky), rovnice f ( x) = A, kde A R f je funkci x - x, b, log x ( Q, b je kldné číslo rôzne od 1), - x, b - sin x, cos x, tn x, vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnic (v závislosti od čísl A, čísel, b, c, resp. intervlu I, pozri príkld ), 7
použitím dnej substitúcie y = ϕ(x) uprviť rovnicu zpísnú v tvre f (ϕ ( x)) = A n tvr f ( y) = A, špeciálne vie nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle) rovníc x - f ( x + b) = A, kde f je funkci x, b, log x, sin x, cos x, b x - f ( x + bx + c) = A, kde f je funkci x, b, log b x, nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle) rovníc zpísných v tvre f ( x) g( x) = 0, pokiľ vie riešiť rovnice f(x)=0, g(x)=0 (pozri príkld 4), nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle) rovníc, ktorých riešenie možno uprviť n niektorý z predchádzjúcich tvrov - použitím úprv jednotlivých strán rovnice, využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti funkcií (pozri 1. Čísl, premenné výrzy, Funkcie), - pripočítním (špeciálne odpočítním) vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rovnice výrzom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice, - odstránením bsolútnej hodnoty v prípde rovníc s jednou bsolútnou hodnotou (rozlišovním dvoch vhodných prípdov), pričom vie rozhodnúť - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej rovnice, - ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikl uvedenými úprvmi, sú j koreňmi pôvodnej rovnice, resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých číslch ešte treb zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice (pozri príkldy 5, 6), riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni, (sústvy rovníc) opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej dvoch lineárnych rovníc s neznámymi (pozri 3. Anlytická geometri v rovine, 4. Súrdnicová sústv v priestore, vektory, nlytická metód), nájsť množinu všetkých riešení sústvy 1 3 lineárnych rovníc s 1 neznámymi, to j v prípdoch, keď táto sústv má nekonečne veľ riešení lebo nemá riešeni, nájsť všetky riešeni sústvy rovníc s neznámymi, ktorú možno jednoducho uprviť n tvr y = f (x) g ( x, y) = 0 (resp. x = f (y) g ( x, y) = 0 ), pokiľ vie riešiť rovnicu g ( x, f ( x)) = 0 (resp. g( f ( y), y) = 0 ), uprvovť sústvy rovníc použitím - úprv jednotlivých strán rovnice, využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti elementárnych funkcií (pozri 1. Čísl, premenné výrzy, Funkcie), - pripočítni (špeciálne odpočítni) vynásobeni (špeciálne vydeleni) obidvoch strán rovnice výrzom, pričom vie rozhodnúť, - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej sústvy, - ktoré z riešení sústvy, ktorá vznikl uvedenými úprvmi, sú j riešenimi pôvodnej sústvy, resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých číslch ešte treb zistiť, či sú riešenimi pôvodnej sústvy, (nerovnice ich sústvy) nájsť množinu všetkých riešení nerovnice - f ( x) L, kde L je reálne číslo, je jeden zo znkov nerovnosti <,, >, f je niektorá α x z funkcií ( x + b), b, log x, x, resp. množinu všetkých riešení tejto nerovnice ležicich v dnom intervle, b 8
- f ( x) L, kde f je niektorá z funkcií sin x, cos x, tg x x je prvkom dného ohrničeného intervlu, f ( x) g( x) 0, pokiľ vie riešiť nerovnice f ( x) 0, g( x) 0, kde je znk nerov- - f ( x) 0 g( x) nosti (pozri príkldy 7, 8, 9), pri riešení úprvách nerovníc správne použiť - vynásobenie obidvoch strán nerovnice kldným lebo záporným číslom, - pripočítnie výrzu k obidvom strnám nerovnice, nájsť všetky riešeni nerovníc, ktorých riešenie možno uvedenými postupmi nhrdiť riešením nerovníc uvedených v predchádzjúcej odrážke, riešiť sústvu nerovníc s jednou neznámou v prípdoch, keď vie vyriešiť smosttne kždú z dných nerovníc (pozri príkld, pozri tiež prieniky zjednoteni intervlov v 1. Čísl, premenné výrzy), v rovine opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvom neznámymi x, y, ktorú možno zpísť v tvre - y f (x) lebo x f (y) (kde je znk nerovnosti) v tých prípdoch, kedy vie nčrtnúť grf funkcie y = f (x), resp. x = f (y), - x + by + c 0, riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k nerovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni. Príkldy 1. Pre ktoré číslo p má kvdrtická rovnic y + 4y + p = 0 s neznámou y jediné riešenie?. Koľko koreňov má rovnic cos x = 0,5 v intervle (1, 6)? x x x 3. Použitím substitúcie t = riešte rovnicu 4 = 1 + 14. 3 4. Riešte rovnicu ( x + ) x = 0. Návod: uprvte ľvú strnu n súčin. 5. Riešte rovnicu cos x + cos x = 0,5. 6. Riešte rovnicu 4 x + 3 + x =. 7. Riešte nerovnicu x 1 0. x + 8. Riešte nerovnicu x log( 4x 3) > 0. 9. Určte njmenšie n, od ktorého je postupnosť 3n 0 n = rstúc. n + 1 9
