Σχεδιασµός ΙIR Φίλτρων

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -09- Σχεδιασµός ΙIR Φίλτρων 7. Εισαγωγικά Τα IIR φίλτρα (ΙΙR nfnte mpule repone) χαρακτηρίζονται απο την κρουστική απόκριση των η οποία είναι απείρου µήκους. Για ευκολία µας θα αναφερόµεθα στα φίλτρα αυτά µε την (αγγλική) ονοµασία IIR. Εκτός απο την άπειρη κρουστική απόκριση τα φίλτρα αυτά έχουν και τα εξής βασικά χαρακτηριστικά : Η έξοδός των y(n) εξαρτάται και από προηγούµενες εξόδους. ηλ. η εξίσωση διαφορών των έχει την µορφή a o y(n)+a y(n-)+... +a N y(n-n)b o x(n)+b x(n-)+...+b M x(n-m) (7.) Αντίστοιχα η συνάρτηση µεταφοράς των έχει την µορφή: M k b kz k 0 H (z) N (7.) k a z απο όπου και συνεπάγεται ότι έχουν πόλους µή µηδενικούς απαιτούν µικρό αριθµό συντελεστών (σχετικά µε αντίστοιχα FIR φίλτρα) εν έχουν γραµµική φάση * Τα ΙΙR φίλτρα σχεδιάζονται και αµεσα στο πεδίο του µετασχηµατισµού z αλλα συνήθως ο σχεδιασµός τους βασίζεται σε αντίστοιχα αναλογικά που σχεδιάζονται στο επίπεδο. Με µετασχηµατισµό z λαµβάνεται το ψηφιακό φίλτρο. Τέτοιοι µετασχηµατισµοί είναι ο διγραµµικός και ο µετασχ. αµεταβλητης κρουστικής απόκρισης. Και οι δύο αυτοί µετασχηµατισµοί θα χρησιµοποιηθούν στο κεφ. αυτό για σχεδιασµό ψηφιακών IIR φίλτρων. k 0 k * Η συνθήκη για γραµµική φάση είναι Η(z)H(z - ). H συνθήκη αυτή ικανοποιείται για τα FIR φίλτρα. Ενας τρόπος διόρθωσης της φάσης είναι µε All-pa φίλτρα που έχουν σταθερό πλάτος H(jω) c. Για τα φίλτρα αυτά ισχύει: Για κάθε πόλο z p re jθ θα αντιστοιχεί και ένας µηδενισµός z z r - e jθ. Η συνάρτηση µεταφοράς των έχει την µορφή: H (z) A A z A z + + z A z

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -0-7. IIR φίλτρα στο πεδίο-z Συνήθως στην περίπτωση αυτή προσπαθούµε να µετατρέψουµε τις προδιαγραφές απόκρισης συχνότητας (Μέτρου) σε τιµές πόλων και µηδενισµών. Μία τέτοια περίπτωση είδαµε στο κεφ.4 (Μετασχηµατισµός-z) όπου έγινε σχεδιασµός φίλτρου ας τάξεως υψηλής επιλεκτικότητας. Στο επόµενο παράδειγµα δεικνύεται η διαδικασία αυτή. παράδειγµα7. Να σχεδιασθεί φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές : πλήρης απόρριψη για f0 και f50 Hz στενή ζωνή διέλευσης γιά ω ο 5 Hz 3dB εύρος f 0 Ηz συχνότητα δειγµατοληψίας f 500Hz Ευρεση µηδενισµών: z (ω0) z re jφ e jπ 50/500 e jπ - Eερεση πόλων: p, r e ±jπ 5/500 re ±jπ/ για την τιµή r από την σχέση r - f/f π-0/500 π 0.937 Εύρεση της H(z) (z )(z + ) z (z) (7.3) (z 0.937 j)(z + 0.937 j) z + 0.8779 H Η µέθοδος βέβαια αυτή δεν είναι άµεση και δεν υπάρχει tandard διαδικασία για την υλοποίησή της. Im 0.937 Re Οι πόλοι και οι µηδενισµοί της (7.3)

