Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τετάρτη, 18/5/16 ΘΕΜΑ 1 ο Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f ( ) στο ( α, ) και f ( ) στο (, β), τότε να αποδείξετε ότι το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Απάντηση Θεωρία, στη σελίδα 6 του σχολικού βιβλίου. Eπειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε: ( f ( ) ( ) f, για κάθε (, ]. (1) Επειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: f ( ) ( ) f, για κάθε [, ). () y f > f < y f > f < 5a f( ) f( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των (1) και (), ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε (, ), που σημαίνει ότι το f ) είναι μέγιστο της f στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ( Α. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Θεωρία, στη σελίδα 141 του σχολικού βιβλίου. Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g. Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Θεωρία, στη σελίδα 46 του σχολικού βιβλίου. Απάντηση Διατύπωση Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) Γεωμετρική ερμηνεία Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ένα (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M ( ξ, f ( ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. y M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) Β(β,f (β)) Ο a ξ ξ β Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Απαντήσεις α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :,, αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, τότε το f ( t) dt G( a) G( ) a Λάθος (διότι είναι f ( t ) dt G ( ) G ( ) ) a β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ). Σωστό (πρόταση στη σελίδα 166 του σχολικού βιβλίου). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ( ) σταθερή στο a,,. f για κάθε a,, Λάθος. (Η αντίστοιχη πρόαταση δεν ισχύει γενικά σε ένωση διαστημάτων), είναι δ) Μια συνάρτηση f είναι «1-1», αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y f ( ) έχει ακριβώς μία λύση ως προς. Σωστό (γνωστή πρόταση σχόλιο στο σχολικό βιβλίο). ε) Αν η f είναι συνεχής στο, ελάχιστη τιμή m, τότε η f παίρνει στο, μία μέγιστη τιμή Μ και μία Σωστό (θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, σελίδα 195 σχολικό βιβλίο) ΘΕΜΑ ο Β1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: 1 1 1 1 f ( ),
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) 1 Επειδή η f είναι συνεχής στο η συνάρτηση f είναι: Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Έχει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) στο, το f () Ο πίνακας μεταβολών-μονοτονίας της συνάρτησης f είναι ο επόμενος: f - + f ( ) Ολ. ελάχιστο Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: 1 f ( ), 1 f ( ) 1 1 1 f ( ) 1 1 1 1 f ( ) 1 ή 1 Επομένως η συνάρτηση f είναι: Κοίλη στα διαστήματα, και, 4
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Κυρτή στο διάστημα, 1 Έχει σημεία καμπής τα A, 4 και B 1, 4 Ο πίνακας μεταβολών-κυρτότητας της f είναι ο επόμενος: f - + - f ( ) Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ( lim f ( ) f ( ) ). Πλάγιες-οριζόντιες: y (, ) με: Επομένως η Ακόμα: Επομένως η f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim 1 1 C f έχει οριζοντια ασύμπτωτη στο την y 1. f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim 1 1 C f έχει οριζοντια ασύμπτωτη στο την y 1 Β4. Συνοπτικά ο πίνακας μεταβολών της f είναι: 5
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f - + + - f - - + + f ( ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (αφού λάβουμε και υπόψη μας ότι είναι άρτια) είναι η επόμενη: Σημείωση: Για την σωστή παρουσίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι χρήσιμο να παρατηρ ησουμε ότι αυτή είαι άρτια και θετική ( f ( ) f ( ), για κάθε και f ( ), για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο στο, δηλαδή να διέρχεται από το Ο(,). ΘΕΜΑ ο Γ1. Η εξίσωση e 1 έχει προφανή ρίζα το. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 1, f e. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: f ( ) e e 1, 6
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f ( ) e 1 f ( ) e 1 f ( ) e 1 e e e 1e 1, Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ο επόμενος: f - + f ( ) Επομένως η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο το f () και άρα: ( ) () 1 f f e (η ισότητα ισχύει μόνο στο, αφού στα διαστήματα ος Τρόπος, και, είναι γνησίως μονότονη άρα και «1-1» ) Από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου (εφαρμογή /ii στη σελίδα 66 γνωρίζουμε ότι: ln 1, για κάθε (η ισότητα ισχύει για 1) Θέτοντας όπου το e (για κάθε ) έχουμε: ος Τρόπος ln e e 1 e 1e 1, για κάθε (η ισότητα ισχύει για e 1e e ). Μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( ) e 1,, να μελετήσουμε την μονοτονία και τα ακρότατά της και να πάρουμε g( ) g() g( ), για κάθε και να πάρουμε τώρα g( ) e 1, για κάθε. Γ. Έχουμε ισοδύναμα: f e 1 f ( ) e 1 f ( ) e 1, (Επειδή, από το προηγούμενο ερώτημα: ( ) () 1 f f e, για κάθε ). 7