. FUNKCIE.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti Obsh Pojmy: premenná (veličin), dná premenná je funkciou inej premennej, funkci, postupnosť, rgument, funkčná hodnot, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor obor hodnôt funkcie, grf funkcie, rstúc, klesjúc, monotónn funkci (postupnosť), mximum (minimum) funkcie (postupnosti), lokálne mximum minimum funkcie, zhor (zdol) ohrničená funkci (postupnosť), ohrničená funkci (postupnosť), horné (dolné) ohrničenie; konštntná, prostá, inverzná, zložená, periodická funkci; rekurentý vzťh, postupnosť dná rekurentne. Vlstnosti vzťhy: rstúc (klesjúc) funkci je prostá, k prostej funkcii existuje inverzná funkci, 1 grf inverznej funkcie f je súmerný s grfom funkcie f podľ primky y = x. Žik vie: v jednoduchých prípdoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch dných premenných veličín je funkciou druhej z nich, túto závislosť vyjdriť, k je to možné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré pozná (pozri príkld 1), z dného grfu funkcie - určiť približne - jej extrémy, - intervly, n ktorých rstie (klesá), - zistiť, či je zdol (zhor) ohrničená, nájsť definičný obor dnej funkcie, resp. rozhodnúť, či dné číslo ptrí do definičného oboru dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), rozhodnúť, či dné číslo ptrí do oboru hodnôt dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice nerovnice), nájsť funkčnú hodnotu funkcie v dnom bode, určiť jej priesečníky so súrdnicovými osmi, nájsť priesečníky grfov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), v prípde konštntnej funkcie funkcií x + b, x + bx + c, tg x - určiť n dnom intervle ich obor hodnôt, - určiť intervly, n ktorých sú tieto funkcie rstúce, resp. klesjúce, - nčrtnúť ich grfy, - nájsť ich njväčšie, resp. njmenšie hodnoty n dnom intervle, b, - rozhodnúť, ktoré z nich sú n dnom intervle I - prosté, - zhor (zdol) ohrničené, nčrtnúť grfy funkcií - x + b, x + b,, x x, log x, sin x, cos x, cx + d - + f ( x), f ( + x), f ( x), f ( x), k pozná grf funkcie f, opísť, ko vznikne uvedený grf z grfu funkcie f, 1 nčrtnúť grf inverznej funkcie f, k pozná grf prostej funkcie f, 10
nájsť inverzné funkcie k funkciám - x x + b, b, x x, log, x cx + d v jednoduchých prípdoch rozhodnúť o existencii riešeni rovnice f ( x) = 0 (resp. f ( x) = ), pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f, grficky znázorniť n číselnej osi množinu riešení nerovnice f ( x ), kde * je jeden zo symbolov <,, >,, pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f, nájsť všetky riešeni nerovnice f ( x), pokiľ vie riešiť rovnicu f ( x) = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f, vypočítť hodnotu dného člen postupnosti dnej jednoduchým rekurentným vzťhom. Príkldy 1. Veličiny x, y sú vyjdrené pomocou premennej t nsledovne: x = 3t + 1, y = 7 t, Zistite, či veličin x je funkciou veličiny y lebo veličin y je funkciou veličiny x.. Lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť Obsh Pojmy: lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť, smernic primky, diferenci ritmetickej postupnosti, vrchol prboly. Vlstnosti vzťhy: grfom lineárnej (kvdrtickej) funkcie je primk (prbol), lineárn (kvdrtická) funkci je jednoznčne určená funkčnými hodnotmi v (3) bodoch, vzťh medzi koeficientom pri lineárnom člene rstom, resp. klesním lineárnej funkcie, vzťh medzi diferenciou ritmetickej postupnosti jej rstom, resp. klesním, kvdrtická funkci má n R jediný globálny extrém, minimum v prípde kldného koeficientu pri kvdrtickom člene, mximum v opčnom prípde, prbol (t.j. grf kvdrtickej funkcie) je súmerná podľ rovnobežky s osou y, prechádzjúcej vrcholom prboly. Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) riešiť lineárne kvdrtické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), špeciálne vie nájsť priesečníky grfov lineárnych (resp. kvdrtických) funkcií lebo lineárnej kvdrtickej funkcie, nájsť predpis lineárnej (lebo konštntnej) funkcie, k pozná - hodnoty v bodoch, - hodnotu v 1 bode smernicu grfu tejto funkcie, nájsť predpis kvdrtickej funkcie, k pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch, - vrchol jej grfu hodnotu v ďlšom bode, nájsť intervly, n ktorých je dná lineárn lebo kvdrtická funkci rstúc, resp. klesjúc, nájsť - pokiľ existuje - njväčšiu njmenšiu hodnotu kvdrtickej lineárnej funkcie n dnom intervle, špeciálne vie nájsť vrchol grfu kvdrtickej funkcie, k pozná jej predpis, určiť hodnotu ľubovoľného člen ritmetickej postupnosti, k pozná 11