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -- 7.3 Aναλογικά φίλτρα Επειδή τα IIR φίλτρα βασίζονται σε αντίστοιχα αναλογικά, θα αναφερθούµε στο σηµείο αυτό "εν συντοµία" στα είδη των αναλογικών φίλτρων συναρτήσεων. Τέσσερα είναι τα βασικά είδη συναρτήσεων που χρησιµοποιούνται στο σχεδιασµό αναλογικών φίλτρων: Butterworth, Chebyhev (ChebyhevI), nvere Chebyhev (ChebyhevII), Ellptc. Αξίζει να επισηµάνουµε ότι οι συναρτήσεις αυτές χρησιµοποιούνται σαν συναρτήσεις συστήµατος H() στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας, ή σαν αποκρίσεις φάσεως Η() δηλ. Η() j 7.3. Συναρτήσεις Butterworth Οι προδιαγραφές των αναλογικών φίλτρων τροποποιούνται λιγάκι απο τις γνωστές προδιαγραφές των ψηφιακών φίλτρων που έχουµε ήδη γνωρίσει. Στην περίπτωση των συναρτήσεων Butterworth δεικνύονται στο σχήµα 7. τέτοιες συναρτήσεις διαφορετικής τάξεως Σχήµα 7. Συναρτήσεις Butterworth τάξεως Ν, Ν, Ν50. Η συχνότητα αποκοπής C Στο σχήµα αυτό φαίνονται και οι εξής βασικές ιδιότητες των Butterworth συναρτήσεων: Για 0 η απόκριση είναι για όλα τα Ν Για C (εδώ C ) η απόκριση είναι / ή 3dB εξασθένηση (για όλα τα Ν) για Ν οι συναρτήσεις αυτές πλησιάζουν το ιδανικό Lowpa φίλτρο.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -- Η Η() για 0 είναι "maxmally flat" διότι οι παράγωγοι κάθε τάξεως είναι 0 και η Η() είναι µονότονα φθίνουσα συνάρτηση. Η τιµή της απόκρισης µέτρου για Ν ης τάξεως δίνεται απο την σχέση: H( j ) (7.4) N / + C Ενα σηµαντικό θέµα είναι η εύρεση της συνάρτησης συστήµατος Η() απο την απόκριση συχνότητας Η(j). Εχουµε Η(j)Η() j (7.5) Αρα Η(j) Η(j) Η*(j) Η(j) Η(-j)H()H(-) j (7.6) Εποµένως οι πολοι και οι µηδενισµοί της Η(j) είναι κατανεµηµένοι στο επίπεδο µε συµµετρία ως προς τον άξονα j. Επιπλέον επειδή το Η() είναι πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές θα πρέπει οι πολοι αυτοί και οι µηδενισµοί να είναι και συζυγείς δηλ. έχουν συµµετρία και ως προς τον πραγµατικό άξονα. Τέλος επειδή η συνάρτηση συστήµατος αναφέρεται σε ευσταθές σύστηµα, πρέπει οι πόλοι του Η(j) Η()Η(-) να βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Ετσι µπορούµε να θεωρήσουµε ότι οι πόλοι αυτοί αντιστοιχούν στο Η(). Για τους µηδενισµούς δεν υπάρχει τέτοιος περιορισµός και απλώς επιλέγουµε σαν µηδενισµούς του Η() τους µηδενισµούς του Η(j) που είναι πάνω στο j άξονα. Με τις παρατηρήσεις αυτές µπορούµε να σχεδιάσουµε τίς συναρτήσεις συστήµατος Butterworth κάθε τάξεως για συχνότητα (αποκοπής) C Βutterworth ας τάξεως /(+) Βutterworth ας τάξεως /( + +) Βutterworth 3ας τάξεως /( 3 + ++) παράδειγµα 7. οθέντως ότι Η(j) /(+64 6 ) 6 + να βρεθεί η Η() 0.5 Oι πόλοι είναι p, -0.500 ± 0.4330 p 3,4 0.500 ±0.4330 p 5,6 ± 0.5000 Eπιλέγωντας p -0.500-0.4330 p -0.500-0.4330 και p 3-0.5

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -3- Eχουµε Η() ( + 0.5 j0.433)( + 0.5 + j0.433)( + 0.5) ( + 0.5)( + 0.5 + 0.5) 7.3. Εξισώσεις σχεδιασµού των αποκρίσεων συχνότητας Butterworth Στις συναρτήσεις Βutterworth Η() (7.4) δύο είναι οι παράµετροι που πρέπει να βρεθούν: Η τάξη Ν και η συχνότητα αποκοπής C. Oι παράµετροι αυτές πρέπει να βρεθούν από τις προδιαγραφές του φίλτρου που είναι : α) p, R p συχνότητα και εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης β), A συχνότητα και εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής. για p -0log 0 H(j) R p -0log 0 / N p + C R p (7.7) και για -0log 0 H(j) Α -0log 0 N / + C Α (7.8) Από τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκεται η τάξη του φίλτρου και η συχνότητα αποκοπής C. R p /0 A /0 log0 [( 0 ) /( 0 ) ] N (7.9) log / 0 ( ) Επειδή η τιµή του Ν που προκύπτει δεν είναι συνήθως ακέραιος στρογγυλοποιείται προς τον πλησιέστερο µεγαλύτερο ακέραιο. Με την τιµή αυτή για το Ν και απο τις σχέσεις (7.7) ή (7.8) βρίσκεται η τιµή C. Εάν επιλεγεί η (7.7) εξασφαλίζεται η ακρίβεια της Η() στην περιοχή p ενώ εάν επιλεγεί η (7.8) εξασφαλίζεται η ακρίβεια της Η() στην περιοχή. p C (7.0α) N R / 0 0 p p C (7.0β) N A / 0 0