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα, και, και δεν έχει ρίζες σε αυτά διότι αν υποθέσουμε ότι έχει μία ρίζα, ή,, τότε θα είναι από το θεώρημα του Fermat (που πληρούνται οι προϋποθέσεις του) ότι f ( ). Οπότε έχουμε: άτοπο. f ( ) e 1 Επομένως η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα, και,. Άρα έχουμε τις περιπτώσεις:, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e Επειδή οι ζητούμενες συναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς στο (και στο με f () ) θα έχουμε: ( ) 1 f e, ή f ( ) e 1, ή f ( ) f ( ) e 1, e 1, e 1, e 1, ή Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξειων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: f ( ) e e 1, Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με, για κάθε, f ( ) 4 e e 1 και για κάθε, 8
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 (αφού e και e 1 ) Επειδή η f είναι συνεχής στο (αφού είναι συνεχής σε όλο το ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων) η f είναι κυρτή στα διαστήματα. Γ4. Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ),, και,, δηλαδή σε όλο το Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (ως διαφορά και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: g ( ) f ( ) f ( ), αφού f ( ) f ( ) ( η f γνησίως αύξουσα στο, διότι η f είναι κυρτή στο ) Έχουμε διαδοχικά για : g( ) g f f f ( ) f ( ) Επομένως μοναδική λύση της δοθείσας εξίσωσης είναι η ΘΕΜΑ 4 ο Δ1. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f () (1) f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) Τώρα θέτουμε g( ) f ( ) g( ). Είναι lim g( ) 1. Έχουμε διαδοχικά: lim f ( ) lim g( ) lim g( ) lim 1 Επειδή η f είναι συνεχής στο (αφού είναι παραγωγίσιμη στο ) θα είναι: Ακόμα: lim f ( ) f () f ( ) f () f ( ) g( ) lim lim lim lim g( ) lim g( ) lim 11 1 Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () 1 9
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Δ. α) Έστω οτι η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και το είναι εσωτερικό σημείο του, σύμφωνα με το Θεώρημα του Fermat θα έχουμε ότι f ( ). Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση (αφού τα μέλη της είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) έχουμε: Για η τελευταία σχέση γίνεται: f ( ) e f ( ) 1 f f ( ) f ( ) e, e f ( ) 1 f f ( ) f ( ) e e 1e e, f ( ) Δηλαδή f f, άτοπο αφού f 1. Επομένως η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο. β) Από το ερώτημα Δ (α) έχουμε ότι f για κάθε (δηλαδή η συνάρτηση f δεν έχει ρίζες στο και είναι επίσης συνεχής (αφού f παραγωγίσιμη στο ). Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και αφού f 1 (Δ1 ερώτημα) θα είναι f για κάθε, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f Έχουμε: 1 1 1 1. θα είναι lim f ( ). Προσθέτοντας τις ποηγούμενες σχέσεις κατά μέλη και διαιρώντας με f ( ) (αφού lim f ( ) Τώρα έχουμε:, άρα f ( ) «κοντά» στο ) έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim και, από το κριτήριο της παρεμβολής, παίρνουμε ότι: f ( ) f ( ) lim f ( ) e f (ln ) Δ4. Για ευκολία θέτουμε 1 d. Θα δείξουμε ότι Θέτουμε Ααλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα): 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 1 1 u u ln du d du d e du d u e u u ln e 1u e u Οπότε : e f (ln ) f ( u) u d e du f ( u) du 1 u e Έχουμε, αφού η συνάρτηση : f () f ( ) f ( ) f ( ) Η ισότητα στην προηγούμενη σχέση δεν ισχύει παντού και άρα: d f ( ) d d f ( ) d I ος Τρόπος Επειδή η συνάρτηση ln και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσες (από το ερώτημα Δ(β)) έχουμε διαδοχικά: 1 e ln1 ln ln e ln f () f (ln ) f ( ) Διαιρώντας με 1, e (δηλαδή ) έχουμε: f () f (ln ) f ( ) f (ln ) Δηλαδή έχουμε τις ανισώσεις: f (ln ), 1, e και η συνάρτηση f (ln ) δεν είναι παντού (αφού π.χ για e δίνει f (ln e ) 1 ). Επομένως έχουμε: f (ln ) f (ln ), 1, παντού (αφού π.χ για 1 δίνει έχουμε: e f (ln ) d 1 e και η συνάρτηση f (ln ) δεν είναι f (ln1) f () ). Επομένως 1 1 11
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 e f (ln ) e e f (ln ) e e f (ln ) d d d d d 1 1 1 1 1 ln 1 e f (ln ) e f (ln ) e f (ln ) d 1 ln e ln1 d 1 d 1 Άρα: e f (ln ) 1 d e 1