- jeden jej člen diferenciu, - dv rôzne členy, pre ritmetickú postupnosť (dnú explicitne) npísť zodpovedjúci rekurentný vzťh, nájsť súčet n (pre konkrétne n) z sebou nsledujúcich členov dnej ritmetickej postupnosti..3 Mnohočleny mocninové funkcie, lineárn lomená funkci Obsh Pojmy: mocnin, n-tá odmocnin, mocnin s prirodzeným, celočíselným exponentom, polynóm, mnohočlen, mocninová funkci, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), exponent, lineárn lomená funkci, symptoty grfu lineárnej lomenej funkcie. Vlstnosti vzťhy: polynóm stupň n má njvic n rôznych reálnych koreňov, r s r s x = x x, ( + r ) s 1 x = x rs r r r r, = x, ( xy ) = x y, r, s Z, r x m n nm m n n m n x = x, ( x ) = x, x. n y = n xy, pre x, y 0, m,n N. Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti z čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť rovnice nerovnice s polynomickými, mocninovými lineárnymi lomenými funkcimi (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), n schemticky nčrtnúť porovnť grfy funkcií y = x pre rôzne hodnoty n Z n intervloch, 1, 1,0, 0,1, ( 1, ), ( ) ( ) ( ) nájsť rovnice symptot grfu lineárnej lomenej funkcie, nájsť intervly, n ktorých je lineárn lomená funkci rstúc, resp. klesjúc nájsť k nej inverznú funkciu..4 Logritmické exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť Obsh Pojmy: exponenciáln logritmická funkci, zákld exponenciálnej logritmickej funkcie, logritmus, prirodzený logritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti. Vlstnosti vzťhy: r s r s + r s =., ( ) = rs pre > 0, 1, r, s R, x 1 =, x x = b x = log b pre > 0, 1, b > 0, x R, r log r + log s = log ( rs), log r log s = log pre > 0, 1, r, s > 0, s s log ( r ) = s log r pre > 0, 1, r > 0, s R, log x = x pre > 0, 1, x > 0. 1
Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) (exponenciáln funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť exponenciálne rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), x rozhodnúť o rste, resp. klesní funkcie v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. (0,1), (1,)), x rozhodnúť o ohrničenosti zhor, resp. zdol funkcie n dnom intervle, vyjdriť n tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne n) pomocou jej prvého (lebo iného než n tého) člen kvocientu q, nájsť súčet n z sebou nsledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne n), rozhodnúť o rste, resp. klesní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člen kvocientu, (logritmická funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť logritmické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), rozhodnúť o rste, resp. klesní funkcie log x v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. [ 1, 0], [, 1] ), rozhodnúť o ohrničenosti zhor, resp. zdol logritmickej funkcie n dnom intervle, vyriešiť jednoduché príkldy n výpočet úrokov..5 Goniometrické funkcie Obsh Pojmy: π, goniometrická funkci, sínus, kosínus, tngens, (njmenši) periód. Vlstnosti vzťhy: π π π π hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0,,,,, 6 4 3 vzorce pre sínus kosínus dvojnásobného uhl, sinα π π tgα =, sin α + cos α = 1, cos α = sinα, sin α = cosα, sin( π + α) = sinα, cos α cos( π + α) = cosα, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tg( x) = tg(x), sin α = sinα cosα, cos α = cos α sin α, grf funkcie kosínus vznikne posunutím grfu funkcie sínus, periodickosť njmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií. Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve goniometrických výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), nájsť pomocou klkulčky riešenie rovnice f ( x) =, kde f je goniometrická funkci, to j v prípde, že n klkulčne niektoré goniometrické lebo inverzné goniometrické funkcie nie sú (pozri tiež 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť goniometrické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), 13
vyjdriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly α 0, π ko pomery strán prvouhlého trojuholník, použiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov prvouhlého trojuholník (pozri tiež 3.1 Zákldné rovinné útvry), vyjdriť (n záklde znlosti súmerností periodičnosti grfov goniometrických funkcií) sinα,cosα, tg α pre α R ko sínus, kosínus lebo tngens vhodného uhl β 0, π, nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre dný rgument, k pre tento rgument pozná hodnotu spoň jednej z nich, π π π π nčrtnúť grfy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0,,,,, určiť njmenšie periódy 6 4 3 týchto grfov, určiť podintervly dného ohrničeného intervlu, n ktorých sú funkcie sin, cos, tg rstúce, resp. klesjúce, rozhodnúť o ohrničenosti funkcie tg x n dnom intervle. 3. PLANIMETRIA 3. 1 Zákldné rovinné útvry Obsh Pojmy: ) Lineárne útvry. Bod, primk, polprimk, úsečk, stred úsečky, delici pomer, polrovin, rovnobežné rôznobežné primky, uhol (ostrý, prvý, tupý), susedné, vrcholové, súhlsné striedvé uhly, os úsečky, os uhl, uhol dvoch primok, kolmé primky, kolmic, vzdilenosť (dvoch bodov, bodu od primky, rovnobežných primok). b) Kružnic kruh. Stred, polomer (ko číslo i ko úsečk), priemer, tetiv, kružnicový oblúk, dotyčnic, sečnic nesečnic, obvod kruhu dĺžk kružnicového oblúk, kruhový výsek odsek, medzikružie, obsh kruhu kruhového výseku. c) Trojuholník. Trojuholník (ostrouhlý, prvouhlý, tupouhlý, rovnormenný rovnostrnný trojuholník), vrchol, strn (ko vzdilenosť, ko úsečk), výšk (ko vzdilenosť, ko úsečk i ko primk), uhol, ťžnic, ťžisko, stredná priečk, kružnic trojuholníku opísná, kružnic do trojuholník vpísná, obvod plošný obsh trojuholník, trojuholníková nerovnosť, Pytgorov vet, sínusová kosínusová vet. d) Štvoruholníky mnohouholníky. Vrchol, strn (ko vzdilenosť, ko úsečk), uhlopriečk, uhol, konvexný štvoruholník, rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, lichobežník, rovnormenný lichobežník, zákldň rmeno lichobežník, výšk rovnobežník lichobežník, plošný obsh rovnobežník lichobežník, konvexné, nekonvexné prvidelné mnohouholníky, obsh mnohouholník. Vlstnosti vzťhy: ) Lineárne útvry Súhlsné uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké, striedvé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké, súčet susedných uhlov je 180, vrcholové uhly sú rovnké. 14
b) Trojuholník Trojuholníková nerovnosť, súčet vnútorných uhlov trojuholník, oproti väčšej (rovnkej) strne leží väčší (rovnký) uhol, oproti rovnkým strnám leži rovnké uhly, delenie ťžníc ťžiskom, priesečník osí strán je stred opísnej kružnice, priesečník osí uhlov je stred vpísnej kružnice, vyjdrenie obshu trojuholník pomocou - dĺžky strny k nej príslušnej výšky, - dvoch strán sínusu uhl týmito strnmi zovretého, Pytgorov vet, goniometri prvouhlého trojuholník (pozri.5. Goniometrické funkcie), vyjdrenie kosínusov uhlov trojuholník pomocou dĺžok strán (kosínusová vet), sinα sin β b sinα =, =, = (sínusová vet), sin β b sin χ c sin χ c zhodné podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) podobnosti (sss, sus, uu) trojuholníkov, vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov - dĺžkmi odpovedjúcich si úsečiek, - veľkosťmi odpovedjúcich si uhlov, - ich plošnými obshmi. c) Kružnic kruh Kružnic je jednoznčne určená stredom polomerom, resp. tromi svojimi bodmi, židne tri body kružnice neleži n primke, kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kružnice, Tlesov vet, závislosť vzájomnej polohy kružnice primky n polomere kružnice vzdilenosti jej stredu od primky, dotykový bod dvoch kružníc leží n spojnici stredov kružníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch kružníc od vzdilenosti stredov kružníc ich polomerov, vzťhy pre výpočet obvodu obshu kruhu, dĺžku kružnicového oblúk obshu kruhového výseku. d) Štvoruholníky mnohouholníky Rovnobežnosť rovnká veľkosť protiľhlých strán rovnobežník, rozpoľovnie uhlopriečok v rovnobežníku, rovnosť protiľhlých vnútorných uhlov v rovnobežníku, súčet susedných uhlov rovnobežník, súčet vnútorných uhlov lichobežník priľhlých k jeho rmenu, uhlopriečky kosoštvorc sú n seb kolmé rozpoľujú vnútorné uhly, zhodnosť uhlopriečok obdĺžnik štvorc, rovnobežník je stredovo súmerný, obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán, kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok, rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní, prvidelnému n-uholníku s dá vpísť opísť kružnic, v rovnormennom lichobežníku sú rovnké uhlopriečky rovnké uhly pri zákldni, obsh rovnobežník vyjdrený pomocou strny príslušnej výšky, resp. pomocou susedných strán uhl medzi nimi, obsh lichobežník vyjdrený pomocou výšky veľkosti zákldní. 15
