Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović
Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko se na neki sistem dovede sinusoidalni signal x(t)=a 1 sin(t+ 1 ), na izlazu iz tog sistema, po isteku prelaznog perioda, će se dobiti sinusodialni signal y(t)=a sin(t+ ), iste učestanosti, a različite amplitude i faze. x(t) W(s) y(t) U kompleksnom domenu, ove signale je moguće napisati kao j t 1 X j A1 e j t, Y j Ae. Njihov odnos, predstavljaće kompleksnu fukciju prenosa Y j A j1 W j e X j A 1
Iz izraza se vidi da je amplituda kompleksne funkcije prenosa odnos amplituda signala na izlazu i signala na ulazu, dok je faza razlika faza signala na ulazu i izlazu. Kompleksna funkcija prenosa se dobija od funkcije prenosa kada se umesto s uvede j. Kompleksnu funkciju prenosa je moguće napisati preko realnog i imaginarnog dela kao W j U jv ili korišćenjem amplitude(modula) i faze j W j A e, pri čemu je A U jv, arctg V U.
Amplitudsko-fazna frekvencijska karakteristika Amplitudsko-fazna frekvencijska karakteristika (AFFK, Nikvistov dijagram) je geometrijsko mesto tačaka određeno amplitudom i fazom kompleksne funkcije prenosa. Crta se za učestanosti na intervalu od 0 do +. jv A 1 1 1 0 U
Amplitudsko i fazno frekvencijska karakteristika To su dijagrami koji prikazuju zavisnost amplitude i faze od učestanosti. A 0 0
Logaritamske karakteristike Prilikom crtanja logaritamske amplitudske karakteristike na ordinatnu osu se nanosi L( ) 0 log A( )[ db] Na apscisnu osu nanosi se kružna frekvencija ω u logaritamskoj skali, odnosno nanose se delovi koji odgovaraju veličini logω, ali se označavaju vrednosti frekvencije ω [rad/s]. Na sličan način se crta i logaritamska fazna karakteristika, pri čemu se na apcisnoj osi nanosi frekvencija u logaritamskoj skali, a na ordinati pripadajući fazni ugao.
L log log 1 10 100 1 10 100
CST funkcija freqresp Izračunava frekvencijski odgovor linearnih stacionarnih sistema H = freqresp(sys,w) H = freqresp(sys,w) izračunava frekvencijski odgovor linearnog stacionarnog sistema sys za vrednosti učestanosti specificirane vektorom w. Izlazni argument H je 3-D polje dimenzija (broj izlaza)x(broj ulaza)x(dužina vektora w) Za sisteme sa jednim ulazom i jednim izlazom, H(1,1,k) daje skalarni odgovor za učestanost w(k).
CST funkcija nyquist Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika linearnih stacionarnih sistema nyquist nyquist(sys) nyquist(sys,w) nyquist izračunava amplitudsko-fazno frekvencijski odgovor linearnih stacionarnih sistema. Kada je funkcija pozvana bez argumenata sa leve strane, nyquist automatski iscrtava AFFK dijagram. AFFK se koristi za ispitivanja svojstava sistema poput margina faze i pojačanja, kao i stabilnosti u povratnoj sprezi.
nyquist(sys) iscrtava AFFK za neki linearni stacionarni sistem sys. Tačke učestanosti se uzimaju automatski na osnovu polova i nula sistema. nyquist(sys,w) eksplicitno navodi opseg učestanosti ili vrednosti učestanosti koje će se koristiti za iscrtavanje. Da bi dijagram prikazali za određeni opseg učestanosti koristimo w = {wmin,wmax}. Da bi dijagram iscrtali za određene vrednosti učestanosti, postavljamo w kao vektor željenih učestanosti. Kada je funkcija pozvana sa argumentima leve strane [re,im,w] = nyquist(sys) [re,im] = nyquist(sys,w) tada funkcija vraća realne i imaginarne delove frekvencijskog odziva za učestanosti w.
CST funkcija bode Iscrtava logaritamsko-frekvencijske karakteristike linearnih stacionarnih sistema bode bode(sys) bode(sys,w) bode izračunava amplitudski i fazni odgovor linearnih stacionarnih sistema. Kada je funkcija pozvana bez argumenata sa leve strane, bode automatski iscrtava LFK dijagram. Amplituda je prikazana u decibelima (db), a faza u stepenima. bode(sys) iscrtava LFK za neki linearni stacionarni sistem sys. Tačke učestanosti se uzimaju automatski na osnovu polova i nula sistema.
bode(sys,w) eksplicitno navodi opseg učestanosti ili vrednosti učestanosti koje će se koristiti za iscrtavanje. Da bi dijagrame prikazali za određeni opseg učestanosti postavljamo w da je {wmin,wmax}. Da bi dijagram iscrtali za određene vrednosti učestanosti, postavljamo w kao vektor željenih učestanosti. Kada je funkcija pozvana sa argumentima leve strane [mag,phase,w] = bode(sys) [mag,phase] = bode(sys,w) tada funkcija vraća amplitudu i fazu (u stepenima) frekvencijskog odziva za učestanosti w. Za konverziju amplitude u decibele potrebno je uneti magdb = 0*log10(mag).