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -4-7.3.3 Chebyhev Οι συναρτήσεις Chebyhev που προσεγγίζουν βαθυπερατά φίλτρα διαφέρουν απο τις Butterworth που είδαµε στην 7.3. διότι έχουν κυµάτωση είτε στη ζώνη διέλευσης (ChebyhevΙ) είτε στη ζώνη αποκοπής (ChebyhevΙΙ ή nvere Chebyhev ). Τα φίλτρα Chebyhev έχουν για τις ίδιες προδιαγραφές µικρότερη τάξη Ν. Η απόκριση (συχνότητας) µέτρου δίνεται από τη σχέση: H( j ) (7.) / + ε ΤN C όπου: Ν είναι η τάξη του φίλτρου, ε ο συντελεστής κυµάτωσης που σχετίζεται µε την εξασθένηση R p και Τ Ν (x) είναι το πολυώνυµο Chebyhev Νης τάξεως που δίνεται απο τις σχέσεις: T N (x) co(n co coh (x) 0 x όπου x ( coh (x)) < x < C (7.) Σχήµα 7. Συναρτήσεις Chebyhev ας,3ης και 5ης τάξεως. Η κυµάτωση είναι 0.5 db Μερικές από τις βασικές ιδιότητες των Chebyhev φίλτρων είναι και οι εξής: για / C µεταξύ 0 και εµφανίζoυν την κυµάτωση-ταλάντωση απο σε. Για / C µεγαλύτερο του τείνουν µονότονα στο.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -5- Υπάρχουν δύο βασικά σχήµατα για την απόκριση: ένα για άρτια Ν και ενα για περιττά. Στο σχήµα 7. φαίνεται η διαφορά για Ν αφενός και για Ν3 ή 5 αφετέρου. Για Ν η απόκριση H() 0.5dB για 0 ενώ για Ν3 ή 5 H() 0dB. Η εύρεση της συνάρτησης Η() βρίσκεται µε παρόµοια µε τον τρόπο που βρέθηκε και για τα Butterworth φίλτρα αλλα λίγο πιό περίπλοκος. 7.3.4 Ellptc H τρίτη κατηγορία συναρτήσεων είναι η ellptc ελλειπτικές, που χαρακτηρίζονται απο την κυµάτωση και στις δύο περιοχές δηλαδή στη ζώνη διελευσης και στη ζώνη αποκοπής. Τα ελλειπτικά φίλτρα δίνουν την µικρότερη τάξη σχετικά µε τα Butterworth και Chebyhev. O σχεδιασµός τους γίνεται απο πίνακες ή µε υπολογιστή. Στο σχήµα 7.3 δίνεται η απόκριση ενός ελλειπτικού φίλτρου. -δ ή +ε Σχήµα 7.3 Ελλειπτικά φίλτρα ας, 3ης και 5ης τάξεως µε 0.5dB και 0dB εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης και αποκοπής αντίστοιχα.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -6-7.4 Μετασχηµατισµοί -->z Ο σχεδιασµός ψηφιακών φίλτρων απο αναλογικά βασίζεται στην βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση (Βutterworth, Chebyhev, Ellptc) που είναι και ό τρόπος που δίνονται οι συναρτησεις για τον σχεδιασµό των αναλογικών φίλτρων. Αυτό συνεπάγεται τα εξής δύο βασικά στάδια υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων απο αντίστοιχα αναλογικά : Α τρόπος Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού --> Εφαρµογή µετασχηµατισµού -->z Ψηφιακό Φίλτρο Β τρόπος Σχεδιασµός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρµογή µετασχηµατισµού -->z Εφαρµογή µετασχηµατισµού --> Ψηφιακό Φίλτρο Η διαφορά στούς δύο τρόπους έγκειται στο βήµα που γίνεται η αποκανονιοκοποίηση ή η µετατροπή απο βαθυπερατό σε άλλη µορφή φίλτρου (ζωνοδιαβατό, υψιπερατό κλπ). Eτσι στο Α τρόπο γίνεται στο ο βήµα, ενώ στο Β τρόπο στο 3ο. Στις σηµειώσεις αυτές θα περιγραφεί ο Α τρόπος σχεδιασµού. Οι µετασχηµατισµοί -->z είναι οι εξής Ο µετσχηµατισµός αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης και ο ιγραµµικός µετασχηµατισµός. Θα µελετήσουµε στη συνέχεια τους δύο αυτούς µετασχηµατισµούς στο σχεδιασµό των IIR ψηφιακών φίλτρων

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -7-7.5. Μεθοδος αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης (Impule Invarance Method) 7.5. Περιγραφή Με τη µέθοδο αυτή βρίσκεται η κρουστική απόκριση h(n) του ψηφιακού συστήµατος µε δειγµατοληψία της κρουστικής απόκρισης h a () του αντίστοιχου αναλογικού. ηλαδή h(n)h a (nt ) Σχήµα 7.4 ειγµατοληψία της κρουστικής απόκρισης. Eίναι φανερά τα φαινόµενα επικάλυψης µε την ελάττωση της δειγµατοληψίας Ένας τρόπος υλοποίησης της µεθόδου είναι ο εξής: Επιλέγεται η αναλογική συνάρτηση Η() και αναπτύσεται σε µερικά κλάσµατα K K H() + +... (7.3) p p για κάθε όρο βρίσκεται η (συνεχούς χρόνου) κρουστική απόκριση : K p t h (t) K e p και από αυτή µε δειγµατοληψία βρίσκεται η κρουστική απόκριση του ψηφιακού συστήµατος: h (n) K e np t Από αυτή (βάσει του ορισµού) βρίσκεται η συνάρτηση του συστήµατος στο πεδίο z