Žik vie: približne vypočítť obvod obsh nrysovných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov ich čstí, vypočítť v trojuholníku, jednoznčne určenom jeho strnmi, resp. strnmi uhlmi, zvyšné strny uhly, dĺžky ťžníc, výšok, obvod obsh (pozri príkldy 1, 3), rozhodnúť, či sú dv trojuholníky zhodné lebo podobné (pozri príkld 4), vlstnosti zhodnosti podobnosti použiť vo výpočtoch (pozri príkld ), vypočítť obvod obsh kruhu kruhového výseku (pozri príkld ), rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice, - dvoch kružníc, k pozná ich polomery vzdilenosť stredov, vypočítť plošný obsh rovnobežník, lichobežník, resp. rozkldom n trojuholníky j obsh iných mnohouholníkov. Príkldy 1. Šnúr n bielizeň, dlhá 3 m, je zvesená medzi bodmi A B, ktorých vzdilenosť je m ktoré sú m vysoko od zeme. Vo vzdilenostich po jednom metri sú n šnúre pevne prichytené dve závži. O koľko cm klesne jedno závžie, k odstránime druhé závžie?. Dve kolesá sú spojené prevodovou reťzou. Polomery kolies sú 10 cm 5 cm, vzdilenosť stredov je 60 cm. Vypočítjte dĺžku reťze. Hrúbku reťze znedbjte. 3. Dĺžky strán konvexného štvoruholník sú AB = 0 cm, BC = 15 cm, CD = 15 cm, DA = 0 cm uhlopriečk BD má dĺžku 4 cm. Vypočítjte dĺžku druhej uhlopriečky. 4. Pre ktoré x, y sú trojuholníky so strnmi 3, x, 5 y, 6, 15 podobné? 3. Anlytická geometri v rovine Obsh Pojmy: (krteziánsk) súrdnicová sústv n primke (číselná os) v rovine, súrdnice bodu, všeobecná rovnic primky, smernic primky, smernicový tvr rovnice primky, rovnic kružnice. Vlstnosti vzťhy: vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc, vzťh medzi smernicmi dvoch rovnobežných, resp. kolmých primok, vzťh medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobežných, resp. kolmých primok, spoň jeden vzťh lebo postup pre výpočet - uhl dvoch primok (npr. pomocou sklárneho súčinu, kosínusovej vety lebo smerníc), - vzdilenosti bodu od primky. Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov, k pozná ich súrdnice, určiť súrdnice dných bodov, vypočítť súrdnice stredu úsečky, 16
npísť nlytické vyjdrenie primky (pozri tiež 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie 3.4 Zhodné podobné zobrzeni) - prechádzjúcej dvom dnými bodmi, - dným bodom rovnobežne s dnou primkou, - prechádzjúcej dným bodom kolmo n dnú primku, určiť vzájomnú polohu dvoch primok (k sú dné ich rovnice) nájsť súrdnice ich prípdného priesečník, vypočítť - vzdilenosť bodov, - vzdilenosť bodu od primky, - vzdilenosť dvoch rovnobežných primok, - obsh trojuholník určeného jeho vrcholmi, - uhol dvoch primok, npísť rovnicu kružnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie 3.4 Zhodné podobné zobrzeni) - k pozná jej stred polomer, - v tvre x + x + y + by + c = 0, k pozná tri body, ktorými kružnic prechádz, určiť z rovnice kružnice jej stred polomer, rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice, - dvoch kružníc, k pozná ich rovnice. 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie Žik vie: geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov s konštntnou vzdilenosťou od - bodu, - primky, - kružnice, geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov - ktoré mjú rovnkú vzdilenosť od - dvoch bodov, - dvoch rovnobežných primok, - dvoch rôznobežných primok, geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov, ktoré mjú - od dného bodu vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo, - od dnej primky vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo, - od jedného bodu väčšiu vzdilenosť ko od druhého bodu, - od jednej dnej primky väčšiu vzdilenosť ko od druhej dnej primky, opísť v jednoduchých prípdoch množinu bodov dných vlstností - pomocou uhlov, čstí primky, kružnice kruhu (pozri príkldy 1, ), znázorniť množinu bodov [ x, y], pre ktoré pltí - y* f(x), kde * je jeden zo znkov <,, >, f je predpis funkcie, ktorej grf vie žik znázorniť (pozri.1 Funkci jej vlstnosti), - x + by + c * 0, v jednoduchých prípdoch j množinu bodov [ x, y], ktorá je opísná sústvou dvoch z predchádzjúcich nerovníc (pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), 17