Funkcija sqeeze Uklanja jednu dimenziju B = squeeze(a) B = squeeze(a) vraća polje B sa istim brojem elemenata kao i A, ali sa jednom dimenzijom manje. squeeze ne utiče na dvodimenziona polja. Ukoliko je A vektor vrsta ili kolona ili skalar, tada je B = A.
Primer 1. Konstruisati AFFK sistema čija je funkcija prenosa K W s. s Kompleksna funkcija prenosa K K W j j j, znajući da je 1 j j 1.Realni i imaginarni deo U 0 V K. Amplituda i faza K K K j, znajući da je 1 e i j j e K 3 A, 3 j j j W j j e e e 3. Preseci sa realnom osom 0, V 0
4. Preseci sa imaginarnom osom 0, U 0 5. Za 0 3 U 0, V, A, 6. Za 3 U 0, V 0, A 0, 7. Kvadranti U 0 V 0 III i IV kvadrant jv 0 U 0
Primer. Konstruisati AFFK sistema čija je funkcija prenosa K W s. s Kompleksna funkcija prenosa K K W j j 1.Realni i imaginarni deo K U V 0. Amplituda i faza K K j W j e K A, 3. Preseci sa realnom osom 0, V 0
4. Preseci sa imaginarnom osom 0, U 0 5. Za 0 U, V 0, A, 6. Za U 0, V 0, A 0, 7. Kvadranti U 0 V 0 II i III kvadrant jv 0 0 U
K 1 Ts Primer 3. Za sistem čija je funkcija prenosa W s naći s jednačinu krive koja predstavlja AFFK. Nacrtati AFFK za slučaj kada je K=100 i T = 0,. Kompleksna funkcija prenosa K 1 Tj K jkt K KT W j j j K U parametarska jednačina krive KT V Jednačina krive će se dobiti kada se izrazi preko imaginarnog dela V i zatim zameni u U. K K V U KT KT V
1.Realni i imaginarni deo 100 U 0 V. Amplituda i faza jarctg0, 100 10, j j 100 10, 04 e 100 10, 04 W j e e j 100 1 0,04 A, arctg0, 3. Preseci sa realnom osom 0, V 0 4. Preseci sa imaginarnom osom 0, U 0 5. Za 0 U, V, A, 6. Za j arctg0,
3 U 0, V 0, A 0, 7. Kvadranti U 0 V 0 III kvadrant jv 0 U 0
num = [0 100]; den = [1 0 0]; [re,im] = nyquist(num,den); % Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika plot(re,im,'linewidth',); title('amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('u(\omega)'); ylabel('jv(\omega)'); Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika 0 grid; -50-100 jv() -150-00 -50-10000 -8000-6000 -4000-000 0 000 U()
Primer 4. Za sistem čija je funkcija prenosa frekvencijske karakteristike. W s 5 s s 3 nacrtati Kompleksna funkcija prenosa W j j 3 j j j 5 j 6 5 5 5 3 j j j j 3 3 3 9 9 1.Realni i imaginarni deo 5 6 U 9 5 V 9. Amplituda i faza j j arctg arctg 5 5 4 W j e j 3 9 A 3 5 4, arctg arctg 9 3 jv 0 0 10 3 5 U
3. Preseci sa realnom osom 5 10 V 0 0 0 0, U 0 9 3 5 A 4. Preseci sa imaginarnom osom 5 6 U 0 0 0, 9 5. Za 0 10 10 U, V 0, A, 0 3 3 10 3 0 6. Za U V A 5, 0, 5, 0 7. Kvadranti U 0 V 0 I kvadrant 0 3
Amplitudsko-logaritamska karakteristika L 0log A 5 4 0 log 9 0 log 5 0log 4 0log 9 1 3 10 0 log 0log 1 0log 1 3 3 L L L L 0log 1 a) za L 0log1 0 db b) za L 0log 0, 0 L 0 0 0
L3 0log10 1 3 a) za 3 L 0log 1 0 db 3 10 b) za 3 L3 0log10 3 0,3 3 30 3 L 0 0-0 L1 L3 10 log10 3 log 0,1 1 3 10 log 0,1 1 10 0[dB/dek] L L 0[dB/dek] log 10 log10 3 0 [db/dek] 0 [db/dek] log 0,1 1 10 0,1 1 3 10
Logaritamsko-fazna karakteristika 1 3 arctg arctg 1 0,1 1 10 0,1 1 3 10 log log 0,1 1 3 10 log
Primer 5. Za sistem čija je funkcija prenosa G s frekvencijske karakteristike. 100 1 0,0s nacrtati Kompleksna funkcija prenosa W 100 100 1 0,0 j 100 10,04 j 0,0 j 1 0,0 j 1 0,0 j 1 0,0 j 1 0,0 1.Realni i imaginarni deo U V 100 1 0,0 1 0,0 4 1 0,0 jv 0. Amplituda i faza 100 A, arctg 0,0 1 0,0 0 50 100 U