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -8- H (z) np T n K e z n 0 n 0 K (e pt z ) n K e Τέλος η συνολική Η(z) βρίσκεται σαν άθροισµα των επι µέρους Η (z) H όλη διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω συνοψίζεται στήν εξής αντιστοιχία : K p K e pt z p T ηλαδή το πεδίο απεικονίζεται στο πεδίο z µέσω της σχέσεως (*) : z (7.4) e T z (7.5) Παρατήρηση: για jω δηλ. για την απόκριση συχνότητας µπορούµε να παρακολουθήσουµε την απεικόνιση αυτή: πτ j Τ π jω j z e (7.6) Τ Oπως εύκολα φαίνεται περιοχές (λωρίδες στο αρνητικό ηµιεπίπεδο-) πλάτους π/τ απεικονίζονται στο επίπεδο z στο µοναδιαίο κύκλο. j 3π/Τ Im(z) Μοναδιαίος κύκλος π/τ -π/τ σ Re(z) επίπεδο - -3π/Τ επίπεδο -z Σχήµα 7.5 Απεικόνιση του επιπέδου στο επίπεδο z, στη διαδικασία της "αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης". 7.4. ιαδικασία σχεδιασµού Ο σχεδιασµός αρχίζει µε τις προδιαγραφές του ψηφιακού φίλτρου ω p, ω, R p, A. (*) Η σχέση αυτή ουσιαστικά εκφράζει την απλή σχέση µεταξύ ψηφιακής και αναλογικής συχνότητας ω/τ.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -9- Πρώτα θα υπολογισθεί το αντίστοιχο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια θα γίνει ο µετασχηµατισµός (7.4) που είδαµε. Τα βήµατα που ακολουθούνται συνήθως είναι τα εξής:. Εύρεση των αντίστοιχων αναλογικών συχνοτήτων (σε rad/ec) p ω p /Τ και ω /Τ όπου Τ η περίοδος δειγµατοληψίας.. Σχεδιασµός του αντίστοιχου αναλογικού φίλτρου Η a () µε επιλογή µίας απο τις συναρτήσεις Butterworth, Chebyhev, Ellptc. 3. Αναλυση της Η a () σε µερικά κλάσµατα: H a N () k K p p 4. Μετασχηµατισµός των πόλων p στους αντίστοιχους ψηφιακούς T e δηµιουργία του ψηφιακού φίλτρου Η(z): H(z) παράδειγµα 7.3 N k K e ίνεται η αναλογική συνάρτηση Η()/( + +) η οποία αντιστοιχεί σε βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής (3dB). Zητείται η αντίστοιχη ψηφιακή Η(z) µε συχνότητα αποκοπής f50hz. ίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας f S.8 KHz Αρχικά υπολογίζουµε την αναλογική συχνότητα (**) αποκοπής π5094.48 και αποκανονικοποιούµε: Ĥ()H() / + + στη συνέχεια αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα: Ĥ() 666.4 j 666.4 j + ( + 666.4 666.4 j) ( + 666.4 + 666.4 j) K K z Εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό και έχουµε pt p z e H 666.4 j z 666.4 j z (z) +... ( 666.4+ 666.4 j) /80 ( 666.4 666.4 j) / (z e ) (z e 80 ) 393.9z...Η(z).03z + 0.353z Παρατηρήση: Στο παράδειγµα αυτό η συνάρτηση Η() είναι δεδοµένη και εποµένως και τα βήµατα και στη διαδικασία σχεδιασµού πού περιεγράφει παραπάνω. p T z και (**) Η ψηφιακή συχνότητα ω δίνεται ως γνωστό σε rad/δείγµα και η αναλογική σε rad/ec. Συνδέονται µε την απλή σχέση ωf. Aς σηµειωθεί ότι η σχέση αυτή χρησιµοποιείται ουσιαστικά σε όλες τις µέχρι στιγµής διαδικασίες των ψηφιακών σηµάτων και βέβαια δεν θεωρείται µετασχηµατισµός.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -0- παράδειγµα 7.4 Να µετασχηµατισθεί η συνάρτηση : + () σε ψηφιακή χρησιµοποιώντας + 5 + 6 H a την µέθοδο αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης και περίοδο δειγµατοληψίας Τ 0. Επειδή δεν δίνονται άλλες προδιαγραφές όπως συχνότητα αποκοπής, προχωράµε στη διαδικασία µετασχηµατισµού: + H a () + 5 + 6 + 3 + 0.8966z H(z).5595z + 0.6065z z H(z) e 3 0. z e 0. z... παράδειγµα 7.5 Να σχεδιασθεί ένα ψηφιακό φίλτρο χρησιµοποιώντας συναρτήσεις Butterworth και µε τις εξής προδιαγραφές: ω p 0.π R p db, ω 0.3π Α 5dB Θεωρούµε συχνότητα δειγµατοληψίας f. Οι προδιαγραφές του αντίστοιχου αναλογικού είναι: p 0.π 0.π rad/ec, R p db 0.3π 0.3π rad/ec, A 5dB Aπο αυτές και σύµφωνα µε την (7.9) βρίσκεται η τάξη Ν του φίλτρου: N6 δηλ. Η a ()/( 6 +3.8637 5 +7.464 4 +9.46 3 +7.464 +3.8637+) Από την (7.0α) βρίσκεται η συχνότητα αποκοπής C 0.703 Aποκανονικοποιούµε: Ĥ a ()H a () /0.703 6 +.770 5 + 3.6909 4 0.09 + 3.788 3 +.85 + 0.6644 + 0.09 εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό "αµετάβλητης κρουστικής συνάρτησης" και λαµβάνουµε: - 3 4 5 0.0006z + 0.00z + 0.06z + + 0.004z + 0.000z Η(z) - 3 4 5 6-3.3635z + 5.0685z 4.759z +.067z 0.5707z + 0.066z H απόκριση της παραπάνω συνάρτησης Η(z) δεικνύεται στο σχήµα 7.6