tieto množiny bodov použiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy). Príkldy 1. Dné sú body A, B. Nech bod C je vrcholom ľubovolného prvouhlého trojuholník s preponou AB. Určte množinu ťžísk týchto trojuholníkov.. Dné sú body A, B, D, ktoré neleži n jednej primke. Nájdite množinu bodov C, pre ktoré je štvoruholník ABCD konvexný súčsne trojuholníky ABD ABC mjú rovnký obsh. (Riešením je polprimk s krjným bodom D, rovnobežná s primkou AB.) 3.4 Zhodné podobné zobrzeni Obsh Pojmy: zhodné zobrzenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred súmernosti, otočenie, stred otočeni, orientovný uhol jeho veľkosti, uhol otočeni, osovo stredovo súmerný útvr; skldnie zobrzení, inverzné zobrzenie. Vlstnosti vzťhy: stredová súmernosť je jednoznčne určená stredom súmernosti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, osová súmernosť je jednoznčne určená osou súmernosti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, otočenie je jednoznčne určené stredom uhlom otáčni, posunutie je jednoznčne určené vektorom posunuti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, vzťh medzi orientovným uhlom jeho veľkosťmi, rovnobežník je stredovo súmerný, obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán, kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok, rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní, nech A,B sú dv osovo súmerné body podľ primky p, potom AB je kolmá n p stred AB leží n p, primk jej obrz v posunutí sú rovnobežné, vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch útvrov - dĺžkmi zodpovedjúcich si úsečiek, - veľkosťmi zodpovedjúcich si uhlov, - ich plošnými obshmi. Žik vie: zobrziť dný útvr v dnom zhodnom zobrzení, rozhodnúť, či je dný útvr osovo (stredovo) súmerný, npísť súrdnice bodu, ktorý je obrzom dného bodu - v súmernosti podľ zčitku súrdnej sústvy, - v súmernosti podľ niektorej súrdnej osi, - v posunutí, určiť inverzné zobrzenie k dnému zhodnému zobrzeniu, zostrojiť 18
- obrz dného útvru v dnom zhodnom zobrzení, resp. útvr podobný s dným útvrom, pri dnom pomere podobnosti. 3.5 Konštrukčné úlohy Obsh Pojmy: rozbor, náčrt, konštrukci, postup konštrukcie. Žik vie: zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie použiť - nsledujúce zákldné konštrukcie (n ktoré s môže pri opise postupu zložitejších konštrukčných úloh odvolávť bez toho, by ich podrobne rozpisovl): - rovnobežku s dnou primkou dným bodom, - rovnobežku s dnou primkou v predpísnej vzdilenosti, - os úsečky, os uhl, - primku, ktorá prechádz dným bodom zvier s dnou primkou dný uhol, b - úsečku dĺžky (pomocou podobnosti), kde, b, c sú dĺžky nrysovných úsečiek, c - rozdeliť úsečku v dnom pomere, - trojuholník určený: - tromi strnmi, - dvom strnmi uhlom, - dvom uhlmi strnou, - kružnicu - trojuholníku opísnú, - do trojuholník vpísnú, - dotyčnicu kružnice - v dnom bode kružnice, - z dného bodu ležiceho mimo kružnice, - rovnobežnú s dnou primkou, - obrz dného bodu, úsečky, primky, kružnice jej čstí v dnom zhodnom zobrzení, (pozri 3. 4 Zhodné podobné zobrzeni), - množiny bodov dných vlstností, uvedené v prvej druhej odrážke v 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie, - množiny bodov dných vlstností, pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé možnosti zdni (npr. výšk leží v trojuholníku výšk je mimo trojuholník ), n záklde vykonného (dného) rozboru npísť postup konštrukcie, uskutočniť konštrukciu dnú opisom, určiť počet riešení v prípde číselne zdných úloh. Príkldy 1. (postupné rysovnie) Zostrojte trojuholník ABC, keď je dné c = 6 cm, α = 75, t c = 8 cm. (N záklde uvedených údjov je možné skonštruovť trojuholník ASC (S je stred strny AB), v ktorom sú dné strny uhol.) 19
. (využitie podobnosti) Zostrojte trojuholník ABC, keď je dné α = 75, β = 45, obvod O = 13 cm. (Dá s nrysovť trojuholník podobný s hľdným.) 3. Pre ktorú hodnotu (zvyšné zdnie s nemení) bude mť úloh jediné riešenie (nebude mť riešenie)? 4. STEREOMETRIA 4.1 Zákldné spôsoby zobrzovni priestoru do roviny Obsh Pojmy: premietnie (voľné rovnobežné premietnie), priemet priestorového útvru do roviny. Vlstnosti vzťhy : voľné rovnobežné premietnie zchováv delici pomer rovnobežnosť. Žik vie: použiť vlstnosti voľného rovnobežného premietni pri zobrzovní kocky, prvidelných hrnolov. 4. Súrdnicová sústv v priestore Obsh Pojmy: (krteziánsk) sústv súrdníc v priestore, bod jeho súrdnice, vzdilenosť bodov. Vlstnosti vzťhy: vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc. Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov, k pozná ich súrdnice, určiť súrdnice dných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvry v priestore polohové úlohy 4.4 Lineárne útvry v priestore metrické úlohy), určiť súrdnice stredu úsečky, špeciálne vo vhodne zvolenej súrdnicovej sústve opísť vrcholy dného kvádr. 4.3 Lineárne útvry v priestore - polohové úlohy Obsh Pojmy: bod, primk rovin v priestore, rovnobežné, rôznobežné mimobežné primky, rovnobežnosť rôznobežnosť primky roviny, rovnobežné rôznobežné roviny, priesečnic dvoch rovín, rez teles rovinou. Vlstnosti vzťhy: rovnobežné (rôznobežné) primky leži v jednej rovine, mimobežné primky neleži v jednej rovine, priesečnice roviny s dvom rovnobežnými rovinmi sú rovnobežné. 0