3. Preseci sa realnom osom 4 V 0 0 0 0, U 0 100 1 0,0 100 A 4. Preseci sa imaginarnom osom U 100 1 0,0 0 0 1 50, V 1 50 1 0,0 5. Za 0 U 100, V 0, A 100, 0 0 6. Za U 0, V 0, A 0, 7. Kvadranti 0, 0,50 0, 50, U V 0 IV i III kvadrant U 0 50
Amplitudsko-logaritamska karakteristika L 100 0log 0log 1 0,0 A 0 log100 0log 1 0, 0 40 0 log 1 50 L L 1 L 0log 1 50 c) za 50 L 0log1 0 db d) za 50 L 40log 50 5 50 500 L 0 0-40
L1 40 log 1 10 100 L log 1 10 50 100 40[dB/dek] L 40 40[dB/dek] log 1 10 50 100
Logaritamsko-fazna karakteristika log 1 50
num = 100; den = [0.004 0.04 1]; [re,im] = nyquist(num,den); % Nikvistov dijagram w=[0:0.01:100]; [re im]=nyquist(num,den,w); subplot(,,1); plot(w,sqrt(re.^+im.^)); title('amplitudska karakteristika'); ylabel('a(\omega)'); xlabel('\omega [rad/s]'),; grid; subplot(,,); plot(w,atan(im,re)); title('fazna karakteristika'); ylabel('\phi(\omega) [rad]'); xlabel('\omega [rad/s]'); grid;
subplot(,,3); semilogx(w,0*log(sqrt(re.^+im.^))); title('logaritamsko-amplitudska karakteristika'); ylabel('l(\omega) [db]'); xlabel('log \omega'); grid; subplot(,,4); semilogx(w,atan(im,re)); title('logaritamsko-fazna karakteristika'); ylabel('\phi(\omega) [rad]'); xlabel('log \omega'); grid;
00 Amplitudska karakteristika 0 Fazna karakteristika -0.5 150-1 A() 100 () [rad] -1.5-50 -.5-3 0 0 0 40 60 80 100 [rad/s] -3.5 0 0 40 60 80 100 [rad/s] 10 Logaritamsko-amplitudska karakteristika 0 Logaritamsko-fazna karakteristika 100-0.5 L() [db] 80 60 40 () [rad] -1-1.5 - -.5 0-3 0 10-10 0 10 log -3.5 10-10 0 10 log
Primer 6. Za sistem čija je funkcija prenosa frekvencijske karakteristike. W s 0,05s nacrtati 1 0,05s Kompleksna funkcija prenosa W 0,05 j 0,05 j 1 0,05 j 0,05 j 0,05 j 1 0,05 j 1 0,05 j 1 0,05 j 1 0,05 1.Realni i imaginarni deo 0,05 U 1 0,05 V 0,05 1 0,05. Amplituda i faza 0,05 A, arctg0,05 1 0,05 jv 0 0 1 U
3. Preseci sa realnom osom 0,05 V 0 0 0 0, U 0 0 1 0,05 4. Preseci sa imaginarnom osom 0,05 U 0 0 0 0, V 0 0 1 0,05 1 A 5. Za 0 U 0, V 0, A 0, 0 6. Za U V A 1, 0, 1, 0 7. Kvadranti U 0 V 0 I kvadrant 4 0 0
Amplitudsko-logaritamska karakteristika L 0,05 0 log 0log 1 0,05 A 0log 0,05 0log 1 0,05 0log 0 log 1 0 0 L L 1 L 0log 1 0 a) za 0 L 0log1 0 db b) za 0 L 0log 0 0 00 L 0 0-0
L1 0[dB/dek] log 1 10 0 100 L log 1 10 0 100 0[dB/dek] L 0[dB/dek] log 1 10 0[dB/dek] 0 100
Logaritamsko-fazna karakteristika 4 1 0 log
W = tf([0.05 0],[0.05 1]); [re,im,w] = nyquist(w); % Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika figure(1); plot(squeeze(re(1,1,:)),squeeze(im(1,1,:)),'linewidth',); axis([-0. 1. 0 0.6]) title('amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('u(\omega)'); ylabel('jv(\omega)'); grid; % Amplitudsko i fazno frekvencijska karakteristika [mag,phi,w] = bode(w); figure(); subplot(11) plot(w,squeeze(mag(1,1,:)),'linewidth',); title('amplitudsko frekvencijska karakteristika'); xlabel('\omega'); ylabel('a(\omega)'); grid;
subplot(1) plot(w,squeeze(phi(1,1,:)),'linewidth',); title('fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('\omega'); ylabel('\phi(\omega)'); grid; % Logaritamsko amplitudska i logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika figure(3); subplot(11) semilogx(w,0*log10(squeeze(mag(1,1,:))),'linewidth',); title('logaritamsko amplitudsko frekvencijska karakteristika'); xlabel('log \omega'); ylabel('l(\omega)'); grid; subplot(1) semilogx(w,squeeze(phi(1,1,:)),'linewidth',); title('logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('log \omega'); ylabel('\phi(\omega)'); grid;
Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika 0.5 0.4 jv() 0.3 0. 0.1 0-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. U()
1 Amplitudsko frekvencijska karakteristika 0.8 A() 0.6 0.4 0. 0 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 Fazno frekvencijska karakteristika 80 () 60 40 0 0 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 Logaritamsko amplitudsko frekvencijska karakteristika -5-10 L() -15-0 -5-30 10 0 10 1 10 10 3 log 100 Logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika 80 () 60 40 0 0 10 0 10 1 10 10 3 log
Primer 7. Za sistem čija je funkcija prenosa frekvencijske karakteristike. W s 10 5s nacrtati 1 s Kompleksna funkcija prenosa 10 5 j 10 5 j 1 j 10 15 j 10 W j 1 j 1 j 1 j 1 4 1.Realni i imaginarni deo 10 10 U 1 4 15 V 1 4. Amplituda i faza 100 5 A, arctg arctg 1 4 jv 0 10 5 0 U
3. Preseci sa realnom osom 15 V 0 0 0 0, U 0 10 1 4 10 A 4. Preseci sa imaginarnom osom 10 10 U 0 0 0, 1 4 5. Za 0 U 10, V 0, A 10, 0 6. Za 5 5 U, V 0, A, 0 5 0 7. Kvadranti U 0 V 0 IV kvadrant 0 0,5
Amplitudsko-logaritamska karakteristika L 10 1 0 log 0log 1 0,5 A 0 0log 1 0log 1 0,5 L L L 1 3 L 0log 1 a) za L 0log1 0 db b) za L 0log 0, 0 L 0 0 0
L 0log 1 0,5 c) za L 0log1 0 db d) za L 0log 0,5 0,05 0,5 5 L 0 0-0 L1 L3 0 log 0,1 0,5 1 10 log 0,1 1 10 0[dB/dek] L 0[dB/dek] L 0 [db/dek] 0 0 [db/dek] log log 0,1 1 10 0,1 0,5 1 10
Logaritamsko-fazna karakteristika 1 arctg arctg 4 1 0,1 1 10 0,1 0,5 1 10 4 log log 0,1 0,5 1 3 log 10
W = tf([5 10],[ 1]); [re,im] = nyquist(w); % Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika figure(1); plot(squeeze(re(1,1,:)),squeeze(im(1,1,:)),'linewidth',); title('amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('u(\omega)'); ylabel('jv(\omega)'); grid; % Amplitudsko i fazno frekvencijska karakteristika [mag,phi,w] = bode(w); figure(); subplot(11) plot(w,squeeze(mag(1,1,:)),'linewidth',); title('amplitudsko frekvencijska karakteristika'); xlabel('\omega'); ylabel('a(\omega)'); grid; subplot(1)
plot(w,squeeze(phi(1,1,:)),'linewidth',); title('fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('\omega'); ylabel('\phi(\omega)'); grid; % Logaritamsko amplitudska i logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika figure(3); subplot(11) semilogx(w,0*log10(squeeze(mag(1,1,:))),'linewidth',); title('logaritamsko amplitudsko frekvencijska karakteristika'); xlabel('log \omega'); ylabel('a(\omega)'); grid; subplot(1) semilogx(w,squeeze(phi(1,1,:)),'linewidth',); title('logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika'); xlabel('log \omega'); ylabel('\phi(\omega)'); grid;
0 Amplitudsko-fazno frekvencijska karakteristika -0.5-1 -1.5 jv() - -.5-3 -3.5-4 3 4 5 6 7 8 9 10 U()
10 Amplitudsko frekvencijska karakteristika 8 A() 6 4 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 0 Fazno frekvencijska karakteristika -10 () -0-30 -40 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100
0 Logaritamsko amplitudsko frekvencijska karakteristika L() 18 16 14 1 10 8 6 10-10 -1 10 0 10 1 10 log 0 Logaritamsko fazno frekvencijska karakteristika -10 () -0-30 -40 10-10 -1 10 0 10 1 10 log