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -- Σχήµα 7.6 Απόκριση συχνότητας της συνάρτησης Η(z) του παραδείγµατος 7.5 σε δύο κλίµακες. Οπως φαίνεται και οι δύο προδιαγραφές ω p και ω εκπληρούνται. Στη διαδικασία σχεδιασµού µε την µέθοδο της αµεταβλητης κρουστικής απόκρισης λόγω της δειγµατοληψίας εµφανίζονται το φαινόµενο αλλοίωσης. Ελάττωση αυτού επιτυγχάνεται µε αύξηση της συχνότητας δειγµατοληψίας f. Ετσι όµως αυξάνεται ο αριθµός δειγµάτων και η µέθοδος γίνεται συγκρίσιµη απο άποψη τάξεως (πολυπλοκότητας) µε τα FIR φίλτρα τα οποία έχουν και γραµµική φάση. Για το λόγο αυτό στο σχεδιασµό η διαδικασία της δειγµατοληψίας παρεκάµφθη και ο σχεδιασµός έγινε στο πεδίο της συχνότητας. Αλλωστε και οι αναλογικές συναρτήσεις φίλτρα δίνονται στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας. Εκτός οµως των ανωτέρω επειδή γίνεται ουσιαστικά εξοµοίωση των αναλογικών φίλτρων τα οποία είναι πεπερασµένης τάξεως και εποµένως έχουν εύρος µικρό αλλα µη µηδενικό µέχρι, δεν είναι δυνατόν να εξαλειφθούν τα φαινόµενα αλλοίωσης παρα την αύξηση της δειγµατοληψίας. Εποµένως δεν ενδείκνυται η µέθοδος αυτή για υψιπερατά φίλτρα.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -- 7.5 ιγραµµικός µετασχηµατισµός (blnear tranform) Από την µελέτη της µεθοδου σχεδιασµού µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης φαίνεται ότι ουσιαστικά ο σχεδιασµός των ψηφιακών φίλτρων προέρχεται από τα αντίστοιχα αναλογικά µε ένα µετασχηµατισµό z. Ο µετασχηµατισµός (7.5) που αντιστοιχούσε στην προηγούµενη διαδικασία είχε το µειονέκτηµα της αλλοίωσης (alang). Ο διγραµµικός µετασχηµατισµός που θα µελετήσουµε στη συνέχεια δεν παρουσιάζει τα φαινόµενα αλλοίωσης διότι µετασχηµατίζει όλο τον άξονα j του επιπέδου στο µοναδιαίο κύκλο του επιπέδου z και είναι βέβαια καλύτερος µετασχηµατισµός. Ο διγραµµικός µετασχηµατισµός ορίζεται ως εξής: z f (z) (7.7) + z για j και ze jω έχουµε: ω tan (7.8) H τελευταία αυτή σχέση που δείχνει την απεικόνηση της ψηφιακής συχνότητας ω και της αντίστοιχης αναλογικής ονοµάζεται frequency prewarpng. Από την σχέση (7.8) εξάγονται και τα εξής συµπεράσµατα για την απεικόνηση -->z. To αριστερό ηµιεπίπεδο απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο z.. O άξονας j απεικονίζεται στη περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου δηλ. ze jω Οι δύο παραπάνω παρατηρήσεις εξασφαλίζουν ότι συναρτήσεις Η() ευσταθείς στον αναλογικό χώρο επίπεδο, αντιστοιχούν σε επίσης ευσταθείς συναρτήσεις Η(z) στον ψηφιακό χώρο επίπεδο z. H απόδειξή των γίνεται ως εξής: z z * (z )(z * + ) + (z + )(z * ) z Re ( + *) + z z * (7.9) + + (z + )(z * + ) z + από όπου συνεπάγεται ότι εάν Re <0 z < και Re 0 z Στο επόµενο σχήµα 7.7 δεικνύεται γραφικά η παραπάνω απεικόνηση f(z)

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -3- επίπεδο-z Im ze j Im j επίπεδο- Re Re µοναδιαίος κύκλος αριστερό ηµιεπίπεδο - Σχήµα 7.7 Το εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου του επιπέδου -z aπεικονίζεται στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Η σχέση (7.8) δείχνει πως απεικονίζονται οι αναλογικές συχνότητες στις ψηφιακές. Στο σχήµα 7.8 δεικνύεται η σχέση αυτή. ω π -π Σχήµα 7.8 Η απεικόνηση των «αναλογικών» συχνοτήτων στις «ψηφιακές ω