Žik vie: opísť možnosti pre vzájomné polohy ľubovoľných dvoch lineárnych útvrov, rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvrov pomocou ich obrzu vo voľnom rovnobežnom premietní (pozri príkld 1), zostrojiť vo voľnom rovnobežnom priemete jednoduchého teles (kocky, resp. hrnol) priesečník primky (určenej bodmi ležicimi v rovinách stien kocky, resp. hrnol) s rovinou steny dného teles, zostrojiť rovinný rez kocky, kvádr rovinou určenou tromi bodmi ležicimi v rovinách stien, z ktorých spoň dv leži v tej istej stene dného teles. Príkldy 1. Dná je kock ABCDEFGH. Body K, L, M, N O sú po rde stredmi úsečiek AC, CG, GH, AH KM (pozri obr. 1). Leži body ) H,O,C, b) G,O,A, c) B,O,H, d) N,O,L, e) D,O,F n jednej primke? obr.1 4.4 Lineárne útvry v priestore - metrické úlohy Obsh Pojmy: uhol dvoch primok, kolmosť primok rovín, primk kolmá k rovine, uhol dvoch rovín, kolmý priemet bodu primky do roviny, vzdilenosť dvoch lineárnych útvrov (dvoch bodov, bodu od roviny, bodu od primky, vzdilenosť rovnobežných primok, primky roviny s ňou rovnobežnej, vzdilenosť rovnobežných rovín), uhol primky s rovinou. Žik vie: n zobrzených telesách oznčiť - úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstvuje vzdilenosť dných lineárnych útvrov, - uhly, ktorých skutočná veľkosť predstvuje uhol dných lineárnych útvrov. 4.5 Telesá Obsh Pojmy: teleso, mnohosten, vrchol, hrn, sten, kock, sieť kocky, hrnol, kolmý prvidelný hrnol, kváder, rovnobežnosten, ihln, štvorsten, prvidelný štvorsten, podstv, výšky v štvorstene, guľ, vlec, kužeľ, objemy povrchy telies. Vlstnosti vzťhy: vzorce pre výpočty objemov povrchov telies. 1
Žik vie: rozhodnúť, či dná sieť je sieťou teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní, nčrtnúť sieť teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní, riešiť úlohy, ktorých súčsťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádr, prvidelného kolmého hrnol, prvidelného ihln, gule, vlc, kužeľ vie pri tom nájsť ktívne použiť vzorce pre výpočet objemov povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy. 5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 5.1 Kombintorik prvdepodobnosť Obsh Pojmy: (kombintorické) prvidlo súčtu, (kombintorické) prvidlo súčinu, permutácie, vriácie vriácie s opkovním, kombinácie, fktoriál, kombinčné číslo, Psclov trojuholník, prvdepodobnosť, doplnková prvdepodobnosť, náhodný jv, nezávislé jvy. Vlstnosti vzťhy: n! = 1..3.. n, 0! = 1, n n! n n! =, C k ( n) =, V k ( n) =, P n = n!, k k!( n k)! k ( n k)! n n =, k n k pre prvdepodobnosť P udlosti A pltí 0 P ( A) 1, P( A) + P( A ) = 1, kde A je doplnková udlosť k udlosti A, prvdepodobnosť istej udlosti je 1, P( A B) = P( A) P( B), k A, B sú nezávislé jvy. Žik vie: riešiť jednoduché kombintorické úlohy - vypisovním všetkých možností, pričom - vie vytvoriť systém (strom logických možností) n vypisovnie všetkých možností (k s v tomto strome vyskytujú niektoré možnosti vickrát, vie určiť násobnosť ich výskytu), - dokáže objviť podsttu dného systému pokrčovť vo vypisovní všetkých možností, - n záklde vytvoreného systému vypisovni všetkých možností určiť (pri väčšom počte možnosti lgebrickým sprcovním) počet všetkých možností, - použítím kombintorického prvidl súčtu súčinu, - využitím vzorcov pre počet kombinácií, vriácií, vriácií s opkovním permutácií, použiť pri úprve výrzov rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy (pozri 1.4 Čísl, premenné, výrzy), rozhodnúť - o závislosti jvov A, B, k pozná P ( A), P( B) P( A B), - v jednoduchých prípdoch o správnosti použiti rovnosti P( A B) = P( A) P( B), riešiť úlohy n prvdepodobnosť, zložené n
- hľdní pomeru všetkých priznivých všetkých možností, resp. všetkých nepriznivých všetkých priznivých možností, k vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombintorických úloh, - doplnkovej prvdepodobnosti. 5. Šttistik Obsh Pojmy: digrm grf (stĺpcový, obrázkový, kruhový, lomený, spojitý, histogrm), zákldný súbor, výberový súbor, rozdelenie, modus, medián, ritmetický priemer (j vic ko dvoch čísel), stredná hodnot, smerodjná odchýlk, rozptyl, triedenie. Vlstnosti vzťhy: vzťh pre výpočet rozptylu. Žik vie: vypočítť ritmetický priemer dných čísel, získvť informácie z rôznych tbuliek (npr. utobusová tbuľk) digrmov, sprcovť údje do vhodných digrmov, zistiť v dnom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodjnú odchýlku uviesť šttistickú interpretáciu získných výsledkov, uviesť príkld súboru s poždovnými podmienkmi n modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodjnú odchýlku (pozri príkld 1), znázorniť vyhodnotiť nmerné hodnoty, urobiť triedenie znázorniť ho. Príkldy 1. Nvrhnite súbor s 8 hodnotmi tk, by v ňom ritmetický priemer bol väčší ko modus. Úprvy cieľových požidviek z mtemtiky úroveň B pre žikov so špeciálnymi výchovno-vzdelávcími potrebmi žici so sluchovým postihnutím. Lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť vypúšť s pre ritmetickú postupnosť (dnú explicitne) npísť zodpovedjúci rekurentný vzťh, 4.5 Telesá požidvk 3
riešiť úlohy, ktorých súčsťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádr, prvidelného kolmého hrnol, prvidelného ihln, gule vlc kužeľ vie pri tom nájsť ktívne použiť vzorce pre výpočet objemov povrchov telies potrebné pre vyriešenie úloh. s uprvuje riešiť úlohy, ktorých súčsťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádr, prvidelného kolmého hrnol, prvidelného ihln, gule, vlc kužeľ vie pri tom nájsť ktívne použiť vzorce pre výpočet objemov povrchov telies potrebné pre vyriešenie úloh. 5.1 Kombintorik prvdepodobnosť vypúšť s požidvk - riešiť jednoduché kombintorické úlohy, - riešiť úlohy n prvdepodobnosť zloženú n - doplnkovej prvdepodobnosti. 5. Šttistik požidvk zistiť v dnom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodjnú odchýlku uviesť šttistickú interpretáciu získných výsledkov, uviesť príkld súboru s poždovnými podmienkmi n modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodjnú odchýlku, s uprvuje zistiť v dnom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, uviesť príkld súboru s poždovnými podmienkmi n modus, medián, strednú hodnotu, priemery, žici so zrkovým postihnutím 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy vypúšť s schopnosť grfického riešeni znázorňovni riešeni sústv rovníc nerovníc z jednotlivých požidviek,. Funkcie v požidvkách obshujúcich znázornenie grfov funkcií, s nhrádz schopnosťou ich slovného opisu, 3. Plnimetri odporúčnie úlohy doplniť reliéfnymi obrázkmi, voliť vhodný popis obrázkov, pretože žici so zrkovým postihnutím nepoznjú všetky symboly, ktoré využívjú vidici, konštrukčné úlohy nhrdiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie, 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie 4
odporúčnie len slovné overenie zákldných pojmov vzťhov. 3.4 Zhodné podobné zobrzeni odporúčnie zobrzovť jeden, dv, njvic tri body, vynechť riešeni príkldov v prvouhlej sústve súrdníc, 4. Stereometri odporúčnie úlohy doplniť vhodnými priestorovými modelmi, pretože vo všeobecnosti nie je možné vyždovť od žikov so zrkovým postihnutím zobrzovnie telies do roviny ni pochopenie tkýchto obrázkov, konštrukčné úlohy nhrdiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie. 4.1 Zákldné spôsoby zobrzovni priestoru do roviny vypúšť s bez náhrdy 4.3 Lineárne útvry v priestore polohové úlohy Príkldy vypúšť s príkld č. 1 4.4 Lineárne útvry v priestore metrické úlohy odporúčnie len zákldné vlstnosti vzťhy, nie poždovné zručnosti, 5. Šttistik vypúšť s kreslenie digrmov iné grfické vyhodnocovnie nmerných údjov. žici s telesným postihnutím. Funkcie odporúčnie v úlohách nhrdiť požidvku nčrtnúť grf funkcie otázkmi s výberom odpovede, 3. Plnimetri odporúčnie konštrukčné úlohy nhrdiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľ druhu postihnuti), 4. Stereometri odporúčnie konštrukčné úlohy nhrdiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľ druhu postihnuti), 5
žici s vývinovými poruchmi učeni lebo správni Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žikom so špecifickou poruchou dysklkúli neodporúčme konť mturitnú skúšku z mtemtiky. žici s nrušenou komunikčnou schopnosťou Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. žici chorí zdrvotne oslbení Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. žici s pervzívnymi vývinovými poruchmi (s utizmom) Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. 6