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -4-7.6 Σχεδιασµός Ψηφιακών φίλτρων µε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό Στο σηµείο αυτό πρέπει να επισηµάνουµε ότι οι προδιαγραφές των αποκρίσεων συχνότητας (φίλτρων) δίνονται (όπως είναι φυσικό) στον ψηφιακό χώρο. Εποµένως το πρώτο βήµα είναι να βρούµε τις προδιαγραφές του αντίστοιχου αναλογικού βαθυπερατού Τ() και στη συνέχεια να ακολουθήσουµε τα στάδια σχεδιασµού όπως περιεγράφησαν παραπάνω. ιαγραµµατικά οι διαδικασία αυτή δεικνύεται στο σχήµα 7.9 Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Mετασχηµατισµός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Ψηφιακό φίλτρο Τ(z) Mετασχηµατισµός f(z) Αναλογικό φίλτρο T() Σχήµα 7. 9 Στάδια Υλοποίησης Ψηφιακού φίλτρου µε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό Πιό συγκεκριµµένα: Οι προδιαγραφές των φίλτρων (ω p,a p ) και (ω,a ) δίνονται στο ψηφιακό χώρο Μετατρέπουµε τις προδιαγραφές αυτές στις αντίστοιχες αναλογικές ενός βαθυπερατού φίλτρου (7.8). ηλαδή εφαρµόζεται η διαδικασία "prewarpng". Προφανώς το αναλογικό φίλτρο που αποτελεί την αφετηρία στη διαδικασία αυτή είναι βαθυπερατό. Οταν το ψηφιακό φίλτρο δεν είναι βαθυπερατό τότε ο µετασχηµατισµός δεν εκφράζεται µε την γνωστή σχέση (7.8) αλλά είναι τροποποιηµένος ώστε να συµπεριλάβει και την σχετική µετατροπή απο το συγκεκριµένο τύπο του (υψιπερατό κλπ) στο αντίστοιχο βαθυπερατό φίλτρο (πίνακας 7. στήλη). Στη συνέχεια ακολουθούµε τα εξής βήµατα: εφαρµόζουµε µετασχηµατισµό και στη συνέχεια z Ο µετασχηµατισµός είναι µετασχηµατισµός βαθυπερατού σε βαθυπερατό, βαθυπερατού σε ζωνοδιαβατό, βαθυπερατού σε υψιπερατό, και βαθυπερατού σε απόρριψης ζώνης πάντα βέβαια στον αναλογικό χώρο. Ο µετασχ. z είναι ο διγραµµικός µετασχηµατισµός.

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -5- Τα δύο αυτά στάδια µπορούν (και ενδείκνυται) να γίνουν απευθείας (σε ένα βήµα) z. Στον πίνακα (7. στήλη 3) δίνονται οι σχετικοί τύποι. Η συνολική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω δεικνύεται στο διάγραµµα του σχήµατος 7.9. Η διαδικασία αυτή σκιαγραφήθηκε γενικώτερα και στή παράγραφο 7.4 σαν Α τρόπος σχεδισµού Ψηφιακών φίλτρων από αναλογικά. Στη συνέχεια θα δούµε διάφορες περιπτώσεις σχεδιασµού ψηφιακών φίλτρων µε την παραπάνω περιγραφείσα µέθοδο του διγραµµικού µετασχηµατισµού. Για εκπαιδευτικούς λογους ο σχεδιασµός των βαθυπερατών ψηφιακών φίλτρων ξεχωρίζεται από τις άλλες κατηγορίες. Επίσης αφιερώνεται ιδιαίτερη παράγραφος για φίλτρα ης και ης τάξεως όλων των κατηγοριών. ΠΙΝΑΚΑΣ 7. g(ω) f(z) παράµετροι + z υψιπερατό -cot(ω/) z ζωνοδιαβατό c coω n ω απόρριψης ζώνης n ω coω c cz + z z z cz + z n( ωa + ωb) c n ω + n ω a n( ωa + ωb) c n ω + n ω a b b Στη συνέχεια θα δούµε παραδείγµατα σχεδιασµού βασισµένα στον διγραµµικό µετασχηµατισµό και µε τον τρόπο που περειγράφει προηγούµενα. Η υλοποίηση των βαθυπερατών φίλτρων (που είναι και η πλέον απλή) θα εξετασθεί αρχικά. Στη συνέχεια θα γίνει σχεδιασµός και των άλλων κατηγοριών (υψιπερατά, ζωνοδιαβατά, απόρριψης ζώνης). Θα εστιάσουµε στο σχεδιασµό συναρτήσεων Butterworth. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις δηλ. Chebyhev (Ι και ΙΙ) και Ellptc αν και θεωρούνται πιό πολύπλοκες σχεδιαζονται µε παρόµοιο τρόπο. Α. ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ Παράδειγµα 7.6 Να βρεθεί η τάξη Ν του βαθυπερατού φίλτρου µε τις εξής προδιαγραφές (στον ψηφιακό χώρο)

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -6- γωνιακή συχνότητα στη ζώνη διέλευσης ω p 0.π (Υπονοείται εξασθένηση 3dB) γωνιακή συχνότητα στη ζώνη αποκοπής ω 0.4π εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής 30dB Από τον τύπο που δίνει την µορφή του βαθυπερατού Butterworth φίλτρου µε µετατροπή των ψηφιακών συχνοτήτων στις αντίστοιχες αναλογικές είναι: H ( 0.4π) / )! Ν Ν / tan 0. ( +.36 π + tan 0.π 0log 0 H(0.4π) -30! log 0 30 / 0 / (.36 )! 0. 036 Ν + / ( +.36 ) Ν 4.6 Αρα Ν5 Ν! Παράδειγµα 7.7 Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές ζώνη διέλευσης 0-60Ηz ζώνη αποκοπής >85 Hz εξασθένηση>5db συχνότητα δειγµατοληψίας f 56Hz βρίσκουµε τις (κανονικοποιηµένες) ψηφιακές συχνότητες ω π60/56 π 0.344 και ω π85/56π 0.330 βρίσκουµε τις (prewarped) αναλογικές συχνότητες tan(ω /)0.906 και tan(ω /).758 βρίσκουµε την τάξη του φίλτρου N.758 0log + 5 N.468 N 3 0.906 ηλ η ζητουµένη συνάρτηση Butterworth είναι η Η()/{ 3 + ++} Aποκανονικοποιούµε την Η() ώστε c ηλ Η'()H(/ ) και εφαρµόζουµε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό Τα δύο τελευταία βήµατα γίνονται µε εφαρµογή στην Η() του µετασχηµατισµού: ω z z cot( ).03 + z + z

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -7- H(z) H() + 3z + 3z + z z.03 0.80z + 0.349z + z 3 0.065z 3 Παράδειγµα 7.8 Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές ζώνη διέλευσης 0-4kHz εξασθένηση 0.5dB ζώνη αποκοπής >5 khz εξασθένηση>0db συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kHz Η() Οπως φαίνεται οι προδιαγραφές db δίνονται µε τον γενικό τρόπο και δεν 0 Α p περιλαµβάνουν την συχνότητα αποκοπής 3dB. Οπως και στο προηγούµενο A πράδειγµα ακολουθούµε τα ακόλουθα βήµατα 0 p Σχήµα 7. 0 Βαθυπερατό αναλογικό βρίσκουµε τις (κανονικοποιηµένες) φίλτρο (Butterworth) ψηφιακές συχνότητες ω και τις αντίστοιχες αναλογικές p tan(0.4π/)0.765 tan(0.5π/) Για την Butterworth συνάρτηση Ν τάξεως έχουµε H( ) για 0log H( για 0log H( N [ + ( ) ] p p c / H( ) 0log + H( ) 0log p ) ) p ( ) + N p ( ) N 0.5 [ + ( ) ] c N ( ) 0 N / / [ + ] ( β) c c c ( α) Από τις τις (α) και (β) βρίσκουµε τις τιµές των Ν και c. + + 0.765 N ( ) 0 c N 0 / 0 ( ) 0 c 0.5 / 0 0.765 N 0.5 / 0 0 0 N 6.73 7

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -8- Για Ν7! c 0.8443 Αφού η τάξη του βαθυπερατού Butterworth βρέθηκε Ν7 µπορούµε από τους πίνακες να βρούµε την συνάρτηση T() που είναι: T()/[(+)( +0.445+)( +.47+)( +.809+)] Αποκανονικοποιούµε για c 0.8443 για τον ο όρο έχουµε: 0.8443 H (z) 0.8443 0.4578( z z + + + 0.8443 0.8443 + 0.8443 0.0844z + z Επαναλαµβάνοντας και για τις υπόλοιπες βαθµίδες λαµβάνουµε τελικά: 0.34( + z ) H (z) 0.749z + 0.640z 0.578( + z ) H 3 (z) 0.076z + 0.386z 0.04( + z ) H (z) 0.775z + 0.059z ) Β. ΗΨΙΠΕΡΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ Παράδειγµα 7.9 ίνεται η βαθυπερατή συνάρτηση ης Η() 0 τάξεως H()/(+) και ζητείται ο Α p σχεδιασµός του ηψιπερατού ψηφιακού φίλτρου µε προδιαγραφές συχνότητα αποκοπής f c 30Hz και A συχνότητα δειγµατοληψείας f 50Hz Εδώ δίνεται η βαθυπερατή συνάρτηση Σχήµα 7. Για την συχνότητα ω C και την αντίστοιχη π30 αναλογική c έχουµε: c tan 0. 765 50 H () H() H(z) H () 0.765 z z + + 0.765 z z+ z z+ z 0.579 + 0.765 + 0.584z 0 p Hψιπερατό αναλογικό φίλτρο

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -9- Παράδειγµα 7.0 ίνονται οι προδιαγραφές : ηψιπερατό φίλτρο συχνότητα δειγµατοληψείας f 0kHz, συχνότητα ζώνη διέλευσης 5kHz, εξασθένηση A 0.5dB συχνότητα ζώνης αποκοπής 4kHz, εξασθένηση A p 0dB Βρίσκουµε ω p 0.5π, ω 0.4π, p,.3764 Για την εύρεση της τάξεως Ν (Butterworth) απο την (7.9) έχουµε N log Rp / 0 A / 0 [( 0 ) /( 0 ) ] 0...6.73 log 0 ( / ) p p και απο την (7.0α) για την συχνότητα C...6 N R / 0 0 p Αρα Η() + + 0.445 + +.47 + +.80 + Aποκανονικοποιοώντας έχουµε Η() H () H().6 καιη (z) H () z z + Γ. ΖΝΟ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ Παράδειγµα 7. Να σχεδιασθεί µε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό και το αντίστοιχο βαθυπερατό φίλτρο τύπου Butterworth ενα ψηφιακό ζωνοδιαβατό φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές: συχνότητα δειγµατοληψείας f 0 khz, ζώνη διέλευσης έως 4kHz µε µέγιστη εξασθένηση 0.5dB, ζώνες αποκοπής 0-.5 khz και 4.5kHz έως 0kHz µε ελάχιστη εξασθένηση 0dB (Bλέπε λύση στο ένθετο ) Α p A 0 f a f pa f pb f b f / 0 p Σχήµα 7. Σχεδιασµός ζωνοδιαβατού φίλτρου από αντίστοιχο αναλογικό βαθυπερατό

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -30-7.7 Σχεδιασµός φίλτρων ας τάξεως Στην κατηγορία των φίλτρων ας τάξεως ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα ζωνοδιαβατά (bandpa) φίλτρα και τα φίλτρα µηδενισµών (notch). H διαδικασία σχεδιασµού των µπορεί φυσικά να ενταχθεί στη γενική διαδικασία που περιεγράφει προηγουµένως. Επειδή οµως η τάξη του φίλτρου (βαθυπερατού) είναι γνωστή, απλοποιείται η διαδικασίακαι σε συντοµία ο σχεδιασµός γίνεται ως εξής : Ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως Το αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει την µορφή: α H a () (7.0) + α + ο Η απόκριση µέτρου H a () χαρακτηρίζεται αφενός από τη µέγιστη τιµή που συµβαίνει για συχνότητα ο και αφετέρου απο τις δύο συχνότητες αποκοπής και που ορίζονται σαν οι συχνότητες που η απόκριση "πέφτει" στο / του µεγίστου. Στο σχήµα 7.3 δεικνύεται µία τέτοια απόκριση. Αποδεικνύεται ότι : ο Η(ω) 0 ω ω ο ω ω Σχήµα 7. 3 Ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως και α - Για τον σχεδιασµό του αναλογικού φίλτρου πρέπει να βρεθούν οι τιµές του ο και µε βάση τις τιµές που δινονται στις προδιαγραφές του ψηφιακού φίλτρου. Αυτό γίνεται µε την σχέση g(ω)tan(ω/) που είδαµε προηγουµένως, αν την εφαρµόσουµε για τις συχνότητες ο, και (παράδειγµα 7.) Μπορούµε όµως να βρούµε και άµεσα την τιµή α απο την τριγωνοµετρική ταυτότητα : ω tan ω tan( ω + tan( ω / ) tan( ω / ) tan( ω / ) / ) + + ο ω α ( + ο )tan (7.) Εχοντας βρεί το Η a () βρίσκουµε το Η(z) H () a α + α + ο z + z

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -3- Παράδειγµα 7. Να σχεδιασθεί το ψηφιακό φίλτρο µε προδιαγραφές ζώνη διέλευσης 00-300Hz συχνότητα δειγµατοληψίας f khz τάξη φίλτρου Ν Προφανώς πρόκειται για ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως Βρίσκουµε τις αναλογικές συχνότητες 00 π tanω / tan 0. 349 000 300 π tanω / tan 0. 5095 000 ο 0.349 x 0.50950.655 και α - 0.846 H a () H(z) H α 0.846 + 0.846 + 0.655 () z z+ και z....36z + 0.765z Παράδειγµα 7.3 Προδιαγραφές ζωνοδιαβατού ας τάξεως: συχνότητα δειγµατοληψείας f 0kHz κεντρική συχνότητα f o.75 khz Ευρος ζώνης f500 Hz Βρίσκουµε ω ο π.75/00.35π, ωπ0.5/00.π Αναλογικές συχνότητες ο tan (ω ο /)0.6, (+ ο )tan( ω/)...0.76 0.76 0.367( z ) Αρα H(z) z + 0.76 + 0.6 0.7838z + 0.765z z+

Σ.Φωτόπουλος ΨΕΣ- KEF 7o ΙΙR Φίλτρα -3- fg7_.m fg7_3.m w0:0.0:5; [b,a]cheby(,0.5,,''); hfreq(b,a,w); [b,a]cheby(3,0.5,,''); hfreq(b,a,w); [b,a]cheby(5,0.5,,''); hfreq(b,a,w); plot(w,ab(h),w,ab(h),w,ab(h)) xlabel('/c') ylabel(' H(j) ') ttle ('CHEBYSHEV') text(,0.,'n5') text(.8,0.,'n3') text(.5,0.3,'n') w0:0.0:5; [b,a]ellp(,0.5,0,,''); hfreq(b,a,w); [b,a]ellp(3,0.5,0,,''); hfreq(b,a,w); [b,a]ellp(5,0.5,0,,''); hfreq(b,a,w); plot(w,ab(h),w,ab(h),w,ab(h)) xlabel('/c') ylabel(' H(j) ') ttle ('ellptc') text(0.6,0.,'n5') text(.5,0.,'n3') text(.,0.3,'n')